《偏微分方程教程》第六章

橢圓型方程1§

1

調和函數(shù)【知識點提示】Green公式，基本解，調和函數(shù)，調和函數(shù)的基本性質?！局亍㈦y點提示】利用Green公式導出基本積分公式，進而研究調和函數(shù)的基本性質?！窘虒W目的】掌握調和函數(shù)的定義和性質。21.1.Gren公式散度定理：設

是n

維空間中以足夠光滑的曲面

所圍成的有界連通區(qū)域,n

是曲面的外單位法向.若函數(shù)Pi

(x1

x2

xn

)(i

1

2

n)在閉區(qū)域

上連續(xù),在

內有一階的連續(xù)偏導數(shù),則n3n

i

n

i

ii

i

1i

1

P

x

dx1

dx

Pcos(n

x

)dS

,(1.1)其中cos(n

xi

)表示曲面

的外單位法向n與x

i軸的方向余弦,dS是

上的面積元素.Green公式的推導：設函數(shù)u(x1

x2

xn)和v

(x1

x2

xn

)在

內有連續(xù)的二階偏導數(shù).在公式(1.1)中令ii

xP

u

v

i

1

2

n

得到nniiucos(n

v

v

x

)dS

x

x

xi

i

i

1

i

1

dx1

dxn

u(1.2)(1.2)可改寫成為i

i4nn

vdS

n

x

xi

1

u

vd

u

v

d

u(1.3)若將(1.3)中的u

和v互相對換,又得i

innx

x

i

1dS

u

n

v

ud

v

u

d

v(1.4)我們把(1.3)與(1.4)都稱作第一Green公式.若將(1.3)與(1.4)相減,則得n

n5

n

n

(u

v

v

u)d

u

v

v

u

dS

(1.5)我們把(1.5)稱為第二Green公式.1.2.

調和函數(shù)與基本解u(x1

x2

xn

)定義

6.1

對于函數(shù)

,如果它在n維空間nR

的有界區(qū)域

內有直到二階的連續(xù)偏導數(shù),且在

內滿足Laplace方程：1

1 2

2

n

n

nu

ux

x

ux

x

ux

x

0

(1.6)則稱u

在區(qū)域

內是調和函數(shù).如果

nu

0(

0),則稱u

在區(qū)域

內是下調和(上調和)函數(shù).如果

是無界區(qū)域,則除上面的要求外,還應要求當點P(x1

x2

xn

)趨于無窮遠時,函數(shù)u

一致趨于零.即對于任意小的正數(shù)

,存在正數(shù)

A,使當點P與坐標原點的距離r

A

時,總有

u(P)

按照這個定義,有時我們把Laplace方程(1.6)也稱作調和方程.調和方程的基本解我們僅考慮三維空間和二維空間的情形.6首先我們考慮三維的情形.00用(x

y

z)表示三維空間中的點(x1

x2

x3

)改寫三維空間的調和方程為球坐標形式.設球坐標變換為

x

x0

rsin

cos

y

y

r

sin

sin

z

z

r

cos

.

則(1.6)(取n

3)可化為31

u

1

u

1

2u(r2

)

(sin

)

0

r2

r

r

r2sin

r2sin2

2

u

(1.7)由(1.7)可以看出,方程(1.6)的球對稱解是滿足以r為自變量的常微分方程r

271

(

r

2

u

)

0

r

r其通解可寫為2c

1

ru

c

這里c1

,c

2是任意常數(shù).所以函數(shù)u1r

是一個球對稱特解,從而推得0

0

01

1r(x

x

)2

(y

y

)2

(z

z

)2在任一不包含點P0

(x0

y0

z0

)的區(qū)域內是調和的,它在點P0

處有奇性.稱函數(shù)0

0

081

1r(x

x

)2

(y

y

)2

(z

z

)2為三維Laplace方程(1.6)的基本解注基本解在(x

y

z)

(x0

y0

z0

)時關于(x

y

z)或(x0

y0

z0

)都是調和0函數(shù)且無窮次可微.其次,考慮二維Laplace方程

2u

uxx

uyy

0在極坐標變換

x

x0

rcos

y

y

rsin

下它可化為

0

1

u

1

2u

2

u

(r

)

r

r

r

r2

2(1.8)1二維Laplace方程的基本解lnr定理

6.1

設函數(shù)

u(

x

y

z)在有界區(qū)域

內二階連續(xù)可微,

在

上連續(xù)且有連續(xù)的一階偏導數(shù),則當點P0

(x0

y0

z0

)

時,有904

u(P

)

1

1

u

u

(1)

dS

1

r

n

n r

r

4

3

u

d

(1.9)其中r

0

0

0

的外單位法向,dS是曲面

(x

x

)2

(y

y

)2

(z

z

)2

n是邊界曲面上的面積單元,d

是體積單元.證以P0為中心

為半徑作球K

使K

表示該球的球面,于是在區(qū)域

Ku1rv

上,函數(shù)和都滿足第二Gren公式的條件,代入公式(1.5)得1

1KdS

,r

r

1 1

u

u

( )

u d

u

( )

33

n

r r

n

(1.10)

110因為1

在區(qū)域

rK

內是調和函數(shù),所以有.3

(r

)

0另外邊界

上任一點的外法線方向實際上是從該點沿著半徑指向球心P0的方向,所以在

上有2

1

1

1

1( )

( )

2

n

r

r

r

r

從而得到在

上的積分為1

u

1 1

u

( )

dS

n

r r

n

u

dS

udS

1

n

4

u

4

(

u

)

2

u

n

u

n其中u

和

分別是函數(shù)u和

n在球面

上的平均值.于是(1.10)可寫成31

r

.

K

u

1 1

u

( )

dS

4

u

(

)

n

r r

n

n

ud

uu因為及

u

n

11在上連續(xù)，所以

u

n

關于

一致有界,

且當

0時,有0u

u(P

)

u

n

0

K

,

于是由上式即得0314

14

r

u(P

)

1

u

u

(1

)

dS

r

r

n

n

1

ud

定理證畢.今后,我們將公式(1.9)稱為三維空間中的基本積分公式.定理

6.2

設函數(shù)u(

x

y)在有界區(qū)域

內二階連續(xù)可微，

在

0

0

0P

(

x

y

)

上連續(xù)且有連續(xù)的一階偏導數(shù)，則當點

時有02r

u(P

)

1

ln

1

u

u

ln

1

dl

12

r

r

n

n

2

ln

1

ud

(1.11)其中d

l表示

上的線元素,d

是

上的面積元素.1.3.

調和函數(shù)的基本性質性質

6.1

設

u(

x

y

z)是有界區(qū)域

內的調和函數(shù),

且在

上有連續(xù)的一階偏導數(shù),則12

u

d

S

0

.

n

(1.12)

u

.

n證利用第二Green公式,在(1.5)中取v

1

,取u為所給的調和函數(shù),

就可得到(1.12).由此性質可得出,Laplace方程的第二邊值問題

3

u

0

(

x

y

z)

有解的必要條件是函數(shù)

滿足

d

S

0

.性質

6.2

設

u(x

y

z)是有界區(qū)域

內的調和函數(shù),且在閉區(qū)域

上有連續(xù)的一階偏導數(shù),則在

內的任一點P0

(x0

y0

z0

)處有130

u(P

)

1

1

u

u

4

(

1

)

dS

r

n

n r

(1.13)證利用基本積分公式(1.9)即得.類似地,對于二維空間的情形,我們可以利用(1.11)得到0ln2

1 1

u

1

u

(

P

)

r

n

u

n

(ln

r

)

dl

(1.14)其中

是平面上有界區(qū)域

的邊界.性質

6.3

(平均值定理)

設

u(x

y

z)是區(qū)域

內的調和函數(shù),P0(x0

y0

z0)是

內的任一點以,P0

為心R

為半徑作球KR只要球KR連同其邊界

R

包含在

內,則有公式0141R4

Ru

(

P

)

ud

S

2

(1.15)證將公式(1.13)應用于球面

R

上,得到0u(P

)

1

1

u

u

(1

)

dS

4

R

r

n

n r

這里

r

R

,故由性質6.1知上式右端第一項的積分值為零,

又因為在球面上的外法線方向與半徑的方向一致,于是RRR

1

1

1

(

)

(

)

2

n

r

r r

所以有0151R4

Ru

(

P

)

ud

S

2

我們把調和函數(shù)的這一性質稱為平均值定理,公式(1.15)稱為平均值公式,

即調和函數(shù)在球心處的值等于它在球面上的平均值.注1對區(qū)域

內的下調和(上調和)函數(shù)u,我們有01

1RR4

R4

Ru(P

)

udS

u(P

)

udS

0

2

2

(1.17)性質

6.4

(強極值原理)

假設不恒為常數(shù)的函數(shù)

u(

x

y

z),在有界區(qū)域

內調和且在

上連續(xù),則它在

上的最大值和最小值只能在

的邊界

上達到.證用反證法.假設調和函數(shù)u(x

y

z)在

上的最大值不在

上達到,那么它必在

內的某一點P0

(x0

y0

z0

)達到,記u(P0)

M

當然M

也是u

在

上的最大值.16以P0

為心R為半徑作球KR

使KR完全包含于

內,記KR

的球面為S

R

,可以證明,在S

R

上有u

M

事實上,若函數(shù)u

在SR上某一點的值小于M

,則由連續(xù)性知,在球面SR

上必可找到此點的一個充分小的鄰域,在此鄰域內有u

M

,于是在SR

上成立不等式1

1RR4

R

4

RudS

MdS

M

2

S

2

S但由平均值公式(1.15),有0171R4

RudS

u(P

)

M

2

S這就發(fā)生了矛盾.所以在球面SR

上,必須有u

M同理可證,在任一以P0

為心,

(

R)為半徑的球面S上,也有u

M

.因此,在整個球

K

R

上,有u(

x

y

z)

M

2R

1RK下面證明對

內的所有點,都有u

M

.為此在

內任取一點P(x

y

z),由于

是區(qū)域,所以可用完全位于

內的折線l

將點P0和P

連結起來,設l

與邊界

的最短距離為d

,于是函數(shù)u

在以P0d為心為半徑的球11

K