山西省長(zhǎng)治市黎城縣上遙鎮(zhèn)中學(xué)高三數(shù)學(xué)理模擬試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.下列函數(shù)：（1）y=x2;(2)y=;(3)y=2x;(4)y=log2x.其中不是偶函數(shù)且在區(qū)間（0，+∞）上也不是減函數(shù)的有（

）A.0個(gè)

B.1個(gè)

C.2個(gè)

D.3參考答案：D略2.若復(fù)數(shù)z滿足為虛數(shù)單位)，則為

(A)3+5i

(B)3－5i

(C)－3+5i(D)－3－5i參考答案：A3.命題“所有實(shí)數(shù)的平方都是正數(shù)”的否定為(

)

(A)．所有實(shí)數(shù)的平方都不是正數(shù)

（B）．有的實(shí)數(shù)的平方是正數(shù)

（C）．至少有一個(gè)實(shí)數(shù)的平方是正數(shù)（D）．至少有一個(gè)實(shí)數(shù)的平方不是正數(shù)參考答案：D4.在數(shù)列中，，數(shù)列的最小項(xiàng)是

A、

B、

C、

D、參考答案：B5.已知為第四象限的角，且，則=A.-

B.

C.-

D.參考答案：A6.M，N是曲線y＝πsinx與曲線y＝πcosx的兩個(gè)不同的交點(diǎn)，則|MN|的最小值為()A．π

B．π

C．π

D．2π參考答案：C7.命題p：甲的數(shù)學(xué)成績(jī)不低于100分，命題q：乙的數(shù)字成績(jī)低于100分，則p∨（￢q）表示（）A．甲、乙兩人數(shù)學(xué)成績(jī)都低于100分B．甲、乙兩人至少有一人數(shù)學(xué)成績(jī)低于100分C．甲、乙兩人數(shù)學(xué)成績(jī)都不低于100分D．甲、乙兩人至少有一人數(shù)學(xué)成績(jī)不低于100分參考答案：D【考點(diǎn)】命題的真假判斷與應(yīng)用．【分析】根據(jù)命題p和￢q的意義，即可得到結(jié)論．【解答】解：∵命題p：甲的數(shù)學(xué)成績(jī)不低于100分，命題q：乙的數(shù)字成績(jī)低于100分∴命題￢q表示“乙的數(shù)字成績(jī)不低于100分”，∴命題（p）∨（￢q）表示甲、乙兩人至少有一人數(shù)學(xué)成績(jī)不低于100分，故選：D．8.已知單位向量滿足，則夾角為（

）A．

B．

C．

D．參考答案：C9.定義：，在區(qū)域內(nèi)任取一點(diǎn)，則、滿足的概率為A.

B.

C.

D.參考答案：D略10.已知定義在R上的奇函數(shù)和偶函數(shù)滿足，若，則(

)A.

B.

C.

D.參考答案：B二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知向量，若，則

．參考答案：30

12.雙曲線=1的左右兩焦點(diǎn)分別是F1，F(xiàn)2，若點(diǎn)P在雙曲線上，且∠F1PF2為銳角，則點(diǎn)P的橫坐標(biāo)的取值范圍是

．參考答案：（，+∞）∪（﹣∞，﹣）【考點(diǎn)】KC：雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)．【分析】由題意畫(huà)出圖形，以P在雙曲線右支為例，求出∠F1PF2為直角時(shí)P的坐標(biāo)，可得∠F1PF2為銳角時(shí)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)的取值范圍【解答】解：不妨以P在雙曲線右支為例由PF1⊥PF2，得|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2=4c2=16，又|PF1|﹣|PF2|=2，①兩邊平方得：|PF1|2+|PF2|2﹣2|PF1||PF2|=4，∴|PF1||PF2|=6，②聯(lián)立①②解得：|PF2|=，由焦半徑公式得|PF2|==ex﹣a，即可得點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為，根據(jù)對(duì)稱性，則點(diǎn)P的橫坐標(biāo)的取值范圍是（））．故答案為：是（））13.正項(xiàng)等比數(shù)列{an}中，a3a11=16，則log2a2+log2a12=．參考答案：4【考點(diǎn)】88：等比數(shù)列的通項(xiàng)公式；4H：對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)．【分析】由等比數(shù)列的性質(zhì)可得a2a12=a3a11=16，由對(duì)數(shù)的運(yùn)算可得要求的式子=log2a2a12，代入計(jì)算對(duì)數(shù)的值即可．【解答】解：由題意可得log2a2+log2a12=log2a2a12=log2a3a11=log216=log224=4故答案為：414.在三角形ABC中，A=30°，AC=4，BC=3，則三角形ABC的面積等于__________．參考答案：或15.已知正數(shù)x，y滿足，則2x+3y的最小值為

．參考答案：25【考點(diǎn)】基本不等式．【分析】利用“1”的代換，結(jié)合基本不等式，即可得出結(jié)論．【解答】解：∵正數(shù)x，y滿足，∴2x+3y=（2x+3y）（+）=13++≥13+12=25，當(dāng)且僅當(dāng)x=y時(shí)取等號(hào)，即2x+3y的最小值為25．故答案為：25．16.已知e1，e2是夾角為60°的兩個(gè)單位向量，若a＝e1＋e2，b＝－4e1＋2e2，則a與b的夾角為

參考答案：略17.若，則的最大值為

．參考答案：略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.已知數(shù)列{an}滿足.(1)求，并猜想{an}的通項(xiàng)公式(不需證明)；(2)求證:.參考答案：(1);猜想;(2)證明見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)遞推關(guān)系式求得，由此猜想出的通項(xiàng)公式.（2）利用放縮法得到，由此求和證得不等式成立.也可用數(shù)學(xué)歸納法，證得不等式成立.【詳解】解:(1)猜想(2)所以(2)方法二用數(shù)學(xué)歸納法證明:(1)當(dāng)時(shí)，左邊，右邊，左邊右邊，不等式成立；(2)假設(shè)時(shí)，不等式成立，即，那么當(dāng)時(shí)，只要證明成立，只要證明即證只要證明即證，即證只要證明，顯然成立，所以時(shí)不等式也成立.綜合(1)(2)可得對(duì)一切的不等式均成立.【點(diǎn)睛】本小題主要考查根據(jù)數(shù)列的遞推關(guān)系式猜想數(shù)列的通項(xiàng)公式，考查利用放縮法證明不等式，考查數(shù)學(xué)歸納法的運(yùn)用，屬于中檔題.19.

己知函數(shù)

(1)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的最小值和最大值；

(2)設(shè)ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)應(yīng)邊分別為a，b，c，且c=，f(C)=2，若向量m=(1，a)與向量n=(2，b)共線，求a，b的值．參考答案：解：

…………3分∵，∴，∴，從而則的最小值是，最大值是2

…………6分（2），則，∵，∴，∴，解得.

…………8分∵向量與向量共線，∴，即①

…………9分由余弦定理得，，即②由①②解得.

…………12分略20.已知函f（x）=lnx﹣ax2+（2﹣a）x．①討論f（x）的單調(diào)性；②設(shè)a＞0，證明：當(dāng)0＜x＜時(shí)，；③函數(shù)y=f（x）的圖象與x軸相交于A、B兩點(diǎn)，線段AB中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x0，證明f′（x0）＜0．參考答案：【考點(diǎn)】6E：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值；6B：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性．【分析】①求出函數(shù)f（x）的定義域，然后在定義域內(nèi)分a＞0，a≤0兩種情況解不等式f'（x）＞0，f'（x）＜0可得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；②設(shè)函數(shù)g（x）=f（+x）﹣f（﹣x），只需證明g（x）＞0即可，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值；③由①易判斷a≤0時(shí)不滿足條件，只需考慮a＞0時(shí)情形，由①可得f（x）的最大值為f（），且f（）＞0，設(shè)A（x1，0），B（x2，0），0＜x1＜x2，則0＜x1＜＜x2，由②可推得f（﹣x1）＞f（x1）=f（x2）=0，借助函數(shù)單調(diào)性可得結(jié)論；【解答】解：①函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞），f'（x）=﹣2ax+（2﹣a）=﹣，（i）當(dāng)a＞0時(shí)，則由f'（x）=0，得x=，當(dāng)x∈（0，）時(shí)，f'（x）＞0，當(dāng)x∈（，+∞）時(shí)，f'（x）＜0，∴f（x）在（0，）單調(diào)遞增，在（，+∞）上單調(diào)遞減；（ii）當(dāng)a≤0時(shí)，f（x）＞0恒成立，∴f（x）在（0，+∞）單調(diào)遞增；②設(shè)函數(shù)g（x）=f（+x）﹣f（﹣x），則g（x）=﹣=ln（1+ax）﹣ln（1﹣ax）﹣2ax，g'（x）=+﹣2a=，當(dāng)x∈（0，）時(shí)，g'（x）＞0，而g（0）=0，∴g（x）＞g（0）=0，故當(dāng)0＜x＜時(shí)，f（+x）＞f（﹣x）；③由①可得，當(dāng)a≤0時(shí)，函數(shù)y=f（x）的圖象與x軸至多有一個(gè)交點(diǎn)，故a＞0，從而f（x）的最大值為f（），且f（）＞0，不妨設(shè)A（x1，0），B（x2，0），0＜x1＜x2，則0＜x1＜＜x2，由②得，f（﹣x1）=f（﹣x1）＞f（x1）=f（x2）=0，又f（x）在（，+∞）上單調(diào)遞減，∴﹣x1＜x2，于是x0=＞，由①知，f'（x0）＜0．21.已知函數(shù)f（x）=sin2x+2sinxcosx+3cos2x，x∈R．求：（I）求函數(shù)f（x）的最小正周期；（II）求函數(shù)f（x）在區(qū)間[﹣，]上的值域．（Ⅲ）描述如何由y=sinx的圖象變換得到函數(shù)f（x）的圖象．參考答案：【考點(diǎn)】三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用；正弦函數(shù)的圖象．【分析】（I）運(yùn)用二倍角的正弦和余弦公式，及兩角和的正弦公式，化簡(jiǎn)可得函數(shù)解析式f（x）=2sin（2x+）+2，利用三角函數(shù)周期公式即可得解．（II）由已知利用x的取值范圍，可求2x+∈[﹣，]，利用正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)可得范圍sin（2x+）∈[﹣，1]，即可得解函數(shù)f（x）值域．（Ⅲ）由條件利用函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，可得結(jié)論．【解答】解：（I）∵f（x）=sin2x+2sinxcosx+3cos2x=sin2x+2cos2x+1=sin2x+cos2x+2=2sin（2x+）+2，∴f（x）的最小正周期為T==π．（II）∵x∈[﹣]，∴2x+∈[﹣，]，可得：sin（2x+）∈[﹣，1]，∴f（x）=2sin（2x+）+2∈[1，3]，即函數(shù)f（x）在區(qū)間[﹣]上的值域?yàn)閇1，3]．（Ⅲ）把函數(shù)y=sinx的圖象向左平移個(gè)單位，可得函數(shù)y=sin（x+）的圖象，再把所得圖象上的各點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的倍，即可得到函數(shù)y=sin（2x+）的圖象；再把所得圖象上的各點(diǎn)的縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的2倍，即可得到函數(shù)y=2sin（2x+）的圖象．再把所得函數(shù)的圖象向上平移2個(gè)單位，即可得到y(tǒng)=2sin（2x+）+2的圖象．22.（12分）如圖是某企業(yè)2010年至2016年污水凈化量（單位：噸）的折線圖．注：年份代碼1～7分別對(duì)應(yīng)年份2010～2016．（1）由折線圖看出，可用線性回歸模型擬合y和t的關(guān)系，請(qǐng)用相關(guān)系數(shù)加以說(shuō)明；（2）建立y關(guān)于t的回歸方程，預(yù)測(cè)2017年該企業(yè)污水凈化量；（3）請(qǐng)用數(shù)據(jù)說(shuō)明回歸方程預(yù)報(bào)的效果．附注：參考數(shù)據(jù)：參考公式：相關(guān)系數(shù)，回歸方程中斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為．反映回歸效果的公式為，其中R2越接近于1，表示回歸的效果越好．參考答案：【考點(diǎn)】線性回歸方程．【分析】（1）由折線圖看出，y與t之間存在較強(qiáng)的正相關(guān)關(guān)系，將已知數(shù)據(jù)代入相關(guān)系數(shù)方程，可得答案；（2）根據(jù)已知中的數(shù)據(jù)，求出回歸系數(shù)，可得回歸方程，2017年對(duì)應(yīng)的t值為8，代入可預(yù)測(cè)2017年我國(guó)生活垃圾無(wú)害化處理量；（3）求出R2，可