第一節(jié)數(shù)學(xué)應(yīng)用與數(shù)學(xué)建模簡(jiǎn)介教學(xué)目標(biāo)：1.通過大量的實(shí)例，學(xué)生了解數(shù)學(xué)建模在現(xiàn)實(shí)生活中各個(gè)領(lǐng)域的應(yīng)用價(jià)值，體會(huì)生活中處處有數(shù)學(xué)。2.學(xué)生初步了解什么是數(shù)學(xué)模型以及數(shù)學(xué)建模的基本步驟，在具體問題中感受數(shù)學(xué)建模的解釋、判斷和預(yù)見的三大功能。3.學(xué)生感受數(shù)學(xué)之美，激發(fā)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)興趣。20世紀(jì)是科學(xué)技術(shù)突飛猛進(jìn)的時(shí)代：人類登上月球，飛向太空；科學(xué)家開始解讀遺傳密碼，開創(chuàng)了生物工程；人們發(fā)明了強(qiáng)大的高速數(shù)字電子計(jì)算機(jī)，開啟了在網(wǎng)絡(luò)上自由奔騰的新紀(jì)元。隨著科學(xué)技術(shù)的迅猛發(fā)展和社會(huì)的進(jìn)步，數(shù)學(xué)這門歷史悠久的學(xué)科的應(yīng)用已不再局限于物理、工程技術(shù)、自然科學(xué)等領(lǐng)域，而正以空前的廣度和深度向經(jīng)濟(jì)、金融、醫(yī)學(xué)、生物、地質(zhì)、環(huán)境、軍事、管理、人口、交通等新的領(lǐng)域滲透。利用數(shù)學(xué)知識(shí)研究和解決實(shí)際問題，已經(jīng)成為當(dāng)代一項(xiàng)高新技術(shù)，得到越來越廣泛的關(guān)注。不論用數(shù)學(xué)的方法在科技和生產(chǎn)領(lǐng)域解決實(shí)際問題，還是與其它學(xué)科相結(jié)合形成交叉學(xué)科，首要的和關(guān)鍵的一步就是建立恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型(簡(jiǎn)稱數(shù)學(xué)建模)，并加以計(jì)算求解。建立一個(gè)較好的數(shù)學(xué)模型，乃是解決實(shí)際問題的關(guān)鍵一步。所謂“高科技”就是一種“數(shù)學(xué)技術(shù)”。電氣工程師必須建立所要控制的生產(chǎn)過程的數(shù)學(xué)模型，用這個(gè)模型對(duì)控制裝置作出相應(yīng)的設(shè)計(jì)和計(jì)算，才能實(shí)現(xiàn)有效的過程控制!氣象工作者為了得到準(zhǔn)確的天氣預(yù)報(bào)，一刻也離不開根據(jù)氣象站、氣象衛(wèi)星匯集的氣壓、雨量、風(fēng)速等資料建立的數(shù)學(xué)模型!生理醫(yī)學(xué)專家有了藥物濃度在人體內(nèi)隨時(shí)間和空間變化的數(shù)學(xué)模型，就可以分析藥物的療效，有效地指導(dǎo)臨床用藥!城市規(guī)劃工作者需要建立一個(gè)包括人口、經(jīng)濟(jì)、交通、環(huán)境等大系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型，為領(lǐng)導(dǎo)層對(duì)城市發(fā)展規(guī)劃的決策提供科學(xué)根據(jù)!廠長(zhǎng)經(jīng)理們要是能夠根據(jù)產(chǎn)品的需求狀況、生產(chǎn)條件和成本、貯存費(fèi)用等信息，籌劃出一個(gè)合理安排生產(chǎn)和銷售的數(shù)學(xué)模型，一定可以獲得更大的經(jīng)濟(jì)效益!就是在日?；顒?dòng)如訪友、采購當(dāng)中，人們也會(huì)談?wù)撜乙粋€(gè)數(shù)學(xué)模型，優(yōu)化一下出行的路線!對(duì)于廣大的科學(xué)技術(shù)人員和應(yīng)用數(shù)學(xué)工作者來說，建立數(shù)學(xué)模型是溝通擺在面前的實(shí)際問題與他們掌握的數(shù)學(xué)工具之間聯(lián)系的一座必不可少的橋梁!教育必須反映社會(huì)的實(shí)際需要，數(shù)學(xué)建模進(jìn)入高中選修課堂，既順應(yīng)時(shí)代發(fā)展的潮流，也符合高中教育教學(xué)改革的要求。對(duì)于數(shù)學(xué)教育而言，既應(yīng)該讓學(xué)生掌握準(zhǔn)確快捷的計(jì)算方法和嚴(yán)密的邏輯推理，也需要培養(yǎng)學(xué)生用數(shù)學(xué)工具分析解決實(shí)際問題的意識(shí)和能力，傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)教學(xué)體系和內(nèi)容無疑偏重于前者，開設(shè)數(shù)學(xué)建模課程則是加強(qiáng)后者的一種嘗試。數(shù)學(xué)模型與數(shù)學(xué)建模模型是客觀實(shí)體有關(guān)屬性的模擬，陳列在櫥窗里展覽的飛機(jī)模型是參照飛機(jī)實(shí)體的形狀，嚴(yán)格按照一定的比例簡(jiǎn)縮而制成的，它的外形一定要像真正的飛機(jī)，至于它是否真的能飛則是無關(guān)緊要的；然而參加航模比賽的飛機(jī)模型則全然不同了，如果飛行性能不佳或飛不起來，外形再像飛機(jī)，也不能算是一個(gè)好模型。模型實(shí)際上是根據(jù)要實(shí)現(xiàn)的目的不同而對(duì)實(shí)體物的某些基本屬性的一種抽象。至于在飛機(jī)設(shè)計(jì)、試制過程中用到的數(shù)學(xué)模型和計(jì)算機(jī)模擬，則只要求在數(shù)量規(guī)律上真實(shí)反映飛機(jī)的飛行動(dòng)態(tài)特性，毫不涉及飛機(jī)的實(shí)體!例如：宏觀世界的電子元件電路圖、行星的運(yùn)行軌跡圖、大陸板塊排列圖，微觀世界的生物的DNA結(jié)構(gòu)圖、神經(jīng)元細(xì)胞結(jié)構(gòu)圖、分子結(jié)構(gòu)圖等，并不一定要用實(shí)物來模擬，它可以是抽象的符號(hào)、文字和數(shù)字來概括地、集中地反應(yīng)現(xiàn)實(shí)對(duì)象的某些特征，從而幫助人們迅速、有效地了解并掌握那個(gè)對(duì)象。而模型的基本特征是由構(gòu)造模型的目的決定的!我們常見的模型一般分為三類：實(shí)物模型：如玩具、照片等(如圖1)；物理模型：如風(fēng)洞中的飛機(jī)，海底的艦艇等(如圖2)；符號(hào)模型：地圖，電路圖等(如圖3)。圖1實(shí)物模型圖2物理模型圖3符號(hào)模型數(shù)學(xué)模型，作為模型的一類，也是一種抽象的模擬，是為了某些特定的目的，根據(jù)其內(nèi)在的規(guī)律，通過必要的簡(jiǎn)化假設(shè)，以數(shù)學(xué)符號(hào)、數(shù)學(xué)表達(dá)式、程序、圖形等為工具，對(duì)實(shí)際問題或?qū)嶋H課題的本質(zhì)屬性的抽象而又簡(jiǎn)潔的刻畫。數(shù)學(xué)建模是運(yùn)用數(shù)學(xué)的方法解決實(shí)際問題的一種實(shí)踐過程。即通過抽象、簡(jiǎn)化、假設(shè)、引進(jìn)變量等處理過程后，將實(shí)際問題用數(shù)學(xué)方式表達(dá)，建立起數(shù)學(xué)模型，然后運(yùn)用先進(jìn)的計(jì)算方法和計(jì)算機(jī)技術(shù)進(jìn)行求解。數(shù)學(xué)建模的三大功能：解釋，判斷和預(yù)見。例如：①利用數(shù)學(xué)建模知識(shí)對(duì)生物中孟德爾遺傳定律的“3:1”的解釋(如圖4)；豌豆是自花傳粉，且是閉花授粉的植物，自然狀態(tài)下永遠(yuǎn)是純種，豌豆有易于區(qū)分的相對(duì)性狀。他用黃色圓形豌豆(YYRR)與綠色褶皺豌豆(yyrr)雜交，這里黃色、圓形均為顯性基因，綠色、褶皺為隱性基因。實(shí)驗(yàn)結(jié)果發(fā)現(xiàn)它們的第一代全是黃色圓形豌豆(YrRr)，但用第一代黃色豌豆再次雜交后，得到的豌豆種子中，會(huì)出現(xiàn)黃色豌豆與綠色豌豆比例為3:1，圓形豌豆與褶皺豌豆的比例為3:1。圖4遺傳學(xué)的奠基人孟德爾和他的實(shí)驗(yàn)圖表②美國原子能委員會(huì)處理濃縮放射性廢物處理方法：封裝入密封性很好的堅(jiān)固圓桶中，沉入300ft(1ft=0.3048m)的海里(如圖5)；關(guān)于這種處理方法，許多生態(tài)學(xué)家和科學(xué)家們表示擔(dān)心，怕圓桶下沉到海底時(shí)與海底碰撞而發(fā)生破裂，從而造成核污染。為此，工程師們也做了大量的碰撞實(shí)驗(yàn)，建立合理的數(shù)學(xué)模型，進(jìn)行探討和論證。圖5放射性物質(zhì)實(shí)物③谷神星的預(yù)見發(fā)現(xiàn)等(如圖6)。谷神星是人們最早發(fā)現(xiàn)的第一顆小行星，由意大利人皮亞齊于1801年1月1日發(fā)現(xiàn)。圖6谷神星的發(fā)現(xiàn)1766年，德國有一位名叫提丟斯的中學(xué)數(shù)學(xué)教師，把下面的數(shù)列：3，6，12，24，48，96，192……的前面加上0，即：0，3，6，12，24，48，96，192……然后再把每個(gè)數(shù)字都加上4，就得到了下面的數(shù)列：4，7，10，16，28，52，100，196……再把每個(gè)數(shù)都除以10，最后得到：0.4，0.7，1，1.6，2.8，5.2，10，19.6……上面的數(shù)列我們可以用數(shù)列的通項(xiàng)公式刻畫為：，其中令提丟斯驚奇的是，他發(fā)現(xiàn)這個(gè)數(shù)列的每一項(xiàng)與當(dāng)時(shí)已知的六大行星（即水星、金星、地球、火星、木星、土星）到太陽的距離比例（地球到太陽的距離定為1個(gè)單位）有著一定的聯(lián)系，唯獨(dú)時(shí)還沒有發(fā)現(xiàn)相關(guān)的行星與之對(duì)應(yīng)。提丟斯的朋友，天文學(xué)家波得深知這一發(fā)現(xiàn)的重要意義，就于1772年公布了提丟斯的這一發(fā)現(xiàn)，這串?dāng)?shù)從此引起了科學(xué)家的極大重視；并被稱為提丟斯——波得定則，即：當(dāng)時(shí)，人們還沒有發(fā)現(xiàn)天王星、海王星和冥王星，以為土星就是距太陽最遠(yuǎn)的行星。1781年，英籍德國人赫歇爾在接近19.6的位置上（即數(shù)列中的第八項(xiàng)）發(fā)現(xiàn)了天王星，從此，人們就對(duì)這一定則深信不疑了。根據(jù)這一定則，在數(shù)列的第五項(xiàng)即2.8的位置上也應(yīng)該對(duì)應(yīng)一顆行星，只是現(xiàn)在還沒有被發(fā)現(xiàn)。于是，許多天文學(xué)家和天文愛好者便以極大的熱情，踏上了尋找這顆新行星的征程。1801年新年的晚上，意大利天文學(xué)家皮亞齊還在聚精會(huì)神地觀察著星空。突然，他從望遠(yuǎn)鏡里發(fā)現(xiàn)了一顆非常小的星星，正好在提丟斯——波得定則中2.8的位置上?？墒牵?dāng)皮亞齊再想進(jìn)一步觀察這顆小行星時(shí)，他卻病倒了。等到他恢復(fù)健康，再想尋找這顆小行星時(shí)，它卻不知去向了。皮亞齊沒有放棄這一偶然的機(jī)會(huì)，他認(rèn)為這可能就是人們一直沒有發(fā)現(xiàn)的那顆行星，并把它命名為“谷神星”。后來，高斯憑借他的淵博的數(shù)學(xué)知識(shí)，給出了計(jì)算行星運(yùn)行的軌道后，成功算出了“谷神星”的位置，之后還發(fā)現(xiàn)了海王星、冥王星。數(shù)學(xué)建模不僅是了解基本規(guī)律，而且，從應(yīng)用的觀點(diǎn)來看，更重要的是預(yù)測(cè)和控制所建模系統(tǒng)行為的強(qiáng)有力工具。它或能解釋某些客觀現(xiàn)象，或能預(yù)測(cè)未來的發(fā)展規(guī)律，或能為控制某一現(xiàn)象的發(fā)展提供某種意義下的最優(yōu)策略或較好策略等。數(shù)學(xué)建模的基本步驟包括：1、觀察、分析實(shí)際問題；2、抽象、簡(jiǎn)化，確定變量和參數(shù)；3、利用某種“定律”建立變量和參數(shù)之間的某種對(duì)應(yīng)關(guān)系(數(shù)學(xué)模型)；4、解析或近似地求解該數(shù)學(xué)模型；5、解釋、驗(yàn)證、預(yù)測(cè)和發(fā)現(xiàn)新現(xiàn)象；6、若能，則可應(yīng)用該數(shù)學(xué)模型，模擬(仿真)甚至預(yù)測(cè)。若不能，則回去檢查各步驟是否有差錯(cuò)，重頭再來。觀察、分析實(shí)際問題觀察、分析實(shí)際問題抽象、簡(jiǎn)化，確定變量和參數(shù)利用某種“定律”建立變量和參數(shù)之間的某種對(duì)應(yīng)關(guān)系(數(shù)學(xué)模型)解釋、驗(yàn)證、預(yù)測(cè)和發(fā)現(xiàn)新現(xiàn)象可應(yīng)用該數(shù)學(xué)模型，模擬(仿真)甚至預(yù)測(cè)通過通不過數(shù)學(xué)建模就是上述框圖多次執(zhí)行的過程。簡(jiǎn)而言之，就是合理假設(shè)，建立數(shù)學(xué)模型，求解數(shù)學(xué)模型，解釋驗(yàn)證。我們以下面簡(jiǎn)單的航行問題為例，解釋數(shù)學(xué)建模的過程。例1：甲乙兩地相距750公里，船從甲到乙順?biāo)叫行枰?0小時(shí)，從乙到甲逆水航行需要50小時(shí)，問船的速度是多少？解：用，分別表示船速和水速，可列出如下方程：可求解得到，故船速為每小時(shí)20公里。當(dāng)然真正的實(shí)際問題要遠(yuǎn)比上面的例題復(fù)雜的多，但是數(shù)學(xué)建模基本思想已經(jīng)囊括在例1當(dāng)中。首先觀察、分析實(shí)際問題(讀懂實(shí)際問題的已知，所求)；作出簡(jiǎn)化假設(shè)(船速、水速為常數(shù))；然后用符號(hào)表示有關(guān)量(用，分別表示船速和水速)；利用相應(yīng)的物理定律(勻速運(yùn)動(dòng)的距離等于速度乘以時(shí)間)，列出數(shù)學(xué)式子(二元一次方程組)；求解得到數(shù)學(xué)解答();用這個(gè)答案解釋原問題；最后還要用實(shí)際現(xiàn)象來驗(yàn)證這個(gè)結(jié)果。隨著數(shù)學(xué)向諸如經(jīng)濟(jì)、人口、生態(tài)、地質(zhì)等所謂非物理領(lǐng)域的滲透，一些交叉學(xué)科如計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)、人口控制論、數(shù)學(xué)生態(tài)學(xué)、數(shù)學(xué)地質(zhì)學(xué)等應(yīng)運(yùn)而生這里一般地說不存在作為支配關(guān)系的物理定律，當(dāng)用數(shù)學(xué)方法研究這些領(lǐng)域中的定量關(guān)系時(shí)，數(shù)學(xué)建模就成為首要的、關(guān)鍵的步驟和這些學(xué)科發(fā)展與應(yīng)用的基礎(chǔ)在這些領(lǐng)域里建立不同類型、不同方法、不同深淺程度的模型的余地相當(dāng)大，為數(shù)學(xué)建模提供了廣闊的新天地。馬克思說過：“一門科學(xué)只有成功地運(yùn)用數(shù)學(xué)時(shí)，才算達(dá)到了完善的地步”展望21世紀(jì)，數(shù)學(xué)必將大踏步地進(jìn)入所有學(xué)科，數(shù)學(xué)建模將迎來蓬勃發(fā)展的新時(shí)期。今天，在國民經(jīng)濟(jì)和社會(huì)活動(dòng)的以下諸多方面，數(shù)學(xué)建模都有著非常具體的應(yīng)用：分析與設(shè)計(jì)例如描述藥物濃度在人體內(nèi)的變化規(guī)律以分析藥物的療效；建立跨音速流和激波的數(shù)學(xué)模型，用數(shù)值模擬設(shè)計(jì)新的飛機(jī)翼型。預(yù)報(bào)與決策生產(chǎn)過程中產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)的預(yù)報(bào)、氣象預(yù)報(bào)、人口預(yù)報(bào)、經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)預(yù)報(bào)等等，都要有預(yù)報(bào)模型；使經(jīng)濟(jì)效益最大的價(jià)格策略、使費(fèi)用最少的設(shè)備維修方案，是決策模型的例子?？刂婆c優(yōu)化電力、化工生產(chǎn)過程的最優(yōu)控制、零件設(shè)計(jì)中的參數(shù)優(yōu)化，要以數(shù)學(xué)模型為前提建立大系統(tǒng)控制與優(yōu)化的數(shù)學(xué)模型，是迫切需要和十分棘手的課題。規(guī)劃與管理生產(chǎn)計(jì)劃、資源配置、運(yùn)輸網(wǎng)絡(luò)規(guī)劃、水庫優(yōu)化調(diào)度，以及排隊(duì)策略、物資管理等，都可以用數(shù)學(xué)規(guī)劃模型解決。數(shù)學(xué)建模與計(jì)算機(jī)技術(shù)的關(guān)系密不可分一方面，像新型飛機(jī)設(shè)計(jì)、石油勘探數(shù)據(jù)處理中數(shù)學(xué)模型的求解當(dāng)然離不開巨型計(jì)算機(jī)，而微型電腦的普及更使數(shù)學(xué)建模逐步進(jìn)入人們的日?；顒?dòng)。比如當(dāng)一位公司經(jīng)理根據(jù)客戶提出的產(chǎn)品數(shù)量、質(zhì)量、交貨期等要求，用手提電腦與客戶進(jìn)行價(jià)格談判時(shí)，您不會(huì)懷疑他的電腦中貯存了由公司的各種資源、產(chǎn)品工藝流程及客戶需求等數(shù)據(jù)研制的數(shù)學(xué)模型———快速報(bào)價(jià)系統(tǒng)和生產(chǎn)計(jì)劃系統(tǒng)。另一方面，以數(shù)字化為特征的信息正以爆炸之勢(shì)涌入計(jì)算機(jī)，去偽存真、歸納整理、分析現(xiàn)象、顯示結(jié)果……，計(jì)算機(jī)需要人們給它以思維的能力，這些當(dāng)然要求助于數(shù)學(xué)模型。所以把計(jì)算機(jī)技術(shù)與數(shù)學(xué)建模在知識(shí)經(jīng)濟(jì)中的作用比喻為如虎添翼，是恰如其分的。美國科學(xué)院一位院士總結(jié)了將數(shù)學(xué)科學(xué)轉(zhuǎn)化為生產(chǎn)力過程中的成功和失敗，得出了“數(shù)學(xué)是一種關(guān)鍵的、普遍的、可以應(yīng)用的技術(shù)”的結(jié)論，認(rèn)為數(shù)學(xué)“由研究到工業(yè)領(lǐng)域的技術(shù)轉(zhuǎn)化，對(duì)加強(qiáng)經(jīng)濟(jì)競(jìng)爭(zhēng)力具有重要意義”，而“計(jì)算和建模重新成為中心課題，它們是數(shù)學(xué)科學(xué)技術(shù)轉(zhuǎn)化的主要途徑。

第二節(jié)桌子能放平嗎？教學(xué)目標(biāo)：1.通過具體例子，學(xué)生掌握對(duì)具體問題進(jìn)行建模時(shí)，如何抓主要問題，作出合理的條件假設(shè)的方法。2.學(xué)生理解由具體問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型的巧妙過程，并應(yīng)用聯(lián)想、類比、化歸等重要的數(shù)學(xué)思想方法，根據(jù)已學(xué)的知識(shí)點(diǎn)——根的存在性定理，解決實(shí)際問題，體會(huì)數(shù)學(xué)知識(shí)的強(qiáng)大功能。3.培養(yǎng)學(xué)生用數(shù)學(xué)的觀點(diǎn)解釋身邊的實(shí)際問題的能力，增強(qiáng)數(shù)學(xué)的應(yīng)用意識(shí)。我們將用一個(gè)具體的例子，說明如何根據(jù)實(shí)際問題作出合理的、簡(jiǎn)化的假設(shè)，以便用數(shù)學(xué)語言確切地表示實(shí)際問題，將看似與數(shù)學(xué)無關(guān)的實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，并建立數(shù)學(xué)模型來加以解釋和給出證明。問題：將一張四條腿的方桌放在不平的地面上，不允許將桌子移到別處，但允許其繞中心旋轉(zhuǎn)，問是否總能設(shè)法使其四條腿同時(shí)落地？分析：將方桌往不平的地面上一放，在通常情況下只能做到三只腳著地、放不平穩(wěn)，然而只要稍微轉(zhuǎn)動(dòng)一下，就可以四只腳同時(shí)著地。如果上述問題不附加任何條件，答案顯然是否定的，例如方桌放在某臺(tái)階上，而臺(tái)階的寬度又比方桌的邊長(zhǎng)小，自然無法將其放平；又如地面是平的，而方桌的四條腿卻不一樣長(zhǎng)，自然也無法放平?？梢?，要想給出肯定的答案，必須附加一定的條件。基于對(duì)這些無法放平情況的分析，我們提出以下條件(假設(shè))，并在這些條件成立的前提下，證明通過旋轉(zhuǎn)適當(dāng)?shù)慕嵌缺乜墒狗阶赖乃臈l腿同時(shí)著地。假設(shè)：(1)地面為連續(xù)曲面，沿各個(gè)方向都不會(huì)出現(xiàn)間斷(沒有臺(tái)階那樣的情況)，即地面可視為數(shù)學(xué)上的連續(xù)曲面。(2)方桌的四條腿長(zhǎng)度相同，桌腿與地面接觸處可視為一個(gè)點(diǎn)，四角的連線呈正方形。(3)相對(duì)于地面的彎曲程度而言，方桌的腿是足夠長(zhǎng)的。對(duì)于桌腳的間距和桌腿的長(zhǎng)度而言，地面是相對(duì)平坦的，使桌子在任何位置至少有三只腳同時(shí)著地。(4)方桌的腿只要有一點(diǎn)接觸地面就算著地。現(xiàn)在，在上述假設(shè)條件成立之下，我們來建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型，證明桌子可以四條腿同時(shí)著地。由假設(shè)(2)和(4),方桌的四只腳的連線呈正方形，以方桌的四只腳的對(duì)稱中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立直角坐標(biāo)系，如圖1所示，方桌的四條腿分別在，，，處，且，的初始位置在軸上，而、則在軸上。當(dāng)方桌繞中心旋轉(zhuǎn)角度后，正方形轉(zhuǎn)至的位置，對(duì)角線與軸的夾角決定方桌的位置。圖1：變量圖1：變量表示桌子的位置。顯然，如果用某個(gè)變量表示桌腳與地面的豎直距離，當(dāng)這個(gè)距離為零時(shí)，就是桌腳著地了，方桌在不同位置時(shí)，四條腿到地面的距離不同，所以，桌腿到地面的距離是的函數(shù)。雖然桌子有四只腳，因而有四個(gè)距離，但是由于正方形的中心對(duì)稱性，只要設(shè)兩個(gè)距離函數(shù)就行了。記、兩角與地面的距離之和為，、兩角與地面的距離之和為，則，。由假設(shè)(1)，和都是連續(xù)函數(shù)，由假設(shè)(3)，桌子在任何位置至少三只腳著同時(shí)著地，所以對(duì)于任意的，和中至少有一個(gè)為零，即恒成立。假設(shè)當(dāng)時(shí)，，。這樣，改變椅子的位置使四只腳同時(shí)著地，就歸結(jié)為證明如下的數(shù)學(xué)命題：已知:，均為的連續(xù)函數(shù)，，，且對(duì)任意的有，證明存在某一，使。證明：將桌子旋轉(zhuǎn)，對(duì)角線與互換位置，由，可知，。構(gòu)造函數(shù)，顯然，由于，均為的連續(xù)函數(shù)，所以也是的連續(xù)函數(shù)。且有和，由閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)可知：必存在角度，，使得，即。又由于對(duì)任意的有，故。故必有。學(xué)生練習(xí)：1.如果桌子表面的形狀是長(zhǎng)方形、圓形或者是其它不規(guī)則圖形時(shí)，是否有類似的結(jié)果呢？由此，你得出什么樣的結(jié)論？2.設(shè)函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)，并且函數(shù)。證明：方程在內(nèi)至少有一個(gè)根。3.某人第一天早上7點(diǎn)從甲地出發(fā)，晚上5點(diǎn)到乙地，第二天早上9點(diǎn)從乙地出發(fā)，沿原路返回，晚上8點(diǎn)回到甲地。問：能否在兩天中該人恰好在同一時(shí)刻經(jīng)過同一地點(diǎn)？4.根的存在定理在《高等數(shù)學(xué)》以及《數(shù)學(xué)分析中》是一個(gè)十分重要的定理，它采用了“設(shè)而不求”的重要的數(shù)學(xué)思想，在有關(guān)方程的根的存在性討論以及解不等式方面中有著重要的應(yīng)用。請(qǐng)同學(xué)們課后查閱并學(xué)習(xí)根的存在性定理的一些推廣知識(shí)。

第三節(jié)商人們?cè)鯓影踩^河教學(xué)目標(biāo)：1.學(xué)生鞏固數(shù)學(xué)建模的基本步驟，熟練掌握數(shù)學(xué)建模過程中的假設(shè)條件的確定，并在教師的引導(dǎo)下，逐步將問題的條件和所求轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型中的變量表示，體會(huì)笛卡爾坐標(biāo)系的重要價(jià)值。2.通過數(shù)學(xué)方法與邏輯推理的對(duì)比，感受數(shù)學(xué)的化繁為簡(jiǎn)的轉(zhuǎn)化思想，以及數(shù)學(xué)觀點(diǎn)解決問題的巧妙，進(jìn)而，增強(qiáng)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣。3.鼓勵(lì)學(xué)生自主編題、驗(yàn)證、不斷完善題目的條件和結(jié)論，進(jìn)而錘煉學(xué)生的數(shù)學(xué)思維方式，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造性思維和發(fā)散的思想方法。示例：三名商人各帶一個(gè)仆人乘船渡河，一只小船最多只能容納二人，由他們自己劃行。當(dāng)今社會(huì)每個(gè)人都想當(dāng)王者，誰都想成為有錢人，所以就在這個(gè)問題中仆人們也想成為商人。仆人們密約，在河的任一岸，一旦仆人的人數(shù)比商人多，仆人就會(huì)聯(lián)合起來將商人殺死并搶奪其財(cái)務(wù)，但是如何乘船渡河的大權(quán)掌握在商人們手中，問商人們?nèi)绾卧O(shè)計(jì)過河順序才能讓所有人安全渡河呢？對(duì)于這類智力游戲經(jīng)過一番邏輯思索是可以找出解決辦法的。這里用數(shù)學(xué)模型求解，一是為了給出建模的示例，二是因?yàn)檫@類模型可以解決相當(dāng)廣泛的一類問題，比邏輯思索的結(jié)果容易推廣。模型的假設(shè)：小船的質(zhì)量是好的；過河的途中沒有突發(fā)情況；水流的速度正常；每個(gè)商人和隨從都會(huì)劃船；隨便兩個(gè)人都會(huì)做同一條船。安全渡河問題可以視為一個(gè)多步?jīng)Q策過程。每一步，即船由此岸駛向彼岸或從彼岸駛回此岸，都要對(duì)船上的人員（商人、仆人各幾人）作出決策，在保證安全的前提下（兩岸的仆人數(shù)都不比商人數(shù)多），在有限步內(nèi)使全部人員過河，用狀態(tài)（變量）表示某一岸的人員狀況，決策（變量）表示船上的人員狀況，可以找出狀態(tài)隨決策變化的規(guī)律。問題轉(zhuǎn)化為在狀態(tài)的允許變化范圍內(nèi)（即安全渡河條件），確定每一步的決策，達(dá)到渡河的目標(biāo)。模型構(gòu)建：記第次渡河前此岸的商人數(shù)為，仆人人數(shù)為，，，。將二維向量=(，)定義為狀態(tài)。安全渡河條件下的狀態(tài)集合稱為允許狀態(tài)集合，記作。(1)不難驗(yàn)證，對(duì)此案和彼岸都是安全的。記第次渡船上的商人數(shù)為，仆人數(shù)為。將二維向量定義為決策。允許決策集合記為，由小船的容量可知：(2)因?yàn)闉槠鏀?shù)時(shí)，船從此岸駛向彼岸，為偶數(shù)時(shí)，船由彼岸駛回此岸，所以狀態(tài)隨決策變化的規(guī)律是：(3)(3)式稱為狀態(tài)轉(zhuǎn)移律。這樣，定制安全渡河方案歸結(jié)為如下的多步?jīng)Q策模型：求決策()，使?fàn)顟B(tài)按照轉(zhuǎn)移律(3)，由初始狀態(tài)經(jīng)有限步到達(dá)狀態(tài)。模型求解：根據(jù)（1）～（3）式編一段程序用計(jì)算機(jī)求解上述多步?jīng)Q策問題是可行的。不過對(duì)于商人和仆人人數(shù)不大的簡(jiǎn)單狀況，用圖解法解這個(gè)模型更為方便。在平面坐標(biāo)系上畫出圖1那樣的方格，方格點(diǎn)表示狀態(tài)。允許狀態(tài)集合是用圓點(diǎn)標(biāo)出的10個(gè)格子點(diǎn)。允許決策是沿方格線移動(dòng)1或2格，為奇數(shù)時(shí)向左、下方移動(dòng)，為偶數(shù)時(shí)向右、上方移動(dòng)。要確定一系列的使由經(jīng)過那些圓點(diǎn)最終移至原點(diǎn)。圖1：安全渡河問題的圖解法圖1給出了一種移動(dòng)方案，經(jīng)過決策，，，，最終有。這個(gè)結(jié)果很容易翻譯成渡河方案如下：次數(shù)船行方向策略此岸最終狀態(tài)彼岸最終狀態(tài)第1次此岸到彼岸兩個(gè)仆人一起過河三個(gè)商人和一個(gè)仆人兩個(gè)仆人第2次彼岸到此岸一個(gè)仆人過河三個(gè)商人和兩個(gè)仆人一個(gè)仆人第3次此岸到彼岸兩個(gè)仆人一起過河三個(gè)商人三個(gè)仆人第4次彼岸到此岸一個(gè)仆人過河三個(gè)商和一個(gè)仆人兩個(gè)仆人第5次此岸到彼岸兩個(gè)商人一起過河一個(gè)商人和一個(gè)仆人兩個(gè)商人和兩個(gè)仆人第6次彼岸到此岸一個(gè)商人一個(gè)仆人一起過河兩個(gè)商人和兩個(gè)仆人一個(gè)商人和一個(gè)仆人第7次此岸到彼岸兩個(gè)商人一起過河兩個(gè)仆人三個(gè)商人和一個(gè)仆人第8次彼岸到此岸一個(gè)仆人過河三個(gè)仆人三個(gè)商人第9次此岸到彼岸兩個(gè)仆人一起過河一個(gè)仆人三個(gè)商人和兩個(gè)仆人第10次彼岸到此岸一個(gè)仆人過河兩個(gè)仆人三個(gè)商人和一個(gè)仆人第11次此岸到彼岸兩個(gè)仆人一起過河0人三個(gè)商人和三個(gè)仆人備注：上面的解法可能不唯一。如下圖2，提供了另外的可選擇方案。圖2：安全渡河問題的圖解法(多種方案)這里介紹的是一種規(guī)格化的方法，所建立的多步?jīng)Q策模型可以用計(jì)算機(jī)求解，從而具有推廣的意義譬如當(dāng)商人和隨從人數(shù)增加或小船的容量加大時(shí)，靠邏輯思考就困難了，而用這種模型則仍可方便地求解。大家不妨考慮四名商人各帶一個(gè)隨從的情況（小船如上，此種情況無解）。適當(dāng)?shù)卦O(shè)置狀態(tài)和決策，確定狀態(tài)轉(zhuǎn)移律，建立多步?jīng)Q策模型，是有效地解決很廣泛的一類問題的方法?！吧倘诉^河”模型適合于解決多種問題，如“傳教士與野蠻人渡河”，“印度夫妻渡河”等。這些問題本質(zhì)上都是相同的或相似的，由此可見這個(gè)趣味問題流傳的廣泛性。另外還有所謂“人狗雞米過河”問題，也是頗有趣味的，人、狗、雞、米均要渡河，船需人劃，而船上最多還可載一物，但若人不在時(shí)，狗會(huì)吃雞，雞會(huì)吃米，問如何設(shè)計(jì)安全渡河方案。我們完全可以仿照商人渡河問題建立一個(gè)多步?jīng)Q策模型，加以解決。50年代中期，由于計(jì)算機(jī)科學(xué)技術(shù)迅猛發(fā)展，出現(xiàn)了一門新興的學(xué)科，叫做“人工智能”。人工智能研究的是如何是計(jì)算機(jī)具有人類的智能，使計(jì)算機(jī)像人類那樣智能地工作，去完成那些需要人的智能才可以完成的工作。從另一個(gè)角度來說，人工智能研究如何使人的智能用計(jì)算機(jī)來實(shí)現(xiàn)。利用人工智能的方法還能證明定理(例如：平面幾何中的定理)。機(jī)器證明定理就是把人證明定理的過程通過一套符號(hào)體系，變成一系列能在計(jì)算機(jī)上實(shí)現(xiàn)的符號(hào)運(yùn)算過程，從而把人的推理演繹過程機(jī)器化。最近，人工智能的研究還在下棋方面取得巨大的成就，下國際象棋的計(jì)算機(jī)程序已達(dá)到世界冠軍水平，人們不僅將國際象棋大師們下棋的經(jīng)驗(yàn)知識(shí)和技巧變成計(jì)算機(jī)可用的規(guī)則，編進(jìn)計(jì)算機(jī)程序中去，而且計(jì)算機(jī)已達(dá)到在3分鐘內(nèi)可計(jì)算500億的步棋的速度。人們認(rèn)為，人工智能的發(fā)展將對(duì)人類的生活方式以及人類認(rèn)識(shí)自己的方式產(chǎn)生巨大而深刻的影響。學(xué)生練習(xí)：1.四名商人各帶一個(gè)隨從過河，其它條件如示例，請(qǐng)你設(shè)計(jì)一種安全過河方案。如果沒有合理方案，請(qǐng)你試著調(diào)整盡可能少的某些條件，自編一道能夠求解安全方案的題目，并給出具體渡河方案。2.夫妻過河問題：有3對(duì)夫妻過河，船最多能載2人，條件是任一女子不能在其丈夫不在的情況下與其他男子在一起，如何安排三對(duì)夫妻過河？若船最多能載3人，5對(duì)夫妻能否過河？

第四節(jié)對(duì)策模型教學(xué)目標(biāo)：1.學(xué)生了解競(jìng)爭(zhēng)的數(shù)學(xué)模型——對(duì)策模型及其在各領(lǐng)域中的應(yīng)用,并理解并樹立“從最壞的可能中爭(zhēng)取最好的結(jié)果”的理性思考觀，掌握零和對(duì)策、非零和對(duì)策、納什均衡解等問題的模型建立方法及分析理念。2.通過數(shù)學(xué)原理在各個(gè)領(lǐng)域中的應(yīng)用，學(xué)生感受數(shù)學(xué)的價(jià)值，并培養(yǎng)“以數(shù)學(xué)之眼看世界”的思維方式。3.從看似與數(shù)學(xué)毫不相關(guān)的具體實(shí)際問題入手，逐步探究、剖析其中的數(shù)學(xué)原理，并利用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問題。在此過程中，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，樹立學(xué)好數(shù)學(xué)的決定。問題的提出在人類的社會(huì)活動(dòng)中，有許多競(jìng)爭(zhēng)性活動(dòng)，小至游戲，大至商業(yè)競(jìng)爭(zhēng)乃至戰(zhàn)爭(zhēng)，在這類活動(dòng)中，有一類有如下的特點(diǎn)：競(jìng)爭(zhēng)對(duì)手可能采取的各種策略是清楚的；各方一旦選定了自己的策略，競(jìng)爭(zhēng)的結(jié)果就清楚了，競(jìng)爭(zhēng)的結(jié)果可以定量描述；競(jìng)爭(zhēng)的每一方都希望在競(jìng)爭(zhēng)中獲得最好的結(jié)果，而且十分清楚競(jìng)爭(zhēng)的對(duì)手也千方百計(jì)地要達(dá)到同樣的目的，這類活動(dòng)成為對(duì)策，下面舉幾個(gè)實(shí)際例子。一、乒乓球賽排陣甲、乙兩隊(duì)進(jìn)行乒乓球團(tuán)體賽，每隊(duì)由3名球員組成，雙方可排出3種不同的陣容，甲隊(duì)的三種陣容記為A，B，C；乙隊(duì)的3種陣容為Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ。根據(jù)以往的記錄，兩隊(duì)以不同的陣容交手的結(jié)果如表1所示：乙隊(duì)結(jié)果甲隊(duì)ⅠⅡⅢA-3-1-2B-603C51-4表1表1中的數(shù)字為雙方各種陣容下甲隊(duì)的失分?jǐn)?shù)。這次團(tuán)體賽雙方各采取什么陣容比較穩(wěn)妥？二、水雷戰(zhàn)作戰(zhàn)的一方將水雷布在敵方船只駛經(jīng)航道的海床中，當(dāng)船只駛過時(shí)由某種物理因素激發(fā)水雷爆炸導(dǎo)致船舶被毀。另一方為了防止船被炸沉，在船只駛過水道之前先用打雷艇設(shè)法激發(fā)水雷爆炸，使其失去破壞作用。為了避免水雷被掃雷艇破壞，人們?cè)O(shè)計(jì)了一種可設(shè)置計(jì)數(shù)器的水雷，可以將水雷計(jì)數(shù)器設(shè)定為，此時(shí)僅當(dāng)水雷被激發(fā)次才會(huì)爆炸。另外又設(shè)在船舶駛過之前掃雷艇只有有限的時(shí)間進(jìn)行工作，激發(fā)水雷的次數(shù)有限制，可能不足以在船駛過之前引爆水雷。我們先考慮水道中只設(shè)置一個(gè)水雷又只有一條船駛過的情形。若水雷被引爆，船被炸沉的概率為0.1。設(shè)水雷計(jì)數(shù)器可設(shè)置為1和2，在船駛過前掃雷艇最多掃雷一次，那么在雙方采取的各種不同策略的情況下，船被炸毀的概率如表2所示：水雷記數(shù)設(shè)置12掃雷次數(shù)00.10100.1表2若水雷計(jì)數(shù)器最多可設(shè)置為，在船駛過水雷的航道之前最多掃雷次，雙方各應(yīng)采取何種策略？三、田忌齊王賽馬戰(zhàn)國時(shí)期，齊王和大將田忌賽馬，雙方出3匹馬各賽一局，各方的馬根據(jù)好壞分別稱為上馬、中馬、和下馬。田忌的馬比齊王同一級(jí)的馬差，但比齊王低一級(jí)的馬好一些。若用同一級(jí)馬比賽，田忌必然連輸3局。每局的賭注為1千金，田忌要輸3千金。田忌的謀士建議田忌在賽前先探聽齊王賽馬的出場(chǎng)次序，然后用自己的下馬對(duì)齊王的上馬，用中馬對(duì)齊王的下馬，用上馬對(duì)齊王的中馬。結(jié)果負(fù)一局勝兩局贏得一千金。但若事先并不知道對(duì)方馬的出場(chǎng)次序，雙方應(yīng)取何種策略？雙方采用的賽馬出場(chǎng)次序安排及相應(yīng)的結(jié)果(田忌輸?shù)那Ы饠?shù))可由表3列出：齊王田忌上中下上下中中上下中下上下中上下上中上中下311-111上下中13-1111中上下1131-11中下上11131-1下中上1-11131下上中-111113表3兩人零和純策略對(duì)策一、對(duì)策要素從上一部分的三個(gè)實(shí)例中可以看到，對(duì)策有下列幾個(gè)要素。局中人在一場(chǎng)對(duì)策中總有參與者，他們?yōu)榱巳〉酶?jìng)爭(zhēng)的勝利，必須選擇適當(dāng)?shù)男袆?dòng)方案去對(duì)付對(duì)手。通常稱對(duì)策活動(dòng)中有權(quán)作出行動(dòng)選擇的參加者為局中人。上面的前兩個(gè)例子中，比賽雙方和戰(zhàn)爭(zhēng)雙方都是局中人，第三個(gè)例子中，田忌和齊王也是局中人。一般局中人不一定是兩個(gè)，也可以是多人。策略在對(duì)策中，局中人能夠采用的可行的行動(dòng)方案成為策略。策略的全體稱為策略集，策略集可以是有限或無限的。若策略集為有限集，稱為有限對(duì)策，否則稱為無限對(duì)策。支付當(dāng)局中人選定了自己的策略之后，競(jìng)爭(zhēng)的結(jié)果就確定了，而且該結(jié)果是量化的，對(duì)每一方而言可能是得也可能是失，一般用支付來描述量化的得失，如第三個(gè)例子中在雙方確定策略下田忌輸?shù)慕痤~即為田忌的支付。二、兩人零和絕對(duì)對(duì)策局中人只有兩個(gè)，對(duì)策中各方只能從有限的策略集中確定地選擇一種，且對(duì)策雙方的支付之和為零的對(duì)策稱為兩人零和純策略對(duì)策。支付矩陣設(shè)局中人為A和B，A有個(gè)策略，其策略集為；B有個(gè)策略，其策略集為，當(dāng)A方選擇策略，B方選擇策略時(shí)，是一個(gè)對(duì)策，又稱作一個(gè)局勢(shì)，在此局勢(shì)下，A方的支付為，B方的支付為。我們可以將在各種局勢(shì)下A方的支付用表4表示A方支付B方策略……A方策略………表4表4稱為A方的支付表，又稱為A方的支付矩陣。由兩人零和對(duì)策的定義，應(yīng)成立。B方的支付表和支付矩陣可直接從A方的支付表和支付矩陣得到，不必專門列出。若對(duì)策問題成立其中是一個(gè)與，無關(guān)的常數(shù)，此時(shí)，引入新的支付，則新的支付滿足兩人零和對(duì)策的條件。2．最優(yōu)策略與鞍點(diǎn)簡(jiǎn)記第一個(gè)例子中甲隊(duì)策略為，，，乙隊(duì)的策略為，，，甲隊(duì)的失分即為支付，甲隊(duì)的支付表由表5給出Max-3-1-2-60351-4-135Min-6-1-4表5當(dāng)甲隊(duì)采取策略時(shí)，乙隊(duì)可能采取策略，，，對(duì)甲隊(duì)而言最壞的可能支付為，若采用策略，最壞的可能支付為。若采用策略，最壞的可能支付為。根據(jù)通常的“從最壞的可能中爭(zhēng)取最好的結(jié)果”的原則，甲隊(duì)最好的可能是。即甲隊(duì)?wèi)?yīng)采取策略，失分為-1，即得1分。這個(gè)過程可以在表5中表示出來。將每一行的最大值求出后填在表的最后一列之中，然后再求這一列的最小值，用圓圈將其圈出。同樣，乙隊(duì)采用策略，，最壞的可能分別為，，。最好的結(jié)果為，即乙隊(duì)?wèi)?yīng)采取策略。這個(gè)過程可表示為取表5前三列各列的最小值，填寫在表的最后一行中，然后求出這一行的最大值，用圓圈圈出。容易發(fā)現(xiàn)，對(duì)于甲隊(duì)而言，從最壞的可能求最好的結(jié)果的原則確定應(yīng)采取策略；對(duì)乙隊(duì)而言，應(yīng)采取策略。此時(shí)，A方的支付為-1。只要甲隊(duì)選定策略，乙隊(duì)必須選擇策略，否則甲隊(duì)的支付會(huì)更小，對(duì)乙隊(duì)不利；另一方面，只要乙隊(duì)選擇了策略，甲隊(duì)必須選擇策略，否則甲隊(duì)的支付會(huì)增大，對(duì)甲隊(duì)不利。這樣，雙方的策略就會(huì)穩(wěn)定為和，不會(huì)輕易改變。我們稱局勢(shì)(,)為該對(duì)策問題的一個(gè)鞍點(diǎn)或平衡點(diǎn)。分別稱和為甲隊(duì)和乙隊(duì)的最優(yōu)策略。-1稱為(A方)對(duì)策的最優(yōu)值。關(guān)于第二個(gè)例子的策略分析需要混合策略的相關(guān)知識(shí)，比較復(fù)雜，有興趣的同學(xué)可以學(xué)習(xí)混合對(duì)策的相關(guān)知識(shí)，課下自學(xué)。兩人非零和對(duì)策一、年度財(cái)政預(yù)算問題到目前為止我們處理的都是零和對(duì)策，即一方所得恰為另一方所失的完全競(jìng)爭(zhēng)問題。然而，在自然和社會(huì)中有大量的非完全競(jìng)爭(zhēng)，即非零和對(duì)策。一個(gè)比較有趣的實(shí)例是1981年美國國會(huì)表決里里根(Reagen)總統(tǒng)年度財(cái)政預(yù)算時(shí)，民主黨和共和黨的斗爭(zhēng)。民主黨議員可以采取大體支持里根和反對(duì)里根兩種策略；共和黨議員可采取完全支持里根和與民主黨妥協(xié)兩種政策。當(dāng)時(shí)的《紐約時(shí)報(bào)》分析了兩黨采用不同的策略可能出現(xiàn)的各種結(jié)果，歸納為表6。共和黨完全支持里根妥協(xié)民主黨大體支持里根共和黨勝，民主黨避免受到譴責(zé)共和黨勝，但里根方案修正，民主黨也得分反對(duì)里根里根預(yù)算通不過，民主黨受到譴責(zé)共和黨很多項(xiàng)目被刪除，民主黨在本年度預(yù)算中看上去起主要作用表6將兩黨競(jìng)爭(zhēng)的結(jié)果量化為1～4，數(shù)字越大表明得益越多，于是有如下贏利表7.(請(qǐng)讀者思考贏利表與以前定義的支付表有什么區(qū)別)表7由于雙方的得益不完全相反，必須分別標(biāo)明。贏利表里各個(gè)括號(hào)(即贏利對(duì))中第一個(gè)數(shù)字表征民主黨的得益，第二個(gè)數(shù)字表征共和黨的得益。非零和對(duì)策的贏利表也可以簡(jiǎn)單地表示成在非零和對(duì)策中通常要確定對(duì)策的原則。本段中我們采用的是“理性原則”，即假定局中人在對(duì)策中只考慮自己的得失。我們還假設(shè)對(duì)策雙方事先不能預(yù)知對(duì)方采取什么對(duì)策，且雙方必須同時(shí)做出選擇。在這樣的假設(shè)下，我們可以將上述贏利表分為民主黨的贏利表和共和黨的贏利表，分別按從最壞可能求最好結(jié)果的最大最小方法選擇最優(yōu)策略。對(duì)民主黨，取贏利表各行元素最小值和最大值為2，見表8，即民主黨應(yīng)采取第一個(gè)策略，即大體上支持里根。Min23=2\*GB3②141表8對(duì)共和黨，取贏利表各列元素最小值的最大值2，見表9。共和黨應(yīng)采取第一種策略，完全支持里根。4321Min=2\*GB3②1表9這兩張表也可以合起來寫成表10如下：=2\*GB3②1=2\*GB3②1表10二、納什(Nash)均衡點(diǎn)——從無序市場(chǎng)中把握有序市場(chǎng)規(guī)律電影《美麗心靈》中，有人向納什提出了這樣一個(gè)問題，問題的背景如下：在一個(gè)舞會(huì)上，有兩個(gè)以上的男士，有比男士更多的魅力十足的女士，但只有一個(gè)金發(fā)女郎，男人開始邀請(qǐng)舞伴，但只能邀請(qǐng)一次，請(qǐng)一個(gè)女郎作為舞伴，所有男士更喜歡金發(fā)女郎，但有女伴比無女伴要好，如果兩個(gè)男士同時(shí)邀請(qǐng)一個(gè)女士，兩人都會(huì)被拒絕。假設(shè)你作為一個(gè)男士，你會(huì)如何邀請(qǐng)舞伴？納什對(duì)非零和對(duì)策作出了重要的貢獻(xiàn)，納什均衡就是他提出的一個(gè)重要概念。納什均衡是博弈論中最重要的概念，各種非合作博弈模型的納什均衡概念都是建立在納什均衡基礎(chǔ)之上的。假設(shè)對(duì)策雙方遵循“無悔原則“，即決策要達(dá)到雙方的策略一旦選定，任何一方擅自單方面改變自己的策略，只會(huì)導(dǎo)致自己收益的下降。當(dāng)然，我們還是假設(shè)雙方不能預(yù)知對(duì)方選取什么策略，假定雙方的選擇是同時(shí)作出的。設(shè)甲和乙進(jìn)行對(duì)策，贏利表為其中為甲得到的贏利，為乙得到的贏利。如果存在，，使得元素取到甲的贏利矩陣中它所在列元素()的最大值，取到甲的贏利矩陣中它所在行元素()的最大值；那么就稱(,)為該對(duì)策的一個(gè)納什均衡點(diǎn)。這個(gè)概念容易推廣到雙方都有多于兩個(gè)策略可供選擇的情況。為求納什均衡點(diǎn)，可對(duì)贏利表中的贏利對(duì)的第一個(gè)元素按列求出最大值，在最大元素標(biāo)上“＊”號(hào)；再對(duì)贏利對(duì)的第二個(gè)元素按行求最大值，標(biāo)上“＊”號(hào)。贏利對(duì)兩個(gè)元素同時(shí)標(biāo)有“＊”號(hào)的就是納什均衡點(diǎn)。例如有以下贏利表：用上述方法可得納什均衡點(diǎn)(有兩個(gè)“＊”號(hào)的贏利對(duì))：和是兩個(gè)納什均衡點(diǎn)。納什均衡點(diǎn)并不一定存在，例如以下贏利表所表示的對(duì)策就沒有均衡點(diǎn)。如果納什均衡點(diǎn)存在，雙方選擇它所對(duì)應(yīng)的策略，顯然符合“無悔原則”。以下是一個(gè)對(duì)策理論中著名的案例。雖然它以囚犯對(duì)策的形式出現(xiàn)，但是在經(jīng)濟(jì)學(xué)中，有很重要的應(yīng)用。囚徒困境兩人因涉嫌共同搶劫被捕，檢察官已初步掌握他們搶劫的證據(jù)，他們很可能是持槍搶劫，但檢察官未掌握持槍的足夠證據(jù)。兩人入獄后被關(guān)押在不同的牢房，避免他們串供。他們兩人面臨的情況是：如一方揭發(fā)另一方持槍，而另一方?jīng)]有揭發(fā)，揭發(fā)方因作為證人而立功，免于刑事處分，被揭發(fā)者將被判15年徒刑；如相互揭發(fā)，兩人都將被判10年徒刑；兩人都不揭發(fā)，各被判5年徒刑。他們?cè)撊绾芜x擇？?jī)汕敉降膶?duì)策可由表11刻畫。囚徒乙揭發(fā)不揭發(fā)囚徒甲揭發(fā)不揭發(fā)表11求出贏利表的納什均衡點(diǎn)：可知，兩人都應(yīng)采取揭發(fā)對(duì)方的策略。對(duì)囚徒困境問題，用最大最小收益的方法也得到同樣的結(jié)論。求最大最小收益如下：-10-15-10-15同樣得到雙方都應(yīng)揭發(fā)對(duì)方的結(jié)論。有意思的是，若雙方都采取不揭發(fā)的策略，結(jié)果是雙方都只判5年，顯然比判10年好，然而雙方不能事先互通信息，若一方不揭發(fā)，而另一方選擇揭發(fā)，不揭發(fā)方會(huì)被判15年，所以任一方都不會(huì)輕易采用不揭發(fā)的策略。如雙方可以商量，則情形就完全不同了，這種對(duì)策被稱為合作對(duì)策，是對(duì)策論的另一種研究?jī)?nèi)容。學(xué)生練習(xí)：1.甲、乙兩名兒童玩游戲，雙方可分別出拳頭(代表石頭)，手掌(代表布)，兩個(gè)手指(代筆剪刀)，規(guī)則是：剪刀贏布，布贏石頭，石頭贏剪刀，贏者得1分。若雙方所出相同為和局，均不得分，試列出兒童甲的贏得矩陣。2.今有甲、乙兩廠生產(chǎn)同一種產(chǎn)品，它們都想通過內(nèi)部改革挖掘，獲得更多的市場(chǎng)份額。已知兩廠分別都有三個(gè)策略措施。據(jù)預(yù)測(cè)，當(dāng)雙方采取不同策略措施后兩廠占有份額變動(dòng)情況如下所示：請(qǐng)你分析，理智情況下，甲、乙兩廠最可能出現(xiàn)什么策略，最大收益是多少？3.某地區(qū)有兩家電視臺(tái)，在一天的同一個(gè)黃金時(shí)間，每家各有兩套節(jié)目可供選擇播出。經(jīng)調(diào)查，兩家電視臺(tái)各種節(jié)目搭配時(shí)甲臺(tái)節(jié)目收視率如下表：乙臺(tái)節(jié)目1節(jié)目2甲臺(tái)節(jié)目A7040節(jié)目B5545甲臺(tái)節(jié)目收視率(%)表中是甲臺(tái)節(jié)目的收視率，乙臺(tái)節(jié)目的收視率可以由以下公式得到：乙臺(tái)收視率=100%-甲臺(tái)節(jié)目收視率。這里假設(shè)了該地區(qū)的居民只看這兩家電視臺(tái)，設(shè)想兩家電視臺(tái)事先都知道這張表，即他們都知道彼此選播節(jié)目后各自的收視率，并假設(shè)他們都可以隨時(shí)調(diào)整播放的節(jié)目，請(qǐng)分析這兩家電視臺(tái)會(huì)采取什么樣的節(jié)目播放對(duì)策來應(yīng)付他們之間的競(jìng)爭(zhēng)？4.練習(xí)1中，如果兩家電視臺(tái)可能播放的節(jié)目分別為四個(gè)、三個(gè)，甲臺(tái)節(jié)目收視率(%)如下表所示：乙臺(tái)節(jié)目1節(jié)目2節(jié)目3甲臺(tái)節(jié)目A704535節(jié)目B454050節(jié)目C555055節(jié)目D604550甲臺(tái)節(jié)目收視率(%)此時(shí)情況變得比較復(fù)雜，他們會(huì)采取什么樣的對(duì)策呢？5.中美貿(mào)易問題：1996年5月15日，美國政府借口中國對(duì)知識(shí)產(chǎn)權(quán)保護(hù)不力，單方面宣布：對(duì)中國出口到美國的紡織品、服裝及電子產(chǎn)品實(shí)施懲罰性關(guān)稅，涉及產(chǎn)品金額達(dá)30億美元，懲罰性稅率達(dá)100%，并于一個(gè)月后生效。當(dāng)晚，中國外經(jīng)貿(mào)部發(fā)表公告，做出了強(qiáng)烈的反應(yīng)。公告中表示：如果美國政府一意孤行，中國將實(shí)施反報(bào)復(fù)，并與美國貿(mào)易報(bào)復(fù)措施生效的同時(shí)生效。在公告中還列舉了反報(bào)復(fù)清單，報(bào)復(fù)懲罰額相當(dāng)。事實(shí)發(fā)展是：雙方都有允諾，也有威脅。由于中方反報(bào)復(fù)力度相當(dāng)，又在強(qiáng)化知識(shí)產(chǎn)權(quán)保護(hù)上作了承諾，因而，誘使美方考慮合作與不合作的得與失。雙方經(jīng)過5天的磋商，在知識(shí)產(chǎn)權(quán)問題上達(dá)成一致的同時(shí)，彼此宣布取消擬采取的貿(mào)易報(bào)復(fù)措施，避免了兩敗俱傷的結(jié)局，得到了好的結(jié)果。請(qǐng)你用數(shù)學(xué)建模的知識(shí)分析對(duì)策的理念。6.1943年2月，第二次世界大戰(zhàn)中的日本，在太平洋戰(zhàn)區(qū)已處于明顯的劣勢(shì)。為扭轉(zhuǎn)戰(zhàn)局，日軍統(tǒng)帥山本五十六大將統(tǒng)率下的一支艦隊(duì)策劃了一次軍事行動(dòng)：由集結(jié)地——南太平洋新不列顛群島的拉包爾出發(fā)，穿過卑斯麥海，開往新幾內(nèi)亞的萊城，支援困守在那里的日軍。山本五十六心中非常明白，在日本艦隊(duì)穿過卑斯麥海的3天航程中，不可能躲開盟軍的襲擊，他要謀劃的是盡可能減少損失。當(dāng)盟軍獲悉此情報(bào)以后，盟軍統(tǒng)帥麥克阿瑟即命令他麾下的太平洋戰(zhàn)區(qū)空軍司令肯尼將軍組織空中打擊。日美雙方的指揮官及參謀人員都進(jìn)行了冷靜與全面的謀劃。自然條件對(duì)于雙方來說是已知的。基本情況是：(1)從拉包爾到萊城的海上航線有南線和北線兩條，通過時(shí)間均為3天。(2)氣象預(yù)報(bào)表明，未來3天中，北線陰雨，能見度差；而南線則天氣晴好，能見度佳。局勢(shì)估計(jì)如下：局勢(shì)一：盟軍偵察機(jī)重點(diǎn)搜索北線，日本艦隊(duì)也恰好走北線。由于氣候惡劣，能見度低以及轟炸機(jī)群在南線，因而盟軍只能實(shí)施兩天有效的轟炸。局勢(shì)二：盟軍偵察機(jī)重點(diǎn)搜索北線，而日本艦隊(duì)走南線。由于發(fā)現(xiàn)晚，盡管盟軍轟炸機(jī)群在南線，但有效轟炸也只有兩天。局勢(shì)三：盟軍偵察機(jī)重點(diǎn)搜索南線，而日本艦隊(duì)走北線。由于發(fā)現(xiàn)晚，盡管盟軍轟炸機(jī)群在南線，以及北線天氣惡劣，故有效轟炸只能實(shí)施1天。局勢(shì)四：盟軍偵察機(jī)重點(diǎn)搜索南線，日本艦隊(duì)也恰好走南線。此時(shí)，日軍艦隊(duì)北迅速發(fā)現(xiàn)，盟軍轟炸機(jī)群所需航程很短，加之天氣晴好，這將使盟軍空軍在3天中皆可實(shí)施有效轟炸。歷史情況：局勢(shì)1成為事實(shí)，即肯尼將軍命令盟軍偵察機(jī)重點(diǎn)搜索北線；而山本五十六命令日本艦隊(duì)取道北線航行。盟軍飛機(jī)在1天后發(fā)現(xiàn)日本艦隊(duì)，基地在南線的盟軍轟炸機(jī)群遠(yuǎn)程飛行，在惡劣天氣中，實(shí)施了2天有效的轟炸，重創(chuàng)了日本艦隊(duì)，但未能全殲。請(qǐng)你用數(shù)學(xué)建模的知識(shí)分析、解釋策略中的理性思考。7.(斗雞博弈)兩個(gè)人舉著火柴棍從獨(dú)木橋的兩端走向中央進(jìn)行火拼，每個(gè)人都有兩種戰(zhàn)略：繼續(xù)前進(jìn)，或退下陣來。若兩個(gè)人都繼續(xù)前進(jìn)，則兩敗俱傷；若一方前進(jìn)，另一方退下來，前進(jìn)者勝利，退下來的丟了面子；若兩人都退下來，兩人都丟面子。請(qǐng)建立合理的支付矩陣，并找到納什均衡解。8.(智者博弈)豬圈里圈著兩頭豬，一頭大豬，一頭小豬。豬圈的一邊有一個(gè)豬食槽，另一邊安裝一個(gè)按鈕，按一下按鈕會(huì)有10個(gè)單位的豬食進(jìn)槽。但誰按按鈕就需要付2個(gè)單位的成本。若大豬先到，大豬吃到9個(gè)單位，小豬吃到1個(gè)單位；若同時(shí)到，大豬吃7個(gè)單位，小豬吃3個(gè)單位；若小豬先到，大豬吃6個(gè)單位，小豬吃4個(gè)單位，請(qǐng)寫出支付矩陣，并找到納什均衡解。9.兩名囚犯因涉嫌搶劫被捕，警方因證據(jù)不足將二人分關(guān)二室，并宣布：若二人均不坦白，則只能因藏有槍支而被判刑1年；若有一人坦白而另一個(gè)不坦白，則坦白者無罪釋放，不坦白者唄判刑10年；若二人都坦白，則同判9年。此二人確系搶劫犯，請(qǐng)分析他們的抉擇。若允許二人通話，那結(jié)果會(huì)怎樣？

第五節(jié)動(dòng)態(tài)規(guī)劃——多階段決策問題教學(xué)目標(biāo)：1.類比于高中階段線性規(guī)劃的知識(shí)，學(xué)生理解并掌握動(dòng)態(tài)規(guī)劃的特點(diǎn)與求解思路，能夠解決簡(jiǎn)單的多階段決策問題。2.通過運(yùn)輸路線最短問題的探究，學(xué)生學(xué)會(huì)“逆向思維”解決問題的數(shù)學(xué)方法，將復(fù)雜問題簡(jiǎn)單化，進(jìn)而找出問題的最優(yōu)解。3.通過數(shù)學(xué)建模的知識(shí)解決生活中具體的實(shí)際問題，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，培養(yǎng)學(xué)生想象能力和創(chuàng)造性的思想。動(dòng)態(tài)規(guī)劃是運(yùn)籌學(xué)的一個(gè)分支，是求解多階段決策問題的最優(yōu)化方法。動(dòng)態(tài)規(guī)劃問世以來，在經(jīng)濟(jì)管理、生產(chǎn)調(diào)度、排序、裝載等問題中，使得求解更為方便。它不像線性規(guī)劃那樣有一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)的數(shù)學(xué)表達(dá)式和明確定義的一組規(guī)則，而必須對(duì)具體問題進(jìn)行具體分析處理，需要豐富的想象力去建立模型，需要?jiǎng)?chuàng)造性的思想去求解。準(zhǔn)確地說，動(dòng)態(tài)規(guī)劃不是萬能的，它只適于解決一定條件的最優(yōu)策略問題?；蛟S，大家聽到這個(gè)結(jié)論會(huì)很失望：其實(shí)，這個(gè)結(jié)論并沒有削減動(dòng)態(tài)規(guī)劃的光輝，因?yàn)閷儆谏厦娣秶鷥?nèi)的問題極多，還有許多看似不是這個(gè)范圍中的問題都可以轉(zhuǎn)化為這類問題。這里所說的滿足一定條件，主要是指下面兩點(diǎn)：(1)狀態(tài)必須滿足最優(yōu)化原理；(2)狀態(tài)必須滿足無后效性。這條特征說明什么呢？它說明動(dòng)態(tài)規(guī)劃適于解決當(dāng)前決策和過去狀態(tài)無關(guān)的問題。狀態(tài)，出現(xiàn)在策略的任何一個(gè)未知，它的地位都是相同的，都可以實(shí)施同樣的決策。這就是無后效性的內(nèi)涵。在整個(gè)物流成本中，運(yùn)輸成本所占的比例為33%-67%，所以我們必須關(guān)注如何降低運(yùn)輸成本問題，最大化地利用運(yùn)輸設(shè)備和人員，優(yōu)化運(yùn)輸線路是降低運(yùn)輸成本的關(guān)鍵。運(yùn)輸路線決策就是找到運(yùn)輸網(wǎng)絡(luò)中的最佳路線，以盡可能縮短運(yùn)輸時(shí)間或運(yùn)輸距離，達(dá)到降低運(yùn)輸成本、改良運(yùn)輸服務(wù)的目的。這類問題中，可以按照某種方式把整個(gè)過程分成若干個(gè)互相聯(lián)系的階段，在每個(gè)階段都要求作出決策，從而使整個(gè)過程達(dá)到最佳效果。動(dòng)態(tài)規(guī)劃就是解決此類多階段決策問題的最優(yōu)方法。例題1下圖1是一個(gè)路線網(wǎng)絡(luò)圖，連線上的數(shù)字表示兩點(diǎn)之間的距離，要求尋找一條由到的路線，使距離最短，并求出最短長(zhǎng)度圖1解：對(duì)于這樣一個(gè)簡(jiǎn)單而具體的問題，可直接使用枚舉法列舉所有從A到E的路線，共14條，然后根據(jù)每條路線的距離，確定出距離最短的路線。動(dòng)態(tài)規(guī)劃的思想是：如果由到的最短路線是：，那么在上圖中從上的任何一點(diǎn)(如)到的所有路線中，最短路線必然是中的子路線(記作)。否則，若到的最短路是另一條路線，則把與連接起來，就會(huì)得到一條從到且不同于的更短的路線。根據(jù)最短路的這一特性，可以從最后一段開始，用逐步向前遞推的方法，依次求出路線上各點(diǎn)到的最短路線，最后得到到的最短路。從最后一段開始，用由后往前逐步遞推的方法，求出各點(diǎn)到點(diǎn)的最短路線，最后求得由點(diǎn)到點(diǎn)的最短路線。所以，動(dòng)態(tài)規(guī)劃的方向是從各點(diǎn)逐段向始點(diǎn)方向?qū)ふ易疃搪肪€的一種方法如下圖所示。由到只有一條路線，故距離為8。由到也只有一條路線，故距離為8?？紤]上一環(huán)節(jié)，出發(fā)點(diǎn)有，，。從出發(fā)，有兩條路徑可以選擇，一是至，一是至。由于距離為14，距離為16，故從出發(fā)到達(dá)終點(diǎn)的最優(yōu)路徑是，且距離為14。從出發(fā)，有兩條路徑可以選擇，一是至，一是至。由于距離為16，距離為12，故從出發(fā)到達(dá)終點(diǎn)的最優(yōu)路徑是且距離為12.從出發(fā)，有兩條路徑可以選擇，一是至，一是至。由于距離為20，距離為24，故從出發(fā)到達(dá)終點(diǎn)的最優(yōu)路徑是，且距離為20。再考慮前一環(huán)節(jié)，出發(fā)點(diǎn)有，，。從出發(fā)，有兩條路徑可以選擇，一是至，一是至。由于距離為28，距離為24，故從出發(fā)到達(dá)終點(diǎn)的最優(yōu)路徑是，且距離為24。從出發(fā)，有三條路徑可以選擇，一是至，一是至，一是至。由于距離為32，距離為22，距離為24，故從出發(fā)到達(dá)終點(diǎn),的最優(yōu)路徑是，且距離為22。從出發(fā)，有兩條路徑可以選擇，一是至，一是至。由于距離為18，距離為32，故從出發(fā)到達(dá)終點(diǎn)的最優(yōu)路徑是，且距離為18。再考慮最初的第一環(huán)節(jié)，出發(fā)點(diǎn)只有。從出發(fā)，有三條路徑可以選擇，一是至，一是至，一是至。由于距離為30,距離為32，距離為32.故從出發(fā)到達(dá)終點(diǎn)的最優(yōu)路徑是，并且最短距離為30.學(xué)生練習(xí)：1.下圖2、圖3是兩個(gè)路線網(wǎng)絡(luò)圖，連線上的數(shù)字表示兩點(diǎn)之間的距離，要求尋找一條由A到E的路線，使距離最短，并求出最短長(zhǎng)度。圖2圖32.對(duì)下圖4求從出發(fā)經(jīng)過，，再回到最短路線和最短總路程。圖4

第六節(jié)組合問題中的動(dòng)態(tài)規(guī)劃——背包問題教學(xué)目標(biāo)：1.學(xué)生了解組合問題中的動(dòng)態(tài)規(guī)劃背包問題的數(shù)學(xué)模型描述，并學(xué)會(huì)應(yīng)用遞推法求解滿足一定條件的一類不定方程的解。2.培養(yǎng)學(xué)生分類討論、劃歸的數(shù)學(xué)思想，理解整數(shù)條件在不定方程求極值問題中的作用。3.激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，鍛煉學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)乃季S方式。假設(shè)種不同類型的科學(xué)設(shè)備要求裝入一個(gè)登上月球的宇宙飛船中，分別編號(hào)為。設(shè)一件第類型設(shè)備的科學(xué)價(jià)值為，重量為。若整個(gè)宇宙飛船載重量的限度是，那么裝載設(shè)備科學(xué)價(jià)值最大化的模型是s.t.且為整數(shù)，，其中是所裝載第種設(shè)備的數(shù)量。由于所求的變量都是整數(shù)，問題歸結(jié)為整數(shù)規(guī)劃問題，把宇宙飛船解釋為登山旅行時(shí)，就成為背包問題。下面用遞推法求解具體問題為例加以說明。例題2用遞推法求解s.t.。，且為整數(shù)，解：考慮約束條件，，且為整數(shù)，由于的系數(shù)10比較大，接近11，所以從的選法開始考慮，它只能選0或1.當(dāng)時(shí)，可以取0,1,2，在考慮當(dāng)時(shí)，可以選0,1,2.，當(dāng)時(shí)，可以選0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11。依此類推，可得如下的可行分支圖：當(dāng)時(shí)，只可以取0，再考慮，只可以取0，再考慮，可以取0或1。分支圖如下：因此當(dāng)，時(shí)，。學(xué)生練習(xí)：1.背包問題的一個(gè)小規(guī)模的實(shí)例：物品重量?jī)r(jià)格1212美元2110美元3320美元4215美元稱重量W=5，請(qǐng)你查找價(jià)值最大的子集。2.某條街上每一公里就有一汽車站，乘車費(fèi)用如下表：公里數(shù)12345678910費(fèi)用122131404958697990101而一輛汽車從不行駛超過10公里。某人想行駛n公里，假設(shè)他可以任意次換車，請(qǐng)你幫他找到一種乘車方案使費(fèi)用最小(10公里的費(fèi)用比1公里小的情況是允許的)。

第七節(jié)貸款問題教學(xué)目標(biāo)：1.綜合運(yùn)用等差、等比數(shù)列的知識(shí)解決有關(guān)一些實(shí)際應(yīng)用問題，體會(huì)函數(shù)的觀點(diǎn)、化歸的方法在解題過程中的重要作用。2.學(xué)生理解等額本金與等額本息兩種還款方式的異同，學(xué)會(huì)建立遞推關(guān)系的數(shù)學(xué)模型，進(jìn)而利用數(shù)列的相關(guān)知識(shí)解決問題。3.體會(huì)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決現(xiàn)實(shí)生活中的實(shí)際問題的巧妙，進(jìn)而激發(fā)學(xué)習(xí)興趣，增強(qiáng)學(xué)生的應(yīng)用意識(shí)，培養(yǎng)學(xué)生分析問題和解決問題的能力。預(yù)備知識(shí)：等比數(shù)列求和公式某人想商業(yè)貸款買房，借200000，期限20年。如果按當(dāng)時(shí)的年利率6.39%，20年后一次還清的話，銀行將按月利率0.5325%的復(fù)利計(jì)算，則要還。太多了，怕還不起，所以決定每個(gè)月還一點(diǎn)錢。他有兩種還貸款方式，一種是等額本息，一種是等額本金。說明：等額本息，是在還款期內(nèi)，每月償還同等數(shù)額的貸款(包括本金和利息，其中本金遞增，利息遞減，也就是說前期還本付息月供里面本金扣得較少，利息較多)，這樣由于每月的還款額固定，可以有計(jì)劃地控制家庭收入的支出，也便于每個(gè)家庭根據(jù)自己的收入情況，確定還貸能力。等額本金，是將本金每月等額償還，然后根據(jù)剩余本金計(jì)算利息，所以初期由于本金較多，將支付較多的利息，從而使還款額在初期較多，而在隨后的時(shí)間每月遞減，這種方式的好處是，由于在初期償還較大款項(xiàng)而減少利息的支出,比較適合還款能力較強(qiáng)的家庭。兩種還款方式比較而言，同樣的金額、同樣的期限，選擇等額本金可以少支付利息，因?yàn)樗脑鹿├锩婵鄢谋窘鸩糠直鹊阮~本息這種方式多一些，那么，每還過一次后，剩余的本金越少，利息就越少了。至于選擇哪種方式，就要看個(gè)人的經(jīng)濟(jì)條件了，如果你預(yù)測(cè)辦完按揭后還有其他方面需要用錢，那么你可以選擇壓力較小的等額本息，等你把大事都辦妥了，攢些余錢到銀行申請(qǐng)部分提前還貸或者提前結(jié)清貸款，你只用還上剩余的本金就可以了(有些銀行會(huì)附加收一點(diǎn)違約金)。如果你是高收入家庭，月供只占你家庭收支的一小部分，沒什么經(jīng)濟(jì)壓力的話，可以選擇等額本金。在Internet網(wǎng)絡(luò)上有專門的網(wǎng)絡(luò)計(jì)算器：分析：貸款金額200000，貸款年數(shù)20，年利率(%)6.39%=0.0639（月利率=6.39/12%=0.5325%）。如果是上述輸入，按照等額本息計(jì)算，會(huì)見到如下結(jié)果：如果是上述輸入，按照等額本金計(jì)算，會(huì)見到如下結(jié)果：?jiǎn)栴}：請(qǐng)用數(shù)學(xué)建模的方法來回答，這兩種情況是怎么算出來的。第一種情況分析：假設(shè)月等額本息還款，20年還清。(提示：貸款模型是按月利率，按月計(jì)算的)，用符號(hào)表示，設(shè)一開始的貸款金額記為：，貸款年數(shù)記為，年利率記為，月利率記為假設(shè)每年等額還款數(shù)額均為元。問題中的變量為，，，。數(shù)學(xué)模型的建立：確定變量以及變量之間的關(guān)系，即數(shù)學(xué)模型的建立。這個(gè)月記為第個(gè)月，假設(shè)尚欠銀行的款數(shù)記為，上個(gè)月記為第個(gè)月，結(jié)余欠款記為，加上利息記為，減去這個(gè)月的還款，還欠。所以，數(shù)學(xué)模型的語言表述為：這個(gè)月的欠款等于上個(gè)月的欠款加上利息，再減去這個(gè)月的等額還款，一開始的借(欠)款已知，20年必須還清，用數(shù)學(xué)符號(hào)表示，數(shù)學(xué)模型為：，表示20年(24個(gè)月)還清貸款。求解這個(gè)數(shù)學(xué)模型只需要用到等比級(jí)數(shù)部分和的求和公式。數(shù)學(xué)模型的求解過程如下：；容易觀察出規(guī)律，并用數(shù)學(xué)歸納法證明，對(duì)于任何有由等比級(jí)數(shù)部分和的求和公式由于，即所以解釋驗(yàn)證：利用數(shù)學(xué)軟件，例如：matlab，mathematica等可以用不同的數(shù)據(jù)代入此公式得到的結(jié)果和“房貸計(jì)算器”的等額本息情況結(jié)果比較，它們是完全一致的，從而可以斷定“房貸計(jì)算器”的等額本息情況用的就是這個(gè)數(shù)學(xué)模型。第二種情況分析：假設(shè)月等額本金還款，20年還清。用符號(hào)表示，設(shè)一開始的貸款金額記為：，貸款年數(shù)記為，年利率記為，月利率記為則每年等額還款本金數(shù)額均為元。問題中的變量為，，。數(shù)學(xué)模型的建立：則還款累計(jì)支付的利息為解釋驗(yàn)證：利用數(shù)學(xué)軟件，例如：matlab，mathematica等可以用不同的數(shù)據(jù)代入此公式得到的結(jié)果和“房貸計(jì)算器”的等額本金情況結(jié)果比較，它們是完全一致的，從而可以斷定“房貸計(jì)算器”的等額本金情況用的就是這個(gè)數(shù)學(xué)模型。學(xué)生練習(xí)：1.從社會(huì)效益和經(jīng)濟(jì)效益出發(fā)，某地投入資金進(jìn)行生態(tài)環(huán)境建設(shè)，并以此發(fā)展旅游產(chǎn)業(yè)，根據(jù)規(guī)劃，本年度投入800萬元，以后每年投入將比上年減少，本年度當(dāng)?shù)芈糜螛I(yè)收入估計(jì)為400萬元，由于該項(xiàng)建設(shè)對(duì)旅游業(yè)的促進(jìn)作用，預(yù)計(jì)今后的旅游業(yè)收入每年會(huì)比上年增加。(1)設(shè)年內(nèi)(本年度為第一年)總投入萬元，旅游業(yè)總收入為萬元，寫出、的表達(dá)式。(2)至少經(jīng)過幾年，旅游業(yè)的總收入才能超過總投入？2.某地區(qū)2000年底有居民住房面積為，現(xiàn)在住房劃分為三類：其中危舊房占，新型住房占，為加快住房建立，計(jì)劃用10年的時(shí)間全部拆除危舊住房(每年拆除的數(shù)量相同)，自2001年起居民住房只建設(shè)新型住房。使得從2001年開始每年年底的新型住房面積都比上一年底增加20%，用表示第年底(2001年為第一年)該地區(qū)的居民住房總面積。(1)分別寫出，，的表達(dá)式，并歸納出的計(jì)算公式，不必證明。(2)危舊住房全部拆除后，至少再過多少年才能使該地區(qū)居民住房總面積翻兩番？(精確到年、、)3.某城市2001年末汽車保有量為30萬輛，預(yù)計(jì)伺候每年報(bào)廢上年末汽車保有量的6%,并且每年新增汽車數(shù)量相同，為保護(hù)城市環(huán)境，要求該城市汽車保有量不超過60萬輛，那么每年新增汽車數(shù)量不應(yīng)超過多少輛？4.某國采用養(yǎng)老儲(chǔ)蓄金制度，公民在就業(yè)的第一年就交納養(yǎng)老儲(chǔ)蓄金，數(shù)目為，以后每年交納的數(shù)目均比上一年增加(),因此，歷年所交納的儲(chǔ)備金數(shù)目，，…，是一個(gè)公差為的等差數(shù)列，與此同時(shí)，國家給予優(yōu)惠的計(jì)息政策，不僅采用固定利率，而且計(jì)算復(fù)利。這就是說，如果固定年利率為()，那么，在第年末，第一年所交納的儲(chǔ)備金就變?yōu)椋诙晁患{的儲(chǔ)備金就變?yōu)?，…，以表示到第年末所累積的儲(chǔ)備金總額。(1)寫出與()的遞推關(guān)系式；(2)求證：，其中是一個(gè)等比數(shù)列，是一個(gè)等差數(shù)列。5.據(jù)報(bào)道，我國森林覆蓋率逐年提高，現(xiàn)已達(dá)國土面積的14%，某林場(chǎng)去年底森林木材儲(chǔ)存量為立方米，若樹林以每年25%的增長(zhǎng)率生長(zhǎng)，計(jì)劃從今年起，每年冬天要砍伐的木材量為立方米，為了實(shí)現(xiàn)經(jīng)過20年木材儲(chǔ)存量?jī)煞哪繕?biāo)，問每年砍伐的木材量的最大值是多少？6.某企業(yè)2003年的純利潤(rùn)為500萬元，因設(shè)備老化等原因，企業(yè)的生產(chǎn)能力將逐年下降。若不能進(jìn)行技術(shù)改造，預(yù)測(cè)從今年起每年比上一年純利潤(rùn)減少20萬元，今年初該企業(yè)一次性投入資金600萬元進(jìn)行技術(shù)改造，預(yù)測(cè)在未扣除技術(shù)改造資金的情況下，第年(今年為第一年)的利潤(rùn)為萬元(為正整數(shù))。(1)設(shè)從今年起的前年，若該企業(yè)不進(jìn)行技術(shù)改造的累計(jì)純利潤(rùn)為萬元，進(jìn)行技術(shù)改造后的累計(jì)純利潤(rùn)為萬元(須扣除技術(shù)改造資金)，求、的表達(dá)式；(2)依上述預(yù)測(cè)，從今年起該企業(yè)經(jīng)過多少年，進(jìn)行技術(shù)改造后的累計(jì)純利潤(rùn)超過不進(jìn)行技術(shù)改造的累計(jì)純利潤(rùn)？

第八節(jié)分形幾何——柯克雪花面積問題教學(xué)目標(biāo)：1.學(xué)生了解分形幾何的產(chǎn)生背景以及實(shí)際意義，初步了解分形幾何的研究范圍及其發(fā)展方向。2.學(xué)生利用分形幾何的“自相擬”性，利用數(shù)列的相關(guān)知識(shí)，討論、探究柯克雪花的長(zhǎng)度和面積最大值求解方法。3.培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)美、欣賞美、感受美的思想情感，提高數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的趣味性。19世紀(jì)大數(shù)學(xué)家高斯說過：“數(shù)學(xué)是科學(xué)中的皇后”，它具有簡(jiǎn)潔美、抽象美、符號(hào)美、統(tǒng)一美、和諧美、對(duì)稱美、形式美、奇異美、有限美、神秘美等特征。美是一個(gè)困難問題的簡(jiǎn)單解答，一個(gè)復(fù)雜問題的簡(jiǎn)單答案，美在種種圖案、建筑物、衣服式樣、家具及裝飾等事物的對(duì)稱性上；美在人們對(duì)和諧、有規(guī)律的事物的喜愛以及從事物中發(fā)現(xiàn)普遍性與統(tǒng)一性的秩序和規(guī)律中。上個(gè)世紀(jì)80年代，由于電子計(jì)算機(jī)特別是圖像顯示系統(tǒng)的發(fā)展，數(shù)學(xué)的邏輯形式、結(jié)構(gòu)與證明所構(gòu)成的美才通過在計(jì)算機(jī)屏幕上顯示出結(jié)果使得數(shù)學(xué)家和門外漢都有目共睹。1967年，法國數(shù)學(xué)家蒙德爾布羅在美國《科學(xué)》雜志上發(fā)表了題為“英國的海岸線有多長(zhǎng)？統(tǒng)計(jì)自相似性和維數(shù)”的論文。在這篇論文中他指出：任何海岸線在一定意義下都是無限長(zhǎng)的，它依賴于所選取的尺度。若用1公里的尺度測(cè)量海岸線，那么小于1公里的彎曲部分就會(huì)被忽略不計(jì)。若用1米的尺度測(cè)量海岸線，那么會(huì)得到較長(zhǎng)的海岸線。因?yàn)樗鼤?huì)捕捉到一些曲折的細(xì)節(jié)。若通過衛(wèi)星觀察來測(cè)量海岸線，則一定會(huì)得出較短的長(zhǎng)度。反之，若通過蝸牛爬過的路程來測(cè)量海岸線，那么測(cè)得長(zhǎng)度必然大得驚人?？傊叨仍叫y(cè)得的海岸線長(zhǎng)度就越大。當(dāng)然在物理世界，這種越來越精細(xì)的測(cè)量過程必然會(huì)有終結(jié)。就人的限制而言，你可能會(huì)在使用1米間隔的量具后就停止測(cè)量，而物理學(xué)家可能認(rèn)為這種測(cè)量過程必會(huì)在原子層上達(dá)到一個(gè)理論的極限。但若從數(shù)學(xué)家理想化的觀點(diǎn)出發(fā)，這種越來越精細(xì)的測(cè)量過程應(yīng)該會(huì)無限進(jìn)行下去。這意味著測(cè)量結(jié)果將無限增大。也就是說，對(duì)于海岸線長(zhǎng)度這一問題并沒有確切的數(shù)學(xué)定義，而僅僅是一種選擇，甚至于這種選擇都不能看作是某個(gè)“真實(shí)”答案的近似值。1904年馮柯克考慮出一種幾何圖形，為蒙德爾布羅的不可捉摸的海岸線問題提供了理想的數(shù)學(xué)模型，我們把這個(gè)幾何圖形成為柯克島，也有稱柯克雪花，用來描述自然界中雪花形態(tài)的一種手段。這個(gè)問題的具體描述是：當(dāng)一艘太空飛船飛往地球，第一次觀測(cè)時(shí)發(fā)現(xiàn)一個(gè)正三角形島嶼(我們記其邊為);第二次觀測(cè)時(shí)，發(fā)現(xiàn)它并非正三角形，而是每邊中央三分之一處向外有一正三角形半島，形成正六邊形，第三次觀測(cè)時(shí)，發(fā)現(xiàn)原先每一小邊的中央三分之一處又都有一向外突出的半島(正三角形，如圖1)，…，把這個(gè)過程無限繼續(xù)下去，就得到著名的數(shù)學(xué)模型——柯克雪花。顯然，這個(gè)圖形的邊長(zhǎng)是無限的，面積是有限的。下面我們來研究柯克雪花的最大面積。圖1問題：如圖1，已知圖形序列{|}，其中是一個(gè)正三角形(設(shè)其邊長(zhǎng)為)；是的每邊中央的段向外作正三角形，形成正六角形；是的每邊中央的段向外作正三角形……把這個(gè)過程無限繼續(xù)下去，所形成的圖形被數(shù)學(xué)家稱為“柯克雪花”。求“柯克雪花”的最大面積是多少？解：設(shè)的邊數(shù)為，面積為，則。由于每一邊都突出一個(gè)三角形，使原來的每一邊變成4條邊，則，所以數(shù)列是一個(gè)首項(xiàng)為3，公比為4的等比數(shù)列，即。設(shè)的一條邊的長(zhǎng)為，則。因?yàn)椋詳?shù)列{}是一個(gè)首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，即。由于的面積等于的面積再加上向外突出的邊長(zhǎng)為的共個(gè)正三角形的面積，所以，即所以所以所以，“柯克雪花”的最大面積是。數(shù)學(xué)對(duì)象以形式上的對(duì)稱、和諧、簡(jiǎn)潔，總給人的觀感帶來美麗、漂亮的感受。而數(shù)學(xué)上的許多的東西，只有認(rèn)識(shí)到它的正確性，才能感覺到它的“美好”。分形幾何學(xué)已在自然界與物理學(xué)中得到了廣泛應(yīng)用。如在顯微鏡下觀察落入溶液中的一?；ǚ?，會(huì)看見它不斷地作無規(guī)則的布朗運(yùn)動(dòng)，這是花粉在大量液體分子的無規(guī)則碰撞，每秒鐘多達(dá)十億億次下表現(xiàn)的平均行為。布朗粒子的軌跡，由各種尺寸的折線連成。只要是足夠的分辨率，就可以發(fā)現(xiàn)原以為是直線段的部分，其實(shí)由大量更小尺度的折線連成。這是一種處處連續(xù)，但又處處無導(dǎo)數(shù)的曲線。數(shù)學(xué)之美妙，往往來自于“意料之外”但在“情理之中”的事物。分形在生活中的應(yīng)用十分普遍。分形理論的根本出發(fā)點(diǎn)是局部與整體的相似性。應(yīng)用于預(yù)測(cè)時(shí)，往往是由局部推及整體，探索事物的發(fā)展規(guī)律。因而分形理論在滑坡預(yù)測(cè)報(bào)中有著重要的應(yīng)用。同時(shí)，分形理論還應(yīng)用于醫(yī)學(xué)。美國克拉克森大學(xué)的研究人員發(fā)現(xiàn)，與健康細(xì)胞相比，癌細(xì)胞在外觀上具有更為顯著的分形特征。以此為據(jù)，他使用新的圖像檢測(cè)方法，對(duì)來自12位患者的300個(gè)細(xì)胞樣本進(jìn)行檢查的結(jié)果表明，其準(zhǔn)確度接近100%。據(jù)此他斷言，基于物理的方法，將達(dá)到甚至超過傳統(tǒng)生化檢測(cè)方法在單細(xì)胞水平上的檢測(cè)能力。在服飾藝術(shù)、繪畫作品、動(dòng)漫設(shè)計(jì)等方面，分形幾何也得到了廣泛的應(yīng)用。傳統(tǒng)的圖案設(shè)計(jì)受到人腦想象力的限制，而且后續(xù)的修改過程也比較繁瑣，而利用分形的自相似性，再結(jié)合計(jì)算機(jī)，可以在短時(shí)間內(nèi)構(gòu)造出千變?nèi)f化而又具有任意高分辨率的結(jié)構(gòu)的分形圖案。不止這樣，分形還可以用來描述許多其他領(lǐng)域的事物，如股票市場(chǎng)的價(jià)位變化、湍流的波動(dòng)起伏、地質(zhì)活動(dòng)、行星軌道、動(dòng)物群體行為、社會(huì)經(jīng)濟(jì)學(xué)模型、甚至音樂也可以通過圖形來表達(dá)。在當(dāng)今的社會(huì)中，分形已經(jīng)得到了廣泛的應(yīng)用，分形理論應(yīng)用的前景是不容小視的，它具有強(qiáng)大的潛力，在不久的將來必定會(huì)開闊更廣大的空間。美國物理學(xué)大師約翰·惠勒說過：今后誰不熟悉分形，誰就不能被稱為科學(xué)上的文化人。由此可見分形的重要性。學(xué)生練習(xí)：1.謝爾賓斯基海綿的生成原理為：將一個(gè)立方體沿其各個(gè)面等分為27個(gè)小立方體，舍棄位于立方體面心的六個(gè)小立方體，以及位于體心的一個(gè)小立方體。對(duì)余下的20個(gè)立方體按相同的方法逐步遞歸…如下圖2。試討論極限情況下這個(gè)小立方體的體積和表面積大小。圖22.按照分形的自相擬原理，設(shè)計(jì)一個(gè)嚴(yán)格自相擬分形集。

第九節(jié)圖論的思想解決實(shí)際問題教學(xué)目標(biāo)：1.學(xué)生學(xué)會(huì)將一類具體的實(shí)際問題抽象為圖形語言，利用圖論的思想解決現(xiàn)實(shí)中紛亂復(fù)雜的現(xiàn)實(shí)問題。2.通過漂亮的圖形和巧妙的證明，千變?nèi)f化的解題方法，增強(qiáng)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的趣味性。3.培養(yǎng)學(xué)生轉(zhuǎn)化的思想，激發(fā)學(xué)習(xí)興趣，體驗(yàn)數(shù)學(xué)建模過程的快樂。圖論是以圖為研究對(duì)象的數(shù)學(xué)分支，圖論中的圖指的是一些點(diǎn)以及連接這些點(diǎn)的線的總體。通常用點(diǎn)代表事物，用連接兩點(diǎn)的線代表事物間的關(guān)系。在自然界和人類社會(huì)的實(shí)際生活中，用圖形來描述和表示某些事物之間的關(guān)系既方便又直觀。圖論的內(nèi)容十分豐富，應(yīng)用相當(dāng)廣泛。許多學(xué)科諸如信息論、控制論、網(wǎng)絡(luò)理論、博弈論、計(jì)算機(jī)科學(xué)等，都以圖作為工具來解決實(shí)際問題和理論問題。從七橋問題談起：18世紀(jì)時(shí)，歐洲有一個(gè)風(fēng)景秀麗的小城哥尼斯堡，那里有七座橋。如圖1所示。當(dāng)時(shí)哥尼斯堡的居民中流傳著一道難題：一個(gè)人怎樣才能一次走遍七座橋，每座橋只走過一次，最后回到出發(fā)點(diǎn)？圖1瑞士數(shù)學(xué)家歐拉在1736年發(fā)表了一篇論文討論這個(gè)問題，指出這個(gè)問題無解。上面的問題可以抽象成數(shù)學(xué)圖形如下，將每一塊陸地視為點(diǎn)，陸地之間架起的橋視為線，則實(shí)際問題的圖像描述如下圖2。而一次走遍七座橋，且每座橋只走一次的問題轉(zhuǎn)化為圖形的一筆劃成問題。通過觀察發(fā)現(xiàn)能一筆畫出的圖形,一定只有一個(gè)起點(diǎn)和一個(gè)終點(diǎn)(這里要求起點(diǎn)和終點(diǎn)重合),中間經(jīng)過的每一點(diǎn)總是包含進(jìn)去的一條線和出來的一條線,這樣除起點(diǎn)和終點(diǎn)外,每一點(diǎn)都只能有偶數(shù)條線與之相連。圖2上面的結(jié)論用定理描述為：歐拉定理:如果一個(gè)網(wǎng)絡(luò)是連通的并且奇頂點(diǎn)的個(gè)數(shù)等于0或2，那么它可以一筆畫出；否則它不可以一筆畫出。顯然上面的七橋問題中奇頂點(diǎn)的個(gè)數(shù)為4，由歐拉定理可知，它不能一筆畫出，也就是不可能一次走遍七座橋，且每座橋只走一次。例題1：舉行一個(gè)國際會(huì)議，有A，B，C，D，E，F(xiàn)，G7個(gè)人。已知下列事實(shí)：A會(huì)講英語；B會(huì)講英語和漢語；C會(huì)講英語、意大利語和俄語；D會(huì)講日語和漢語；E會(huì)講德語和意大利語；F會(huì)講法語、日語和俄語；G會(huì)講法語和德語；試問這7個(gè)人應(yīng)如何排座位，才能使每個(gè)人都能和他身邊的人交談？分析：我們還是用圖來解決這個(gè)問題。依然是建立一個(gè)圖的模型，確定結(jié)點(diǎn)和邊。這里有“人和語言”，那么我們用點(diǎn)來代表人，于是點(diǎn)集合V={A，B，C，D，E，F(xiàn)，G}。對(duì)于任意的兩點(diǎn)，若有共同語言，就在它們之間連一條無向邊，如下圖3：圖3如何排座位使每個(gè)人都能和他身邊的人交談？問題轉(zhuǎn)化為在圖中找到一條“通過每個(gè)點(diǎn)一次且僅一次的回路”。而A—B—D—F—G—E—C—A即是圖中的一條回路。照這個(gè)順序排座位就可以解決問題了。例題2：設(shè)有個(gè)機(jī)場(chǎng)，每個(gè)機(jī)場(chǎng)起飛一架飛機(jī)，飛到離出發(fā)機(jī)場(chǎng)最近的另一個(gè)機(jī)場(chǎng)降落，且任何兩機(jī)場(chǎng)之間距離不相等，試證明：任一機(jī)場(chǎng)降落的飛機(jī)不能超過5架。分析：顯然，如果機(jī)場(chǎng)的個(gè)數(shù)不超過6個(gè)，其結(jié)論成立。如果機(jī)場(chǎng)的個(gè)數(shù)超過6個(gè)，我們可以將原題利用圖形化的方法轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型：平面上不存在這樣的點(diǎn)，它到六個(gè)點(diǎn)，，，，，的距離，，，，，滿足：……圖4事實(shí)上,如圖4所示，如果設(shè)點(diǎn)在其多邊形的內(nèi)部，由于，，則為不等邊三角形的最大邊，所以。同理可得：，，，，。所以+++++。顯然這是不可能的，故這樣的點(diǎn)是不存在的。如果多邊形邊數(shù)大于6，我們同樣可以證明。如果點(diǎn)在多邊形的邊上或外部，我們也同樣可證明這樣的點(diǎn)不存在。從而命題總是成立的，即任一機(jī)場(chǎng)降落的飛機(jī)不能超過5架。學(xué)生練習(xí)：1.判斷下列圖形哪些可以一筆畫出?2.(1)格尼斯堡的居民能否通過建一座新橋來找到一條可以接受的路線？如果可以，該怎么作？(2)格尼斯堡的居民能否通過建兩座新橋來找到一條可以接受的路線？如果可以，該怎么作？(3)格尼斯堡的居民能否通過拆除一座橋來找到一條可以接受的路線？如果可以，該怎么作？(4)格尼斯堡的居民能否通過拆除兩座橋來找到一條可以接受的路線？如果可以，該怎么作？3.(哈密頓環(huán)球旅行問題)如下圖5，十二面體的20個(gè)頂點(diǎn)代表世界20個(gè)城市，能否從某個(gè)城市出