函數(shù)的解析式

方法點(diǎn)撥：常用求函數(shù)解析式的方法有待定系數(shù)法、配湊法、換元法以及解方程組法.在利

用配湊法和換元法解答時(shí)要注意函數(shù)的定義域.

【例1】已知二次函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)A(0,-5),B(5,0),它的對(duì)稱軸為直線x=2,求這個(gè)

二次函數(shù)的解析式.

【例2］求下列函數(shù)的解析式：

(1)已知/(x)=￡2+2x，求/(2x+l)；

(2)已知/(6-l)=x+2VT,求/(x)；

(3)已知/(犬)+4((卜6工0)，求/(x).

(4)設(shè)/(x)是R上的函數(shù)，且/(0)=1,并且對(duì)任意實(shí)數(shù)x,y都有/(x-y)=/(%)-

y(2x-y+,求/(x)的表達(dá)式.

1.(2014福建泉州一中期中)已知/(x-1)=f,則“X)的解析式為()

A./(x)=x2-2x-iB.f(x)=f-2x+l

C./(x)=f+2x-lD./(x)=X2+2X+1

2.(2013山東濟(jì)南期中)已知函數(shù)/(x)是一次函數(shù)，且滿足/(x+1)=41,則/(x)=

3.(2015山東省實(shí)驗(yàn)高一期中)已知/(2x+1)=X2-2X,則/(3)=.

4.已知/(?+1)=》+2石,則，(x)的解析式為.

5.(2013安徽高考)定義在R上的函數(shù)〃x)滿足/("1)="(x).若當(dāng)0<x<l時(shí),/

(x)=x(1-x),貝!|當(dāng)一1W爛0時(shí)，/(X)=.

6.(2015山東省實(shí)驗(yàn)高一期中)已知二次函數(shù)/(X)滿足條件/(0)=1,及

/(x+l)-/(x)=2x.

(1)求函數(shù)數(shù)%)的解析式;

(2)在區(qū)間［-1,1］上，y=f(x)的圖象恒在y=2x+m的圖象上方，試確定實(shí)數(shù)m的取

值范圍.

參考答案:

例1【答案】y=(X-2)2-9.

【解析】

因?yàn)閽佄锞€的對(duì)稱軸為x=2,所以設(shè)函數(shù)的解析式為y=a(x-2)2+Z(a。0).

—5—4a+kd-1

把(0,-5、(5,0)分別代入上式，得八二,，解得，一二

.0=9a+Z,[k=-9.

所以二次函數(shù)的解析式為y=(x-2)2-9.

例2【答案】(1)/(2X+1)=4X2+8X+3;(2)/(X)=X2+4X+3(X>-l)

2x

(3)/(x)=彳-1(xHO)；(4)/(》)=/+》+1

【解析】

(1)f(2x+l)=(2x+1/+2(2%+l)=4x2+&x+3.

(2)法一(拼湊法)：/(4-1)=(4-1)?+4(G-1)+3,iT6V7-l>-l,

故所求的函數(shù)為/(X)=X2+4X+3(X2-1).

法二(換元法)：令/=五一1,則叱-1,且4=t+\,

：.f=+1)2+2(r+l)=r2+4r+3.

(x)=x2+4x+3(x>-1).

(3)因?yàn)?(X)+4(￡|=X，將原式中的X與:互換，得/(￡|+2/(X)=B,

于是得到關(guān)于/(x)與的方程組：J1)''I,

解得/?)=彳一］(尤，0).

(4)由/(0)=1,對(duì)任意實(shí)數(shù)K,y都有/(x-y)=/(%)-y(2x-y+1),

設(shè)x=y，得/(0)=/(%)-%(2x-x+1).

因?yàn)?(0)=1,所以/(x)-A-(2x-x+1)=1,即/(x)=x?+x+1.

1.【答案】D.

【解析】

令x-1=r,則x=f+1,二〃t)=(r+1)2=?+2r+l,即/(x)=%2+2x+l.

2.【答案】4x-5.

【解析】

/(x+1)=4x-l,/(x+1)=4(x+1)-5,所以f(x)=4x-5.

3.【答案】-1

【解析】

由題意得，.?./⑶=/(2xl+l)=12-2xl=—1,

故答案為-1.

4【答案】〃x)=?-1(%>1)

【解析】

法一：設(shè)f=6+1,貝Ux=(1)2(之1).

:.fit)=(f-1)2+2(t-\)=產(chǎn)一2什1+2-2=戶一1.

即/(x)=JT-1(X>1).

法二：；x+2五=(石)2+2?+1-1=(五+1)2-1,

/./(>/x+l)=(>/x+l)2-l(^+l>l),

即/(x)=^-1(X>1).

5.【答案】-^-x2--x.

22

【解析】

當(dāng)0W爛1時(shí),/(x)=x(1-x)，當(dāng)-iSrN時(shí),0<x+l<l,.V(^+1)=(x+1)?口一(x+1)1

——x(x+1),而/(x)=-y(x+l)=——x'——x.當(dāng)一時(shí)if(x)=一耳尤*—萬(wàn)龍,

6.【答案】(1)/(x)=[x-g)+?=%2一x+1；(2)m<-\

【解析】

(1)V/(%+1)-./(%)=2%,令x=0,則/(l)_/(O)=0,.\/(1)=/(0),

V/(0)=1(/(1)=1,..?二次函數(shù)圖象的對(duì)稱軸為x，，可令二次函數(shù)的解析式為

2

(1

ax——I+A,

小)=I2

Vf(x+l)-f(x)=2x，令%=_1,則/(o)_/(-i)=2,???/(0)=1,???/(_1)=3,

1,?

—a+h=1

?，解得"=1,〃==，

將(0,1)和(-1,3)分別代入解析式可得：

94

—。+h=3

4

(1\3

???二次函數(shù)的解析式為“x)=X—彳+亍=f—X+1;

v巳)4

(2)在區(qū)間［-1,1］上，y=/()的圖象恒在y=2x+m的圖象上方，工

r-x+1>2x+根在［—1,1］上怛成立，?，