第第頁二次函數(shù)與幾何綜合類存在性問題總結(jié)的較為充分,望參考

二次函數(shù)與幾何綜合類存在性問題

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二次函數(shù)與三角形、四邊形、圓和相像三角形經(jīng)常綜合在一起運用，解決這類問題需要用到數(shù)形結(jié)合思想，把“數(shù)”與“形”結(jié)合起來，相互滲透.存在探究型問題是指在給定條件下，判斷某種數(shù)學(xué)現(xiàn)象是否存在、某個結(jié)論是否涌現(xiàn)的問題.解決這類問題的一般思路是先假設(shè)結(jié)論的某一方面存在，然后在這個假設(shè)下進行演繹推理，假設(shè)推出沖突，即可否定假設(shè)；假設(shè)推出合理結(jié)論，那么可確定假設(shè).

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第41課時┃二次函數(shù)與幾何綜合類存在性問題

考向互動探究探究一二次函數(shù)與三角形的結(jié)合

例1如圖41-1,對稱軸為直線*=-1的拋物線y=a*2+b*

+c(a≠0)與*軸的交點為A、B兩點，其中點A的坐標(biāo)為(-3,0).(1)求點B的坐標(biāo)；(2)已知a=1,C為拋物線與y軸的交點.①假設(shè)點P在拋物線上，且S△POC=4S△BOC,求點P的坐標(biāo)；②設(shè)點Q是線段AC上的動點，作QD⊥*軸交拋物線于點D,求線段QD長度的最大值.考點聚焦歸類探究回來教材

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第41課時┃二次函數(shù)與幾何綜合類存在性問題

例題分層分析(1)拋物線的解析式未知，不能通過解方程的方法確定點B的坐標(biāo)，依據(jù)二次函數(shù)的對稱性，能求出B點的坐標(biāo)嗎？(2)要求拋物線解析式應(yīng)具備哪些條件？

由a=1,A(-3,0),B(1,0)三個條件試一試；

圖41-1

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第41課時┃二次函數(shù)與幾何綜合類存在性問題

(3)依據(jù)S△POC=4S△BOC列出關(guān)于*的方程，解方程求

出*的值；(4)如何用待定系數(shù)法求出直線AC的解析式？(5)D點的坐標(biāo)怎么用*來表示？(6)QD怎樣用含*的代數(shù)式來表示？(7)QD與*的函數(shù)關(guān)系如何？是二次函數(shù)嗎？如何求

出最大值？

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第41課時┃二次函數(shù)與幾何綜合類存在性問題

解題方法點析以二次函數(shù)、三角形為背景的有關(guān)點存在性問題是以二次函數(shù)的圖象和解析式為背景，判斷三角形滿意某些關(guān)

于點的條件時，是否存在的問題，這類問題有關(guān)于點的對稱點、線段、三角形等類型之分.這類試題集代數(shù)、幾何知識于一體，數(shù)形結(jié)合，敏捷多變.

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第41課時┃二次函數(shù)與幾何綜合類存在性問題解：(1)由題意知：點A與點B關(guān)于直線*=-1對稱，A(-3,0),∴B(1,0).(2)①當(dāng)a=1時，那么b=2,把A(-3,0)(3)代入y=*2+2*+c中得c=-3,∴該拋物線解析式為y=*2+2*-3.1133∵S△BOC=OBOC=13=,∴S△POC=4S△BOC=4=6.22221又S△POC=OC|*p|=6,∴|*p|=4,∴*p=4.2考點聚焦歸類探究回來教材

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第41課時┃二次函數(shù)與幾何綜合類存在性問題

當(dāng)*p=4時，yp=42+24-3=21;當(dāng)*p=-4時，yp=(-4)2+2(-4)-3=5.∴點P的坐標(biāo)為(4,21)或(-4,5).②∵A(-3,0),C(0,-3),那么直線AC的解析式為y=-*-3.設(shè)點Q為(a,-a-3),點D為(a,a2+2a-3),∴QD=yQ-yD=-a-3-(a2+2a-3)=-a2-3a.-33當(dāng)a=-=-時，QD有最大值，其最大值為：22(-1)323--9-2-32=.4考點聚焦歸類探究回來教材

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第41課時┃二次函數(shù)與幾何綜合類存在性問題探究二例2二次函數(shù)與四邊形的結(jié)合如圖41-2,在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y=*2

+b*+c的圖象與*軸交于A、B兩點，B點的坐標(biāo)為(3,0),與y軸交于C(0,-3),點P是直線BC下方拋物線上的動點.

(1)求這個二次函數(shù)的解析式；(2)連接PO、PC,并將△POC沿y軸對折，得到四邊形POP′C,那么是否存在點P,使得四邊形POP′C為菱形？假設(shè)

存在，求出此時點P的坐標(biāo)；假設(shè)不存在，請說明理由；(3)當(dāng)點P運動到什么位置時，四邊形ABPC的面積最大？求出此時P點的坐標(biāo)和四邊形ABPC的最大面積.考點聚焦歸類探究回來教材

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第41課時┃二次函數(shù)與幾何綜合類存在性問題

圖41-2

例題分層分析(1)圖中已知拋物線上幾個點？將B、C的坐標(biāo)代入求拋物線的解析式；

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第41課時┃二次函數(shù)與幾何綜合類存在性問題

(2)畫出四邊形POP′C,假設(shè)四邊形POP′C為菱形，那么P點必在OC的垂直平分線上，由此能求出P點坐標(biāo)嗎？

(3)由于△ABC的面積為定值，求四邊形ABPC的最大面積，即求△BPC的最大面積.解題方法點析求四邊形面積的函數(shù)關(guān)系式，一般是利用割補法把四

邊形面積轉(zhuǎn)化為三角形面積的和或差.

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第41課時┃二次函數(shù)與幾何綜合類存在性問題

解：(1)將B、C兩點的坐標(biāo)代入y=*2+b*+c,得9+3b+c=0,c=-3,解得b=-2,c=-3.

∴這個二次函數(shù)的解析式為y=*2-2*-3.(2)假設(shè)拋物線上存在點P(*,*2-2*-3),使得四邊形POP′C為菱形.連接PP′交CO于點E.∵四邊形POP′C為菱形，3∴PC=PO,PE⊥CO,∴OE=EC=,2考點聚焦歸類探究回來教材

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第41課時┃二次函數(shù)與幾何綜合類存在性問題33∴P點的縱坐標(biāo)為-,即*2-2*-3=-,解得*1=222+102-102+10,*2=(不合題意，舍去).∴存在點P(,2223-),使得四邊形POP′C為菱形.2(3)過點P作y軸的平行線交BC于點Q,交OB于點F,設(shè)P(*,*2-2*-3).由*2-2*-3=0得點A的坐標(biāo)為(-1,0).∵B點的坐標(biāo)為(3,0),C點的坐標(biāo)為(0,-3),∴直線BC的解析式為

:y=*-3,∴Q點的坐標(biāo)為(*,*-3),∴AB=4,CO=3,BO=3,PQ=-*2+3*.考點聚焦歸類探究回來教材

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第41課時┃二次函數(shù)與幾何綜合類存在性問題11=S△ABC+S△BPQ+S△CPQ=ABCO+PQ221111BF+PQFO=ABCO+PQ(BF+FO)=ABCO22221113292+PQBO=43+(-*+3*)3=-*+*+6=22222∴S四邊形ABPC

32*-3753-+.∴當(dāng)*=時，四邊形ABPC2282315,-的面積最大.此時P點的坐標(biāo)為24,75四邊形ABPC的最大面積為.8考點聚焦歸類探究回來教材

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第41課時┃二次函數(shù)與幾何綜合類存在性問題

探究三

二次函數(shù)與相像三角形的結(jié)合

例3如圖41-3,拋物線y=a*2-2a*+c(a≠0)交*軸于A、B兩點，A點坐標(biāo)為(3,0),與y軸交于點C(0,4),以O(shè)C、OA為邊作矩形OADC交拋物線于點G.(1)求拋物線的解析式；(2)拋物線的對稱軸l在邊OA(不包括O、A兩點)上平行移

動，分別交*軸于點E,交CD于點F,交AC于點M,交拋物線于點P,假設(shè)點M的橫坐標(biāo)為m,請用含m的代數(shù)式表示PM的長；

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第41課時┃二次函數(shù)與幾何綜合類存在性問題(3)在(2)的條件下，連接PC,那么在CD上方的拋物線部

分是否存在這樣的點P,使得以P、C、F為頂點的三角形和△AEM相像？假設(shè)存在，求出此時m的值，并徑直判斷△PCM的外形；假設(shè)不存在，請說明理由.

圖41-3考點聚焦歸類探究回來教材

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第41課時┃二次函數(shù)與幾何綜合類存在性問題例題分層分析(1)將____________代入y=a*2-2a*+c,求出拋物線的

解析式；(2)依據(jù)________的坐標(biāo)，用待定系數(shù)法求出直線AC的解析式；

(3)依據(jù)拋物線和直線AC的解析式如何表示出點P、點M的坐標(biāo)和PM的長？(4)由于∠PFC和∠AEM都是直角，F(xiàn)和E對應(yīng)，那么假設(shè)以P、C、F為頂點的三角形和△AEM相像時，分兩種狀況進行討論：①△PFC∽________,②△PFC∽________.考點聚焦歸類探究回來教材

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第41課時┃二次函數(shù)與幾何綜合類存在性問題

解題方法點析此類問題常涉及運用待定系數(shù)法求二次函數(shù)、一次函數(shù)的解析式，矩形的性質(zhì)，相像三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形、等腰三角形的判定.要留意的是當(dāng)相像三角形的對應(yīng)邊和對應(yīng)角不明確時，要分類爭論，以免漏解.

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第41課時┃二次函數(shù)與幾何綜合類存在性問題解：(1)∵C(0,4),A(3,0)在拋物線y=a*2-2a*+c(a≠0)上，4a=-,c=4,3∴解得9a-6a+c=0,c=4.428∴所求拋物線的解析式為y=-*+*+4.33(2)設(shè)直線AC的解析式為y=k*+b(k≠0),4k=-,3k+b=0,3∵A(3,0),C(0,4)在直線AC

上，∴解得b=4,b=4.4∴直線AC的解析式為y=-*+4,3考點聚焦歸類探究回來教材

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第41課時┃二次函數(shù)與幾何綜合類存在性問題

4428m,-m+4m,-m+m+4∴M3,P33.∵點P在M的上方，4-m+4428∴PM=-m+m+4-3334284=-m+m+4+m-43334=-m2+4m.3考點聚焦歸類探究回來教材

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第41課時┃二次函數(shù)與幾何綜合類存在性問題(3)①假設(shè)△PFC∽△AEM,此時△PCM是直角三角形PFCFPF