2025屆新高考數(shù)學(xué)精準(zhǔn)突破復(fù)習(xí)空間幾何體空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征是立體幾何的基礎(chǔ)，空間幾何體的表面積和體積是高考的重點(diǎn)與熱點(diǎn)，多以選擇題、填空題的形式考查，難度中等或偏上.考情分析思維導(dǎo)圖內(nèi)容索引典型例題熱點(diǎn)突破典例1

(1)(多選)(2023·新高考全國Ⅱ)已知圓錐的頂點(diǎn)為P，底面圓心為O，AB為底面直徑，∠APB＝120°，PA＝2，點(diǎn)C在底面圓周上，且二面角P－AC－O為45°，則√考點(diǎn)一表面積與體積√依題意，∠APB＝120°，PA＝2，C項(xiàng)，取AC的中點(diǎn)D，連接OD，PD，如圖所示，則AC⊥OD，AC⊥PD，所以∠PDO是二面角P－AC－O的平面角，則∠PDO＝45°，所以O(shè)P＝OD＝1，(2)(2023·新高考全國Ⅰ)在正四棱臺ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，A1B1＝1，AA1＝

則該棱臺的體積為_____.如圖，過A1作A1M⊥AC，垂足為M，易知A1M為四棱臺ABCD－A1B1C1D1的高，跟蹤訓(xùn)練1

(1)(2023·廣州模擬)已知一個圓錐和圓柱的底面半徑和高分別相等，若圓錐的軸截面是等邊三角形，則這個圓錐和圓柱的側(cè)面積之比為√設(shè)圓錐和圓柱的底面半徑為r，因?yàn)閳A錐的軸截面是等邊三角形，所以圓錐的母線長l＝2r，所以圓錐的側(cè)面積S1＝πrl＝2πr2，(2)(多選)(2022·新高考全國Ⅱ)如圖，四邊形ABCD為正方形，ED⊥平面ABCD，F(xiàn)B∥ED，AB＝ED＝2FB.記三棱錐E－ACD，F(xiàn)－ABC，F(xiàn)－ACE的體積分別為V1，V2，V3，則A.V3＝2V2

B.V3＝V1C.V3＝V1＋V2

D.2V3＝3V1√√如圖，連接BD交AC于O，連接OE，OF.設(shè)AB＝ED＝2FB＝2，則AB＝BC＝CD＝AD＝2，F(xiàn)B＝1.因?yàn)镋D⊥平面ABCD，F(xiàn)B∥ED，所以FB⊥平面ABCD，因?yàn)镋D⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，所以ED⊥AC，又AC⊥BD，且ED∩BD＝D，ED，BD?平面BDEF，所以AC⊥平面BDEF.因?yàn)镺E，OF?平面BDEF，所以AC⊥OE，AC⊥OF.所以EF2＝OE2＋OF2，所以O(shè)F⊥OE.又OE∩AC＝O，OE，AC?平面ACE，所以O(shè)F⊥平面ACE，所以V3≠2V2，V1≠V3，V3＝V1＋V2,2V3＝3V1，所以選項(xiàng)A，B不正確，選項(xiàng)C，D正確.典例2

(1)“莫言下嶺便無難，賺得行人空喜歡.”出自南宋詩人楊萬里的作品《過松源晨炊漆公店》.如圖是一座山的示意圖，山大致呈圓錐形，山腳呈圓形，半徑為40km，山高為

B是山坡SA上一點(diǎn)，且AB＝40km.為了發(fā)展旅游業(yè)，要建設(shè)一條從A到B的環(huán)山觀光公路，這條公路從A出發(fā)后先上坡，后下坡，當(dāng)公路長度最短時，下坡路段長為A.60km B.C.72km D.√考點(diǎn)二空間幾何體的折展問題如圖為圓錐的側(cè)面展開圖，連接A′B，由兩點(diǎn)之間線段最短，知觀光公路為圖中的A′B，過點(diǎn)S作A′B的垂線，垂足為H，記點(diǎn)P為A′B上任意一點(diǎn)，連接PS，當(dāng)上坡時，P到山頂S的距離PS越來越小，當(dāng)下坡時，P到山頂S的距離PS越來越大，則下坡路段為圖中的HB，由Rt△SA′B∽Rt△HSB，(2)(2023·黃山模擬)如圖1，將一塊邊長為20的正方形紙片ABCD剪去四個全等的等腰△PEE1，△PFF1，△PGG1，△PHH1，再將剩下的部分沿虛線折成一個正四棱錐P－EFGH，使E與E1重合，F(xiàn)與F1重合，G與G1重合，H與H1重合，點(diǎn)A，B，C，D重合于點(diǎn)O，如圖2.則正四棱錐P－EFGH體積的最大值為√根據(jù)題意，PG是側(cè)棱，底面正方形EFGH的對角線的一半是GC，設(shè)GC＝x,0<x<10，則有PG2＝(10－x)2＋102，OF＝OG＝x，底面正方形EFGH的面積S＝4S△OFG＝2x2，∴四棱錐P－EFGH的體積∴當(dāng)t2＝40時，V取最大值，跟蹤訓(xùn)練2

(1)(2023·廣東大灣區(qū)聯(lián)考)如圖為三棱錐A－BCD的平面展開圖，其中AC＝CD＝CB＝2，AE⊥BD，垂足為C，則該三棱錐的體積為____.由三棱錐A－BCD的平面展開圖可得其直觀圖，如圖所示.其中AC⊥CD，AC⊥CB，CD⊥CB，AC＝CD＝CB＝2，又BC∩CD＝C，BC，CD?平面BCD，所以AC⊥平面BCD，(2)如圖所示是一個底面半徑和高分別為1和4的圓柱形開口容器(下表面密封)，P是母線BC的中點(diǎn)，現(xiàn)有一只螞蟻位于外壁A處，內(nèi)壁P處有一米粒，若這只螞蟻要先爬到上口邊緣再爬到點(diǎn)P處取得米粒，則它所需經(jīng)過的最短路程為√依題意可得圓柱的底面半徑r＝1，高h(yuǎn)＝4，將圓柱的側(cè)面(一半)展開后得矩形ABCD，其中AB＝π，AD＝4，問題轉(zhuǎn)化為在CD上找一點(diǎn)Q，使AQ＋PQ最短，作P關(guān)于CD的對稱點(diǎn)E，連接AE，AE與CD交于點(diǎn)Q，則得AQ＋PQ的最小值就是典例3

(1)(2022·新高考全國Ⅰ)已知正四棱錐的側(cè)棱長為l，其各頂點(diǎn)都在同一球面上.若該球的體積為36π，且3≤l≤

則該正四棱錐體積的取值范圍是考點(diǎn)三多面體與球√方法一如圖，設(shè)該球的球心為O，半徑為R，正四棱錐的底面邊長為a，高為h，依題意，得36π＝解得R＝3.方法二如圖，設(shè)該球的球心為O，半徑為R，正四棱錐的底面邊長為a，高為h，依題意，得36π＝解得R＝3.方法三如圖，設(shè)該球的半徑為R，球心為O，正四棱錐的底面邊長為a，高為h，正四棱錐的側(cè)棱與高所成的角為θ，依題意，得36π＝解得R＝3，所以正四棱錐的底面邊長a＝高h(yuǎn)＝lcosθ.在△OPC中，作OE⊥PC，垂足為E，所以l＝6cosθ，所以正四棱錐的體積則y＝sinθcos2θ＝t(1－t2)＝t－t3，(2)(2023·南昌模擬)如圖，在正四棱錐P－ABCD框架內(nèi)放一個球O，球O與側(cè)棱PA，PB，PC，PD均相切.若∠APB＝

且OP＝2，則球O的表面積為_____.8π在正四棱錐P－ABCD中，∠APB＝則△PAB是正三角形，于是AC2＝AB2＋BC2＝PA2＋PC2，所以∠APC＝因?yàn)榍騉與側(cè)棱PA，PB，PC，PD均相切，則由對稱性知，平面PAC截正四棱錐得等腰直角三角形，截球O得球O的大圓，且圓O與直角邊PA，PC都相切，如圖，顯然OP平分∠APC，因此球O的半徑R＝所以球O的表面積為4πR2＝8π.跟蹤訓(xùn)練3

(1)(2022·全國乙卷)已知球O的半徑為1，四棱錐的頂點(diǎn)為O，底面的四個頂點(diǎn)均在球O的球面上，則當(dāng)該四棱錐的體積最大時，其高為√該四棱錐的體積最大即以底面截球的圓面和頂點(diǎn)O組成的圓錐體積最大.設(shè)圓錐的高為h(0<h<1)，底面半徑為r，√如圖所示，因?yàn)镃C1⊥AC，AA1⊥BC?CC1⊥BC，AC∩BC＝C，AC，BC?平面ABC，所以CC1⊥平面ABC，又因?yàn)槠矫鍭1BC⊥平面AA1B，平面A1BC∩平面AA1B＝A1B，過點(diǎn)A作AE⊥A1B，則AE⊥平面A1BC，則AE⊥BC，又因?yàn)锳A1⊥BC，AA1∩AE＝A，AA1，AE?平面ABB1A1，所以BC⊥平面ABB1A1，又AB?平面ABB1A1，所以AB⊥BC.設(shè)AB＝c，AC＝b，BC＝a，則b2＝a2＋c2，又因?yàn)槿庵鶅?nèi)切球的體積為設(shè)內(nèi)切球的半徑為R，解得ac＝12，因?yàn)槔庵母叩扔趦?nèi)切球直徑2，故三棱錐A－A1BC的體積為4.空間幾何體在高考題中主要考查表面積、體積問題，常見題型求解思路有兩種，一是對于規(guī)則的幾何體直接使用公式法求解，二是將不規(guī)則的幾何體分解成基本的柱、錐、臺體，先求這些柱、錐、臺體的表面積或體積，再通過求和或作差得不規(guī)則幾何體的表面積或體積.提醒：組合體的表面積問題注意銜接部分的處理.旋轉(zhuǎn)體的表面積問題注意其側(cè)面展開圖的應(yīng)用.總結(jié)提升1234567891011121.(2023·深圳模擬)圓錐側(cè)面展開圖扇形的圓心角為60°，底面圓的半徑為8，則圓錐的側(cè)面積為A.384π

B.392π

C.398π

D.404π√設(shè)圓錐的半徑為r，母線長為l，則r＝8，由題意知，2πr＝解得l＝48，所以圓錐的側(cè)面積為πrl＝8×48π＝384π.1234567891011122.(2023·惠州模擬)如圖1，在高為h的直三棱柱容器ABC－A1B1C1中，AB＝AC＝2，AB⊥AC.現(xiàn)往該容器內(nèi)灌進(jìn)一些水，水深為2，然后固定容器底面的一邊AB于地面上，再將容器傾斜，當(dāng)傾斜到某一位置時，水面恰好為△A1B1C(如圖2)，則容器的高h(yuǎn)為A.

B.3

C.4

D.6√123456789101112由圖2知

，其中h表示三棱柱的高，故

，因此，無水部分體積與有水部分體積之比為1∶2，所以圖1中高度之比為1∶2，則h＝3.1234567891011123.(2023·日照模擬)紅燈籠起源于中國的西漢時期，兩千多年來，每逢春節(jié)人們便會掛起象征美好團(tuán)圓意義的紅燈籠，營造一種喜慶的氛圍.如圖1，某球形燈籠的輪廓由三部分組成，上、下兩部分是兩個相同的圓柱的側(cè)面，中間是球面除去上、下兩個相同球冠剩下的部分.如圖2，球冠是由球面被平面截得的一部分，垂直于截面的直徑被截得的部分叫做球冠的高，若球冠所在球面的半徑為R，球冠的高為h，則球冠的面積S＝2πRh.如圖1，已知該燈籠的高為58cm，圓柱的高為5cm，圓柱的底面圓直徑為14cm，則圍成該燈籠中間球面部分所需布料的面積為A.1940πcm2 B.2350πcm2C.2400πcm2 D.2540πcm2√123456789101112123456789101112所以兩個球冠的面積為2S＝2×2πRh＝2×2×π×25×1＝100π(cm2)，則圍成該燈籠中間球面部分所需布料的面積為4πR2－2S＝4×π×252－100π＝2400π(cm2).1234567891011124.(2023·婁底模擬)如圖，在三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，AB＝BC＝CA＝AA1，點(diǎn)D是棱AA1上的點(diǎn)，AD＝

AA1，若截面BDC1分這個棱柱為兩部分，則這兩部分的體積比為A.1∶2 B.4∶5C.4∶9 D.5∶7√123456789101112不妨令A(yù)B＝BC＝CA＝AA1＝4，且上、下底面為等邊三角形，又AA1⊥底面ABC，易知三棱柱ABC－A1B1C1為直三棱柱，所以側(cè)面為正方形，所以三棱柱ABC－A1B1C1的體積V＝AA1·S△ABC＝而AD＝1，CC1＝4，故

＝

AC·(AD＋CC1)＝10，1234567891011121234567891011125.(2023·佛山模擬)科技是一個國家強(qiáng)盛之根，創(chuàng)新是一個民族進(jìn)步之魂，科技創(chuàng)新鑄就國之重器，極目一號(如圖1)是中國科學(xué)院空天信息研究院自主研發(fā)的系留浮空器.截至2022年5月，“極目一號”Ⅲ型浮空艇成功完成10次升空大氣科學(xué)觀測，最高升空至9050m，超過珠穆朗瑪峰，創(chuàng)造了浮空艇原位大氣科學(xué)觀測海拔最高的世界紀(jì)錄，彰顯了中國的實(shí)力.“極目一號”Ⅲ型浮空艇長55m，高19m，若將它近似看作一個半球、一個圓柱和一個圓臺的組合體，正視圖如圖2所示，則“極目一號”Ⅲ型浮空艇的體積約為(參考數(shù)據(jù)：9.52≈90,9.53≈857,315×1005≈316600，π≈3.14)A.9064m3

B.9004m3C.8944m3

D.8884m3√123456789101112V圓柱＝π×9.52×14≈1260π(m3)，√123456789101112123456789101112由題可知矩形ABCD所在截面圓的半徑r即為矩形ABCD的對角線長度的一半，√√1234567891011127.(多選)某班級到一工廠參加社會實(shí)踐勞動，加工出如圖所示的圓臺O1O2，在軸截面ABCD中，AB＝AD＝BC＝2cm，且CD＝2AB，則A.該圓臺的高為1cmD.一只小蟲從點(diǎn)C沿著該圓臺的側(cè)面爬行到AD的中點(diǎn)，所經(jīng)過的最短路

程為5cm√123456789101112由圓臺補(bǔ)成圓錐，可得大圓錐的母線長為4cm，底面半徑為2cm，側(cè)面展開圖的圓心角θ＝

＝π，123456789101112設(shè)P為AD的中點(diǎn)，連接CP，如圖2，可得∠COD＝

OC＝4cm，OP＝3cm，則CP＝

＝5(cm)，從點(diǎn)C沿著該圓臺的側(cè)面爬行到AD的中點(diǎn)，所經(jīng)過的最短路程為5cm，故D正確.8.(多選)(2023·新高考全國Ⅰ)下列物體中，能夠被整體放入棱長為1(單位：m)的正方體容器(容器壁厚度忽略不計(jì))內(nèi)的有A.直徑為0.99m的球體B.所有棱長均為1.4m的四面體C.底面直徑為0.01m，高為1.8m的圓柱體D.底面直徑為1.2m，高為0.01m的圓柱體√√√123456789101112對于A，因?yàn)?.99m<1m，即球體的直徑小于正方體的棱長，所以能夠被整體放入正方體內(nèi)，故A正確；123456789101112所以能夠被整體放入正方體內(nèi)，故B正確；所以不能夠被整體放入正方體內(nèi)，故C錯誤；對于D，因?yàn)?.2m>1m，可知底面正方形不能包含圓柱的底面圓，如圖，過AC1的中點(diǎn)O作OE⊥AC1，設(shè)OE∩AC＝E，123456789101112所以以AC1為軸可能對稱放置底面直徑為1.2m的圓柱，若底面直徑為1.2m的圓柱與正方體的上下底面均相切，設(shè)圓柱的底面圓心為O1，與正方體下底面的切點(diǎn)為M，可知AC1⊥O1M，O1M＝0.6，123456789101112根據(jù)對稱性可知圓柱的高為所以能夠被整體放入正方體內(nèi)，所以D正確.9.(2023·遼陽模擬)將3個6cm×6cm的正方形都沿其中的一對鄰邊的中點(diǎn)剪開，每個正方形均分成兩個部分，如圖(1)所示，將這6個部分接入一個邊長為

的正六邊形上，如圖(2)所示.若該平面圖沿著正六邊形的邊折起，圍成一個七面體，則該七面體的體積為_____cm3.108123456789101112123456789101112將平面圖形折疊并補(bǔ)形得到如圖所示的正方體，該七面體為正方體沿著圖中的六邊形截面截去一部分后剩下的另一部分，由對稱性知其體積為正方體體積的一半，即

×63＝108(cm3).10.棱長為2的正方體ABCD－A1B1C1D1中，M，N分別為棱BB1，AB的中點(diǎn)，則三棱錐A1－D1MN的體積為____.1123456789101112如圖，由正方體棱長為2，123456789101112又易知D1A1為三棱錐D1－A1MN的高，且D1A1＝2，∴11.如圖，在多面體ABCEF中，D為AB的中點(diǎn)，四邊形CDFE為矩形，且DF⊥AB，AC＝BC＝2，∠ACB＝120°，當(dāng)AE⊥BE時，多面體ABCEF的體積為_____.123456789101112123456789101112在△ABC中，因?yàn)锳C＝BC且D為AB的中點(diǎn)，所以CD⊥AB，又因?yàn)镈F⊥AB，且DF∩CD＝D，DF，CD?平面CDFE，所以AB⊥平面CDFE，在△ABC中，因?yàn)锳C＝BC＝2且∠ACB＝120°，CD⊥AB，因?yàn)樗倪呅蜟DFE為矩形，可得DF⊥C