9.1.2分層隨機(jī)抽樣學(xué)習(xí)任務(wù)1．通過(guò)實(shí)例，了解分層隨機(jī)抽樣的特點(diǎn)和適用范圍．(數(shù)學(xué)抽象)2．了解分層隨機(jī)抽樣的必要性，掌握各層樣本量比例分配的方法．(數(shù)據(jù)分析)3．結(jié)合具體實(shí)例，掌握分層隨機(jī)抽樣的樣本均值．(數(shù)學(xué)運(yùn)算)假設(shè)某地區(qū)有高中生2400人，初中生10900人，小學(xué)生11000人．此地區(qū)教育部門為了了解本地區(qū)中小學(xué)生的近視情況及其形成原因，要從本地區(qū)的中小學(xué)生中抽取1%的學(xué)生進(jìn)行調(diào)查．你認(rèn)為應(yīng)當(dāng)怎樣抽取樣本才合理？知識(shí)點(diǎn)1分層隨機(jī)抽樣的相關(guān)概念1．分層隨機(jī)抽樣的定義：一般地，按一個(gè)或多個(gè)變量把總體劃分成若干個(gè)子總體，每個(gè)個(gè)體屬于且僅屬于一個(gè)子總體，在每個(gè)子總體中獨(dú)立地進(jìn)行簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣，再把所有子總體中抽取的樣本合在一起作為總樣本，這樣的抽樣方法稱為分層隨機(jī)抽樣，每一個(gè)子總體稱為層．2．比例分配：在分層隨機(jī)抽樣中，如果每層樣本量都與層的大小成比例，那么稱這種樣本量的分配方式為比例分配．知識(shí)點(diǎn)2分層隨機(jī)抽樣中的總體平均數(shù)與樣本平均數(shù)1．在分層隨機(jī)抽樣中，如果總體分為2層，兩層包含的個(gè)體數(shù)分別為M，N，兩層抽取的樣本量分別為m，n，兩層的樣本平均數(shù)分別為x，y，兩層的總體平均數(shù)分別為X，Y，則樣本平均數(shù)w＝mm+2．在比例分配的分層隨機(jī)抽樣中，我們可以直接用樣本平均數(shù)w估計(jì)總體平均數(shù)W.即MM分層隨機(jī)抽樣適合于什么樣的總體？思考[提示]當(dāng)總體是由差異明顯的幾部分組成時(shí)，用分層隨機(jī)抽樣.1．某校有高一學(xué)生400人，高二學(xué)生380人，高三學(xué)生220人，現(xiàn)教育局督導(dǎo)組擬采用分層隨機(jī)抽樣的方法抽取50名學(xué)生進(jìn)行問(wèn)卷調(diào)查，則高一學(xué)生應(yīng)抽取________人．20[高一學(xué)生應(yīng)抽取50×2．為了解我國(guó)13歲男孩的平均身高，從北方抽取了300個(gè)男孩，平均身高為1.60m；從南方抽取了200個(gè)男孩，平均身高為1.50m．由此可估計(jì)我國(guó)13歲男孩的平均身高為_(kāi)_______m．1.56[這500名13歲男孩的平均身高是1.6×300+類型1對(duì)分層隨機(jī)抽樣概念的理解【例1】(1)某政府機(jī)關(guān)在編人員共100人，其中副處級(jí)以上干部10人，一般干部70人，工人20人，上級(jí)部門為了了解該機(jī)關(guān)對(duì)政府機(jī)構(gòu)改革的意見(jiàn)，要從中抽取20人，則下列方法最合適的是()A．抽簽法 B．隨機(jī)數(shù)法C．簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣法 D．分層隨機(jī)抽樣法(2)分層隨機(jī)抽樣又稱類型抽樣，即將相似的個(gè)體歸入一類(層)，然后每類抽取若干個(gè)個(gè)體構(gòu)成樣本，所以分層隨機(jī)抽樣為保證每個(gè)個(gè)體等可能抽樣，必須進(jìn)行()A．每層等可能抽樣B．每層可以不等可能抽樣C．所有層按同一抽樣比等可能抽樣D．所有層抽取的個(gè)體數(shù)量相同(1)D(2)C[(1)總體由差異明顯的三部分構(gòu)成，應(yīng)選用分層隨機(jī)抽樣法．(2)保證每個(gè)個(gè)體等可能的被抽取是三種基本抽樣方式的共同特征，為了保證這一點(diǎn)，分層隨機(jī)抽樣時(shí)必須在所有層都按同一抽樣比等可能抽?。甝使用分層隨機(jī)抽樣的前提分層隨機(jī)抽樣的使用前提條件是總體可以分層、層與層之間有明顯區(qū)別，而層內(nèi)個(gè)體間差異較小．[跟進(jìn)訓(xùn)練]1．下列問(wèn)題中，最適合用分層隨機(jī)抽樣抽取樣本的是()A．從10名同學(xué)中抽取3人參加座談會(huì)B．某社區(qū)有500個(gè)家庭，其中高收入的家庭125戶，中等收入的家庭280戶，低收入的家庭95戶，為了了解生活購(gòu)買力的某項(xiàng)指標(biāo)，要從中抽取一個(gè)容量為100戶的樣本C．從1000名工人中，抽取100人調(diào)查上班途中所用時(shí)間D．從生產(chǎn)流水線上，抽取樣本檢查產(chǎn)品質(zhì)量B[A中總體所含個(gè)體無(wú)差異且個(gè)數(shù)較少，適合用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣；C和D中總體所含個(gè)體無(wú)差異且個(gè)數(shù)較多，不適合用分層隨機(jī)抽樣；B中總體所含個(gè)體差異明顯，適合用分層隨機(jī)抽樣．]類型2分層隨機(jī)抽樣的應(yīng)用【例2】某學(xué)校有在職人員160人，其中行政人員有16人，教師有112人，后勤人員有32人．教育部門為了了解在職人員對(duì)學(xué)校機(jī)構(gòu)改革的意見(jiàn)，要從中抽取一個(gè)容量為20的樣本，請(qǐng)利用分層隨機(jī)抽樣的方法抽取，寫出抽樣過(guò)程．[解]抽樣過(guò)程如下：第一步，確定抽樣比，樣本容量與總體容量的比為20160第二步，確定分別從三類人員中抽取的人數(shù)，從行政人員中抽取16×18＝2(人)；從教師中抽取112×18＝14(人)；從后勤人員中抽取32×第三步，采用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的方法，抽取行政人員2人，教師14人，后勤人員4人．第四步，把抽取的個(gè)體組合在一起構(gòu)成所需樣本．1．分層隨機(jī)抽樣的相關(guān)計(jì)算的2個(gè)關(guān)系(1)樣本容量n(2)總體中某兩層的個(gè)體數(shù)之比等于樣本中這兩層抽取的個(gè)體數(shù)之比．2．分層隨機(jī)抽樣的步驟第一步，按某種特征將總體分成若干部分(層)；第二步，計(jì)算各層所占比例；第三步，計(jì)算各層抽取的個(gè)體數(shù)；第四步，按簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣從各層抽取樣本；第五步，綜合每層抽樣，組成總樣本．[跟進(jìn)訓(xùn)練]2．(1)交通管理部門為了解機(jī)動(dòng)車駕駛員(簡(jiǎn)稱駕駛員)對(duì)某新法規(guī)的知曉情況，對(duì)甲、乙、丙、丁四個(gè)社區(qū)做分層隨機(jī)抽樣調(diào)查，假設(shè)四個(gè)社區(qū)駕駛員的總?cè)藬?shù)為N，其中甲社區(qū)有駕駛員96人．若在甲、乙、丙、丁四個(gè)社區(qū)抽取駕駛員的人數(shù)分別為12，21，25，43，則這四個(gè)社區(qū)駕駛員的總?cè)藬?shù)N為()A．101B．808C．1212D．2012(2)將一個(gè)總體分為A，B，C三層，其個(gè)體數(shù)之比為5∶3∶2．若用分層隨機(jī)抽樣方法抽取容量為100的樣本，則應(yīng)從C中抽取________個(gè)個(gè)體．(1)B(2)20[(1)因?yàn)榧咨鐓^(qū)有駕駛員96人，并且在甲社區(qū)抽取的駕駛員的人數(shù)為12，所以四個(gè)社區(qū)抽取駕駛員的比例為1296＝18(2)∵A，B，C三層個(gè)體數(shù)之比為5∶3∶2，總體中每個(gè)個(gè)體被抽到的可能性相等，∴分層隨機(jī)抽樣應(yīng)從C中抽取100×210類型3分層隨機(jī)抽樣中的平均數(shù)【例3】某校有初中、高中兩個(gè)部門，其中初中有學(xué)生850人，高中有學(xué)生650人，小軍想要進(jìn)行一個(gè)視力調(diào)查，對(duì)學(xué)校按部門進(jìn)行按比例分配分層隨機(jī)抽樣，得到初中生、高中生平均視力分別為1.0，0.8，其中樣本量為60，則在初中部、高中部各抽取多少人？整個(gè)學(xué)校平均視力是多少？[解]初中部抽取人數(shù)為60×850850高中部抽取人數(shù)為60×650850學(xué)校平均視力為3460×1.0＋2660×0.8≈所以在初中部、高中部各抽取34，26人，學(xué)校平均視力約為0.91．樣本的平均數(shù)和各層的樣本平均數(shù)的關(guān)系為：w＝m[跟進(jìn)訓(xùn)練]3．通過(guò)分層隨機(jī)抽樣的方法估測(cè)某校高三年級(jí)全體學(xué)生的身高水平，抽取總樣本量為100，抽取的男生的平均身高為170cm，抽取的女生的平均身高為160cm，估測(cè)得到高三全體學(xué)生的平均身高為166cm，則抽取總樣本量中男生、女生人數(shù)分別為()A．60，40 B．70，30C．80，20 D．90，10A[設(shè)抽取的總樣本量中男生、女生人數(shù)分別為m,n，則由題意可得m100×1701．某學(xué)校為了了解三年級(jí)、六年級(jí)、九年級(jí)這三個(gè)年級(jí)之間的學(xué)生的作業(yè)負(fù)擔(dān)情況，擬從這三個(gè)年級(jí)中按人數(shù)比例抽取部分學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，則最合理的抽樣方法是()A．抽簽法 B．簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣C．分層隨機(jī)抽樣 D．隨機(jī)數(shù)法C[根據(jù)年級(jí)不同產(chǎn)生差異及按人數(shù)比例抽取易知應(yīng)為分層隨機(jī)抽樣．]2．某學(xué)校高一年級(jí)有300名男生，200名女生，通過(guò)分層隨機(jī)抽樣的方法調(diào)查數(shù)學(xué)考試成績(jī)，抽取總樣本量為50，男生平均成績(jī)?yōu)?20分，女生平均成績(jī)?yōu)?10分，那么可以推測(cè)高一年級(jí)學(xué)生的數(shù)學(xué)平均成績(jī)約為()A．110分B．115分C．116分D．120分C[由題意可得抽取的50人中，男生為30人，女生為20人，所以樣本平均數(shù)w＝3．(多選)某公司生產(chǎn)三種型號(hào)的轎車，產(chǎn)量分別為1200輛，6000輛和2000輛，為檢驗(yàn)該公司的產(chǎn)品質(zhì)量，公司質(zhì)監(jiān)部門要抽取46輛進(jìn)行檢驗(yàn)，則()A．應(yīng)采用分層隨機(jī)抽樣法抽取B．應(yīng)采用抽簽法抽取C．三種型號(hào)的轎車依次抽取6輛、30輛、10輛D．這三種型號(hào)的轎車，每一輛被抽到的概率都是相等的ACD[由于總體按型號(hào)分為三個(gè)子總體，所以應(yīng)采用分層隨機(jī)抽樣法抽取，A正確；設(shè)三種型號(hào)的轎車依次抽取x輛、y輛、z輛，則有x1200＝所以三種型號(hào)的轎車依次抽取6輛、30輛、10輛，故C正確；由分層隨機(jī)抽樣的定義可知D正確．]4．某工廠甲、乙、丙三個(gè)車間生產(chǎn)了同一種產(chǎn)品，數(shù)量分別為120件，80件，60件．為了解它們的產(chǎn)品質(zhì)量是否存在顯著差異，用比例分配的分層隨機(jī)抽樣的方法抽取了一個(gè)容量為n的樣本進(jìn)行調(diào)查，其中從丙車間的產(chǎn)品中抽取了3件，則n等于________．13[∵360＝n120+回顧本節(jié)知識(shí)，自主完成以下問(wèn)題：1．在分層隨機(jī)抽樣中，總體容量、樣本容量、各層的個(gè)體數(shù)、各層抽取的樣本數(shù)這四者之間有何關(guān)系？[提示]設(shè)總體容量為N，樣本容量為n，第i(i＝1，2，…，k)層的個(gè)體數(shù)為Ni，各層抽取的樣本數(shù)為ni，則niN2．簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣與分層隨機(jī)抽樣有何區(qū)別與聯(lián)系？[提示]類別共同點(diǎn)各自特點(diǎn)相互聯(lián)系適用范圍簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣抽樣過(guò)程中每個(gè)個(gè)體被抽到的可能性相等從總體中逐個(gè)抽取—總體中的個(gè)體數(shù)較少分層隨機(jī)抽樣將總體分成幾層，分層進(jìn)行抽取在各層抽樣時(shí)采用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣總體由存在明顯差異的幾部分組成3．如何用分層隨機(jī)抽樣中的樣本平均數(shù)估計(jì)總體平均數(shù)？[提示]可以用M×課時(shí)分層作業(yè)(三十八)分層隨機(jī)抽樣一、選擇題1．要完成下列兩項(xiàng)調(diào)查：(1)某社區(qū)有100戶高收入家庭，210戶中等收入家庭，90戶低收入家庭，從中抽取100戶調(diào)查有關(guān)消費(fèi)購(gòu)買力的某項(xiàng)指標(biāo)；(2)從某中學(xué)高二年級(jí)的10名體育特長(zhǎng)生中抽取3人調(diào)查學(xué)習(xí)情況．應(yīng)采用的抽樣方法分別是()A．(1)用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣，(2)用分層隨機(jī)抽樣B．(1)用分層隨機(jī)抽樣，(2)用其他抽樣方法C．(1)用分層隨機(jī)抽樣，(2)用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣D．(1)(2)都用分層隨機(jī)抽樣C[(1)中收入差距較大，采用分層隨機(jī)抽樣較合適；(2)中總體個(gè)數(shù)較少，采用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣較合適．]2．北京2022年冬奧會(huì)吉祥物“冰墩墩”和冬殘奧會(huì)吉祥物“雪容融”很受歡迎，現(xiàn)工廠決定從20只“冰墩墩”，15只“雪容融”和10個(gè)北京2022年冬奧會(huì)會(huì)徽中，采用按比例分配的分層隨機(jī)抽樣的方法，抽取一個(gè)容量為n的樣本進(jìn)行質(zhì)量檢測(cè)，若“冰墩墩”抽取了4只，則n為()A．3B．2C．5D．9D[n203．“互聯(lián)網(wǎng)＋”時(shí)代，全民閱讀的內(nèi)涵已然多元化，某校為了解高中學(xué)生的閱讀情況，從該校1800名高一學(xué)生中，采用分層隨機(jī)抽樣的方法抽取一個(gè)容量為200的樣本進(jìn)行調(diào)查，其中女生有88人．則該校高一男生共有()A．1098人 B．1008人C．1000人 D．918人B[設(shè)該校高一男生有x人．法一：由題意可得881800-x法二：1800-x18004．某班45名同學(xué)都參加了立定跳遠(yuǎn)和100米跑兩項(xiàng)體育學(xué)業(yè)水平測(cè)試，立定跳遠(yuǎn)和100米跑合格的人數(shù)分別為30和35，兩項(xiàng)都不合格的人數(shù)為5．現(xiàn)從這45名同學(xué)中按測(cè)試是否合格分層(分成兩項(xiàng)都合格、僅立定跳遠(yuǎn)合格、僅100米跑合格、兩項(xiàng)都不合格四種)抽出9人進(jìn)行復(fù)測(cè)，那么抽出來(lái)復(fù)測(cè)的同學(xué)中兩項(xiàng)都合格的有()A．1人B．2人C．5人D．6人C[設(shè)這兩項(xiàng)成績(jī)均合格的人數(shù)為x，則立定跳遠(yuǎn)合格但100米跑不合格的人數(shù)為30－x，則30－x＋35＋5＝45，得x＝25，即這兩項(xiàng)成績(jī)均合格的有25人，則抽出來(lái)復(fù)測(cè)的同學(xué)中兩項(xiàng)都合格的有9×25455．(多選)某旅行社分年齡段統(tǒng)計(jì)了某景區(qū)5月份的老、中、青旅客的人數(shù)比為5∶2∶3，現(xiàn)使用分層隨機(jī)抽樣的方法從這些旅客中隨機(jī)抽取n名，若青年旅客抽到60人，則下列說(shuō)法正確的是()A．老年旅客抽到150人B．中年旅客抽到40人C．n＝200D．被抽到的老年旅客和中年旅客人數(shù)之和超過(guò)200BC[因?yàn)槔?、中、青旅客的人?shù)比為5∶2∶3，青年旅客抽到60人，所以60n＝35+中年旅客抽到200×25+2二、填空題6．一支田徑隊(duì)有男、女運(yùn)動(dòng)員98人，其中男運(yùn)動(dòng)員有56人．按男、女比例用分層隨機(jī)抽樣的方法，從全體運(yùn)動(dòng)員中抽出一個(gè)容量為28的樣本，那么應(yīng)抽取女運(yùn)動(dòng)員的人數(shù)是________．12[抽取女運(yùn)動(dòng)員的人數(shù)為98-56987．為了解某地區(qū)對(duì)中小學(xué)生“雙減”政策的落實(shí)情況，現(xiàn)采用分層隨機(jī)抽樣的方法從該地區(qū)24所小學(xué)，18所初中，12所校外培訓(xùn)機(jī)構(gòu)中抽取9所進(jìn)行調(diào)查，則應(yīng)抽取初中________所．3[抽取初中9×18248．某分層隨機(jī)抽樣中，有關(guān)數(shù)據(jù)如下：層數(shù)樣本量平均數(shù)第1層453第2層354此樣本的平均數(shù)為_(kāi)_______．3.4375[w＝三、解答題9．為了了解全區(qū)科級(jí)干部“黨風(fēng)廉政知識(shí)”的學(xué)習(xí)情況，按照分層隨機(jī)抽樣的方法，從全區(qū)320名正科級(jí)干部和1280名副科級(jí)干部中抽取40名科級(jí)干部預(yù)測(cè)全區(qū)科級(jí)干部“黨風(fēng)廉政知識(shí)”的學(xué)習(xí)情況．現(xiàn)將這40名科級(jí)干部分為正科級(jí)干部組和副科級(jí)干部組，利用同一份試卷分別進(jìn)行預(yù)測(cè)．經(jīng)過(guò)預(yù)測(cè)后，兩組各自將預(yù)測(cè)成績(jī)統(tǒng)計(jì)分析如下表：分組人數(shù)平均成績(jī)正科級(jí)干部組a80副科級(jí)干部組b70(1)求a，b；(2)求這40名科級(jí)干部預(yù)測(cè)成績(jī)的平均分x.[解](1)樣本量與總體中的個(gè)體數(shù)的比為40320則抽取的正科級(jí)干部人數(shù)a＝320×140副科級(jí)干部人數(shù)b＝1280×140＝3(2)這40名科級(jí)干部預(yù)測(cè)成績(jī)的平均分x＝8010．(多選)某高中3000名學(xué)生均已接種某疫苗，現(xiàn)按照高一、高二、高三學(xué)生人數(shù)的比例用分層隨機(jī)抽樣方法，抽取一個(gè)容量為150的樣本，并調(diào)查他們接種疫苗的情況，所得數(shù)據(jù)如表：年級(jí)高一高二高三只接種第一、二劑疫苗人數(shù)504445接種第一、二、三劑疫苗人數(shù)0110則下列判斷正確的是()A．該校高一、高二、高三的學(xué)生人數(shù)比為10∶9∶11B．該校高三學(xué)生的人數(shù)比高一人數(shù)多50C．估計(jì)該校高三接種第三劑疫苗的人數(shù)為200D．估計(jì)該校學(xué)生中第三劑疫苗的接種率不足8%ACD[由表可知，該校高一、高二、高三的學(xué)生人數(shù)比為50∶45∶55，即10∶9∶11，A正確；高三學(xué)生人數(shù)為3000×55150＝1100人，高一學(xué)生人數(shù)為3000×50150＝1000人，故高三學(xué)生的人數(shù)比高一人數(shù)多1100－1000＝100人，故B錯(cuò)誤；高三接種第三劑疫苗的人數(shù)約為3000×10150＝200人，C正確；該校學(xué)生中第三劑疫苗的接種率約為1111．(多選)在《九章算術(shù)》第三章“衰分”中有如下問(wèn)題：“今有甲持錢五百六十，乙持錢三百五十，丙持錢一百八十，凡三人俱出關(guān)，關(guān)稅百錢．欲以錢多少衰出之，問(wèn)各幾何？”其譯文為：今有甲持560錢，乙持350錢，丙持180錢，甲、乙、丙三人一起出關(guān)，關(guān)稅共100錢，要按照各人持錢多少的比例進(jìn)行交稅，問(wèn)三人各應(yīng)付多少稅？則下列說(shuō)法正確的是()A．甲應(yīng)付5141109B．乙應(yīng)付3224109C．丙應(yīng)付1656109D．三者中甲付的錢最多，丙付的錢最少ACD[依題意由分層隨機(jī)抽樣可知，100560則甲應(yīng)付10109乙應(yīng)付10109丙應(yīng)付1010912．某校共有2000名學(xué)生參加跑步和登山比賽，每人都參加且每人只參加其中一項(xiàng)比賽，各年級(jí)參加比賽的人數(shù)情況如下表：年級(jí)高一年級(jí)高二年級(jí)高三年級(jí)跑步人數(shù)abc登山人數(shù)xyz其中a∶b∶c＝2∶5∶3，全校參加登山的人數(shù)占總?cè)藬?shù)的14A．25B．35C．45D．55C[由題意知，全校參加跑步的人數(shù)占總?cè)藬?shù)的34，高三年級(jí)參加跑步的總?cè)藬?shù)為34×2000×31013．高一和高二兩個(gè)年級(jí)的同學(xué)參加了數(shù)學(xué)競(jìng)賽，高一年級(jí)有450人，高二年級(jí)有350人，通過(guò)分層隨機(jī)抽樣的方法抽取了160個(gè)樣本，得到兩年級(jí)的競(jìng)賽成績(jī)的平均分別為8