青島大學(xué)講稿講授內(nèi)容備注第9講(第9周)軸對稱問題有限元法如果彈性體的幾何形狀、約束條件及荷載都對稱于某一軸，例如z軸，那么所有的位移、應(yīng)變及應(yīng)力也對稱于此軸。這種問題稱為軸對稱應(yīng)力問題。在豎井、壓力容器及機(jī)械制造中，經(jīng)常遇到軸對稱應(yīng)力問題。用有限單元法分析軸對稱問題時，須將結(jié)構(gòu)離散成有限個圓環(huán)單元。圓環(huán)單元的截面常用三角形或矩形，也可以是其他形式。這種環(huán)形單元之間由圓環(huán)形鉸相連，稱為結(jié)圓。軸對稱問題的單元雖然是圓環(huán)體，與平面問題的平板單元不同，但由于對稱性，可以任取一個子午面進(jìn)行分析。圓環(huán)形單元與子午面上相截生成網(wǎng)格，可以采用平面問題有限元分析相似的方法分析。不同之處是：單元為圓環(huán)體，單元之間由結(jié)圓鉸接，節(jié)點(diǎn)力為結(jié)圓上的均布力，單元邊界為回轉(zhuǎn)面。圖2-8軸對稱彈性體三角形單元圖2-9軸對稱三角形單元節(jié)點(diǎn)力與節(jié)點(diǎn)位移對于軸對稱問題，采用圓柱坐標(biāo)(r，θ，z)較為方便。如果以彈性體的對稱軸作為z軸，所有應(yīng)力、應(yīng)變和位移都與θ無關(guān)，只是r和z的函數(shù)。任一點(diǎn)只有兩個位移分量，即沿r方向的徑向位移u和沿z方向的軸向位移w。由于對稱，θ方向的環(huán)向位移等于零。在軸對稱問題中，采用的單元是一些圓環(huán)。這些圓環(huán)和rz平面正交的截面通常取為三角形，如圖2-8所示的ijm(也可以取為其他形狀)。各單元之間用圓環(huán)形的鉸鏈互相連接，每一個鉸與rz平面的交點(diǎn)稱為節(jié)點(diǎn)，如i、j、m等等。各單元在rz平面上形成三角形網(wǎng)格，類似于在平面問題中各三角形單元在xy平面上所形成的網(wǎng)格。但是在軸對稱問題中，每個單元的體積都是一個圓環(huán)的體積，這點(diǎn)與平面問題是不同的。假定物體的形狀、約束條件及荷載都是軸對稱的，這時只需分析一個截面。1.位移函數(shù)取出一個環(huán)形單元的截面ijm如圖2-9所示，在節(jié)點(diǎn)位移為仿照平面問題，位移的類似表達(dá)式為(2-1其中，，式〔2-(2-1其中是二階單位矩陣。2.單元應(yīng)變圖2-10軸對稱彈性體的應(yīng)力軸對稱應(yīng)力問題，每點(diǎn)具有4個應(yīng)變分量，如圖2-10所示，沿r方向的正應(yīng)變εr，稱為徑向正應(yīng)變；沿θ方向的正應(yīng)變εθ，稱為環(huán)向正應(yīng)變；沿z方向的正應(yīng)變εz，稱為軸向正應(yīng)變；在rz平面中的剪應(yīng)變?yōu)棣胷z。由于軸對稱，其余兩個剪應(yīng)變分量γrθ及γθz都等于零。根據(jù)幾何關(guān)系，可推知應(yīng)變與位移之間符合以下關(guān)系(2-1將位移函數(shù)式〔〕代入上式得(2-1其中環(huán)向應(yīng)變εθ中包含了坐標(biāo)r和z，不是常量，但其他應(yīng)變分量都是常量。3.單元應(yīng)力在軸對稱問題中，任一點(diǎn)具有4個應(yīng)力分量，即徑向正應(yīng)力σr、環(huán)向正應(yīng)力σθ、軸向正應(yīng)力σz及剪應(yīng)力τrz。應(yīng)力與應(yīng)變之間的關(guān)系，可用矩陣寫成(2-1式中[D]為彈性矩陣，對各向同性體4.單元剛度矩陣由虛位移方程，沿著整個圓環(huán)求體積分，可得(2-15.節(jié)點(diǎn)荷載對于軸對稱問題，節(jié)點(diǎn)荷載是作用在整圈圓環(huán)形鉸上的。例如，設(shè)節(jié)點(diǎn)的半徑為r，單位長度的鉸上作用的荷載為(徑向)和(軸向)，計算中采用的節(jié)點(diǎn)荷載應(yīng)為徑向2π，軸向2π。設(shè)單位體積內(nèi)作用的體積力(重力、離心力等)為q=[qrqz]T，節(jié)點(diǎn)荷載為(2-1空間問題有限元法彈性力學(xué)的平面問題和軸對稱問題是空間問題的特例，是在某種條件下的簡易解法。在實(shí)際工程中，有些結(jié)構(gòu)由于形體復(fù)雜，難以簡化為平面問題或軸對稱問題，必須按空間問題求解。在空間問題中，最簡單的單元是具有四個角點(diǎn)的四面體，如圖2-11所示。從這一節(jié)開始，先介紹常應(yīng)變四面體單元，然后介紹高次四面體單元及六面體單元等。下面首先以四面體單元為例介紹空間問題的有限元法求解步驟。圖2-11四面體單元1.位移模式如圖2-11所示的一個四面體單元，以四個角點(diǎn)i、j、m、p為節(jié)點(diǎn)，這是最早提出的，也是最簡單的空間單元。每個節(jié)點(diǎn)有三個位移分量(2-1每個單元共有12個節(jié)點(diǎn)位移分量，表示為向量(2-1假定單元內(nèi)任一點(diǎn)的位移分量是坐標(biāo)的線性函數(shù)(2-1其中，廣義坐標(biāo)1、5、9代表剛體移動，2、7、12代表常量正應(yīng)變，其余6個系數(shù)反映了常量剪應(yīng)變和剛體轉(zhuǎn)動。以各節(jié)點(diǎn)的坐標(biāo)和位移代入上式，求出各廣義坐標(biāo)，進(jìn)而得到四面體單元上任一點(diǎn)的位移為(2-1式中，I為三階單位矩陣。形函數(shù)為V為四面體ijmp的體積，，為了使四面體的體積V不為負(fù)值，單元節(jié)點(diǎn)的標(biāo)號i、j、m、p必須依照一定的順序，在右手坐標(biāo)系中，當(dāng)按照ijm的方向轉(zhuǎn)動時，右手螺旋應(yīng)向p的方向前進(jìn)。由于位移函數(shù)是線性的，在相鄰單元的接觸面上，位移顯然是連續(xù)的〔單元協(xié)調(diào)〕。2.單元應(yīng)變在空間應(yīng)力問題中，每個點(diǎn)具有6個應(yīng)變分量將(2-1(2-1其中，應(yīng)變矩陣的子陣為由于矩陣[B]中的元素都是常量，單元應(yīng)變分量也都是常量。3.單元應(yīng)力單元應(yīng)力可用節(jié)點(diǎn)位移表示為(2-1其中，應(yīng)力矩陣S=DB，彈性矩陣D為由于應(yīng)變是常量，應(yīng)力也是常量。4.單元剛度矩陣由虛位移原理，可以得到單元剛度矩陣(2-15.節(jié)點(diǎn)荷載通過與平面問題中同樣的推倒得到類似的節(jié)點(diǎn)荷載計算公式集中力f=[fxfyfz]T的移置Pe=NTf(2-體力q={qxqyqz}T的移置(2-1面力p={pxpypz}T的移置(2-1以上是普遍適用的計算式。6.高次四面體單元及六面體單元圖2-1210節(jié)點(diǎn)四面體單元圖2-138節(jié)點(diǎn)六面體單元實(shí)際工程結(jié)構(gòu)中的應(yīng)力場，往往是隨著坐標(biāo)而急劇變化的，常應(yīng)變四面體單元中的應(yīng)力分量都是常量，難以適應(yīng)急劇變化的應(yīng)力場，為了保證必要的計算精度，必須采用密集的計算網(wǎng)格，這樣一來，節(jié)點(diǎn)數(shù)量將很多，方程組十分龐大。如果采用高次位移模式，單元中的應(yīng)力是變化的，就可以用較少的單元、較少的自由度而得到要求的計算精度，從而降低方程組的規(guī)模。當(dāng)然