第二章直線和圓的方程章末題型歸納總結(jié)模塊一：本章知識思維導圖模塊二：典型例題經(jīng)典題型一：直線與線段相交問題經(jīng)典題型二：直線方程綜合應(yīng)用經(jīng)典題型三：直線與坐標軸圍成的面積問題經(jīng)典題型四：直線對稱問題經(jīng)典題型五：兩直線的平行與垂直經(jīng)典題型六：直線與圓的位置關(guān)系經(jīng)典題型七：圓與圓的位置關(guān)系經(jīng)典題型八：軌跡問題經(jīng)典題型九：直線和圓的范圍與最值問題模塊三：數(shù)學思想方法①分類討論思想②轉(zhuǎn)化與化歸思想③數(shù)形結(jié)合思想模塊一：本章知識思維導圖模塊二：典型例題經(jīng)典題型一：直線與線段相交問題例1．（2023·河南洛陽·高二校聯(lián)考階段練習）已知點，，過點的直線與線段相交，則的斜率的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】如圖所示：，由圖象知：當?shù)男甭什淮嬖跁r，直線與線段相交，故的斜率的取值范圍為.故選：D.例2．（2023·山東棗莊·高二棗莊八中?？茧A段練習）已知直線，若直線與連接、兩點的線段總有公共點，則直線的傾斜角范圍為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】直線的方程可得，所以，直線過定點，設(shè)直線的斜率為，直線的傾斜角為，則，因為直線的斜率為，直線的斜率為，因為直線經(jīng)過點，且與線段總有公共點，所以，即，因為，所以或，故直線的傾斜角的取值范圍是．故選：D．例3．（2023·重慶·高二重慶第二外國語學校?？计谥校┲本€經(jīng)過點和以，為端點的線段相交，直線斜率的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】∵，，圖象如圖所示：由圖可知，直線的斜率滿足或，故直線的斜率的取值范圍為．故選：D．例4．（2023·寧夏銀川·高二?？茧A段練習）經(jīng)過點作直線l，且直線l與連接點，的線段總有公共點，則直線l的傾斜角α的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】設(shè)直線的傾斜角為，，因為直線l與連接點，的線段總有公共點，所以，即，所以.故選：A.例5．（2023·安徽阜陽·高二安徽省阜南實驗中學?？奸_學考試）已知兩點，過點的直線l與線段AB有公共點，則直線l的斜率k的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】如圖，由題意可知.要使與線段有公共點，則直線的斜率的取值范圍是.故選：C例6．（2023·全國·高二階段練習）設(shè)點?，若直線l過點且與線段AB相交，則直線l的斜率k的取值范圍是（

）A．或 B．或C． D．【答案】A【解析】如圖所示：依題意，，要想直線l過點且與線段AB相交，則或，故選：A例7．（2023·江蘇·高二專題練習）已知點，，若直線與線段有公共點，則的取值范圍是（

）A． B．C．或 D．【答案】C【解析】直線l：經(jīng)過定點，，．又直線l：與線段相交，所以或，故選：C．經(jīng)典題型二：直線方程綜合應(yīng)用例8．（2023·高二課時練習）已知的三個頂點、、.(1)求的三個內(nèi)角；(2)求的平分線所在直線的方程.【解析】（1）的三個頂點、、所以，，由余弦定理可得，，由于，所以（2）如圖，設(shè)之下與軸交于點，的平分線交于點，設(shè)直線的斜率為，因為，所以則所以，即由題意可得直線的斜率，同理可得直線的斜率，所以，化簡得，解得，結(jié)合圖象可得，所求直線方程為．故的平分線所在直線的方程為．例9．（2023·山東煙臺·高二山東省煙臺第一中學?？茧A段練習）已知的頂點，高CD所在直線方程為，角的平分線BE所在直線方程為．求：(1)點的坐標；(2)BC邊所在直線方程．【解析】（1）∵的頂點，高CD所在直線方程為，角的平分線BE所在直線方程為，∴直線AB的斜率，∴直線AB的方程為：，即，聯(lián)立，得，∴B點坐標為；（2）∵，，角的平分線BE所在直線方程為，∴，∴，解得或（舍），∴直線BC的方程為：，即．例10．（2023·北京·高二人大附中?？计谥校┰谄矫嬷苯亲鴺讼祒Oy，已知的三個頂點A(m，n)，B(2，1)，，且的面積為4.(1)求BC邊所在直線的一般式方程；(2)請寫出n與m的關(guān)系式；(用m表示n)(3)BC邊上中線AD的方程為，求點A的坐標.【解析】（1）由B(2，1)，，可得直線BC的斜率．故直線BC的方程為化為一般式方程為（2）由B(2，1)，，，由S=4，可以得出BC邊上的高為根據(jù)點A到直線BC距離公式得即或①（3）由B(2，1),，可得BC的中點D的坐標為(0，2)又由AD的方程，則有，解得故AD數(shù)方程為由A(m，n)，可得，②由第(2)問知，聯(lián)立①②可得或，故點A的坐標為或(2，3)例11．（2023·河南南陽·高二南陽中學?？茧A段練習）已知的頂點的坐標為，邊上的中線所在的直線方程為，的角平分線所在的直線方程為．(1)求頂點的坐標；(2)求直線的方程．【解析】（1）設(shè)，則的中點在直線上，所以，即①，又點在直線上，所以②，由①②得：，，即頂點（2）設(shè)點關(guān)于直線的對稱點的坐標為，則點在直線上，線段的中點在角平分線上，由題意知，，解得，，即，因為，所以直線的方程為，即例12．（2023·江蘇連云港·高二東?？h石榴高級中學?？茧A段練習）已知直線.(1)求證：直線經(jīng)過定點，并求出定點P；(2)經(jīng)過點P有一條直線l，它夾在兩條直線與之間的線段恰被P平分，求直線l的方程.【解析】（1）證明：將直線l的方程改寫為，令，且，兩式聯(lián)立，解得，，所以直線過定點.（2）如圖，設(shè)直線l夾在直線，之間的部分是AB，且AB被平分，設(shè)點A，B的坐標分別是，，則有，，又A，B兩點分別在直線，上，所以，，由以上四個式子解得，，即，所以直線AB的方程為.例13．（2023·北京海淀·高二?？计谥校┮阎叫兴倪呅蔚娜齻€頂點坐標為（1）求平行四邊形的頂點的坐標；（2）求平行四邊形的面積；（3）在中，求外心的坐標.【解析】(1)AC中點為，該點也為BD中點，設(shè)，根據(jù)中點坐標公式得到：，解得：，所以；（2）故得到斜率為：，代入點坐標可得到直線BC：，∴A到BC的距離為，又根據(jù)兩點間距離公式得到：，∴四邊形ABCD的面積為.(3)設(shè)點，則，即，化簡得：，解得，所以外心的坐標為．例14．（2023·高二單元測試）已知直線和點（1）直線l上是否存在點C，使得為直角三角形，若存在，請求出C點的坐標；若不存在，請說明理由；（2）在直線l上找一點P，使得最大，求出P點的坐標.【解析】(1)點，故，若直線l上存在點C，使得為直角三角形，設(shè)，則討論以下三種情況：①若AB是斜邊，則，即，，則，方程無解；②若AC是斜邊，則，即，，符合題意，此時；③若BC是斜邊，則，即，；綜上，若直線l上存在點，使得為直角三角形，AC是斜邊；(2)根據(jù)題意，過A，B的圓與直線l相切于P時，最大.因為，，所以延長線與直線l相交于點,根據(jù)圓的性質(zhì)，而，故切點P的坐標為，此時最大，為.例15．（2023·高二課時練習）在平面直角坐標系中，的頂點的坐標為，邊上的中線所在的直線方程為，的角平分線所在的直線方程為.（1）求點的坐標；（2）求直線的方程.【解析】（1）設(shè)點B的坐標為則中點M的坐標為依題意可知，點B在直線上，點M在直線上則有解得，即點B的坐標為（2）設(shè)點A關(guān)于直線的對稱點為，則在直線上設(shè)點的坐標為，則點的中點坐標為則有解得即點的坐標為直線的斜率為所以直線的直線方程為化簡得：即直線的方程為.例16．（2023·江蘇常州·高二華羅庚中學?？茧A段練習）已知的頂點，邊上的中線所在直線方程為，邊上的高所在直線方程為，（1）求頂點的坐標；（2）求的面積．【解析】（1）設(shè)，因為直線與直線垂直，且點在直線上，所以，解得，故.（2）設(shè)由題知：，所以，解得，即.，直線，即：.，點到直線的距離，所以.經(jīng)典題型三：直線與坐標軸圍成的面積問題例17．（2023·江蘇·高二專題練習）已知直線：恒過點，且與軸，軸分別交于，兩點，為坐標原點.(1)求點的坐標；(2)當點到直線的距離最大時，求直線的方程；(3)當取得最小值時，求的面積.【解析】（1）由，則直線恒過.（2）要使點到直線的距離最大，即到直線的距離，所以，整理得，故，所以，即.（3）由題意，直線的截距均不為0，則，，且、，所以，僅當時等號成立，所以時取最小值，當，則，，此時的面積為；當，則，，此時的面積為；所以的面積為或.例18．（2023·寧夏銀川·高二?？茧A段練習）已知直線，.(1)若直線，求k的值.(2)O為坐標原點，若，直線交x軸正半軸于A，交y軸正半軸于B，若的面積為，求k的值.【解析】（1）當時，，此時兩直線不平行，故；當時，.因，則.綜上，時，直線；（2）令，可得；令，可得.因，的面積為，則或.例19．（2023·湖南株洲·高二校考期中）設(shè)直線的方程為．(1)求證：不論為何值，直線一定經(jīng)過第一象限；(2)若直線分別與軸正半軸，軸正半軸交于點，，當面積為12時，求的周長．【解析】（1）證明：將整理成，令，解得，，所以定點為，因為點在第一象限，所以不論為何值，直線必過第一象限.（2）由題意知，，由，當時，，當時，，由，得，所以面積，解得，此時，，，所以的周長為，故當面積為12時，的周長為．例20．（2023·安徽宣城·高二安徽省宣城中學校考階段練習）已知直線的方程為：(1)求證：不論為何值，直線必過定點；(2)過點引直線，使它與兩坐標軸的正半軸所圍成的三角形面積最小，求的方程．【解析】（1）證明：由可得：，令，所以直線過定點．（2）由（1）知，直線恒過定點，所以設(shè)直線的方程為，令，則；令，則，所以，當且僅當，即時，三角形面積最小，此時的方程為．例21．（2023·四川樂山·高二校考階段練習）解決下列問題：(1)一直線被兩直線：，：截得線段的中點是，求此直線方程；(2)過點的直線交軸、軸的正半軸于A、B兩點，求使：面積最小時的方程．【解析】（1）設(shè)該直線與直線的交點為，與直線的交點為，由中點坐標公式可得.則該直線與直線的交點為，直線斜率為，所以直線方程為：，即．即此直線方程為．（2）設(shè)直線的方程為，則，，直線過點，，則，當且僅當時取等號，，，當且僅當，時，取最小值，此時直線的方程為，即．例22．（2023·黑龍江鶴崗·高二鶴崗一中?？计谥校┰O(shè)直線l的方程為(1)若l在兩坐標軸上的截距相等，求直線的方程.(2)若直線l交x軸正半軸于點A，交y軸負半軸于點B，的面積為S，求S的最小值并求此時直線l的方程.【解析】（1）當直線過原點時滿足條件，此時，解得，此時直線方程為.當直線不過原點時，l在兩坐標軸上的截距相等，則直線斜率為，故，解得，可得直線l的方程為:.綜上所述，直線l的方程為或.（2）由題意知，令，解得，解得；令，解得，解得或.綜上有.∴，當且僅當，即時取等號.∴（為坐標原點）面積的最小值是6，此時直線方程，即.例23．（2023·遼寧·高二遼寧實驗中學?？茧A段練習）已知直線的方程為：．(1)求證：不論為何值，直線必過定點；(2)過點引直線，使它與兩坐標軸的負半軸所圍成的三角形面積最小，求的方程．【解析】（1）證明：直線的方程為：提參整理可得：．令，可得，不論為何值，直線必過定點.（2）設(shè)直線的方程為．令則，令．則，直線與兩坐標軸的負半軸所圍成的三角形面積．當且僅當，即時，三角形面積最?。藭r的方程為．例24．（2023·江蘇蘇州·高二江蘇省震澤中學校考階段練習）一條直線經(jīng)過點.分別求出滿足下列條件的直線方程.(1)與直線垂直；(2)交軸?軸的正半軸于，兩點，當三角形的面積最小值時直線方程.【解析】（1）因為直線的斜率為，且所求直線與直線垂直，所以所求直線的斜率為，從而所求直線方程為：，即.（2）由題意可知，所求直線方程的斜率必存在，且，則所求直線方程為：，令，則；令，則，從而，，故，因為，當且僅當，即時，不等式取等號，所以，即三角形的面積最小值為24時，直線的斜率為，此時直線方程為：，即.經(jīng)典題型四：直線對稱問題例25．（2023·江蘇常州·高二常州高級中學?？茧A段練習）兩直線方程為，則關(guān)于對稱的直線方程為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】聯(lián)立直線和的方程，得到，故直線和的交點為，在上取一點，設(shè)它關(guān)于直線的對稱點為，則有，整理得，解得，即，由，，可得所求直線方程為，即，故選：C.例26．（2023·安徽宣城·高二安徽省宣城中學?？茧A段練習）如下圖，一次函數(shù)的圖象與軸，軸分別交于點，，點是軸上一點，點，分別為直線和軸上的兩個動點，當周長最小時，點，的坐標分別為（

）A．， B．，C．， D．，【答案】C【解析】作關(guān)于軸的對稱點，作關(guān)于的對稱點，連接交軸于，交于，所以，此時周長最小，即，由，直線方程為，所以，解得，所以，可得直線方程為，即，由，解得，所以，令可，所以.故選：C.例27．（2023·江蘇·高二專題練習）若直線和直線關(guān)于直線對稱，則直線恒過定點（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因為直線過定點，點關(guān)于直線對稱的點為，故直線恒過定點.故選：C例28．（2023·高二單元測試）已知直線，點關(guān)于直線的對稱點為，直線經(jīng)過點，且，則直線的方程為（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】設(shè)點，則，解得，即點，因為，設(shè)直線的方程為，將點的坐標代入直線的方程可得，解得，所以，直線的方程為.故選：A.例29．（2023·甘肅蘭州·高二蘭州一中?？茧A段練習）將一張坐標紙折疊一次，使得點(0，2)與點(4，0)重合，點(7，3)與點(m，n)重合，則m+n=（

）A． B．10 C． D．5【答案】A【解析】由題意求出點(0，2)與點(4，0)所確定是垂直平分線l的方程，再由點(7，3)與點(m，n)關(guān)于l對稱，列式求解出m、n，即可求出m+n若將一張坐標紙折疊一次，使得點(0，2)與點(4，0)重合，則坐標紙折疊一次的折痕是點(0，2)與點(4，0)連線的垂直平分線，∵點(0，2)與點(4，0)中點為(2，1)，兩點連線的斜率為k=，∴其垂直平分線的斜率為2，則其垂直平分線方程為：y﹣1=2(x﹣2)，即y=2x﹣3，它也是點(7，3)與點(m，n)連線的垂直平分線，則，解得.∴m+n=.故選：A.例30．（2023·高二單元測試）若動點A，B分別在直線l1：x＋y－7＝0和l2：x＋y－5＝0上移動，則AB的中點M到原點的距離的最小值為()A．3 B．2 C．3 D．4【答案】A【解析】先求出點M所在直線的方程為l：x＋y＋m＝0，再求出m的值和原點到直線l的距離即得解.依題意知AB的中點M的集合為與直線l1：x＋y－7＝0和l2：x＋y－5＝0距離都相等的直線，則M到原點的距離的最小值為原點到該直線的距離．設(shè)點M所在直線的方程為l：x＋y＋m＝0，根據(jù)平行線間的距離公式得所以|m＋7|＝|m＋5|，所以m＝－6，即l：x＋y－6＝0.根據(jù)點到直線的距離公式得M到原點的距離的最小值為.故選：A.例31．（2023·全國·高二專題練習）關(guān)于原點對稱的直線是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】對于直線，將換為，換為得到，即，所以直線關(guān)于原點對稱的直線是.故選：C例32．（2023·江蘇·高二專題練習）直線關(guān)于點對稱的直線方程為（

）A．4x＋3y－4＝0 B．4x＋3y－12＝0C．4x－3y－4＝0 D．4x－3y－12＝0【答案】B【解析】設(shè)直線關(guān)于點對稱的直線上任意一點，則關(guān)于對稱點為，又因為在上，所以，即。故選：B例33．（2023·全國·高二期中）如果直線與直線關(guān)于軸對稱，那么直線的方程為（

）A． B．0 C． D．【答案】A【解析】設(shè)關(guān)于軸對稱的直線上的任意一點，則關(guān)于軸的對稱點在直線上，故，即即為所求．故選：A．例34．（2023·安徽宣城·高二安徽省宣城中學?？茧A段練習）直線關(guān)于直線對稱的直線方程是（）A． B．C． D．【答案】A【解析】在直線上任取一點，設(shè)點關(guān)于直線的對稱點為，則，解得，即，因為點在直線上，所以，即，所以所求直線方程為，故選：A.例35．（2023·江蘇·高二專題練習）設(shè)直線與關(guān)于直線對稱，則直線的方程是（）A． B．C． D．【答案】A【解析】聯(lián)立，得，取直線上一點，設(shè)點關(guān)于直線的對稱點為，則，解得：，直線的斜率，所以直線的方程為，整理為：.故選：A經(jīng)典題型五：兩直線的平行與垂直例36．（2023·江蘇泰州·高二泰州中學校考階段練習）兩條直線：，：互相垂直，則a的值是（

）A．0 B．－1 C．－1或3 D．0或－1【答案】C【解析】因為直線與互相垂直，所以，即：，解得：或.故選:C.例37．（2023·河北保定·高二校聯(lián)考階段練習）連接兩點的直線無限延展，與其平行的直線無論走多遠都無法碰面.設(shè)，則“”是“直線與直線平行”的（

）A．充分必要條件 B．既不充分也不必要條件C．充分不必要條件 D．必要不充分條件【答案】A【解析】當時，兩直線方程分別為和，則兩直線平行；當直線與直線平行時，有，即，解得或，其中時兩直線重合，舍去，故.“”是“直線與直線平行”的充分必要條件.故選：A例38．（2023·遼寧·高二遼寧實驗中學?？茧A段練習）已知直線，互相垂直，則實數(shù)的值為（

）A． B．或 C． D．或【答案】A【解析】因為直線，互相垂直，所以，所以或，當，直線不存在，故.故選：A例39．（2023·全國·高二專題練習）已知，“直線與平行”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】C【解析】直線與平行則，所以，解得，經(jīng)檢驗，均符合題意，故選：C.例40．（2023·河南·河南省內(nèi)鄉(xiāng)縣高級中學?？寄M預(yù)測）已知直線與直線，則“”是“”的（

）A．充分非必要條件 B．必要非充分條件C．充要條件 D．既非充分又非必要條件【答案】B【解析】由題意，直線，直線，因為，可得,，即，解得，所以“”是“”的必要非充分條件.故選：B.例41．（2023·全國·高二期中）已知直線，動直線，則下列結(jié)論錯誤的是（

）A．存在，使得的傾斜角為；B．對任意的，與都有公共點；C．對任意的，與都不重合；D．對任意的，與都不垂直；【答案】C【解析】當時，的傾斜角為，此時的方程為，故A正確；聯(lián)立方程組，得，此方程恒有解，故對任意的，與都有公共點，B正確；當時，，此時與重合，故C錯誤；因為的斜率為1，當時，與不垂直；當時，的斜率，所以對任意的，與都不垂直，D正確；故選：C.例42．（2023·江蘇·高二專題練習）已知點，，，是的垂心．則點C的坐標為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】設(shè)C點標為，直線AH斜率，∴，而點B的橫坐標為6，則，直線BH的斜率，∴直線AC斜率，∴，∴點C的坐標為．故選:.經(jīng)典題型六：直線與圓的位置關(guān)系例43．（2023·四川雅安·高二校考期中）直線與圓O：的位置關(guān)系是．【答案】相交【解析】因為圓的方程為．所以圓心為，半徑為1，直線化為，又因為圓心到直線的距離，所以相交．故答案為：相交.例44．（2023·黑龍江哈爾濱·高二哈爾濱三中校考階段練習）已知直線和曲線有兩個不同交點，則實數(shù)的取值范圍是．【答案】【解析】曲線，則，又，即，所以曲線表示圓在軸及軸上方的部分（半圓），直線，即，令，解得，所以直線恒過點，若直線與圓相切，則，解得，因為直線和曲線有兩個不同交點，由圖可知，即實數(shù)的取值范圍是.故答案為：例45．（2023·寧夏銀川·高二銀川唐徠回民中學?？茧A段練習）已知圓：，圓上恰有3個點到直線：的距離為，則．【答案】【解析】圓：，化為所以圓心為，半徑為，因為圓上恰有3個點到直線：的距離為，所以圓心到直線的距離為，則，解得故答案為：例46．（2023·浙江·高二校聯(lián)考期中）已知圓，圓，若圓平分圓的周長，則.【答案】【解析】圓的標準方程為，圓心為，半徑為，將兩圓方程作差可得，因為圓平分圓的周長，則這兩圓相交，且相交弦所在直線的方程為，由題意可知，直線過圓心，所以，，解得.故答案為：.例47．（2023·江蘇·高二專題練習）已知圓C與直線相切于點，且圓心C在直線上．過原點引圓C的切線，則切線長為．【答案】【解析】設(shè)圓心坐標為，圓的半徑為，由題意，圓心到的距離為，即，又圓心到的距離也是，即，故，整理得，即，則圓心坐標為，半徑為，原點到圓心的距離是，于是過原點作圓的切線長為：.故答案為：例48．（2023·安徽·高二?？计谥校┲本€：與圓相交、兩點，則．【答案】【解析】由解得或，不妨令，所以.故答案為：例49．（2023·江蘇·高二專題練習）過點向圓引切線，則其切線方程為.【答案】或【解析】當切線斜率不存在時，切線方程為，當切線斜率存在時，設(shè)切線方程為，即，再根據(jù)圓心到切線的距離等于半徑可得，解得，此時切線方程為.故答案為：或例50．（2023·江蘇·高二專題練習）過點的圓的切線方程【答案】或【解析】由圓方程知：圓心，半徑；當過的直線斜率不存在，即直線方程為：時，直線與圓相切；設(shè)過點且斜率存在的圓的切線方程為：，即，則圓心到直線的距離，即，該切線方程為：，即；綜上所述：所求切線方程為或.故答案為：或.例51．（2023·高二課時練習）過點作圓的兩條切線，切點分別為，則直線的方程為．【答案】【解析】因為圓的圓心為，半徑為2，設(shè)為點P，可知，以點P為圓心，3為半徑作圓P，即，兩圓方程作差整理得，所以直線（兩圓公共弦所在直線）的方程為.故答案為：.例52．（2023·全國·高二專題練習）過直線上一點作圓的兩條切線，切點分別為，，則的最小值為.【答案】/【解析】設(shè)，則有①，又由圓的圓心為，直線，是圓的兩條切線，為切點，則，，則點均在以為直徑的圓上，設(shè)的中點為，則圓的方程為，化簡得；直線即為兩圓的公共弦，所以對于和，兩式相減可得直線的方程為，由①可得，，整理得，由得故直線過定點，因為，說明在圓內(nèi)，當時，此時最小，為故答案為：例53．（2023·廣西南寧·高二南寧市邕寧高級中學?？茧A段練習）若直線與圓相切，則.【答案】【解析】由題意圓心為，半徑為2，所以，解得．故答案為：．例54．（2023·浙江杭州·高二浙江省杭州第七中學?？计谥校┤糁本€與曲線有且只有一個公共點，則實數(shù)m的取值范圍是．【答案】或【解析】因為曲線，所以，解得，，曲線可化為，兩邊同時平方有：，即，所以曲線是以為圓心，為半徑的圓的一部分，而直線，所以是斜率為1的直線，畫圖象如下：由于直線與曲線只有一個公共點，當直線過時，即，解得：，當直線過時，即，解得：，由圖象可知，當直線與圓相切時：，解得或，而即為在軸上的截距，由圖象可知，綜上：或.故答案為：或例55．（2023·江蘇·高二專題練習）圓與直線相交于，兩點，則．【答案】【解析】圓的標準方程為，則圓心為，半徑為，圓心到直線的距離為，如圖所示，則由垂徑定理可知，.故答案為：.例56．（2023·高二課時練習）若直線3x＋4y－8＝0被圓(x－a)2＋y2＝4截得的弦長為，則a＝．【答案】1或【解析】過作，在Rt△中，∠＝90°，，故，因為，即，解得a＝1或．故答案為：1或.經(jīng)典題型七：圓與圓的位置關(guān)系例57．（2023·四川雅安·高二校考期中）已知圓：和：，則兩圓的位置關(guān)系是（

）A．內(nèi)切 B．外切 C．相交 D．外離【答案】B【解析】因為圓：的圓心，半徑為，圓：即的圓心，半徑為，所以兩個圓的圓心距，又兩個圓的半徑和為，所以圓與圓的位置關(guān)系是外切.故選：B.例58．（2023·江西·高二南昌市第十七中學校聯(lián)考階段練習）已知是坐標原點，若圓上有2個點到的距離為2，則實數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】將圓的方程化為標準方程得，所以.到原點的距離為2的軌跡方程為，因為圓上有2個點到的距離為2，所以圓與圓相交，所以，又，解得，即實數(shù)的取值范圍為.故選：A.例59．（2023·河北邢臺·高二河北南宮中學?？茧A段練習）已知圓與圓相交，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】圓的圓心為，半徑為，圓的圓心為，半徑為.依題意可得，即，解得.故選：D.例60．（2023·高二課時練習）圓和圓的公切線的條數(shù)為（）A． B． C． D．【答案】B【解析】兩個圓與，圓圓心為，半徑為，圓圓心為，半徑為，兩圓圓心距為，，兩圓相交，有條公切線.故選：B.例61．（2023·全國·高二期中）已知圓與圓交于兩點，則（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由題意知，圓與圓相交，且公共弦所在直線方程為.又圓的圓心為，半徑為，所以圓心到直線的距離為，由弦長公式得.故選：B.例62．（2023·四川巴中·高二四川省通江中學?？计谥校┮阎?，：，則下列說法中，正確的個數(shù)有（

）個.（1）若在內(nèi)，則；（2）當時，與共有兩條公切線；（3）當時，與的公共弦所在直線方程為；（4），使得與公共弦的斜率為.A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【解析】因為：，：，所以：，：，則，，，，則，由在內(nèi)，可得，即，故（1）錯誤；當時，，，，，所以，所以兩圓相交，共兩條公切線，故（2）正確；當時，：，：，兩圓相交由，得：，即故（3）正確；公共弦所成直線的斜率為，令，無解，故（4）錯誤.故選：B.例63．（2023·福建漳州·高二校考期中）已知圓與圓交于，兩點，則（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】圓與圓，將兩圓的方程相減整理得直線，圓的圓心，半徑，點到直線的距離，所以故選：D．例64．（2023·全國·高二校聯(lián)考階段練習）若圓與圓的公共弦長為，則（

）A． B． C．2 D．4【答案】A【解析】圓與圓兩式相減，整理得公共弦所在直線方程為，又，圓心為，半徑為2，公共弦長為，則圓心到直線的距離，化簡得，解得：．驗證知符合題意.故選：A.例65．（2023·江蘇·高二專題練習）已知直線是圓的切線，并且點到直線的距離是2，這樣的直線有（

）A．1條 B．2條 C．3條 D．4條【答案】D【解析】由已知可得，圓心，半徑.由點到直線的距離是2，所以直線是以為圓心，為半徑的圓的切線，又直線是圓的切線，所以，直線是圓與圓的公切線.因為，所以，兩圓外離，所以兩圓的公切線有4條，即滿足條件的直線有4條.故選：D.經(jīng)典題型八：軌跡問題例66．（2023·廣西·高二桂林中學校聯(lián)考階段練習）已知圓，直線過點.(1)當直線與圓相切時，求直線的斜率；(2)線段的端點在圓上運動，求線段的中點的軌跡方程.【解析】（1）已知的圓心是，半徑是，設(shè)直線斜率為則直線方程是，即，則圓心到直線距離為，解得直線的斜率.（2）設(shè)點則，由點是的中點得，所以①因為在圓上運動，所以②①代入②得，化簡得點的軌跡方程是.例67．（2023·江蘇·高二專題練習）已知動直線（其中且為變動參數(shù)）和圓相交于、兩點，求弦的中點的軌跡方程．【解析】由恒過，且與圓相交于、，而的圓心為，若的中點為，則，所以，易知：在以為直徑的圓上，且，所以弦的中點的軌跡方程且.例68．（2023·江蘇·高二專題練習）的頂點B，C的坐標分別是，，頂點A在圓上運動，求的重心G的軌跡方程.【解析】設(shè)的重心G的坐標是，點A的坐標是.已知點B，C的坐標分別是，，則的重心G的坐標滿足，.因此有，.①因為點A在圓上運動，所以點A的坐標滿足方程，即滿足方程.②將①代入②，得.即所求軌跡方程為.例69．（2023·江蘇·高二專題練習）已知、兩定點．若動點滿足，求動點的軌跡方程．【解析】設(shè)，則，由，得，即，所以動點的軌跡方程為．例70．（2023·江蘇·高二專題練習）設(shè)平面上有一條長度為4的線段，試建立適當?shù)钠矫嬷苯亲鴺讼?，求?1)到線段兩端點的距離的平方差為16的點的軌跡方程；(2)到線段兩端點的距離的平方和為16的點的軌跡方程．【解析】（1）如圖取中點為原點，所在直線為軸，過點且垂直于的直線為軸，建立平面直角坐標系，則有、．設(shè)點到、兩點的距離的平方差為16，則，化簡得．因此，所求軌跡方程為，其軌跡是兩條垂直于軸的直線．（2）設(shè)點到、兩點的距離的平方和為16，則，化簡得．因此，所求軌跡方程，其軌跡是以為直徑的圓．例71．（2023·高二課時練習）已知點、是距離為4的兩個定點，動點滿足，建立適當?shù)钠矫嬷苯亲鴺讼?，并求動點的軌跡方程．【解析】如圖，以直線為軸，線段的垂直平分線為軸，建立平面直角坐標系，則兩定點為、．設(shè)動點的坐標是，則，．因為，所以，化簡得．這表明，動點軌跡上任意點的坐標都滿足這個方程．反過來，設(shè)平面上一點的坐標也滿足方程，即有，則．從而以方程的解為坐標的點都在軌跡上．綜上所述，方程就是所求的動點的軌跡方程．例72．（2023·全國·高二課堂例題）已知動點M到的距離與到的距離之比是，求M的軌跡方程，并指出軌跡曲線的形狀．【解析】設(shè)M的坐標為，根據(jù)已知條件知，由兩點之間的距離公式可知，上式可用坐標表示為，整理得，即動點的軌跡方程為，又由動點的軌跡方程可化為，所以可知軌跡曲線是圓心為且半徑為2的圓．例73．（2023·高二課時練習）已知兩點、，動點到點的距離是它到點的距離的3倍，求點的軌跡方程．【解析】設(shè)，由題意可知：，由兩點間距離公式可得：，化簡，得.例74．（2023·江蘇·高二專題練習）已知點是圓上的定點，點是圓內(nèi)一點，、為圓上的動點．(1)求線段AP的中點的軌跡方程．(2)若，求線段中點的軌跡方程．【解析】（1）設(shè)中點為，由中點坐標公式可知，點坐標為∵點在圓上，∴．故線段中點的軌跡方程為．（2）設(shè)的中點為，在中，，設(shè)為坐標原點，則，所以，所以．故線段中點的軌跡方程為．例75．（2023·江蘇·高二專題練習）已知圓C經(jīng)過點且圓心C在直線上.(1)求圓C方程；(2)若E點為圓C上任意一點，且點，求線段EF的中點M的軌跡方程.【解析】（1）設(shè)圓C的標準方程為，可知其圓心為，由題意可得，解得，所以圓C的標準方程為.（2）設(shè)，由及M為線段EF的中點得，解得，即，又因為點E在圓C：上，則，化簡得：，故所求的軌跡方程為．例76．（2023·江蘇·高二專題練習）已知圓的圓心在軸上，并且過，兩點.(1)求圓的方程；(2)若為圓上任意一點，定點，點滿足，求點的軌跡方程.【解析】（1）由題意可知，的中點為，，所以的中垂線方程為，它與軸的交點為圓心，又半徑，所以圓的方程為；（2）設(shè)，，由，得，所以，又點在圓上，故，所以，化簡得的軌跡方程為例77．（2023·江蘇·高二專題練習）如圖，已知點A(1，0)與點B(1，0)，C是圓x2+y2=1上異于A，B兩點的動點，連接BC并延長至D，使得|CD|=|BC|，求線段AC與OD的交點P的軌跡方程.【解析】設(shè)動點P(x，y)，由題意可知P是△ABD的重心，由A(1，0)，B(1，0)，令動點C(x0，y0)，則D(2x01，2y0)，由重心坐標公式得，則代入，整理得故所求軌跡方程為.經(jīng)典題型九：直線和圓的范圍與最值問題例78．（多選題）（2023·重慶涪陵·高二校聯(lián)考階段練習）已知曲線上的動點滿足，為坐標原點，直線過和兩點，為直線上一動點，過點作曲線的兩條切線為切點，則（

）A．點與曲線上點的最小距離為B．線段長度的最小值為C．的最小值為D．存在點，使得的面積為【答案】CD【解析】對于A，因為，設(shè)，則，可得曲線的軌跡為圓.方程為直線：，圓心到直線的距離為，則點與曲線上點的最小距離為，故A錯誤；對于B，由圖可知，在直角三角形中，，要使得線段的長度最小，則取最小值，由選項A可知，長度的最小值為，故B錯誤；對于C，設(shè)，則，在直角三角形中，，，所以，所以令，又，所以，又函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以，即的最小值為3，故C正確；對于D，由切線長定理知，直線垂直平分線段，得，當且僅當與直線垂直時取等號，即弦長度的最小值為.此時，設(shè)的中點為，則，所以，所以的面積的最小值為，又，，的面積所以存在點，使得的面積為3，故D正確.故選：CD.例79．（多選題）（2023·福建寧德·高二統(tǒng)考期中）已知點是圓：上的動點，則下面說法正確的是（

）A．圓的半徑為2 B．的最大值為C．的最小值為 D．的最大值為6【答案】BD【解析】A：，因此該圓的半徑為，所以本選項不正確；B：因為點是圓：上的動點，所以，設(shè)代入中，化簡得：，因為該方程有實根，所以，因此的最大值為，所以本選項正確；C：由B可知：，，由A可知：，因為點在圓上，所以，于是，其中，顯然的最小值為，所以本選項不正確；D：由B可知：，令，代入中，化簡得：，因為該方程有實根，所以，因此的最大值為6，所以本選項正確，故選：BD例80．（多選題）（2023·浙江嘉興·高二?？计谥校┮阎c，且點P在圓C：上運動，則下列結(jié)論正確的是（

）A．的最大值為B．的最小值為5C．的最大值為D．當最大時，【答案】ACD【解析】對于選項A：的最大值為圓心到的距離加上圓的半徑2，又易知，所以的最大值為，故選項A正確；對于選項B：當三點不共線時，，當與重合時，，所以的最小值為，故選項B錯誤；對于選項C：當三點不共線時，，當為射線與圓的交點時，取得最大值，故選項C正確；對于選項D：因為點在圓內(nèi)，如圖，當與圓相切時，最大，連接，，故選項D正確，故選：ACD．例81．（多選題）（2023·河北滄州·高二泊頭市第一中學?？茧A段練習）已知圓，直線，點P在直線l上運動，直線，分別切圓C于點A，B.則下列說法正確的是（

）A．四邊形的面積最小值為B．M為圓C上一動點，則最小值為C．最短時，弦直線方程為D．最短時，弦長為【答案】ACD【解析】對于A，由切線長定理可得，又因為，所以，所以四邊形的面積，因為，當時，取最小值，且，所以四邊形的面積的最小值為，故A正確；對于B，因為，所以最小值為，故B錯誤；對于C，由題意可知點，，在以為直徑的圓上，設(shè)，其圓的方程為：，化簡為，與方程相減可得：，則直線的方程為，當最短時，，則，解得，故直線的方程為，故C正確；對于D，當最短時，圓心C到直線的距離，所以弦長為，故D正確.故選：ACD.例82．（多選題）（2023·江蘇揚州·高二統(tǒng)考開學考試）已知圓直線：，點P在直線上運動，直線PA，PB分別與圓切于點A，B．則下列說法正確的是（

）A．四邊形的面積最小值為 B．|PA|最短時，弦AB長為C．|PA|最短時，弦AB直線方程為 D．直線AB過定點【答案】ABD【解析】對于A，四邊形的面積可以看成兩個直角三角形的面積之和，即，最短時，面積最小，故當時，最短，即，，故A正確．由上述可知，時，最短，故最小，且最小值為，所以,故B正確，當|PA|最短時，則，又，所以，，，可設(shè)的直線方程為，圓心到直線的距離，解得，，由于直線在圓心的右側(cè)，且在直線的左側(cè)，所以，所以，（舍去）即直線的方程為．故C錯誤．設(shè)圓上一點為,，,，,，,，,，,，易知，由于，所以同理，．，，將代入得等號成立，故直線過定點為，故D正確．故選：ABD．例83．（多選題）（2023·云南昆明·高二?？茧A段練習）已知點，，且點在直線：上，則（

）A．存在點，使得 B．存在點，使得C．的最小值為 D．最大值為3【答案】BCD【解析】對于A：設(shè)，若時，此時的斜率不存在，，與不垂直，同理時與不垂直，當且時，，若，則，去分母整理得，，方程無解，故與不垂直，故A錯誤；對于B：設(shè)，若，則，即，由，所以方程有解，則存在點，使得，故B正確；對于C：如圖設(shè)關(guān)于直線的對稱點為，則，解得，所以，所以，當且僅當、、三點共線時取等號（在線段之間），故C正確；對于D：如下圖，，當且僅當在的延長線與直線的交點時取等號，故D正確.故選：BCD例84．（多選題）（2023·江蘇·高二專題練習）若實數(shù)、滿足條件，則下列判斷正確的是（

）A．的范圍是 B．的范圍是C．的最大值為1 D．的范圍是【答案】BD【解析】對于選項A、B、C利用基本不等式進行化簡求解即可，對于選項D，利用數(shù)形結(jié)合進行判斷求解對于A，，故，化簡得，，所以，，A錯對于B，，又因為實數(shù)、滿足條件，故，所以，，B對對于C，由于，所以，，故，化簡得，，當且僅當時，等號成立，故的最大值為，C錯對于D，即求該斜率的取值范圍，明顯地，當過定點的直線的斜率不存在時，即時，直線與圓相切，當過定點的直線的斜率存在時，令，則可看作圓上的動點到定點的連線的斜率，可設(shè)過定點的直線為：，該直線與圓相切，圓心到直線的距離設(shè)為，可求得，化簡得，故，故D對故選：BD例85．（2023·江蘇·高二專題練習）圓上點到直線距離的最小值是．【答案】1【解析】由題意圓心為，半徑為1，圓心到已知直線的距離為，所以所求距離最小值為．故答案為：1.例86．（2023·安徽淮南·高二?？茧A段練習）已知⊙M：，直線l：，點P為直線l上的動點，過點P作⊙M的切線，切點為A，則切線段長的最小值為．【答案】1【解析】⊙M：的圓心坐標為，半徑為2，如圖，，且，故要使最小，則最小，此時PM⊥l，因為圓心M到直線l：的距離為，∴的最小值為故答案為：1．例87．（2023·河南洛陽·高二校聯(lián)考階段練習）2023年暑期檔動畫電影《長安三萬里》重新點燃了人們對唐詩的熱情，唐詩中邊塞詩又稱出塞詩，是唐代漢族詩歌的主要題材，是唐詩當中思想性最深刻，想象力最豐富，藝術(shù)性最強的一部分.唐代詩人李頎的邊塞詩《古從軍行》開頭兩句說：“白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河”.詩中隱含著一個有趣的數(shù)學問題———“將軍飲馬”，即將軍在觀望烽火之后從山腳下某處出發(fā)，先到河邊飲馬后再回軍營，怎樣走才能使總路程最短?在平面直角坐標系中，設(shè)將軍的出發(fā)點是A（2，4），軍營所在位置為B（6，2），河岸線所在直線的方程為x+y3=0，則將軍從出發(fā)點到河邊飲馬，再回到軍營（“將軍飲馬”）的總路程的最小值為.【答案】【解析】由題可知A，B在的同側(cè)，設(shè)點B關(guān)于直線的對稱點為，則，解得，即，所以“將軍飲馬”的總路程的最小值為.故答案為：.例88．（2023·河南南陽·高二統(tǒng)考階段練習）已知點、，在直線上，則的最小值等于.【答案】12【解析】設(shè)關(guān)于的對稱點為則，解得，，，則，所以的最小值是12.故答案為：.例89．（2023·江蘇·高二專題練習）的最小值為．【答案】【解析】，，如圖，設(shè)點，，，要求的最小值，即求的最小值．由于，當A，B，C三點共線時，等號成立，且，故的最小值為．故答案為：.例90．（2023·全國·高二階段練習）已知圓：的圖象在第四象限，直線：，：.若上存在點，過點作圓的切線，，切點分別為A，，使得為等邊三角形，則被圓截得的弦長的最大值為.【答案】【解析】由已知可得，圓的圓心，半徑，且有.則圓心到直線：的距離.又直線方程可化為，可知，，所以直線過一、二、三象限，不過第四象限，直線與圓相離.由題意易知，則，，所以有，即，所以.又，，所以，，所以.所以圓心到直線的距離，所以，直線與圓總相交，又，所以被圓截得的弦長為.故答案為：.例91．（2023·全國·高二階段練習）已知實數(shù)，，，滿足，，，則的最大值是．【答案】/【解析】由，可知，點，分別在圓和圓上，如圖，作直線，過作于，過A作于，而，其中表示A到直線的距離，表示到直線的距離，因為與，平行，且與的距離為，與的距離為，要使的取最大值，則需在直線的左下角這一側(cè)，所以，，由得，設(shè)，因為，所以，從而，故，其中，故當時，取最大值，從而，即的最大值為．故答案為：．例92．（2023·廣西玉林·高二博白縣中學?？计谥校┤糁本€與圓交于兩點，則面積的最大值為【答案】【解析】因為直線方程變形為，所以直線過定點，由題知圓的圓心為，半徑為，因為所以，定點在圓內(nèi)部，所以，當時，弦取得最小值，此時也最小，所以，當時，弦的最小值為，的最小值為，所以，所以，面積故答案為：模塊三：數(shù)學思想方法①分類討論思想例93．（2022·天津市市轄區(qū)·其他類型）過點引直線，使，到它的距離相等，則這條直線的方程是（

）A． B．C．或 D．或【答案】D

【解析】由題意得，線段AB的中點為分兩種情況討論：①過且與直線AB平行的直線滿足題意，其方程為，整理得②過點與線段AB的中點的直線滿足題意，其方程為，整理得故滿足條件的直線方程是或，故選例94．（2022·四川省綿陽市·單元測試）已知直線與直線垂直，則實數(shù)a的值為（

）A．0 B．0或6 C．或2 D．【答案】B

【解析】直線與直線垂直，①時，它們的斜率之積等于，可得，解得②時，直線和垂直，符合題意，或6，故答案選：例95．（2022·重慶市市轄區(qū)·月考試卷）在直角坐標系內(nèi)，已知是上一點，對任意實數(shù)a，點A關(guān)于直線的對稱點仍在上，點M，N的坐標分別為，，若上存在點P，使，則正數(shù)m的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C

【解析】直線化為：，令，解得，直線經(jīng)過定點由是上一點，對任意實數(shù)a，點A關(guān)于直線的對稱點仍在上，的圓心為，點M，N的坐標分別為，，上存在點P，使，則點P在以原點O為圓心，為半徑的圓上，若兩圓外切，則解得若兩圓內(nèi)切，則，解得故選：例96．古希臘數(shù)學家阿波羅尼奧斯約公元前公元前190年的著作《圓錐曲線論》是古代世界光輝的科學成果，著作中有這樣一個命題：平面內(nèi)與兩定點距離的比為常數(shù)的點的軌跡是圓，后人將這個圓稱為阿波羅尼斯圓．已知，，圓C：上有且僅有一個點P滿足，則r的取值可以為（

）A．2或3 B．3或4 C．4或5 D．1或5【答案】D

【解析】設(shè)，由，得，整理得，又點P是圓C：上有且僅有的一點，所以兩圓相切．圓的圓心坐標為，半徑為2，圓C：的圓心坐標為，半徑為r，兩圓的圓心距為3，當兩圓外切時，，得，當兩圓內(nèi)切時，，得，故選例97．（2022·廣東省肇慶市·單元測試）如已知點，直線將三角形ABC分割成面積相等的兩個部分，則b的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A

【解析】由題意可得，三角形ABC的面積為，由于直線與x軸的交點為，由直線將分割為面積相等的兩部分，可得，故，故點M在射線OA上．設(shè)直線和BC的交點為N，則由，可得點N的坐標為①若點M和點A重合，則點N為線段BC的中點，故，把A、N兩點的坐標代入直線，求得②若點M在點O和點A之間，此時，點N在點B和點C之間，由題意可得三角形NMB的面積等于，即，即

，可得，求得

，故有③若點M在點A的左側(cè)，則，由點M的橫坐標，求得設(shè)直線和AC的交點為P，則由求得點P的坐標為，此時，由題意可得，的面積等于，即，即，化簡可得由于此時，，

．兩邊開方可得，，化簡可得

，故有綜上，可得b的取值范圍應(yīng)是

，故選例98．（2021·江蘇省南通市·同步練習）“曼哈頓距離”是赫爾曼．閔可夫斯基所創(chuàng)的詞匯，是一種使用在幾何度量空間的幾何學用語，例如在平面直角坐標系中，點、的曼哈頓距離為：若點，點Q為圓C：上一動點，則的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】D

【解析】設(shè)Q為，，①當，即，，由范圍可得的最大值為1，此時的最大值為；②當，即，，，由范圍可得，的最小值為，此時的最大值為，綜上所述，的最大值為，故選②轉(zhuǎn)化與化歸思想例99．（2021·山東省菏澤市·單元測試）圓P：關(guān)于直線對稱的圓Q的方程是（

）A． B．C． D．【答案】A

【解析】圓P：的圓心為，設(shè)其關(guān)于直線的對稱點為，則，解得1000，故圓Q的方程是故選例100．（2023·全國·其他類型）在平面直角坐標系xOy中，圓，若曲線上存在四個點，過動點作圓O的兩條切線，A，B為切點，滿足，則k的取值范圍是．（

）A． B．C． D．【答案】B

【解析】設(shè)，，則，整理得，，解得舍去或，所以點P的軌跡方程為，若直線與相切時，，解得或，當曲線與圓有四個交點時，對應(yīng)的k滿足題意，當時，如圖所示，二者一個交點，存在一個點P，不符合題意，當時，如下圖所示，此時二者有三個交點，存在三個點P，不符合題意，當時，如圖所示，二者有兩個交點，存在兩個點P，不符合題意，當時，如圖所示，二者沒有交點，不存在點P滿足題意，當時，二者有四個交點，存在四個點P，滿足題意，綜上，故選：例101．（2023·廣東省·模擬題）過直線上一點P