2.2

基本不等式第1課時(shí)

基本不等式自主預(yù)習(xí)·新知導(dǎo)學(xué)合作探究·釋疑解惑易

錯(cuò)

辨

析

自主預(yù)習(xí)·新知導(dǎo)學(xué)基本不等式1.在本章第一節(jié)我們已經(jīng)得出一類重要不等式:?a,b∈R,有a2+b2≥2ab,當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí),等號(hào)成立.3.已知ab=1,a>0,b>0,則a+b的最小值為(

)A.1 B.2C.4 D.8解析:∵a>0,b>0,當(dāng)且僅當(dāng)a=b=1時(shí),取等號(hào),故a+b的最小值為2.答案:B【思考辨析】

判斷下列說(shuō)法是否正確,正確的在后面的括號(hào)內(nèi)打“√”,錯(cuò)誤的打“×”.

合作探究·釋疑解惑探究一

利用基本不等式比較代數(shù)式的大小【例1】

若0<a<1,0<b<1,且a≠b.試比較出a+b,a2+b2,,2ab中的最大者.解:∵0<a<1,0<b<1,a≠b,∴a+b>,a2+b2>2ab,∴四個(gè)數(shù)中最大的應(yīng)從a+b,a2+b2中選擇.而a2+b2-(a+b)=a(a-1)+b(b-1),又0<a<1,0<b<1,∴a(a-1)<0,b(b-1)<0,∴a2+b2-(a+b)<0,即a2+b2<a+b,∴a+b最大.反思感悟1.運(yùn)用基本不等式比較大小時(shí)應(yīng)注意成立的條件,即a+b≥

成立的條件是a>0,b>0,等號(hào)成立的條件是a=b;a2+b2≥2ab成立的條件是a,b∈R,等號(hào)成立的條件是a=b.2.本題在比較a+b與a2+b2的大小時(shí)使用了作差法.【變式訓(xùn)練】

設(shè)0<a<b,且a+b=1,則下列四個(gè)數(shù)中最大的是(

)∵b-(a2+b2)=(b-b2)-a2=b(1-b)-a2=ab-a2=a(b-a)>0,∴b>a2+b2,∴b最大.答案:B探究二

用基本不等式求簡(jiǎn)單的最值反思感悟當(dāng)a>0,b>0時(shí),探究三

利用基本不等式證明不等式反思感悟1.此題多次使用

,要注意等號(hào)能否成立,最后利用不等式的同向可加性,此時(shí)也要注意等號(hào)成立的條件.2.在解決不能直接利用基本不等式證明的問(wèn)題時(shí),要重新組合,構(gòu)造運(yùn)用基本不等式的條件.若條件中有一個(gè)多項(xiàng)式的和為1,要注意“1”的代換.3.提升邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).易

錯(cuò)

辨

析忽視基本不等式成立的條件致錯(cuò)∴y的取值范圍為{y|y≥2}.以上解答過(guò)程中都有哪些錯(cuò)誤?出錯(cuò)的原因是什么?你如何改正?你如何防范?提示:上述解答中應(yīng)用了基本不等式,卻忽略了應(yīng)用基本不等式的條件——兩個(gè)數(shù)應(yīng)都大于零,因而導(dǎo)致錯(cuò)誤.防范措施1.由于

中x的取值范圍為x>0或x<0,故要對(duì)x的符號(hào)加以討論,否則不能用基本不等式.