專題1.5完全平方公式（知識(shí)解讀）【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.掌握完全平方公式的結(jié)構(gòu)特征，并能從廣義上理解公式中字母的含義；2.學(xué)會(huì)運(yùn)用完全平方公式進(jìn)行計(jì)算.了解公式的幾何意義，能利用公式進(jìn)行乘法運(yùn)算；3.能靈活地運(yùn)用運(yùn)算律與乘法公式簡(jiǎn)化運(yùn)算.【知識(shí)點(diǎn)梳理】知識(shí)點(diǎn)1：完全平方公式完全平方公式：兩數(shù)和(差)的平方等于這兩數(shù)的平方和加上（減去）這兩數(shù)乘積的兩倍注意：公式特點(diǎn)：左邊是兩數(shù)的和（或差）的平方，右邊是二次三項(xiàng)式，是這兩數(shù)的平方和加（或減）這兩數(shù)之積的2倍.以下是常見的變形：知識(shí)點(diǎn)2：拓展、補(bǔ)充公式；；；.【典例分析】【考點(diǎn)1：完全平方公式】【典例1】（2021春?羅湖區(qū)校級(jí)期中）運(yùn)用完全平方公式計(jì)算：（1）（3a+b）2（2）（x﹣2y）2（3）（﹣x﹣y）2（4）1992．【變式1-1】（2020春?沙坪壩區(qū)校級(jí)月考）（﹣4x﹣）2．【變式1-2】（2020春?沙坪壩區(qū)校級(jí)月考）（3a﹣b）2．【變式1-3】（2019秋?靜安區(qū)校級(jí)月考）（a+b﹣c）2．【變式1-4】（2019秋?虹口區(qū)校級(jí)月考）計(jì)算：（x﹣2y+1）2．【考點(diǎn)2：完全平方公式的幾何背景】【典例2】（2022春?阜寧縣期末）圖1，是一個(gè)長(zhǎng)為2m、寬為2n（m＞n）的長(zhǎng)方形，用剪刀沿圖中虛線（對(duì)稱軸）剪開，把它分成四塊形狀和大小都一樣的小長(zhǎng)方形，然后按圖2形式拼成一個(gè)正方形，那么中間陰影部分的面積為（）A．mn B．m2﹣n2 C．（m﹣n）2 D．（m+n）2【變式2-1】（2022春?太原期中）通過兩種不同的方法計(jì)算同一圖形的面積可以得到一個(gè)數(shù)學(xué)等式，用這種方法可得到整式乘法中的一些運(yùn)算法則或公式，例如，由圖1可得等式（a+b）（c+d）＝ac+ad+bc+bd，即為多項(xiàng)式乘法法則．利用圖2可得的乘法公式為（）A．（a+b）2＝a2+b2 B．（a+b）2＝a2+2ab+b2 C．（a+b）2＝a2+b2+ab D．（a+b）（a+b）＝a2+b2【變式2-2】（2021秋?思明區(qū)校級(jí)期末）如圖，用4個(gè)相同的長(zhǎng)方形圍成一個(gè)大正方形，若長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬分別為a、b，則下面四個(gè)代數(shù)式，不能表示大正方形面積的是（）A．a(chǎn)2+b2 B．（a+b）2 C．a(chǎn)（a+b）+b（a+b） D．（a﹣b）2+4ab【變式2-3】（2021秋?香坊區(qū)期末）在邊長(zhǎng)為a的正方形中挖去一個(gè)邊長(zhǎng)為b的小正方形（a＞b）（如圖1），把余下的部分拼成一個(gè)長(zhǎng)方形（如圖2），根據(jù)兩個(gè)圖形中陰影部分的面積相等，可以驗(yàn)證（）A．（a+b）2＝a2+2ab+b2 B．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2 C．（a+2b）（a﹣b）＝a2+ab﹣2b2 D．a(chǎn)2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）【典例3】（2022春?鋼城區(qū)期末）美術(shù)課上，老師讓同學(xué)們用彩色卡紙玩拼圖的游戲，小芳同學(xué)拿著如圖①所示的紅色長(zhǎng)方形卡紙，卡紙長(zhǎng)為2a，寬為2b，她沿圖中虛線平均分成四個(gè)小長(zhǎng)方形，然后按照?qǐng)D②的方式拼成一個(gè)正方形，中間的空缺處（陰影部分）用黃色卡紙進(jìn)行拼接．（1）需要黃色卡紙的邊長(zhǎng)為；（2）請(qǐng)用兩種不同的方法列代數(shù)式表示黃色卡紙的面積：方法一；方法二；（3）觀察圖②直接寫出（a+b）2，（a﹣b）2，ab這三個(gè)代數(shù)式之間的等量關(guān)系式；（4）根據(jù)（3）中的等量關(guān)系解決下列問題：若a+b＝6，ab＝7，求（a﹣b）2的值．【變式3-1】（2022春?包頭期末）如圖，學(xué)校有一塊長(zhǎng)為（a+2b）m，寬為（a+b）m的長(zhǎng)方形土地，四個(gè)角留出四個(gè)邊長(zhǎng)為（b﹣a）m的小正方形空地，剩余部分進(jìn)行綠化．（1）用含a、b的式子表示要進(jìn)行綠化的土地面積；（結(jié)果要化簡(jiǎn)）（2）當(dāng)a＝6，b＝10時(shí)，求要進(jìn)行綠化的土地面積．【變式3-2】（2022春?六盤水期中）圖①是一個(gè)長(zhǎng)為2a、寬為2b的長(zhǎng)方形，沿圖中虛線用剪刀均分成四塊小長(zhǎng)方形，然后按圖②的形狀拼成一個(gè)正方形．（1）觀察圖②，請(qǐng)你寫出下列三個(gè)代數(shù)式（a+b）2，（a﹣b）2，ab之間的等量關(guān)系為；（2）運(yùn)用你在（1）中得到的關(guān)系式，計(jì)算：若x、y為實(shí)數(shù)，且xy＝﹣5，x﹣y＝6，試求x+y值；（3）如圖③，點(diǎn)C是線段AB上的一點(diǎn)，以AC、BC為邊向兩邊作正方形，設(shè)AB＝10，兩正方形的面積和S1+S2＝32，求圖中陰影部分面積S3．【變式3-3】（2022春?膠州市期中）閱讀材料：若x滿足（9﹣x）（x﹣4）＝4，求（9﹣x）2+（x﹣4）2的值．解：設(shè)9﹣x＝a，x﹣4＝b，則（9﹣x）（x﹣4）＝ab＝4，a+b＝（9﹣x）+（x﹣4）＝5，∴（9﹣x）2+（x﹣4）2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝52﹣2×4＝17．類比應(yīng)用：請(qǐng)仿照上面的方法求解下列問題：（1）若（3﹣x）（x﹣2）＝﹣1，求（3﹣x）2+（x﹣2）2的值；（2）若（n﹣2021）2+（2022﹣n）2＝11，求（n﹣2021）（2022﹣n）的值；（3）已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為x，E，F(xiàn)分別是AD，DC上的點(diǎn)，且AE＝1，CF＝3，長(zhǎng)方形EMFD的面積是15．分別以MF，DF為邊長(zhǎng)作正方形MFRN和正方形GFDH，求正方形MFRN和正方形GFDH的面積和．【典例4】（2022春?巨野縣期末）已知x+y＝﹣5，xy＝﹣3．（1）求x2+y2的值；（2）求（x﹣y）2的值．【變式4-1】（2022春?平桂區(qū)期末）已知x+y＝5，xy＝2，求x2+y2的值．【變式4-2】（2021秋?尚志市期末）已知：x+y＝3，xy＝﹣1，求下列各式的值：（1）x2+y2；（2）（x﹣y）2．【變式4-3】（2021秋?汝陽(yáng)縣期中）已知x2+y2＝29，x+y＝7，求各式的值：（1）xy；（2）x﹣y．專題1.5完全平方公式（知識(shí)解讀）【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.掌握完全平方公式的結(jié)構(gòu)特征，并能從廣義上理解公式中字母的含義；2.學(xué)會(huì)運(yùn)用完全平方公式進(jìn)行計(jì)算.了解公式的幾何意義，能利用公式進(jìn)行乘法運(yùn)算；3.能靈活地運(yùn)用運(yùn)算律與乘法公式簡(jiǎn)化運(yùn)算.【知識(shí)點(diǎn)梳理】知識(shí)點(diǎn)1：完全平方公式完全平方公式：兩數(shù)和(差)的平方等于這兩數(shù)的平方和加上（減去）這兩數(shù)乘積的兩倍注意：公式特點(diǎn)：左邊是兩數(shù)的和（或差）的平方，右邊是二次三項(xiàng)式，是這兩數(shù)的平方和加（或減）這兩數(shù)之積的2倍.以下是常見的變形：知識(shí)點(diǎn)2：拓展、補(bǔ)充公式；；；.【典例分析】【考點(diǎn)1：完全平方公式】【典例1】（2021春?羅湖區(qū)校級(jí)期中）運(yùn)用完全平方公式計(jì)算：（1）（3a+b）2（2）（x﹣2y）2（3）（﹣x﹣y）2（4）1992．【解答】解：（1）（3a+b）2＝9a2+6ab+b2；（2）（x﹣2y）2＝x2﹣2xy+4y2；（3）（﹣x﹣y）2＝x2+2xy+y2；（4）1992＝（200﹣1）2＝40000﹣400+1＝39601．【變式1-1】（2020春?沙坪壩區(qū)校級(jí)月考）（﹣4x﹣）2．【解答】解：原式＝（4x+）2＝16x2+4xy+y2．【變式1-2】（2020春?沙坪壩區(qū)校級(jí)月考）（3a﹣b）2．【解答】解：（3a﹣b）2＝（3a）2﹣2×3a×b+b2＝9a2﹣6ab+b2．【變式1-3】（2019秋?靜安區(qū)校級(jí)月考）（a+b﹣c）2．【解答】解：原式＝[（a+b）﹣c]2＝（a+b）2﹣2（a+b）c+c2＝a2+2ab+b2﹣2ac﹣2bc+c2．【變式1-4】（2019秋?虹口區(qū)校級(jí)月考）計(jì)算：（x﹣2y+1）2．【解答】解：原式＝（x﹣2y）2+2（x﹣2y）+1＝x2﹣4xy+4y2+2x﹣4y+1．【考點(diǎn)2：完全平方公式的幾何背景】【典例2】（2022春?阜寧縣期末）圖1，是一個(gè)長(zhǎng)為2m、寬為2n（m＞n）的長(zhǎng)方形，用剪刀沿圖中虛線（對(duì)稱軸）剪開，把它分成四塊形狀和大小都一樣的小長(zhǎng)方形，然后按圖2形式拼成一個(gè)正方形，那么中間陰影部分的面積為（）A．mn B．m2﹣n2 C．（m﹣n）2 D．（m+n）2【答案】C【解答】解：方法一：圖2中四個(gè)長(zhǎng)方形的面積的和＝圖1的長(zhǎng)方形的面積＝2m×2n＝4mn，圖2的大正方形的面積＝（m+n）2，圖2中陰影部分的面積＝圖2的大正方形的面積﹣圖2中四個(gè)長(zhǎng)方形的面積的和＝（m+n）2﹣4mn＝m2+2mn+n2﹣4mn＝m2﹣2mn+n2＝（m﹣n）2．方法二：圖中陰影部分是正方形，且四個(gè)邊長(zhǎng)都是（m﹣n），∴陰影部分的面積＝（m﹣n）2．故選：C．【變式2-1】（2022春?太原期中）通過兩種不同的方法計(jì)算同一圖形的面積可以得到一個(gè)數(shù)學(xué)等式，用這種方法可得到整式乘法中的一些運(yùn)算法則或公式，例如，由圖1可得等式（a+b）（c+d）＝ac+ad+bc+bd，即為多項(xiàng)式乘法法則．利用圖2可得的乘法公式為（）A．（a+b）2＝a2+b2 B．（a+b）2＝a2+2ab+b2 C．（a+b）2＝a2+b2+ab D．（a+b）（a+b）＝a2+b2【答案】B【解答】解：根據(jù)圖2可得，（a+b）2＝a2+2ab+b2，故選：B．【變式2-2】（2021秋?思明區(qū)校級(jí)期末）如圖，用4個(gè)相同的長(zhǎng)方形圍成一個(gè)大正方形，若長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬分別為a、b，則下面四個(gè)代數(shù)式，不能表示大正方形面積的是（）A．a(chǎn)2+b2 B．（a+b）2 C．a(chǎn)（a+b）+b（a+b） D．（a﹣b）2+4ab【答案】A【解答】解：∵大正方形的面積進(jìn)行整體求解時(shí)為：（a+b）2＝a2+2ab+b2，且（a+b）2＝（a+b）（a+b）＝a（a+b）+b（a+b）；按各部分求和計(jì)算時(shí)為（a﹣b）2+4ab，故選：A．【變式2-3】（2021秋?香坊區(qū)期末）在邊長(zhǎng)為a的正方形中挖去一個(gè)邊長(zhǎng)為b的小正方形（a＞b）（如圖1），把余下的部分拼成一個(gè)長(zhǎng)方形（如圖2），根據(jù)兩個(gè)圖形中陰影部分的面積相等，可以驗(yàn)證（）A．（a+b）2＝a2+2ab+b2 B．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2 C．（a+2b）（a﹣b）＝a2+ab﹣2b2 D．a(chǎn)2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）【答案】D【解答】解：∵圖甲中陰影部分的面積＝a2﹣b2，圖乙中陰影部分的面積＝（a+b）（a﹣b），而兩個(gè)圖形中陰影部分的面積相等，∴a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）．故選：D．【典例3】（2022春?鋼城區(qū)期末）美術(shù)課上，老師讓同學(xué)們用彩色卡紙玩拼圖的游戲，小芳同學(xué)拿著如圖①所示的紅色長(zhǎng)方形卡紙，卡紙長(zhǎng)為2a，寬為2b，她沿圖中虛線平均分成四個(gè)小長(zhǎng)方形，然后按照?qǐng)D②的方式拼成一個(gè)正方形，中間的空缺處（陰影部分）用黃色卡紙進(jìn)行拼接．（1）需要黃色卡紙的邊長(zhǎng)為；（2）請(qǐng)用兩種不同的方法列代數(shù)式表示黃色卡紙的面積：方法一；方法二；（3）觀察圖②直接寫出（a+b）2，（a﹣b）2，ab這三個(gè)代數(shù)式之間的等量關(guān)系式；（4）根據(jù)（3）中的等量關(guān)系解決下列問題：若a+b＝6，ab＝7，求（a﹣b）2的值．【解答】解：（1）根據(jù)圖形可觀察出：邊長(zhǎng)為a﹣b；故答案為：a﹣b；（2）①小正方的邊長(zhǎng)為a﹣b，面積可表示為：（a﹣b）2，大正方形的面積為：（a+b）2，四個(gè)矩形的面積和為4ab，所以小正方形面積可表示為：（a+b）2﹣4ab；故答案為：（a﹣b）2，（a+b）2﹣4ab；（3）由題意得：（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab；故答案為：（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab；（4）由（3）很快可求出（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab＝62﹣4×7＝8．【變式3-1】（2022春?包頭期末）如圖，學(xué)校有一塊長(zhǎng)為（a+2b）m，寬為（a+b）m的長(zhǎng)方形土地，四個(gè)角留出四個(gè)邊長(zhǎng)為（b﹣a）m的小正方形空地，剩余部分進(jìn)行綠化．（1）用含a、b的式子表示要進(jìn)行綠化的土地面積；（結(jié)果要化簡(jiǎn)）（2）當(dāng)a＝6，b＝10時(shí)，求要進(jìn)行綠化的土地面積．【解答】解：（1）由于S綠化面積＝S長(zhǎng)方形﹣4S小正方形，因此有，（a+b）（a+2b）﹣4（b﹣a）2＝a2+3ab+2b2﹣4a2+8ab﹣4b2＝（11ab﹣3a2﹣2b2）m2，答：綠化的面積為（11ab﹣3a2﹣2b2）m2；（2）當(dāng)a＝6，b＝10時(shí)，原式＝660﹣108﹣200＝352（m2）答：當(dāng)a＝6，b＝10時(shí)，綠化的土地面積為352m2．【變式3-2】（2022春?六盤水期中）圖①是一個(gè)長(zhǎng)為2a、寬為2b的長(zhǎng)方形，沿圖中虛線用剪刀均分成四塊小長(zhǎng)方形，然后按圖②的形狀拼成一個(gè)正方形．（1）觀察圖②，請(qǐng)你寫出下列三個(gè)代數(shù)式（a+b）2，（a﹣b）2，ab之間的等量關(guān)系為；（2）運(yùn)用你在（1）中得到的關(guān)系式，計(jì)算：若x、y為實(shí)數(shù)，且xy＝﹣5，x﹣y＝6，試求x+y值；（3）如圖③，點(diǎn)C是線段AB上的一點(diǎn)，以AC、BC為邊向兩邊作正方形，設(shè)AB＝10，兩正方形的面積和S1+S2＝32，求圖中陰影部分面積S3．【解答】解：（1）運(yùn)用完全平方公式展開得：（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab；故答案為：（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab；（2）（x+y）2＝4xy+（x﹣y）2；＝4×（﹣5）+62；＝16．所以，x+y＝±4（3）S3＝AC×CB（令A(yù)C＝x，BC＝y(tǒng)）所以S3＝xy又因?yàn)镾1+S2＝32即x2+y2＝32；AB＝10即x+y＝10所以，xy＝＝＝34所以S3＝＝×34＝17答：圖中陰影部分面積是17．【變式3-3】（2022春?膠州市期中）閱讀材料：若x滿足（9﹣x）（x﹣4）＝4，求（9﹣x）2+（x﹣4）2的值．解：設(shè)9﹣x＝a，x﹣4＝b，則（9﹣x）（x﹣4）＝ab＝4，a+b＝（9﹣x）+（x﹣4）＝5，∴（9﹣x）2+（x﹣4）2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝52﹣2×4＝17．類比應(yīng)用：請(qǐng)仿照上面的方法求解下列問題：（1）若（3﹣x）（x﹣2）＝﹣1，求（3﹣x）2+（x﹣2）2的值；（2）若（n﹣2021）2+（2022﹣n）2＝11，求（n﹣2021）（2022﹣n）的值；（3）已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為x，E，F(xiàn)分別是AD，DC上的點(diǎn)，且AE＝1，CF＝3，長(zhǎng)方形EMFD的面積是15．分別以MF，DF為邊長(zhǎng)作正方形MFRN和正方形GFDH，求正方形MFRN和正方形GFDH的面積和．【解答】解：（1）設(shè)3﹣x＝p，x﹣2＝q，則（3﹣x）（x﹣2）＝pq＝﹣1，（3﹣x）+（x﹣2）＝p+q＝1，∴（3﹣x）2+（x﹣2）2＝p2+q2＝（p+q）2﹣2pq＝1+2＝3；（2）設(shè)n﹣2021＝a，2022﹣n＝b，則（n﹣2021）2+（2022﹣n）2＝a2+b2＝11，（n﹣2021）+（2022﹣n）＝a+b＝1，∴（n﹣2021）（2022﹣n）＝ab＝＝＝﹣5；（3）由