第六章

Kalman濾波與狀態(tài)估計(jì)

6.1引言濾波的定義濾波：從被污染的觀測(cè)信號(hào)中過(guò)濾噪聲，消除或減少噪聲影響，求未知真實(shí)信號(hào)或系統(tǒng)狀態(tài)的最優(yōu)估計(jì)。濾波問(wèn)題本質(zhì)上是統(tǒng)計(jì)最優(yōu)估計(jì)問(wèn)題，常用的最優(yōu)估計(jì)準(zhǔn)則是線性最小方差估計(jì)。

經(jīng)典濾波方法：

Wiener濾波方法和Kalman濾波方法

Wiener濾波：20世紀(jì)40年代，頻域法

缺點(diǎn)：（1）濾波器非遞推，計(jì)算量和存儲(chǔ)量大（2）針對(duì)單變量平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)（3）僅可解決定常系統(tǒng)濾波器設(shè)計(jì)問(wèn)題

Kalman濾波：20世紀(jì)60年代，狀態(tài)空間方法

優(yōu)點(diǎn)：

（1）算法遞推，計(jì)算量和存儲(chǔ)量?。?）可處理多變量非平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程濾波問(wèn)題

（3）可處理時(shí)變系統(tǒng)濾波問(wèn)題運(yùn)用：

Kalman濾波方法工程實(shí)踐中獲得廣泛的應(yīng)用，例如，應(yīng)用于制導(dǎo)、控制、GPS定位、故障診斷、多傳感器信息融合等領(lǐng)域，對(duì)國(guó)防建設(shè)起著至關(guān)重要的作用。

狀態(tài)空間方法

引入了狀態(tài)變量和狀態(tài)空間概念。狀態(tài)是比信號(hào)更廣泛、更靈活的概念

非常適合處理多變量系統(tǒng)

非常適合處理信號(hào)估計(jì)問(wèn)題

信號(hào)可視為狀態(tài)或狀態(tài)的分量，系統(tǒng)狀態(tài)變量是能體現(xiàn)系統(tǒng)特征、特點(diǎn)和狀況的變量

狀態(tài)空間方法關(guān)鍵技術(shù)：狀態(tài)空間模型

描寫(xiě)狀態(tài)變化規(guī)律的模型，它描寫(xiě)了相鄰時(shí)刻的狀態(tài)轉(zhuǎn)移變化規(guī)律。

觀測(cè)方程

描寫(xiě)對(duì)狀態(tài)進(jìn)行觀測(cè)的信息，通常含有觀測(cè)噪聲，且通常只能對(duì)部分狀態(tài)變量進(jìn)行觀測(cè)。

基于射影理論的狀態(tài)估計(jì)方法

Kalman濾波問(wèn)題在幾何上化為狀態(tài)變量在由觀測(cè)信號(hào)生成的子Hilbert空間上的射影。

經(jīng)典Kalman濾波理論重要進(jìn)展：

——白噪聲估計(jì)理論的創(chuàng)立運(yùn)用：美國(guó)學(xué)者J.M.Mendel以石油地震勘探數(shù)據(jù)處理為應(yīng)用背景，提出了動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的輸入白噪聲估值器。埋在地表下的炸藥爆炸后產(chǎn)生的地震波在地層的反射系數(shù)序列可用Bernoulli-Gaussian白噪聲來(lái)描寫(xiě)，它含有是否有油田及油田幾何形狀的重要信息。理論意義：統(tǒng)一解決白噪聲估計(jì)問(wèn)題，即解決輸入白噪聲和觀測(cè)白噪聲的估計(jì)問(wèn)題，可以從理論上解決狀態(tài)和信號(hào)估計(jì)問(wèn)題，為最優(yōu)濾波提供新方法論和新途徑，具有重大理論意義。

啟發(fā)性例1：

船舶GPS導(dǎo)航定位問(wèn)題

(具體過(guò)程見(jiàn)書(shū)95頁(yè))

系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型為

(6.1.8)(6.1.9)且稱(chēng)式(6.1.8)為狀態(tài)方程、(6.1.9)為觀測(cè)方程。于是船舶GPS導(dǎo)航定位Kalman濾波問(wèn)題是：基于GPS觀測(cè)數(shù)據(jù)求船舶在時(shí)刻處的位置的最優(yōu)估計(jì)。為了提高GPS定位精度，還可利用GPS給出的船舶運(yùn)動(dòng)速度觀測(cè)信號(hào)

即，其中為觀測(cè)噪聲，假設(shè)它是零均值，方差為獨(dú)立于和的白噪聲。此時(shí)有觀測(cè)方程

(6.1.11)其中定義

(6.1.12)于是GPS導(dǎo)航定位Kalman濾波問(wèn)題是：對(duì)系統(tǒng)式(6.1.8)和(6.1.11)求船舶位置的最優(yōu)估計(jì)。6.2射影理論Kalman濾波器是線性最小方差估值器，也叫最優(yōu)濾波器，在幾何上Kalman濾波估值可看成是狀態(tài)變量在由觀測(cè)生成的線性空間上的射影。因此射影理論是Kalman濾波推導(dǎo)的基本工具。

定義：由隨機(jī)變量的線性函數(shù)估計(jì)隨機(jī)變量，記估值為若估值極小化性能指標(biāo)則稱(chēng)為隨機(jī)變量的線性最小方差估計(jì)。推導(dǎo)線性最小方差估值定義：

稱(chēng)為方差陣

稱(chēng)為協(xié)方差陣

線性最小方差估值性質(zhì)

性質(zhì)1：無(wú)偏性，即

證：

性質(zhì)2：

與不相關(guān)

證：定義：由

引入分塊矩陣可得

張成的線性流形定義為

新息序列新息序列幾何意義

可以證明，新息序列是零均值白噪聲序列。這表明新息序列是正交（不相交）序列，通過(guò)引入新息序列實(shí)現(xiàn)了非正交（相關(guān)）隨機(jī)序列的正交化。

遞推射影公式

6.3Kalman濾波器和預(yù)報(bào)器

分析：由遞推射影公式(6.2.19)有遞推關(guān)系稱(chēng)為Kalman濾波器增益。對(duì)(6.3.1)兩邊取射影有從而有由(6.3.4)、假設(shè)6.3.1和假設(shè)6.3.2有由假設(shè)6.3.1、假設(shè)6.3.2和(6.3.4)有(6.3.3)成為

對(duì)(6.3.2)取射影有故有于是有

這引出新息表達(dá)式記濾波和預(yù)報(bào)估值誤差及方差陣為則由(6.3.2)和(6.3.5)有新息表達(dá)式由得為求Kalman濾波器增益，為此，求

用簡(jiǎn)化，得：定理1

系統(tǒng)(6.3.1)和(6.3.2)在假設(shè)6.3.1、假設(shè)6.3.2下，遞推Kalman濾波器為

在定理1條件下，Kalman濾波器有另一種遞推形式

初值取(6.3.7)是為了保證估值的無(wú)偏性。Kalman濾波器計(jì)算程序框圖如圖1所示。

圖1Kalman濾波計(jì)算法程序框圖

Kalman濾波器增益陣是時(shí)變的。實(shí)現(xiàn)最優(yōu)Kalman濾波器要求在每時(shí)刻計(jì)算增益陣，帶來(lái)較大計(jì)算負(fù)擔(dān)。簡(jiǎn)化Kalman濾波器增益計(jì)算的途徑是考察Kalman濾波器增益陣是否趨于常陣？

6.7

穩(wěn)態(tài)Kalman濾波最優(yōu)時(shí)變Kalman濾波器為假如增益存在極限則穩(wěn)態(tài)Kalman濾波器為考慮一維系統(tǒng)

什么條件下，濾波增益存在極限？這是穩(wěn)態(tài)

Kalman濾波器存在的問(wèn)題。由6.6.3節(jié)定理可得Kalman濾波器