天津市河北區(qū)2024屆高三第四次模擬考試數(shù)學(xué)試卷考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標(biāo)記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．設(shè)復(fù)數(shù)滿足（為虛數(shù)單位），則在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限2．已知函數(shù)，存在實數(shù)，使得，則的最大值為（）A． B． C． D．3．已知復(fù)數(shù)滿足，則（）A． B． C． D．4．羽毛球混合雙打比賽每隊由一男一女兩名運動員組成.某班級從名男生，，和名女生，，中各隨機選出兩名，把選出的人隨機分成兩隊進(jìn)行羽毛球混合雙打比賽，則和兩人組成一隊參加比賽的概率為（）A． B． C． D．5．已知為圓的一條直徑，點的坐標(biāo)滿足不等式組則的取值范圍為（）A． B．C． D．6．已知數(shù)列的通項公式為，將這個數(shù)列中的項擺放成如圖所示的數(shù)陣.記為數(shù)陣從左至右的列，從上到下的行共個數(shù)的和，則數(shù)列的前2020項和為（）A． B． C． D．7．已知雙曲線(a>0，b>0)的右焦點為F，若過點F且傾斜角為60°的直線l與雙曲線的右支有且只有一個交點，則此雙曲線的離心率e的取值范圍是（）A． B．(1,2), C． D．8．設(shè)非零向量，，，滿足，，且與的夾角為，則“”是“”的（）．A．充分非必要條件 B．必要非充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件9．已知集合，，若，則的最小值為（）A．1 B．2 C．3 D．410．函數(shù)在上的圖象大致為（）A． B． C． D．11．已知展開式的二項式系數(shù)和與展開式中常數(shù)項相等，則項系數(shù)為（）A．10 B．32 C．40 D．8012．若的展開式中含有常數(shù)項，且的最小值為，則（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．設(shè)函數(shù)，則______.14．的展開式中的系數(shù)為__________．15．若，則的最小值為________.16．已知等差數(shù)列的前n項和為Sn，若，則____.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）在中，角，，所對的邊分別為，，，且．求的值；設(shè)的平分線與邊交于點，已知，，求的值.18．（12分）如圖1，已知四邊形BCDE為直角梯形，，，且，A為BE的中點將沿AD折到位置如圖，連結(jié)PC，PB構(gòu)成一個四棱錐．（Ⅰ）求證；（Ⅱ）若平面．①求二面角的大小；②在棱PC上存在點M，滿足，使得直線AM與平面PBC所成的角為，求的值．19．（12分）已知函數(shù).（1）證明：當(dāng)時，；（2）若函數(shù)只有一個零點，求正實數(shù)的值.20．（12分）如圖，四棱錐E﹣ABCD的側(cè)棱DE與四棱錐F﹣ABCD的側(cè)棱BF都與底面ABCD垂直，，//，.（1）證明：//平面BCE.（2）設(shè)平面ABF與平面CDF所成的二面角為θ，求.21．（12分）數(shù)列滿足，是與的等差中項.（1）證明：數(shù)列為等比數(shù)列，并求數(shù)列的通項公式；（2）求數(shù)列的前項和.22．（10分）設(shè)，，，.（1）若的最小值為4，求的值；（2）若，證明：或.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】

由復(fù)數(shù)的除法運算可整理得到，由此得到對應(yīng)的點的坐標(biāo)，從而確定所處象限.【詳解】由得：，對應(yīng)的點的坐標(biāo)為，位于第一象限.故選：.【點睛】本題考查復(fù)數(shù)對應(yīng)的點所在象限的求解，涉及到復(fù)數(shù)的除法運算，屬于基礎(chǔ)題.2、A【解析】

畫出分段函數(shù)圖像，可得，由于，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性，分析最值，即得解.【詳解】由于，,由于，令，，在↗，↘故.故選：A【點睛】本題考查了導(dǎo)數(shù)在函數(shù)性質(zhì)探究中的應(yīng)用，考查了學(xué)生數(shù)形結(jié)合，轉(zhuǎn)化劃歸，綜合分析，數(shù)學(xué)運算的能力，屬于較難題.3、A【解析】

根據(jù)復(fù)數(shù)的運算法則，可得，然后利用復(fù)數(shù)模的概念，可得結(jié)果.【詳解】由題可知：由，所以所以故選：A【點睛】本題主要考查復(fù)數(shù)的運算，考驗計算，屬基礎(chǔ)題.4、B【解析】

根據(jù)組合知識，計算出選出的人分成兩隊混合雙打的總數(shù)為，然后計算和分在一組的數(shù)目為，最后簡單計算，可得結(jié)果.【詳解】由題可知：分別從3名男生、3名女生中選2人：將選中2名女生平均分為兩組：將選中2名男生平均分為兩組：則選出的人分成兩隊混合雙打的總數(shù)為：和分在一組的數(shù)目為所以所求的概率為故選：B【點睛】本題考查排列組合的綜合應(yīng)用，對平均分組的問題要掌握公式，比如：平均分成組，則要除以，即，審清題意，細(xì)心計算，考驗分析能力，屬中檔題.5、D【解析】

首先將轉(zhuǎn)化為，只需求出的取值范圍即可，而表示可行域內(nèi)的點與圓心距離，數(shù)形結(jié)合即可得到答案.【詳解】作出可行域如圖所示設(shè)圓心為，則,過作直線的垂線，垂足為B，顯然，又易得，所以，，故.故選：D.【點睛】本題考查與線性規(guī)劃相關(guān)的取值范圍問題，涉及到向量的線性運算、數(shù)量積、點到直線的距離等知識，考查學(xué)生轉(zhuǎn)化與劃歸的思想，是一道中檔題.6、D【解析】

由題意，設(shè)每一行的和為，可得，繼而可求解，表示，裂項相消即可求解.【詳解】由題意，設(shè)每一行的和為故因此：故故選：D【點睛】本題考查了等差數(shù)列型數(shù)陣的求和，考查了學(xué)生綜合分析，轉(zhuǎn)化劃歸，數(shù)學(xué)運算的能力，屬于中檔題.7、A【解析】

若過點且傾斜角為的直線與雙曲線的右支有且只有一個交點，則該直線的斜率的絕對值小于等于漸近線的斜率．根據(jù)這個結(jié)論可以求出雙曲線離心率的取值范圍．【詳解】已知雙曲線的右焦點為，若過點且傾斜角為的直線與雙曲線的右支有且只有一個交點，則該直線的斜率的絕對值小于等于漸近線的斜率，，離心率，，故選：．【點睛】本題考查雙曲線的性質(zhì)及其應(yīng)用，解題時要注意挖掘隱含條件．8、C【解析】

利用數(shù)量積的定義可得，即可判斷出結(jié)論．【詳解】解：，，，解得，，，解得，“”是“”的充分必要條件．故選：C．【點睛】本題主要考查平面向量數(shù)量積的應(yīng)用，考查推理能力與計算能力，屬于基礎(chǔ)題．9、B【解析】

解出,分別代入選項中的值進(jìn)行驗證.【詳解】解：，.當(dāng)時,，此時不成立.當(dāng)時,，此時成立，符合題意.故選:B.【點睛】本題考查了不等式的解法,考查了集合的關(guān)系.10、C【解析】

根據(jù)函數(shù)的奇偶性及函數(shù)在時的符號，即可求解.【詳解】由可知函數(shù)為奇函數(shù).所以函數(shù)圖象關(guān)于原點對稱，排除選項A，B；當(dāng)時，，，排除選項D，故選：C.【點睛】本題主要考查了函數(shù)的奇偶性的判定及奇偶函數(shù)圖像的對稱性，屬于中檔題.11、D【解析】

根據(jù)二項式定理通項公式可得常數(shù)項，然后二項式系數(shù)和，可得，最后依據(jù)，可得結(jié)果.【詳解】由題可知：當(dāng)時，常數(shù)項為又展開式的二項式系數(shù)和為由所以當(dāng)時，所以項系數(shù)為故選：D【點睛】本題考查二項式定理通項公式，熟悉公式，細(xì)心計算，屬基礎(chǔ)題.12、C【解析】展開式的通項為，因為展開式中含有常數(shù)項，所以，即為整數(shù)，故n的最小值為1．所以.故選C點睛：求二項展開式有關(guān)問題的常見類型及解題策略(1)求展開式中的特定項.可依據(jù)條件寫出第項，再由特定項的特點求出值即可.(2)已知展開式的某項，求特定項的系數(shù).可由某項得出參數(shù)項，再由通項寫出第項，由特定項得出值，最后求出其參數(shù).二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

由自變量所在定義域范圍，代入對應(yīng)解析式，再由對數(shù)加減法運算法則與對數(shù)恒等式關(guān)系分別求值再相加，即為答案.【詳解】因為函數(shù)，則因為，則故故答案為：【點睛】本題考查分段函數(shù)求值，屬于簡單題.14、3【解析】

分別用1和進(jìn)行分類討論即可【詳解】當(dāng)?shù)谝粋€因式取1時，第二個因式應(yīng)取含的項，則對應(yīng)系數(shù)為：；當(dāng)?shù)谝粋€因式取時，第二個因式應(yīng)取含的項，則對應(yīng)系數(shù)為：；故的展開式中的系數(shù)為.故答案為：3【點睛】本題考查二項式定理中具體項對應(yīng)系數(shù)的求解，屬于基礎(chǔ)題15、【解析】

由基本不等式，可得到，然后利用，可得到最小值，要注意等號取得的條件?！驹斀狻坑深}意，，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，所以當(dāng)時，取得最小值．【點睛】利用基本不等式求最值必須具備三個條件：①各項都是正數(shù)；②和（或積）為定值；③等號取得的條件。16、【解析】

由，，成等差數(shù)列，代入可得的值.【詳解】解：由等差數(shù)列的性質(zhì)可得：，，成等差數(shù)列，可得：，代入，可得：，故答案為：.【點睛】本題主要考查等差數(shù)列前n項和的性質(zhì)，相對不難.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、；.【解析】

利用正弦定理化簡求值即可；利用兩角和差的正弦函數(shù)的化簡公式，結(jié)合正弦定理求出的值.【詳解】解：，由正弦定理得：，，，，，又，為三角形內(nèi)角，故，，則，故，；（2）平分，設(shè)，則,,，，則，，又，則在中，由正弦定理：，.【點睛】本題考查正弦定理和兩角和差的正弦函數(shù)的化簡公式，二倍角公式，考查運算能力，屬于基礎(chǔ)題.18、Ⅰ詳見解析；Ⅱ①，②或．【解析】

Ⅰ可以通過已知證明出平面PAB，這樣就可以證明出；Ⅱ以點A為坐標(biāo)原點，分別以AB，AD，AP為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，可以求出相應(yīng)點的坐標(biāo)，求出平面PBC的法向量為、平面PCD的法向量，利用空間向量的數(shù)量積，求出二面角的大小；求出平面PBC的法向量，利用線面角的公式求出的值.【詳解】證明：Ⅰ在圖1中，，，為平行四邊形，，，，當(dāng)沿AD折起時，，，即，，又，平面PAB，又平面PAB，．解：Ⅱ以點A為坐標(biāo)原點，分別以AB，AD，AP為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，由于平面ABCD則0，，0，，1，，0，，1，1，，1，，0，，設(shè)平面PBC的法向量為y，，則，取，得0，，設(shè)平面PCD的法向量b，，則，取，得1，，設(shè)二面角的大小為，可知為鈍角，則，．二面角的大小為．設(shè)AM與面PBC所成角為，0，，1，，，，平面PBC的法向量0，，直線AM與平面PBC所成的角為，，解得或．【點睛】本題考查了利用線面垂直證明線線垂直，考查了利用向量數(shù)量積，求二面角的大小以及通過線面角公式求定比分點問題.19、（1）證明見解析；（2）.【解析】

（1）把轉(zhuǎn)化成，令，由題意得，即證明恒成立，通過導(dǎo)數(shù)求證即可（2）直接求導(dǎo)可得，，令，得或，故根據(jù)0與的大小關(guān)系來進(jìn)行分類討論即可【詳解】證明：（1）令，則.分析知，函數(shù)的增區(qū)間為，減區(qū)間為.所以當(dāng)時，.所以，即，所以.所以當(dāng)時，.解：（2）因為，所以.討論：①當(dāng)時，，此時函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減.又，故此時函數(shù)僅有一個零點為0；②當(dāng)時，令，得，故函數(shù)的增區(qū)間為，減區(qū)間為，.又極大值，所以極小值.當(dāng)時，有.又，此時，故當(dāng)時，函數(shù)還有一個零點，不符合題意；③當(dāng)時，令得，故函數(shù)的增區(qū)間為，減區(qū)間為，.又極小值，所以極大值.若，則，得，所以，所以當(dāng)且時，，故此時函數(shù)還有一個零點，不符合題意.綜上，所求實數(shù)的值為.【點睛】本題考查不等式的恒成立問題和函數(shù)的零點問題，本題的難點在于把導(dǎo)數(shù)化成因式分解的形式，如，進(jìn)而分類討論，本題屬于難題20、（1）證明見解析（2）【解析】

（1）根據(jù)線面垂直的性質(zhì)定理，可得DE//BF，然后根據(jù)勾股定理計算可得BF＝DE，最后利用線面平行的判定定理，可得結(jié)果.（2）利用建系的方法，可得平面ABF的一個法向量為，平面CDF的法向量為，然后利用向量的夾角公式以及平方關(guān)系，可得結(jié)果.【詳解】（1）因為DE⊥平面ABCD，所以DEAD，因為AD＝4，AE＝5，DE＝3，同理BF＝3，又DE⊥平面ABCD，BF⊥平面ABCD，所以DE//BF，又BF＝DE，所以平行四邊形BEDF，故DF//BE，因為BE平面BCE，DF平面BCE所以DF//平面BCE；（2）建立如圖空間直角坐標(biāo)系，則D（0，0，0），A（4，0，0），C（0，4，0），F(xiàn)（4，3，﹣3），，設(shè)平面CDF的法向量為，由，令x＝3，得，易知平面ABF的一個法向量為，所以，故.【點睛】本題考查線面平行的判定以及利用建系方法解決面面角問題，屬基礎(chǔ)題.21、（1）見解析，（2）【解析】

（1）根據(jù)等差中項的定義得，然后構(gòu)造新等比數(shù)列，寫出的通項即可求