洛陽市2023——2024學(xué)年第二學(xué)期期中考試高一數(shù)學(xué)試卷本試卷共4頁，共150分。考試時間120分鐘。注意事項：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、考號填寫在答題卡上。2．考試結(jié)束，將答題卡交回。一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知i為虛數(shù)單位，（）A． B． C． D．2．若直線在平面外，則（）A． B．與至多有一個公共點C．與沒有公共點 D．與至少有一個公共點3．已知向量，滿足，且，則在上的投影向量為（）A． B． C． D．4．中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，，，，則（）A． B． C． D．5．如圖，正方體的八個頂點中，其中A，，C，恰好是正四面體的頂點，則此正四面體的體積與正方體的體積之比為（）A． B． C．1：3 D．1：46．已知的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，滿足下列條件的有兩解的是（）A．，， B．，，C．，， D．，，7．長方體中，，，M為的中點，P為下底面ABCD上一點，若直線，則的面積的最小值為（）A． B． C． D．18．如圖，正方形ABCD的邊長為a，頂點A，D分別在x軸的正半軸、y軸的正半軸上移動．若，則a的最大值是（）A．1 B．2 C． D．4二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分。9．已知z為復(fù)數(shù)，下列說法正確的是（）A． B． C． D．10．關(guān)于平面向量，下列說法正確的是（）A．若，則B．兩個非零向量，，若，則與共線且反向C．若與不共線且與共線，則D．若，，且與的夾角為銳角，則11．在正方體中，M，N，Q分別是棱，，BC的中點，，則（）A． B．C．A，P，M三點共線 D．12．中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，內(nèi)一點N滿足，直線AN與BC交于點D，則（）A． B．C． D．三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知向量，，若與互相垂直，則______．14．如圖，是斜二測畫法畫出的水平放置的的直觀圖，是的中點，且軸，軸，，，則的周長為______．15．已知直三棱柱中，，，，，則三棱柱的外接球的表面積為______．16．在平行四邊形ABCD中，，，，，，線段AE與BF相交于點G，則______．四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟。17．（10分）已知復(fù)數(shù)，，其中i是虛數(shù)單位，．（1）若為純虛數(shù)，求a的值；（2）若，求的虛部．18．（12分）中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知．（1）求B；（2）若，求的值．19．（12分）已知在圓錐SO中，底面的直徑，的面積為．（1）求圓錐SO的內(nèi)切球的體積；（2）點M在母線SB上，且，一只螞蟻若從A點出發(fā)，沿圓錐側(cè)面爬行到達(dá)M點，求它爬行的最短距離．20．（12分）在中，，，，，．（1）試以為基底表示，并求；（2）D為直線MN上一點，設(shè)，若直線CD經(jīng)過的垂心，求x，y．21．（12分）如圖，在正方體中，H是的中點，E，F(xiàn)，G分別是DC，BC，HC的中點．（1）求證：；（2）若正方體棱長為2，請在正方體的表面完整做出過A，E，三點的截面，寫出作圖過程，并求出截面的面積．22．（12分）已知平面四邊形ABDC中，對角線CB為的平分線，CB與AD相交于點O，，，．（1）求CO的長；（2）若，求的面積．洛陽市2023——2024學(xué)年第二學(xué)期期中考試高一數(shù)學(xué)試卷參考答案一、單選題1．B 2．B 3．A 4．D 5．C 6．C 7．A 8．B二、多項選擇題9．AC 10．BC 11．CD 12．ABD三、填空題13．7 14． 15． 16．四、解答題17．解：（1）∵為純虛數(shù)，∴且，∴（2）由題意得，，即，∴∴，∴的虛部為1．18．解：（1）由正弦定理得，，∴，，由余弦定理，，∵，∴．（2）∵，∴，即，∴，即．19．解：（1）設(shè)圓錐SO的母線長為l，底面的半徑為r，∵的面積為，∴．解得．由勾股定理，可得母線，如圖，作出圓錐的軸截面，球與圓錐側(cè)面相切，設(shè)球心為D，球的半徑為R，則于E，，則，可得，即，解得，∴球的體積．（2）如圖，圓錐的側(cè)面展開圖為扇形SAN，扇形SAN的弧長為，扇形SAN的圓心角，∴，在中，由余弦定理，，∴，∵，∴螞蟻爬行的最短距離為AM的長度，即螞蟻爬行的最短距離為．20．解（1）由題意得，∵，，∴，∴（2）D為直線MN上一點，設(shè)，則∴∵直線CD經(jīng)過的垂心，所以，即，∴，解得，∴，又，∴，．21．（1）證明：連接BH，∵FG為的中位線，∴，∵，，∴，∵，，，∴∵，EF，F(xiàn)G都在平面EFG內(nèi)，∴．（2）解：如圖，四邊形為所求截面．取的中點N，連接，NE，∴，，取的中點M，連接AM，，∴，，∴，∴□為過A，E，三點的截面，又