湖南省婁底市石牛中學(xué)高三數(shù)學(xué)理下學(xué)期摸底試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.中國(guó)古代數(shù)學(xué)著作《算法統(tǒng)宗》中有這樣一個(gè)問題：“三百七十八里關(guān)，初步健步不為難，次日腳痛減一半，六朝才得到其關(guān)，要見次日行里數(shù)，請(qǐng)公仔仔細(xì)算相還”，其大意為：“有一個(gè)人走378里路，第一天健步行走，從第二天起腳痛每天走的路程為前一天的一半，走了6天后到達(dá)目的地”，則該人第五天走的路程為（

）A.6里 B.12里 C.24里 D.48里參考答案：B【分析】由題意可知，每天走的路程里數(shù)構(gòu)成以為公比的等比數(shù)列，由S6=378求得首項(xiàng)，再由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求得該人第五天走的路程．【詳解】記每天走的路程里數(shù)為{an}，由題意知{an}是公比的等比數(shù)列，由S6=378，得=378，解得：a1=192，∴=12（里）．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查等比數(shù)列的通項(xiàng)公式的運(yùn)用，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意等比數(shù)列的性質(zhì)的合理運(yùn)用．2.已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且Sn=2（an+1），則a5=(

)A．﹣16 B．﹣32 C．32 D．﹣64參考答案：B【考點(diǎn)】數(shù)列的求和．【專題】計(jì)算題；等差數(shù)列與等比數(shù)列．【分析】令n=1，由S1=2（a1+1），可得a1=﹣2，由Sn=2（an+1）①，得Sn+1=2（an+1+1）②，兩式相減可得遞推式，由遞推式可判斷{an}為等比數(shù)列，由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可得答案．【解答】解：令n=1，得S1=2（a1+1），解得a1=﹣2，由Sn=2（an+1）①，得Sn+1=2（an+1+1）②，②﹣①得，an+1=2an+1﹣2an，即an+1=2an，∴{an}為以2為公比的等比數(shù)列，則a5=a1×24=﹣2×24=﹣32，故選B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查由遞推式求數(shù)列的通項(xiàng)，考查等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，考查學(xué)生的運(yùn)算求解能力，屬中檔題．3.若變量x，y滿足約束條件，則的最小值為（

）（A）17

（B）14

（C）5

（D）3參考答案：A4.如圖，在等腰直角三角形ABC中，∠C是直角，P是三角形內(nèi)部一點(diǎn)，且∠CAP=∠BCP=∠ABP=α，則tanα的值等于（）A． B． C． D．參考答案：A【考點(diǎn)】三角形中的幾何計(jì)算．【分析】可得△ABP∽△BCP?，即AP=，PC=，由∠ACP+∠PCB=90°，∠PCB=∠CAP，∠CPA=90°，tan=．【解答】解：在等腰直角三角形ABC中，∠C是直角，且∠CAP=∠BCP=∠ABP=α，∴∠CBP=∠PAC，?△ABP∽△BCP?∴AP=，PC=，∵∠ACP+∠PCB=90°，∠PCB=∠CAP，∴∠ACP+∠CAP=90°，∴∠APC=90°tan=．故選：A．5.設(shè)集合，則下列關(guān)系中正確的是（

）

A．

B．

C．

D．參考答案：B解析：6.設(shè)集合，集合，則＝(

)A．

B．

C．

D．參考答案：【知識(shí)點(diǎn)】集合及其運(yùn)算。A1

【答案解析】A

解析：方程解得，則，故選A.【思路點(diǎn)撥】先解出集合B，再求交集。7.以雙曲線上一點(diǎn)M為圓心作圓，該圓與x軸相切于C的一個(gè)焦點(diǎn)F，與y軸交于P，Q兩點(diǎn)，若，則雙曲線C的離心率是（

）A. B. C.2 D.參考答案：A【分析】根據(jù)圓與軸相切于的一個(gè)焦點(diǎn)，且圓心在雙曲線上，可確定圓心坐標(biāo)和半徑，再由弦長(zhǎng)，即可求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)橐噪p曲線上一點(diǎn)為圓心作圓，該圓與軸相切于的一個(gè)焦點(diǎn)，所以軸；不妨令在第一象限，所以易得，半徑；取中點(diǎn)，連結(jié)，則垂直且平分，所以；又，所以，即，因此，解得.故答案為A【點(diǎn)睛】本題主要考查雙曲線的離心率，根據(jù)題意，結(jié)合雙曲線的性質(zhì)即可求解，屬于?？碱}型.

8.已知命題P：

則

（

）A．

Ｂ．

C．

D．參考答案：C9.己知．其中i為虛數(shù)單位，則a+b=

A.-1

B.1

C.2

D．3參考答案：B略10.集合，集合，則集合

（

）A、

B、

C、

D、參考答案：A二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知，則

．參考答案：12.一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示（單位：m），正視圖和俯視圖的上面均是底邊長(zhǎng)為12m的等腰直角三角形，下面均是邊長(zhǎng)為6m的正方形，則該幾何體的體積為

m3．參考答案：216+72π【考點(diǎn)】由三視圖求面積、體積．【分析】該幾何體由上下兩部分組成的，上面是一個(gè)圓錐，下面是一個(gè)正方體．【解答】解：該幾何體由上下兩部分組成的，上面是一個(gè)圓錐，下面是一個(gè)正方體．∴該幾何體的體積=63+=216+72π．故答案為：216+72π．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了圓錐與正方體的三視圖與體積計(jì)算公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．13.將正奇數(shù)排成下圖所示的三角形數(shù)表：，，，，，，……其中第行第個(gè)數(shù)記為（、），例如，若，則____．參考答案：14.已知一個(gè)樣本，其標(biāo)準(zhǔn)差，另一樣本，其標(biāo)準(zhǔn)差為．參考答案：15.已知是單位向量,.若向量滿足______參考答案：16.設(shè)函數(shù)，若，則的值為______．參考答案：試題分析：,則，，所以.考點(diǎn)：定積分17.各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列{an}中，若，則的最小值為

▲

.參考答案：三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18..如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)在拋物線C：上，直線l：與拋物線C交于A，B兩點(diǎn)，且直線OA，OB的斜率之和為-1.（1）求a和k的值；（2）若，設(shè)直線l與y軸交于D點(diǎn)，延長(zhǎng)MD與拋物線C交于點(diǎn)N，拋物線C在點(diǎn)N處的切線為n，記直線n，l與x軸圍成的三角形面積為S，求S的最小值.參考答案：（1），；（2）.試題分析：（1）將點(diǎn)代入拋物線：，得，聯(lián)立直線與拋物線方程，消去，得，則，，由，求出；（2）求出直線DM的方程為，聯(lián)立直線DM的方程和拋物線的方程，求出，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，求出切線n的斜率為，得到切線n的方程，聯(lián)立直線DM、n的方程，求出Q點(diǎn)的縱坐標(biāo)，且，采用導(dǎo)數(shù)的方法得出單調(diào)性，由單調(diào)性求出最小值。試題解析：（1）將點(diǎn)代入拋物線：，得，，得，設(shè)，，則，，解法一：，由已知得，所以，.解法二：，由已知得.（2）在直線的方程中，令得，，直線的方程為：，即，由，得，解得：，或，所以，由，得，，切線的斜率，切線的方程為：，即，由，得直線、交點(diǎn)，縱坐標(biāo)，在直線，中分別令，得到與軸的交點(diǎn)，，所以，，，當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增；∴當(dāng)時(shí)，最小值為.點(diǎn)睛：本題主要考查直線與拋物線的位置關(guān)系，涉及的知識(shí)點(diǎn)有直線方程的求法，由導(dǎo)數(shù)求切線的斜率，由導(dǎo)數(shù)求單調(diào)性等，屬于中檔題。19.（本小題滿分10分）設(shè)函數(shù)．(1)若不等式成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；(2)當(dāng)時(shí)，證明：．參考答案：20.（本小題滿分13分） 已知函數(shù)f（x）=21nx－x2－ax． （1）當(dāng)a≥3時(shí)，討論函數(shù)f（x）在上的單調(diào)性； （2）如果x1，x2是函數(shù)f（x）的兩個(gè)零點(diǎn)，且x1是函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)，用x1，x2表示a并證明：參考答案：【知識(shí)點(diǎn)】導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用B12（1）上函數(shù)單調(diào)遞減.；（2）.由已知可得：，令得（負(fù)根舍去），故在上恒成立，所以在上函數(shù)單調(diào)遞減.（2）是函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)，兩式子相減可得：∴

令∴∴上單調(diào)遞減，

∴

又【思路點(diǎn)撥】(1)求單調(diào)區(qū)間，先求導(dǎo)，令導(dǎo)函數(shù)大于等于0即可．(2)由題意可得，代入可得l令，求導(dǎo)數(shù)可得單調(diào)性和求值范圍，進(jìn)而可得答案．21.（本小題滿分12分）（注意：在試題卷上作答無效）

已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且Sn+an=1，數(shù)列{bn}滿足bn+log2an=0．

（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；

（2）求數(shù)列的前n項(xiàng)和Tn。參考答案：略22.已知函數(shù).（1）討論f(x)的單調(diào)性；（2）設(shè)，若對(duì)任意，均存在，使得，求a的取值范圍.參考答案：解：(1)．①當(dāng)時(shí)，由，得，則，所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是；②當(dāng)時(shí)，