2020-2021學(xué)年衢州市五校聯(lián)盟高二上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試卷

一、單選題(本大題共10小題，共40.0分)

1.設(shè)全集為R，集合4={K€Z|-l<x<3},集合B={1,2},則集合力CCRB=().

A.{0,3}B.(-1,1)U(2,3]

C.(0,1)U(1,2)U(2,3]D.{-1,0}

%:嗤需畏鼠就唾察唾工

IK等卜靜唾雙氧

2.已知實(shí)數(shù)制般滿足條件.!%錯(cuò)譴溷則使得目標(biāo)函數(shù)

:即喳騾鬻士裁唾黑黑

序游展

字=卷就我嬲聊取得最大值的鬻歲的值分別為()

A.0,12B.12,0C.8,4D.7,5

3.已知以F為焦點(diǎn)的拋物線y2=4久上的兩點(diǎn)力、B滿足荏=3而，則弦4B的中點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為

()

A.IB.IC.2D.1

4,函數(shù)/⑺=的圖象大致為()

y?

A.

!/lX

1/

C.X/_>t\

D.\

5.若1、Q、匕表示直線，a、夕表示平面,下列命題正確的是()

A.亦a,aCamillaB.alla,allb=>blla

c-alla,bla=>alb

D.aRa}all￡

6.以橢圓9+y2=i的焦點(diǎn)為頂點(diǎn),同時(shí)以橢圓的頂點(diǎn)為焦點(diǎn)的雙曲線方程是()

c-T-y2=1D*―/=I

三棱錐P-ABC中，PA=PB=PC,Z.BAC=90°,AB=AC,

則下列異面直線所成角最大的是（

A.PA^BC

B.PB與AC

C.PC^AB

D.無(wú)法確定

8.觀察下列事實(shí)|對(duì)#|刎=1的不同整數(shù)解（時(shí)感:的個(gè)數(shù)為4,|對(duì)書(shū)］刎=囂的不同整數(shù)解感:的

個(gè)數(shù)為8,|對(duì)川刎=筆的不同整數(shù)解《“蔚的個(gè)數(shù)為12,……，則|W⑶閘|=30的不同整數(shù)解

:的路感:的個(gè)數(shù)為（）

A.76B.80C.86D.92

9.已知某個(gè)幾何體的三視圖如右圖，根據(jù)圖中標(biāo)出的尺寸（單位：cm）,則此幾何體的所有側(cè)面的

面積中最大的是（）

-20f■20—

正視圖側(cè)視圖

*20-?1

俯視圖

A.:MB展熄B.期物怎-小C.黛映像瞰FD.顫琳醫(yī)短

10.當(dāng)x>l時(shí)，不等式aWx+二恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）

A.(-oo,2)B.[2,+oo]C.[3,+河D.(-oo,3]

二、單空題（本大題共7小題，共36.0分）

222

11.設(shè)橢圓￡+、=1和雙曲線=1的公共焦點(diǎn)分別為6、F2,P為這兩條曲線的一個(gè)交點(diǎn),

貝歐麗||恒匚-

12.仇章算術(shù)》是我國(guó)古代數(shù)學(xué)經(jīng)典名著.在仇章算術(shù)》中，將四個(gè)面均為直角三角形的四面

體稱為“鱉席”.己知某“鱉腌”的三視圖如圖所示，則該“鱉腌”的體積為

正(主)視圖側(cè)(左)視圖

俯視圖

13.已知a2s譏。+acosO-2=0,b2sin9+bcosO-2=0(a,b,9ER,且aHh),直線/過(guò)點(diǎn)a2),

B(b,b2),則直線，被

圓(久-cosdy+(y—sinO)2=4所截得的弦長(zhǎng)為.

14.函數(shù)y=3s譏(3、+9—3的最小正周期為.

15.如圖，雙曲線的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)。，4C分別是雙曲線虛軸的上下頂點(diǎn)，8是雙曲線的左頂點(diǎn),

F為雙曲線的左焦點(diǎn)，直線48與FC相交于點(diǎn)D.若雙曲線的離心率為2,則的余弦值是

16.已知二次函數(shù)y=/(%)的圖象為開(kāi)口向下的拋物線，且對(duì)任意％eR都有f(1+%)=f(l-%).若

向量五=(m,—1),b=(m,—2)，則滿足不等式/(方?3)>/(—1)的血的取值范圍為.

17.定義運(yùn)算ax=x~y(x,y巳％).當(dāng)％>0,y>0時(shí)％區(qū)y+(2y］的最小值為.

三、解答題(本大題共5小題，共74.0分)

18.已知sin?—a)=，且a為第四象限角，求下列各式的值.

(l)tan(a-J)；

2sin%+sE2a.

cos2a

19.如圖在四面體?！?BC中，已知4。=BC=4C=5,A8=DC=6,sin^DAB=1,M為線段4B

上的動(dòng)點(diǎn)(不包含端點(diǎn)).

(1)證明：AB1CD；

(2)求二面角D-MC-B的余弦值的取值范圍.

20.己知公差不為。的等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為無(wú),$1=1且$1，S3,S10—1成等比數(shù)歹

(1)求｛an｝的通項(xiàng)公式；

(2)設(shè)“數(shù)列伯?｝的前n項(xiàng)和為7；,求使得心＞當(dāng)成立的n的最小值.

anan+lo

21.已知橢圓方程為/+4*=16,求出其頂點(diǎn)、焦點(diǎn)坐標(biāo)及離心率.

22.已知函數(shù)/'(%)=|x3+2x2—5x+a(xeR).

⑴當(dāng)a=號(hào)時(shí)，求函數(shù)圖象在點(diǎn)(-1,6)處的切線方程;

(2)若/(久)有三個(gè)零點(diǎn)，求a的取值范圍.

參考答案及解析

1.答案：A

解析：

本題主要考查交、并、補(bǔ)集的混合運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.由題可得4=[0,1,2,3},進(jìn)而得出集合anCRB.

解：A={0,1,2,3},B={1,2},

所以AC(CRB)={0,3}.

故選A.

2.答案：D

'眥嗤鬻唾鬻鵬唾察噴其

眥噂黑叫驢氧

解析:試題分析：由■<SH**?勒曾秀.知B,C不在可行域內(nèi)，根據(jù)4,0選項(xiàng)的況朋計(jì)算z分別為4200,

凰:喳圈+即49唾艇北

國(guó)般，三展

4900,故選D

考點(diǎn)：本題主要考查簡(jiǎn)單線性規(guī)劃問(wèn)題。

點(diǎn)評(píng)：簡(jiǎn)單題，解決簡(jiǎn)單線性規(guī)劃問(wèn)題，往往遵循“畫(huà)、移、解、答”等步驟。

3.答案：A

解析：

解：設(shè)BF=m,由拋物線的定義知

AAr=3m,BB]=m,

ABC^p,AC=2m,AB=4m,kAB=V3,

直線ZB方程為y=V3(x—1),

與拋物線方程聯(lián)立消y得37-10%+3=0,

所以4B中點(diǎn)到準(zhǔn)線距離為詈+1=|+1=*

故選A.

設(shè)BF=m,由拋物線的定義知和進(jìn)而可推斷出AC和4B,及直線4B的斜率，則直線的

方程可得，與拋物線方程聯(lián)立消去y,進(jìn)而跟韋達(dá)定理求得/+*2的值，則根據(jù)拋物線的定義求得弦

4B的中點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離.

本題主要考查了拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì).考查了直線與拋物線的關(guān)系及焦點(diǎn)弦的問(wèn)題.常需要利用拋物

線的定義來(lái)解決.

4.答案:B

解析：解：函數(shù)/（久）=1。叫久，底數(shù)小于1,單調(diào)遞減；恒過(guò)（1,0）；

結(jié)合選項(xiàng)8正確，

故選：B.

根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象可得答案.

本題考查了對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象，是基礎(chǔ)題.

5.答案：C

解析：解：4根據(jù)線面平行的性質(zhì)可知，〃/a不一定成立，有可能是異面直線.

B當(dāng)b<t-a,結(jié)論成立，當(dāng)bua,則結(jié)論不成立.

C.根據(jù)線面垂直和線面平行的性質(zhì)可知，若〃/防bla,則a1b成立.

。.若a〃a,a//p,貝Ua〃6或au/?,.,.結(jié)論不成立.

故選：C.

6.答案：C

解析：解：橢圓過(guò)+/=1的頂點(diǎn)為（—2,0）和（2,0）,焦點(diǎn)為（一VX0）和（遮,0）.

???雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)是（一2,0）和（2,0）,頂點(diǎn)為（一百,0）和（百,0）.

可得雙曲線的a=百，c=2,貝股=1,

2

???雙曲線方程為：--y2=1.

37

故選：C.

先求出雙曲線的頂點(diǎn)和焦點(diǎn)，從而得到橢圓的焦點(diǎn)和頂點(diǎn)，進(jìn)而得到橢圓方程.

本題主要考查了利用橢圓與雙曲線的性質(zhì)求解雙曲線的方程，解題的關(guān)鍵是熟練掌握橢圓與雙曲線

的性質(zhì)，正確找出題中的相關(guān)量.

7.答案：A

解析：解：如圖，

p

?；P4=PB=PC,.?.頂點(diǎn)P在底面的射影為底面三角形的外心，設(shè)為。，

VZ.BAC=90°,AB=AC,■-0為B4的中點(diǎn),

貝IMO1BC,又PO1BC,可得BC1平面P力。，貝UP41BC,

P4與BC所成角為90°；

假設(shè)PB14C,???PO1AC,；.AC1平面PBC,貝!MC1BC,與NB力C為90°矛盾；

同理PC與2B所成角小于90。.

故P4與BC所成角為最大角，等于90。.

故選：A.

由已知畫(huà)出圖形，證明P4與8c所成角為90。，再由反證法說(shuō)明B,C錯(cuò)誤，則答案可求.

本題考查異面直線所成角的求法，訓(xùn)練了利用反證法證明數(shù)學(xué)問(wèn)題，是中檔題.

8.答案：B

解析：試題分析：記|利近刎=堿;霞隹瓣，的不同整數(shù)解?；煳档膫€(gè)數(shù)為一奠礴，則依題意有

翼霞=琳=郵幻|，典③：=靄=4反鼠頻禽=：展=4次第，……，由此可得宣翻＞=+：：,所以

國(guó)|昔|刎=麓的不同整數(shù)解4時(shí),威：的個(gè)數(shù)為/1現(xiàn)=瓶顫=顫，選艮

考點(diǎn)：歸納推理.

9.答案：C

解析：試題分析：此幾何體為四棱錐如圖所示.底面為邊長(zhǎng)為20的正方形，高,遨=觀,且感為雷

中點(diǎn).側(cè)面,懿哪面積最大為』求我嫁、呢丙蓊=怎醐7依融露.故C正確.

p

BC

考點(diǎn)：二視圖.

10.答案：D

解析：

本題考查了基本不等式，要注意不等式成立的條件，考查不等式恒成立問(wèn)題，屬于中檔題.

利用％：22(%>0)求解，注意等號(hào)成立的條件，有條件x〉1可將x-1看成一個(gè)整體求解，結(jié)合

不等式恒成立問(wèn)題求解即可.

解：因?yàn)椴坏仁絘Wx+二v恒成立，

X-1

由=T-1+—-+1>21/(X-1)X—,+1=3,當(dāng)且僅當(dāng)工=2時(shí)取等號(hào).

即x+Fl的最小值為3，

所以a<3.

故選D

11.答案：3

272

解析：解：?.?橢圓卷+、=1和雙曲線尤2=1的公共焦點(diǎn)分別為a、F2,

???TH—2=3+1,m=6,

\PFi\+IPF2I=2V6,\\PFr\-\PF2\\=2V3,

兩式平方相減可得,4IPFJ?\PF2\=12,

■■■\PF1\-\PF2\=3.

故答案為：3.

2?2

先根據(jù)橢圓￡+5=1和雙曲線拳--=1的公共焦點(diǎn)分別為6、F2,確定小的值，再利用橢圓、雙

曲線的定義，即可求得IPF1I?IPF2I的值?

本題考查橢圓與雙曲線的綜合，考查橢圓與雙曲線定義，正確運(yùn)用定義是關(guān)鍵.

12.答案：8

解析：解：由三視圖還原原幾何體如圖，

該幾何體為三棱錐，側(cè)棱P41底面A8C,

底面三角形4BC是以N4BC為直角的直角三角形.

該幾何體的體積了=|x|x4x3x4=8.

故答案為：8.

由三視圖還原原幾何體，該幾何體為為三棱錐，側(cè)棱PA1底面4BC,底面三角形力BC是以N4BC為直

角的直角三角形.再由棱錐體積公式求解.

本題考查由三視圖求面積、體積，關(guān)鍵是由三視圖還原原幾何體，是中檔題.

13.答案：2百

匕）2

解析:試題分析：由條件求得4+,+=2,經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)（0?。ǔ馉t）的直線方程為的+a）x-y-ab=

0.再由a和b是方程sin。?x2+cos3x—2=0的兩個(gè)根，可得a+b=—；啰，

smd

ab=二彳，故直線卿cos。％+sinOy-2=0.求得圓心（cos。,s伉。）到直線Z的距離d的值，再故由弦長(zhǎng)

公式可得弦長(zhǎng).

(心2(a+b)

cos3=------

22ab22

vasin3+acos3-2=0,bsin3+bcosd-2=0,_7vsin0+cos0=1,

sin0=—

4+￡+匕)2=2

經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)(a,a2),(b”2)的直線方程為咚三二—,即(b+a)x-y-ab=0.

b^—(izb—o.

再由。和b是方程sin。?/+cos。％-2=0的兩個(gè)根，a+b=———,ab=-故直線［即

cosO,2八

_布尤7+==3

即cos。％+sindy-2=0.

由于圓心(cos。,s譏8)到直線I的距離d="iM警!=L故由弦長(zhǎng)公式可得弦長(zhǎng)為2g二定=

Vcos20+sin20

2百，

故答案為2W.

14.答案:y

解析:解：???數(shù)y=3s譏(3%+9-3,

其最小正周期T=拳

故答案為：拳

利用正弦函數(shù)的周期公式即可求得答案.

本題考查正弦函數(shù)的周期及其求法，屬于基礎(chǔ)題.

15.答案:包

14

解析：

本題考查角的余弦值的求法，是中檔題，解題時(shí)要注意余弦定理和雙曲線簡(jiǎn)單性質(zhì)的靈活運(yùn)用.

利用雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)求出直線方程，求出三角形三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)，利用余弦定理求得cosNBDF的

值.

解：由題意得4(0”)，C(O,—b),B(—a,0),F(-c,0),5=2.

.?.BF=c—a=a,80的方程為二+^=1,即b%—ay+ah=0,

—ab/

DC的方程為1，即b%+cy+Z?c=0,即b%+2ay+2ab=0,

—ay+ab=0

+2ay+lab=O'

得<D（-表-1），又b=Vc2—a2=

:-FD=J（-c+2+?=杵，

80=卜+軻2瑞=杵,

三角形BDF中，由余弦定理得M=品2+302—2I-a2-I-a2cosz.BDF

997979

cosZ-BDF=—.

14

故答案為：C.

14

16.答案:(-1,1)

解析:解：???對(duì)任意％eR都有f(l一%)=/(I+%).

故函數(shù)的對(duì)稱軸為1=1,

??,a=(m1-1),b=(科一2)，

???得b=病+2，

\m2+2—1|<|-1-1|

解得-1<zn<1

故答案為：(—1,1)

由已知中二次函數(shù)y=/(%)的圖象為開(kāi)口向下的拋物線，且對(duì)任意久eR都有/(I-x)=/(I+%).我

們可以判斷函數(shù)的圖象是以％=1為對(duì)稱軸，開(kāi)口方向朝下的拋物線，再由向量五=(皿-1),b=

(m,-2),結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)和向量數(shù)量積運(yùn)算，我們可以得到一個(gè)關(guān)于TH的不等式，解不等式即

可求出租的取值范圍.

本題考查的知識(shí)點(diǎn)是二次函數(shù)的性質(zhì)，絕對(duì)值不等式的解法，平面向量的數(shù)量積的運(yùn)算，其中根據(jù)

二次函數(shù)的性質(zhì)和向量數(shù)量積運(yùn)算，將不等式1)轉(zhuǎn)化為一個(gè)關(guān)于根的不等式，是解答

本題的關(guān)鍵.

17.答案:V2

2

解析：解：?咆”號(hào)

x2-y2.4y2T2x2+2y

x0y+2y）x=------------1--------------=------------

xy2xy2xy

...立絲>空包=V2,

2xy2xy

由丁x>OyO,

x2+y>2x2y2=,

答案為：V2.

通過(guò)新定可得%③y+2)因%=軟;利用基本不等式得論.

本題以新定義為景，查函數(shù)的最值，涉及到本不等式知識(shí)，注解題法積累，屬于中.

18.答案：解：（1）sing-仇）=￡??.cosa=

va為第四象限角，??.sina=-V1-cos2a=一、

貝Utana=吧竺4

cosa3’

41

.(■加、tana-1--1?

,,tan(a)==~=7；

'4，1+tana1+(一-)

2sin2a+sin2a2sin2a+2sinacosa

(2)-----------z--------=----------————

coszacos^a—sinzcr

4

_2sina_2tana2x(一§)8

cosa-sintz1-tana7,

解析：(1)由已知利用誘導(dǎo)公式及同角三角函數(shù)基本關(guān)系式化簡(jiǎn)求值；

(2)化弦為切求解交叱空巫

本題考查三角函數(shù)的化簡(jiǎn)求值，考查誘導(dǎo)公式及同角三角函數(shù)基本關(guān)系式的應(yīng)用，是基礎(chǔ)題.

19.答案：證明：(1)作取4B中點(diǎn)。，連D。，C。,由4C=BC,0

為中點(diǎn)，i^OCLAB.

由AD=5,AO=3,sin^DAB=1,知。。=4,故。。14B,

???AB1平面DOC,CD在平面DOC內(nèi)，AB1CD.

解：(2)由(1)知AB_L平面DOC,AB在平面ABC內(nèi)，

故平面DOC1平面力BC.

以。為原點(diǎn)，0B為久軸，。。為y軸，Oz垂直平面48C,

建立空間直角坐標(biāo)系。-xyz.

故0(0,0,0),5(3,0,0),C(0,4,0),4(一3,0,0),

設(shè)。M=m,(-3<m<

3),則M(m,0,0),

在△DOC內(nèi)，作DE10C,

連E。，由。。=。。=4,

DC=6,

解得EO=gDE="

22

故。(0,/子).

設(shè)平面DMC的法向量為元=(x,y,z),則詼=(0,—[,*),CM=

n-CO=-|y+^z=0

由取X=4V7，得記=(4V7,y/7m,3m).

n-CM=mx-4y=0

平面MCB的法向量為記=(0,0,1),

\3m\

???|cos<m-n>|=3

V112+6m2

\3m\3_9

?.--3<m<3,??-Icos<m-n>|=

V112+6m2藐一運(yùn)

設(shè)。為二面角D—MC—B的平面角，則一白＜cos。

1616

.■二面角?！狹C—B的余弦值的取值范圍是[-總勺.

解析：(1)作取4B中點(diǎn)。，連D。，CO,推導(dǎo)出。C14B,0D1.AB,從而AB1平面。0C,由此能證明

AB1CD.

(2)以。為原點(diǎn)，0B為x軸，0C為y軸，Oz垂直平面力BC,建立空間直角坐標(biāo)系。-盯z.利用向量法能

求出二面角。-MC-8的余弦值的取值范圍.

本題考查線線垂直的證明，考查二面角的余弦值的取值范圍的求法，考查空間中線線、線面、面面

間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題.

20.答案：解：(1)公差不為0的等差數(shù)列｛an｝的前幾項(xiàng)和為$,51=1且?,S3,Sio—l成等比數(shù)歹U，

所以瑾=S1O-1.

設(shè)等差數(shù)列｛即｝的公差為d,

所以(3a1+-y-d)2=10a1+~~~d—1,解得d=3(0舍去)，

故=3n—2.

(2)由(l)an=3n—2,

所以刈=[^=2(六一焉)，

oTl—Z3?1+1

所bl以、IF"=C2X/