2025屆新高考數(shù)學精準突破復習定點、定值問題圓錐曲線的綜合問題是高考考查的重點內(nèi)容，定點、定值問題是常見的熱點題型，常以解答題的形式壓軸出現(xiàn)，難度較大.考情分析思維導圖內(nèi)容索引典型例題熱點突破典例1

考點一圓錐曲線的定點(定直線)問題(2)記C的左、右頂點分別為A1，A2，過點(－4,0)的直線與C的左支交于M，N兩點，M在第二象限，直線MA1與NA2交于點P.證明：點P在定直線上.由(1)可得A1(－2,0)，A2(2,0)，設(shè)M(x1，y1)，N(x2，y2)，顯然直線MN的斜率不為0，聯(lián)立直線MA1與直線NA2的方程可得據(jù)此可得點P在定直線x＝－1上運動.跟蹤訓練1

(2)過點(－2,3)的直線交C于P，Q兩點，直線AP，AQ與y軸的交點分別為M，N，證明：線段MN的中點為定點.由題意可知，直線PQ的斜率存在，如圖，設(shè)B(－2,3)，直線PQ：y＝k(x＋2)＋3，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，消去y得(4k2＋9)x2＋8k(2k＋3)x＋16(k2＋3k)＝0，則Δ＝64k2(2k＋3)2－64(4k2＋9)(k2＋3k)＝－1728k>0，解得k<0，因為A(－2,0)，所以線段MN的中點是定點(0,3).典例2

(2023·佛山模擬)已知O為坐標原點，定點F1(－1,0)，F(xiàn)2(1,0)，圓O：x2＋y2＝2，M是圓內(nèi)或圓上一動點，圓O與以線段F2M為直徑的圓O1內(nèi)切.(1)求動點M的軌跡方程；考點二圓錐曲線的定值問題依題意知圓O1的半徑r＝|O1F2|，根據(jù)橢圓的定義可知動點M是以F1(－1,0)，F(xiàn)2(1,0)為焦點的橢圓，(2)設(shè)M的軌跡為曲線E，若直線l與曲線E相切，過點F2作直線l的垂線，垂足為N，證明：|ON|為定值.當直線l的斜率存在且不為零時，設(shè)直線方程為y＝kx＋m(k≠0)，消去y并整理得(2k2＋1)x2＋4kmx＋2m2－2＝0，因為直線l與曲線E相切，所以Δ＝16k2m2－4(2k2＋1)(2m2－2)＝0，整理得m2＝2k2＋1，因為NF2與直線l垂直，當直線l的斜率為0時，直線l的方程為y＝±1，過點F2(1,0)作直線l的垂線，過點F2(1,0)作直線l的垂線，跟蹤訓練2

(2023·臨沂模擬)已知動點M(x，y)與點F(1,0)的距離和它到直線x＝4的距離之比是

，點M的軌跡為曲線C.(1)求C的方程；設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(x0，y0)，∴3x0x1＋4y0y1＝0.同理3x0x2＋4y0y2＝0，∴A，B都在直線3x0x＋4y0y＝0上.又∵直線AB過坐標原點，故S△PAB＝6.∴△PAB的面積為定值.直線過定點問題的通法是設(shè)出直線方程，通過根與系數(shù)的關(guān)系和已知條件找出k和m的關(guān)系式，代入直線方程，將問題轉(zhuǎn)化為過定點的直線系、曲線系和恒成立問題來求解，即可得到定點；求解定值問題的關(guān)鍵是引入?yún)?shù)表示直線方程、點坐標、數(shù)量積或斜率關(guān)系等，先引入變量，再進行消元，最后得到不受參數(shù)影響的量就是定值.總結(jié)提升123123解得a2＝2，b2＝1，123(2)求證：點P在以F1，F(xiàn)2為焦點的定橢圓上.123∴y1>0，y2>0，設(shè)直線F1A的方程為my＝x＋1，則直線F2B的方程為my＝x－1，123123又點B在橢圓C上，123∴|PF1|＋|PF2|>|F1F2|，∴點P在以F1，F(xiàn)2為焦點的定橢圓上.123123123123設(shè)P(x1，y1)，Q(x2，y2).123等式兩邊同時除以|OP|4·|OQ|4，1231233.(2023·汕頭模擬)如圖，已知E(m，n)為拋物線x2＝2py(p>0)內(nèi)一定點，過E作斜率分別為k1，k2的兩條直線，與拋物線交于A，B，C，D四點，且M，N分別是線段AB，CD的中點.(1)當m＝0且k1k2＝－1時，求△EMN面積的最小值；123當m＝0時，E(0，n)為y軸上一點，因為k1k2＝－1，所以AB⊥CD，則AB的方程為y＝k1x＋n，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，可得x2－2pk1x－2pn＝0，123則x1＋x2＝2pk1，x1x2＝－2pn，因為AB⊥CD，則EM⊥EN，123123123由題意知AB所在直線的方程為y＝k1(x－m)＋n，代入x2＝2py(p>0)中，得x2－2pk1x＋2pk1m－2pn＝0，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則有x1＋x2＝2pk1，從而y1＋y2＝k1(x1＋x2－2m)＋2n＝k1