專題訓(xùn)練(六)__“三線合一”好解題?類型之一證明線段相等1．已知：如圖6－ZT－1所示，在等邊三角形ABC的AC邊上取中點(diǎn)D，BC的延長線上取一點(diǎn)E，使CE＝CD.求證：BD＝DE.圖6－ZT－1[解析]欲證BD＝DE，只需證∠DBE＝∠E.根據(jù)等腰三角形的“三線合一”和等邊三角形的性質(zhì)可得∠DBE＝eq\f(1,2)∠ABC＝30°.再根據(jù)三角形的外角性質(zhì)和等邊三角形的性質(zhì)可得∠E＝30°.由此可得結(jié)論．證明：∵△ABC為等邊三角形，BD是AC邊上的中線，∴BD⊥AC，BD平分∠ABC，∴∠DBE＝eq\f(1,2)∠ABC＝30°.(等腰三角形的“三線合一”)∵CD＝CE，∴∠CDE＝∠E.∵∠ACB為△CDE的外角，∠ACB＝60°，∴∠CDE＋∠E＝60°.∴∠CDE＝∠E＝30°.又∵∠DBE＝30°，∴BD＝DE.(等角對等邊)2．如圖6－ZT－2所示，點(diǎn)D，E在△ABC的邊BC上，AB＝AC，BD＝CE.求證：AD＝AE.圖6－ZT－2[解析]本題可通過全等三角形來證線段相等．在△ABD和△ACE中，已知AB＝AC，BD＝EC且∠B＝∠C，由此可證得兩三角形全等，即可得出AD＝AE的結(jié)論．也可根據(jù)等腰三角形三線合一來證明．證明：過點(diǎn)A作AF⊥BC于點(diǎn)F.圖ZT－6－1∵AB＝AC，AF⊥BC，∴BF＝CF.(等腰三角形底邊上的高是底邊上的中線)又∵BD＝CE，∴BF－BD＝CF－CE，即DF＝EF，∴AF是DE的垂直平分線，∴AD＝AE.?類型之二證明兩線垂直3．如圖6－ZT－3所示，在△ABC中，AB＝AC，∠ABD＝∠ACD，求證：AD⊥BC.圖6－ZT－3[解析]首先證明∠DBC＝∠DCB，可得DB＝DC，再加上條件AB＝AC，公共邊AD＝AD，可利用SSS證明△ABD≌△ACD，進(jìn)而得到∠BAD＝∠CAD，再根據(jù)等腰三角形頂角的平分線與底邊上的高線重合可證出AD⊥BC.本題通過證明AD是BC的垂直平分線也可得證，如下面的證法．證明：延長AD交BC于點(diǎn)M，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB.又∵∠ABD＝∠ACD，∴∠ABC－∠ABD＝∠ACB－∠ACD，即∠DBC＝∠DCB，∴DB＝DC.∵AB＝AC，DB＝DC，∴AD是線段BC的垂直平分線，∴AD⊥BC.圖ZT－6－24．如圖6－ZT－4，在△ABC中，AB＝AC，D為AC上一點(diǎn)，∠DBC＝eq\f(1,2)∠BAC.求證：AC⊥BD.圖6－ZT－4[解析]首先過點(diǎn)A作AE⊥BC交BC于點(diǎn)E，交BD于點(diǎn)F.由AB＝AC，根據(jù)等腰三角形“三線合一”的性質(zhì)，可得∠CAE＝eq\f(1,2)∠BAC，又由∠DBC＝eq\f(1,2)∠BAC，在△ADF與△BEF中，易證得∠ADF＝∠BEF＝90°，即可得AC⊥BD.證明：如圖ZT－6－3，過點(diǎn)A作AE⊥BC于點(diǎn)E，交BD于點(diǎn)F.圖ZT－6－3∵AB＝AC，AE⊥BC，∴∠CAE＝eq\f(1,2)∠BAC.(等腰三角形的“三線合一”)又∵∠DBC＝eq\f(1,2)∠BAC，∴∠CAE＝∠DBC.∵∠1＝∠2，∠ADF＝180°－∠2－∠CAE，∠BEF＝180°－∠1－∠DBC，∴∠ADF＝∠BEF.∵AE⊥BC，∴∠BEF＝90°.∴∠ADF＝90°.∴BD⊥AC.?類型之三證明角的倍分關(guān)系5．已知：如圖6－ZT－5所示，AF平分∠BAC，BC⊥AF，垂足為E，AE＝ED，PB分別與線段CF，AF相交于點(diǎn)P，M，∠F＝∠MCD.求證：∠BAC＝2∠MPC.圖6－ZT－5[解析]先由AF平分∠BAC證明∠BAE＝eq\f(1,2)∠BAC，再根據(jù)等腰三角形“三線合一”和線段垂直平分線的性質(zhì)證明∠CDE＝∠BAE.從而∠CDE＝eq\f(1,2)∠BAC.然后在△MDC和△MPF中證明∠MDC＝∠MPF.進(jìn)而得∠MPF＝∠MDC，∠MPC＝∠CDE＝eq\f(1,2)∠BAC即可．證明：∵AF平分∠BAC，BC⊥AF，∴∠BAE＝∠CAE＝eq\f(1,2)∠BAC，CE＝BE.∵CE⊥AE，AE＝ED，∴AC＝CD.∴∠CDE＝∠CAE＝eq\f(1,2)∠BAC.∵BC⊥AF，CE＝BE，∴CM＝BM.∴∠CMA＝∠BMA.又∵∠BMA＝∠PMF，∴∠CMD＝∠PMF.又∵∠F＝∠MCD，∠MPF＝180°－(∠F＋∠PMF)，∠MDC＝180°－(∠MCD＋∠CMD)，∴∠MPF＝∠MDC.∴∠MPC＝∠CDE＝∠CAE＝eq\f(1,2)∠BAC.∴∠BAC＝2∠MPC.?類型之四證明線段的倍分關(guān)系6．如圖6－ZT－6，在△ABC中，AB＝AC，點(diǎn)E為BC上一點(diǎn)，ED⊥BC于點(diǎn)E，交CA的延長線于點(diǎn)F，求證：AD＝AF.圖6－ZT－6[解析]方法一：由AB＝AC，根據(jù)等邊對等角的性質(zhì)，可得∠B＝∠C.又由DE⊥BC，根據(jù)等角的余角相等和對頂角相等，可得∠F＝∠ADF，又由等角對等邊，可證得AD＝AF.圖ZT－6－4方法二：過點(diǎn)A作AG⊥BC，由等腰三角形的“三線合一”可得∠BAG＝∠CAG.再由平行線的性質(zhì)證明∠F＝∠CAG，∠ADF＝∠BAG.進(jìn)而可得結(jié)論．證明：(方法一)∵AB＝AC，∴∠B＝∠C.∵DE⊥BC，∴∠C＋∠F＝90°，∠B＋∠BDE＝90°.∴∠F＝∠BDE.∵∠ADF＝∠BDE，∴∠F＝∠ADF.∴AD＝AF.(方法二)如圖ZT－6－4，過點(diǎn)A作AG⊥BC于點(diǎn)G，∵AB＝AC，∴∠BAG＝∠CAG.(等腰三角形“三線合一”)∵AG⊥BC，ED⊥BC，∴AG∥EF.∴∠F＝∠CAG，∠ADF＝∠BAG.∴∠F＝∠ADF.∴AD＝AF.7．[2013·五河期末改編]如圖6－ZT－7所示，過等邊三角形ABC的邊AB上一點(diǎn)P，作PE⊥AC于點(diǎn)E.Q為BC延長線上一點(diǎn)，且PA＝CQ，連接PQ交AC邊于點(diǎn)D.求證：(1)PD＝DQ；(2)DE＝eq\f(1,2)AC.圖6－ZT－7[解析](1)過點(diǎn)P作BC的平行線交AC于點(diǎn)F，通過證明△PDF和△QDC全等，可推出PD＝DQ；(2)由△APF是等邊三角形和PE⊥AC，可推出AE＝EF＝eq\f(1,2)AF.由△PDF和△QDC全等，可得出FD＝CD＝eq\f(1,2)FC，進(jìn)而可得DE的長．證明：(1)過點(diǎn)P作PF∥BC，交AC于點(diǎn)F.圖ZT－6－5∵△ABC是等邊三角形，∴∠B＝∠ACB＝60°.又∵PF∥BC，∴∠APF＝∠AFP＝∠B＝∠ACB＝60°.∴△APF是等邊三角形．∴PA＝AF＝PF.又∵PA＝CQ，∴PF＝CQ.∵PF∥BC，∴∠FPD＝∠Q.在△PFD和△QCD中，∵eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠FPD＝∠Q，,∠PDF＝∠QDC，,PF＝QC，))∴△PDF≌△QDC.(AAS)∴PD＝QD.(2)由(