上海市寶山區(qū)淞誼中學(xué)2022-2023學(xué)年九年級(jí)上學(xué)期月考

數(shù)學(xué)試卷（9月份）（含答案與詳細(xì)解析）

一、選擇題：（本大題共6題，每小題4分，滿分24分）

1.（4分）下列各組線段中，能成比例線段的一組是（）

A.2,3,4,6B.2,3,4,5C.2,3,5,7D.3,4,5,6

2.（4分）如圖，用放大鏡看△ABC,若邊BC的長度變?yōu)樵瓉淼?倍，那么下列說法中,

不正確的是（）

A.邊48的長度也變?yōu)樵瓉淼?倍

B.NBAC的度數(shù)也變?yōu)樵瓉淼?倍

C.△ABC的周長變?yōu)樵瓉淼?倍

D.ZVIBC的面積變?yōu)樵瓉淼?倍

3.（4分）如果點(diǎn)。、E分別在△ABC的兩邊A8、AC上，下列條件中可以推出的

是（）

A.嶇=2,盥=2B坦=2DE=2_

,而~3BCy

CAB=2D.也=2AE=4

,AD~2AD3EC~3

4.（4分）如圖，在△ABC中，D、E分別在AB、AC上，DE//BC,EF〃CD交AB于F,

那么下列比例式中正確的是（）

D幺_

RC

DE

A._B,/一加rDFAFDEFDE

DFBCBDABDBDF'CEF'BC

5.（4分）已知△ABC的三邊長分別為6cm,1.5cm,9cm,的一邊長為5cm，若這兩

個(gè)三角形相似，則△OEF的另兩邊長可能是下列各組中的（）

C.6cm,7cmD.1cm,9cm

6.（4分）如圖，在△ABC中，4OJ_BC,點(diǎn)。為垂足，為了證明NBAC=90°,以下添加

的等積式中，正確的有（）

①4￡>2=BD?C￡）

@AB-CD=AC'AD

@AC2=BC'CD

@AB2^AC'BD

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

二.填空題：（本大題共12小題，每小題4分，滿分48分）

7.（4分）已知線段。=2厘米，c=8厘米，則線段a和c的比例中項(xiàng)。是厘米.

8.（4分）在△ABC中，點(diǎn)。、E分別在BA、C4的延長線上，如果OE〃BC,AB：BD=2：

3,那么AC：CE=.

9.（4分）如圖，已知舞臺(tái)AB長10米，如果報(bào)幕員從點(diǎn)A出發(fā)站在舞臺(tái)的黃金分割點(diǎn)P

處，KAP<BP,則報(bào)幕員應(yīng)走米報(bào)幕（依生2.236，結(jié)果精確到01米）.

——>

I--------1----------------1

APB

10.（4分）在△ABC中，點(diǎn)。、E分別在邊AB、AC上，ZADE=ZC,AD=\,AE=2,

AC=3,那么AB—.

11.（4分）如圖，已知AO為△ABC的角平分線，DE//AB,如果笆■上，那么坐=.

EC3AB

12.（4分）如圖，在△A8C中A8=3,AC=4,△ABC繞著點(diǎn)4旋轉(zhuǎn)后能與△ABC重合,

若BB'=2,那么CC=

A

13.（4分）如圖，在梯形488中，AD//BC,AC與BD相交于點(diǎn)。，如果SAACD：SAABC

Sf\ABD=

14.（4分）如圖，在5X5的正方形網(wǎng)格中，點(diǎn)A、B、C、E、F都在小正方形的頂點(diǎn)上,

試在該網(wǎng)格中找點(diǎn)。，聯(lián)結(jié)。E、DF,使得△￡）￡：/與aACB相似（在圖中畫出符合題意

的點(diǎn)。）

15.（4分）如圖的△ABC中有一正方形。EFG,其中。在AC上，E、F在A8t,直線AG

分別交OE、BC于M、N兩點(diǎn).若NB=90°,AB=4,BC=3,EF=\,則BN的長度

16.（4分）現(xiàn)有不等臂蹺蹺板AB,當(dāng)A3的一端點(diǎn)A碰到地面時(shí)（如圖（1））,另一端點(diǎn)8

到地面距離為3米；當(dāng)A8的另一端點(diǎn)8碰到地面時(shí)（如圖（2））,端點(diǎn)A到地面距離為

2米，那么蹺曉板48的支撐點(diǎn)。到地面的距離0〃=米.

■B

（1）（2）

17.（4分）在△ABC中，/C=90°,48=5,把△ABC繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)2落在射線3A

上的點(diǎn)E處（點(diǎn)E不與點(diǎn)A,8重合），此時(shí)點(diǎn)A落在點(diǎn)F,聯(lián)結(jié)外，若△AEF是直角

三角形，且A尸=4,則8C=.

18.（4分）如圖，△ABC中，點(diǎn)D,E分別在邊AB,AC上，DE//BC,AD=2DB,△ADE

和△4BC重心間的距離為2；當(dāng)點(diǎn)。，E分別在A3,AC延長線上且DE:〃BC時(shí)，△ADE'

和△ABC重心間的距離不大于6,設(shè)此時(shí)AB：的值為k,那么k的取值范圍是.

三.解答題：（本大題共7題，滿分78分）

19.（10分）已知點(diǎn)C在線段A8上，且滿足AC2=AB?BC.

（1）若48=1,求AC的長；

（2）若AC比BC大2,求4B的長.

20.（10分）如圖：AD//EG//BC,EG分別交A3、DB、AC于點(diǎn)E、F、G,已知AO=6,

BC=10,AE=3,AB=5,求EG、PG的長.

21.（10分）我國古代數(shù)學(xué)家趙爽利用影子對(duì)物體進(jìn)行測量的方法，在至今仍有借鑒意義.

（1）如圖1己知小明的身高是1.6米，他在路燈AB下的影子長為2米，此時(shí)小明距路

燈燈桿的底部3米，求燈桿AB的高度；

(2)如圖2現(xiàn)將一高度為2米的木桿CG放在燈桿AB前，測得其影長C”為1米，再

將木桿沿著BC方向移動(dòng)1.8米至DE的位置，此時(shí)測得其影長QF為3米，求燈桿AB

的高度.

22.(10分)如圖，在△ABC中，點(diǎn)。是邊BC上一點(diǎn)，ZADE=ZC,QE交邊AC于點(diǎn)E.

(1)求證：PE=AD.

DCAC

(2)若求證：ZABD—ZADB.

ADBC

23.(12分)如圖，已知平行四邊形ABC￡>,點(diǎn)E為線段AO上一點(diǎn)，聯(lián)結(jié)CE并延長交2A

的延長線于點(diǎn)F,聯(lián)結(jié)BE、DF.

(1)若△AEF面積為2,△AEB面積為3,求△-9C的面積；

24.(12分)在平面直角坐標(biāo)系中，把一條線段繞其一個(gè)端點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，并把這條線段伸

長或縮短，稱這樣的運(yùn)動(dòng)叫做線段的“旋似”，經(jīng)“旋似”運(yùn)動(dòng)后新線段和原線段的夾角

為“旋似角”，新線段長和原線段長比值為“旋似比”；如圖，平面直角坐標(biāo)系xOy中有

一點(diǎn)A(2,6),把線段0A繞點(diǎn)0做“旋似”運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是點(diǎn)B,若“旋似角”

為90°,

(1)當(dāng)“旋似比”為3時(shí)，點(diǎn)B恰落在一個(gè)反比例函數(shù)圖象上，求該反比例函數(shù)的解析

式；

(2)過3作軸，點(diǎn)F為垂足，聯(lián)結(jié)AB,若△AOB與△BOF相似，求此時(shí)的“旋

似比“；

(3)當(dāng)“旋似比”為工時(shí)，過點(diǎn)A作AELx軸，垂足為E,點(diǎn)。是)'軸上一點(diǎn)，且滿足

2

25.(14分)在平行四邊形ABCO中，AB=6,8c=3,點(diǎn)E是射線BA上一點(diǎn)，且滿足D4

點(diǎn)尸在線段CE上，聯(lián)結(jié)。F,使

(1)如圖，當(dāng)點(diǎn)E在邊84上時(shí),

①求證：DF-CE^AB'AD-.

②若BE=2,求線段CF的長.

(2)若△OCF是以CF為腰的等腰三角形，求此時(shí)線段CE的長.

上海市寶山區(qū)淞誼中學(xué)2022-2023學(xué)年九年級(jí)上學(xué)期月考

數(shù)學(xué)試卷（9月份）參考答案與試題解析

一、選擇題：（本大題共6題，每小題4分，滿分24分）

1.（4分）下列各組線段中，能成比例線段的一組是（）

A.2,3,4,6B.2,3,4,5C.2,3,5,7D.3,4,5,6

【分析】根據(jù)成比例線段的定義對(duì)各選項(xiàng)分析判斷后利用排除法求解.

【解答】解：A、；2：3=4：6,二2,3,4,6能成比例線段，故本選項(xiàng)正確；

3、2,3,4,5不能成比例線段，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；

C、2,3,5,7不能成比例線段，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；

D、3,4,5,6不能成比例線段，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤.

故選：A.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了比例線段，熟記成比例線段的定義是解題的關(guān)鍵.

2.（4分）如圖，用放大鏡看△ABC,若邊8c的長度變?yōu)樵瓉淼?倍，那么下列說法中,

A.邊A3的長度也變?yōu)樵瓉淼?倍

B.N84C的度數(shù)也變?yōu)樵瓉淼?倍

C.AABC的周長變?yōu)樵瓉淼?倍

D.AABC的面積變?yōu)樵瓉淼?倍

【分析】根據(jù)相似三角形的判定和性質(zhì)，可得出這兩個(gè)三角形相似，相似三角形的周長

之比等于相似比，面積之比等于相似比的平方.

【解答】解：???用放大鏡看△ABC,若邊8C的長度變?yōu)樵瓉淼?倍，

.,.邊AB的長度也變?yōu)樵瓉淼?倍，故A正確；

...△A8C的周長變?yōu)樵瓉淼?倍，故C正確；

...△ABC的面積變?yōu)樵瓉淼?倍，故O正確；

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了相似三角形的性質(zhì)，相似三角形的周長之比等于相似比，面積之比

等于相似比的平方.

3.（4分）如果點(diǎn)。、E分別在△ABC的兩邊A3、AC上，下列條件中可以推出￡）E〃3c的

是（）

AAD2CE2RAD2DE2

BD3AE3AB3BC3

CAB=2EC=1口AE=A

,AD2"AET-AD3"EC

【分析】根據(jù)各個(gè)選項(xiàng)的條件只要能推出他=地或坐=A￡,即可得出△AOEs4

ABACADAE

ABC,推出根據(jù)平行線的判定推出即可.

解：A、根據(jù)包_=2和%=2不能推出DE//BC,故本選項(xiàng)錯(cuò)誤;

BD3AE3

B、根據(jù)地=2和理=2不能推出。E〃BC,故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；

AB3BC3

?.?-A-C_3

AE2

..AB=3

,AD2"

.AB=AC

*'ADAE'

/\ABC^/\ADE,

：.NADE=NB,

J.DE//BC,故本選項(xiàng)正確;

。、根據(jù)期和迪=4不能推出。E〃3C,故本選項(xiàng)錯(cuò)誤;

AD3EC3

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了相似三角形的性質(zhì)和判定，平行線的判定的應(yīng)用，關(guān)鍵是推出AABC

s/\ADE.

4.（4分）如圖，在△A8C中，。、E分別在AB、AC上，DE//BC,EF〃C。交A8于尸,

那么下列比例式中正確的是（)

D,

BC

AAFDERAFADrDFAFnEFDE

DFBCBDABDBDFCDBC

【分析】根據(jù)平行線分線段成比例定理和相似三角形的性質(zhì)找準(zhǔn)線段的對(duì)應(yīng)關(guān)系，對(duì)各

選項(xiàng)分析判斷后利用排除法求解.

【解答】解：A、'：EF//CD,DE//BC,

.AF_AE；AE_DE,

"DF而言

VCE^AC,

迎工班.故本答案錯(cuò)誤；

DF尸BC

8、"：DE//BC,EF//CD,

AEADAF

-AE一.

ACABACAD

AFAD

AD-AB

'：AD^DF,

...空大也，故本答案錯(cuò)誤;

BD尸研

C、'JEF//CD,DE//BC,

.AF_AE；AE_AD,

"DF"EC'ECW

?AF_AD

,?薩而

?：ADXDF,

/.DF故本答案錯(cuò)誤;

DB尸DF

。、*：DE〃BC,EF//CD,

.DEAEEFAE

??—=一,—二—，

BCACCDAC

...里M,故本答案正確.

CDBC

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行線分線段成比例的運(yùn)用及平行于三角形一邊的直線截其他兩邊,

所得的新三角形與原三角形相似的定理的運(yùn)用，在解答時(shí)尋找找對(duì)應(yīng)線段是關(guān)鍵.

5.（4分）已知△ABC的三邊長分別為6c?”,1.5cm,9cm,△QEF的一邊長為5tw,若這兩

個(gè)三角形相似，則△￡>￡下的另兩邊長可能是下列各組中的（）

A.2cm,3cmB.4cm,6cmC.6cm,7cmD.1cm,9cm

【分析】根據(jù)三邊對(duì)應(yīng)成比例的三角形相似，即可求得.注意中為5c小邊長的對(duì)

應(yīng)邊可能是6a〃或1.5cm或9cm,所以有三種情況.

【解答】解：設(shè)△DEF的另兩邊為xc7w,ycm,

若ADEF中為5cm邊長的對(duì)應(yīng)邊為6cm,

貝||：互=_5_=工，

67.59

解得：1=空，y=K；

4-2

若ADEF中為5cm邊長的對(duì)應(yīng)邊為7.5cm,

則：_=三=工，

7.569

解得：x=4,y=6；

若△OEV中為5cm邊長的對(duì)應(yīng)邊為9cm,

則：A=A=_Z_,

967.5

解得：x=9，y=空；

36

故選:B.

【點(diǎn)評(píng)】此題考查了相似三角形的判定：三邊對(duì)應(yīng)成比例的三角形相似.解此題的關(guān)鍵

要注意中為5c機(jī)邊長的對(duì)應(yīng)邊不確定，答案不唯一，要仔細(xì)分析，小心別漏解.

6.（4分）如圖，在aABC中，AOLBC,點(diǎn)。為垂足，為了證明/B4c=90°,以下添加

的等積式中，正確的有（）

①AD2=BD?CD

?AB'CD=AC-AD

@AC2=BC'CD

@AB2=AC'BD

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

【分析】①由題意得出期＞0,證明△AOCsaBDA,可得出/D4C=/A8。，則可證

BDAD

出結(jié)論；②不能證明△48C與△4OC相似，得出②不符合題意；證出△4C￡)sZ^BC4,

由相似三角形的性質(zhì)得出NAOC=NBAC=90°,可得出③符合題意；根據(jù)

不能證明△ABC與△ABO相似，則可得出結(jié)論.

【解答】解：①?.?AOL8C,

AZADC=ZADB=90°,

"：AD1=BD'CD,

.ADCD

??麗F

XADCsXBDA,

：.ZDAC^ZABD,

：./ABD+NBAD=ZDAC+ZBAD^90a,

即NBAC=90°,

故①符合題意；

@'：AB'CD=AC'AD,

?ABAD

一而F，

不能證明△ABC與△AOC相似；

故②不符合題意；

③?.?AC2=BC?CD,

.ACCD

??-----=”

BCAC

ZACD=ZBCA,

：./\ACD^^BCA,

.?./ADC=/B4C=90°,

故③符合題意；

④由AB2=AC-BD不能證明與△48。相似,

故④不符合題意；

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了直角三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握相

似三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

二.填空題：（本大題共12小題，每小題4分，滿分48分）

7.（4分）已知線段a=2厘米，c=8厘米，則線段。和c的比例中項(xiàng)」是4厘米.

【分析】根據(jù)線段比例中項(xiàng)的概念，可得a：b=b：c,可得廿=ac=16,故人的值可求.

【解答】解：???線段b是〃、c的比例中項(xiàng)，

.'.b2=ac=\6,

解得b=±4,

又；線段是正數(shù)，

.'.b=4.

故答案為4.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了比例中項(xiàng)的概念，注意：求兩個(gè)數(shù)的比例中項(xiàng)的時(shí)候，應(yīng)開平方.求

兩條線段的比例中項(xiàng)的時(shí)候，負(fù)數(shù)應(yīng)舍去.

8.（4分）在△4BC中，點(diǎn)。、E分別在BA、C4的延長線上，如果。E〃BC,AB-.BD=2：

3,那么AC：CE=2：3.

【分析】根據(jù)平行線分線段成比例的性質(zhì)即可得出答案.

【解答】解：如圖所示，

■:DE//BC,AB-.BD=2：3,

：.AC：CE=2：3,

故答案為2：3.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了平行線分線段成比例的性質(zhì)，比較簡單.

9.（4分）如圖，已知舞臺(tái)AB長10米，如果報(bào)幕員從點(diǎn)A出發(fā)站在舞臺(tái)的黃金分割點(diǎn)P

處，且AP<BP,則報(bào)幕員應(yīng)走3.8米報(bào)幕（依處2.236，結(jié)果精確到0.1米）.

——>

APB

［分析］根據(jù)黃金分割的比值為返二1列式計(jì)算即可得解.

2

【解答】解：：點(diǎn)P為AB的黃金分割點(diǎn)，AP<BP,

，AP=10-10X在二1

2

=10-10X2-236-1

2

=10-6.18

=3.82

心3.8米.

故答案為：3.8.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了黃金分割的應(yīng)用.關(guān)鍵是明確黃金分割所涉及的線段的比.

10.（4分）在△4BC中，點(diǎn)。、E分別在邊AB、AC上，ZADE=ZC,AD=\,AE=2,

AC=3,那么AB=6.

【分析】由NA=/A,ZADE^ZC,根據(jù)有兩角對(duì)應(yīng)相等的三角形相似，即可證得4

ADE^/XACB,根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例，即可求得AB的值.

【解答】解：VZA=ZA,NADE=NC,

：./\ADE^/\ACB,

?■?AD二-AE,

ACAB

\'AD=1,AE=2,AC=3,

???1—?=2一一一,

3AB

；.A8=6.

故答案為：6.

【點(diǎn)評(píng)】此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì).此題難度不大，解題的關(guān)鍵是注意方程

思想與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.

11.（4分）如圖，已知A3為△ABC的角平分線，DE//AB,如果嶇=2,那么嶇=2.

EC3AB—5一

【分析】由。E〃AB可得些皿，進(jìn)而結(jié)合題干中的條件得到AE=OE,即可求解.

ABAC

【解答】解：

???D--E二CE，,

ABAC

T7??AE2

EC3

?.D?-E-=C'E-_-3,

ABAC5

又YA。為△ABC的角平分線，DE//AB,

：.ZADE^ZBAD=ZDAE,

：.AE^DE,

?AE_DE_CE_3

*'ABAB"AC5"

故答案為：3.

5

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了平行線分線段成比例的性質(zhì)問題，平行于三角形一邊的直線截

其他兩邊（或兩邊的延長線），所得的對(duì)應(yīng)線段成比例.

12.（4分）如圖，在△ABC中AB=3,AC=4,4ABC繞著點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)后能與△ABC重合，

若BB'=2,那么CC=3..

-3~

【分析】由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得A2=AB，，AC=4C,ZBAB'^ZCAC,可證△ABQS^ACC,

由相似三角形的性質(zhì)可求解.

【解答】解：??.△ABC繞著點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)后能與△AFC重合，

：.AB=AB',AC=AC,ZBAB'=ZCAC,

.AB'AC'

??—=19

ABAC

?BB;AB

"CC7-=AC，

-3__2

"T"cc7

:.cc=^~.

3

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是解題的

關(guān)鍵.

13.（4分）如圖，在梯形A8CD中，AD//BC,AC與80相交于點(diǎn)0,如果&ACD：S&ABC

=1:2,那么Sz\A0。：S/^ABD=1：3.

【分析】根據(jù)三角形面積公式得出地=上，證△AOOs^cOB,求出坨=工，求出。0：

BC2B02

BD=1：3,根據(jù)三角形面積公式求出即可.

【解答】解：?.,4O〃2C,

△AC。的邊AD上的高和△ABC邊8c上的高相等，

VSAACD：S&ABC=1：2,

?AD=1

*'BC~2

,JAD//BC,

：.△A0Ds/\C0B,

.DO=AD=1

"OBBC

?.?D0_―1,

BD3

/XAOD的邊DOtl的高和△43。邊BD上的高相等，

S^AOD：SAAB￡>=1：3,

故答案為：1：3.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形面積和相似三角形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的推

理能力和計(jì)算能力.

14.（4分）如圖，在5X5的正方形網(wǎng)格中，點(diǎn)A、B、C、E、尸都在小正方形的頂點(diǎn)上，

試在該網(wǎng)格中找點(diǎn)￡>,聯(lián)結(jié)。E、DF,使得△￡）￡：/與△ACB相似（在圖中畫出符合題意

的點(diǎn)。）

【分析】把的各邊放大2倍得到△OEE

【解答】解：如圖，△￡>￡/為所作.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了作圖-相似變換：根據(jù)相似三角形的判定條件作為作圖的依據(jù).比

較簡單的是把原三角形的三邊對(duì)應(yīng)的縮小或放大一定的比例即可得到對(duì)應(yīng)的相似圖形.

15.（4分）如圖的△A8C中有一正方形DEFG,其中。在AC上，E、『在A8上，直線4G

分別交。E、BC于M、N兩點(diǎn).若/B=90°,AB=4,8c=3,EF=L則BN的長度為

12

~7

【分析】由。E〃BC可得坐=些，求出AE的長，由G尸〃BN可得蛆地2=絲，將

ABBCABBN

AE的長代入可求得BN.

【解答】解：???四邊形OEFG是正方形,

J.DE//BC,GF//BN,且DE=GF=EF=1,

.?.△4￡>ES”CB,/XAGF^/XANB,

?杷=DE①AE+EF_GF（②

??而—而‘AB-BN'

由①可得，AE=1,解得：AE=1,

433

4年+11

將4E=9代入②，得：3_=A,

34BN

解得：BN=^-,

7

故答案為：12.

7

【點(diǎn)評(píng)】本題考查相似三角形的判定與性質(zhì)及正方形的性質(zhì)，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得

出4E的長是解題的關(guān)鍵.

16.（4分）現(xiàn)有不等臂蹺蹺板AB,當(dāng)AB的一端點(diǎn)4碰到地面時(shí)（如圖（1））,另一端點(diǎn)B

到地面距離為3米；當(dāng)AB的另一端點(diǎn)8碰到地面時(shí)（如圖（2））,端點(diǎn)4到地面距離為

2米，那么蹺曉板AB的支撐點(diǎn)。到地面的距離0H=1.2米.

（1）（2）

【分析】直接利用相似三角形的判定與性質(zhì)分別得出里望，皿期，再進(jìn)行比例變

BNABAMBA

換即可得出答案.

【解答】解：如圖所示：過點(diǎn)B作BNLA”于點(diǎn)N,AML8”于點(diǎn)

(1)(2)

：.HO//BN,

二△AO"S"BM

??--O-H二A一O,

BNAB

即型工2?

3AB

同理可得：

?OHBO

AMBA

即型型②，

2AB

①+②，得型+0H=OA4B=AB

32ABAB

：.OH=\.2（米）,

故答案為：1.2.

【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了相似三角形的應(yīng)用，正確得出比例式是解題關(guān)鍵.

17.（4分）在△ABC中，ZC=90°,AB=5,把△ABC繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)B落在射線BA

上的點(diǎn)E處（點(diǎn)E不與點(diǎn)A,B重合），此時(shí)點(diǎn)A落在點(diǎn)廣，聯(lián)結(jié)加，若△AE尸是直角

三角形，且A尸=4,則BC=遙或2?.

【分析】分兩種情況討論，由勾股定理可求AE的長，通過證明△AHCsaCHB,可求

CH的長，由勾股定理可求解.

【解答】解：如圖，當(dāng)點(diǎn)E在線段AB上時(shí)，過點(diǎn)C作Ca于"，

VZEAF=90°,

AE=^gp2_^p2—425T6=3,

:?BE=2,

?：BC=CE,CH±AB,

：.EH=BH=lf

：.AH=4,

VZB+ZBAC=90°=/B+/BCH,

：.NBCH=NBAC,

又?：NAHC=NBHC=90°,

J△AHCs/\CHB,

?.--A--H二-C--H，

CHBH

：.CH2=AH-BH=4X\=4,

：.CH=2,

22

BC~VBH+CH=44+1—V5；

當(dāng)點(diǎn)E在線段BA的延長線上時(shí)，過點(diǎn)C作CHLAB于H,

同理可求，BC=2娓,

綜上所述：BC=?或2

故答案為：后或2遍.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理，相似三角形的判定和

性質(zhì)，利用分類討論思想解決問題是解題的關(guān)鍵.

18.（4分）如圖，△48C中，點(diǎn)。，E分別在邊AB,AC上，DE//BC,AD=2DB,MADE

和△ABC重心間的距離為2；當(dāng)點(diǎn)。，E分別在AB,4c延長線上且力E〃BC時(shí)，MADE

和△ABC重心間的距離不大于6,設(shè)此時(shí)AB：A。的值為k,那么女的取值范圍是

k<l

【分析】過A點(diǎn)交。E于點(diǎn)G,設(shè)M點(diǎn)是△AOE的重心，由已知求出AG=6,

AH=9,當(dāng)△AOE和△ABC重心間的距離等于6時(shí)，設(shè)△△￡>￡的重心為Q,則GQ=6,

求出AK=18,則笆_=￡旦=9=工，又由△AOE和△ABC重心間的距離不大于6,可

DAAK182

得』WZ<1.

2

【解答】解：過A點(diǎn)交OE于點(diǎn)G,設(shè)M點(diǎn)是△ADE的重心,

?.?AM_2―?

AG3

〈AD=2DB,

?幽=2,

**AH5’

???△ABC的重心在DE上，

：.AG=2GHf

?/MADE和△ABC重心間的距離為2,

???MG=2,

?"M=4,

??.AG=6,AH=9,

當(dāng)點(diǎn)、D,E分別在48,AC延長線上時(shí)，

當(dāng)△AOE和△ABC重心間的距離等于6時(shí)，

設(shè)△4DE的重心為Q,則GQ=6,

?：GH=3,

：.HQ=3,

：.AQ=\2fQK=6,

???AK=18,

???AB_AH_9_1,

DAAK182

,?ZVIOE和△ABC重心間的距離不大于6,

2

故答案為：X^k<\.

2

A

【點(diǎn)評(píng)】本題考查三角形的重心，熟練掌握三角形重心的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)是解題的

關(guān)鍵.

三.解答題：(本大題共7題，滿分78分)

19.(10分)己知點(diǎn)C在線段A8上，且滿足AC2=A8?8C.

(1)若4B=1,求AC的長；

(2)若AC比BC大2,求AB的長.

【分析】(1)根據(jù)已知可得點(diǎn)C是線段A8的黃金分割點(diǎn)，從而可得4C=1二14B,然

2

后進(jìn)行計(jì)算即可解答；

(2)根據(jù)已知可設(shè)AC=x,則BC=x-2,從而可得AB=2x-2,然后根據(jù)

可得/=(2x-2)(x-2),從而進(jìn)行計(jì)算即可解答.

【解答】解：(1)?.?點(diǎn)C在線段A3上，且滿足AC2=AB”C,

.?.點(diǎn)C是線段AB的黃金分割點(diǎn)，

:.AC=^~~148=遍-1,

22

.?.AC的長為近二L

2

(2)比8C大2,

...設(shè)AC=x,則BC=x-2,

：.AB=AC+BC=2x-2,

'：AC1=AB'BC,

；./=⑵-2）（x-2）,

解得：x\=3+A/5?X2=3-（舍去），

：.AB=2x-2=2-Js+4,

：.AB的長為2代+4.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了黃金分割，熟練掌握黃金分割的定義是解題的關(guān)鍵.

20.（10分）如圖：AD//EG//BC,EG分別交AB、DB、AC于點(diǎn)E、尸、G,已知A￡>=6,

BC=10,AE=3,AB=5,求EG、FG的長.

【分析】在△ABC中，根據(jù)平行線分線段成比例求出EG,在△BAO中，根據(jù)平行線分

線段成比例求出EF,即可求出FG=EG-EF.

【解答】解：:△ABC中，EG//BC,

??E=G----AE,

BCAB

.皿=10,AE=3,AB=5,

??E=G—,3

105

\EG=6,

.,△BAO中，EF//AD,

.?E二F---B-E-?

ADAB

：AD=6,AE=3,AB=5,

??-.E.F—5-3r

65

.\EF=12

5

：.FG=EG-EF=1^-.

5

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行線分線段成比例，平行于三角形一邊的直線截其他兩邊（或兩

邊的延長線），所得的對(duì)應(yīng)線段成比例.

21.（10分）我國古代數(shù)學(xué)家趙爽利用影子對(duì)物體進(jìn)行測量的方法，在至今仍有借鑒意義.

（1）如圖1已知小明的身高是1.6米，他在路燈AB下的影子長為2米，此時(shí)小明距路

燈燈桿的底部3米，求燈桿AB的高度；

（2）如圖2現(xiàn)將一高度為2米的木桿CG放在燈桿AB前，測得其影長C4為1米，再

將木桿沿著BC方向移動(dòng)1.8米至DE的位置，此時(shí)測得其影長OF為3米，求燈桿A8

的高度.

【分析】（1）根據(jù)已知得出圖形，進(jìn)而利用相似三角形的判定與性質(zhì)求出即可；

（2）根據(jù)題意得：GC=DE=2米，CD=1.8米，NABC=NGCD=NEDF=90°,然

后證明A字模型相似三角形從而可得再證明A字模型相

AB1+BC

似三角形△AB/SAMF,從而可得_2_=——3——，進(jìn)而可得3,最后

AB3+1.8+BC1+BC4.8+BC

求出8c的長，從而求出AB的長.

【解答】解：（1）?；PO〃AB,

:.△CPOs^cAB,

?.?P0—CO9

ABCB

???小明的身高是1.6米，他在路燈AB下的影子長為2米，此時(shí)小明距路燈燈桿的底部3

米，

."0=1.6,C0=2,80=3,

?1.62

，'-AB-=2+3

解得AB=4,

...燈桿AB的高度是4〃z.

(2)由題意得：

GC=￡>E=2米，C￡>=1.8米，ZABC=ZGCD=ZEDF=90°,

ZAHB=ZGHC,

△ABHs/XGCH,

cH

GC>

B

A2BH

1

AB1c

+B

:.△ABFs^EDF,

?.?-E-D=-D-F-?

ABBF

?2,3

''AB=3+l.8+BC)

.1二3

*'1+BC=4.8+BC)

.?.BC=0.9米，

.21

*'AB=1+1.

.".AB—3.8米，

燈桿A8的高度為3.8米.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問題，數(shù)學(xué)常識(shí)，中心投影，列代

數(shù)式，平移的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握銳角三角函數(shù)的定義，以及相

似三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.此題主要考查了相似三角形的應(yīng)用，根據(jù)已知得

出△AOCsZ\A"進(jìn)而得出比例式是解題關(guān)鍵.

22.(10分)如圖，在△ABC中，點(diǎn)。是邊BC上一點(diǎn)，NAOE=/C,DE交邊AC于點(diǎn)、E.

(1)求證：理=迫；

DCAC

(2)若邁=煦，求證：NABD=NADB.

ADBC

A

【分析】(1)由NAOE=NC,NEAO=ND4C根據(jù)“兩角分別相等的兩個(gè)三角形相似”

證明△E4￡>S/\D4C,得邁_=旦^；

DCAC

(2)先推導(dǎo)出16=%，再根據(jù)“兩邊成比例且夾角相等的兩個(gè)三角形相似"證明△QEC

ACBC

^/XABC,得NCE￡>=NA8。，再證明/CEC=N￡)AC+NAQE=N￡?AC+/C=NAOB,

于是/ABO=NA￡>3.

【解答】(1)證明：：/AOE=/C,ZEAD^ZDAC,

：./\EAD^/\DAC,

.DE=AD

，#DCAC'

(2)證明：：邁=包_,

DCAC

.DE=DC

"ADAC,

..DE=CE

,ADBC,

?DC=CE

ACBC，

VZC=ZC,

：./\DEC^/\ABC,

：.ZCED^ZABD,

,：NCED=ZDAC+ZADE^ZDAC+ZC,

：.ZADB=ZDAC+ZC,

：.ZCED=ZADB,

：.ZABD=ZADB.

【點(diǎn)評(píng)】此題重點(diǎn)考查相似三角形的判定與性質(zhì)、三角形的外角等于與它不個(gè)鄰的兩個(gè)

內(nèi)角的和等知識(shí)，證明△EAOS4D4c及△OECs/\A8C是解題的關(guān)鍵.

23.(12分)如圖，已知平行四邊形ABCZ),點(diǎn)E為線段A。上一點(diǎn)，聯(lián)結(jié)CE并延長交84

的延長線于點(diǎn)F,聯(lián)結(jié)BE、DF.

(1)若△AEF面積為2,2XAEB面積為3,求△FQC的面積;

(2)當(dāng)尸E時(shí)，求證：EF1=AF'DC.

【分析】(1)設(shè)點(diǎn)E到A尸的距離是6,通過推導(dǎo)也照=更說明“如果兩個(gè)三角形的

2AAEB研

高相等，那么這個(gè)三角形面積的比等于底的比“，由CD//AF,AE〃BC推導(dǎo)出旦a=里=

EDEC

、

”=2,則也處=段=2,JADEF=EF=2(由此分別求出SADEF*。EC的值，

AB3^ADEFED3^ADECEC3

再由5""'=5/^^+^?！扒蟪?尸￡＞。的面積即可；

(2)先證明△BFESAFCC,得巫=此，再由AE〃8C得分2=空，變形為更=更,

DCCFBFCFEFCF

則巫="，所以EF2=AF?OC.

DCEF

【解答】(1)解：設(shè)點(diǎn)E到AF的距離是/?,

/△AEFJ■蝦少_研

SAAEB疑?h杷

?.?四邊形ABC。是平行四邊形，尸面積為2,△AEB面積為3,

J.CD//AF,AE//BC,S^AEf^S^AEB=2+3=5,

?幽=里="=2

一面ECAB3"

SS

.AAEFEA2ADEF_EF=2

^ADEFED3SADECEC3

S4DEF=^~S&AEF=3x2=3,

22

SAOEC~-^S'ADEF=—^3——>

222

SMDC=S4DEF+S4DEC=3+—=，

22

.?.△尸￡>(7的面積是至.

2

(2)證明：ZABE=ZDFE,ZBFE=ZFCD,

:.△BFES^FCD,

?EF=BF,

*'DCCF)

'：AE//BC,

FEF

一

-一--

AFcF

]-FBF

B_=

-一

FF

C

AF

_=A-1

IF一

]E-cEF

:.EEF2=AF-DC.

D-

【點(diǎn)評(píng)】此題重點(diǎn)考查平行四邊形的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、平行線分線段成

比例定理等知識(shí)，正確地理解和運(yùn)用“高相等的兩個(gè)三角形面積的比等于底的比”及相

似三角形的判定定理和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵.

24.(12分)在平面直角坐標(biāo)系中，把一條線段繞其一個(gè)端點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，并把這條線段伸

長或縮短，稱這樣的運(yùn)動(dòng)叫做線段的“旋似”，經(jīng)“旋似”運(yùn)動(dòng)后新線段和原線段的夾角

為“旋似角”，新線段長和原線段長比值為“旋似比”；如圖，平面直角坐標(biāo)系X。)，中有

一點(diǎn)A(2,6),把線段0A繞點(diǎn)0做“旋似”運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是點(diǎn)B,若“旋似角”

為90°,

(1)當(dāng)“旋似比”為3時(shí)?，點(diǎn)B恰落在一個(gè)反比例函數(shù)圖象上，求該反比例函數(shù)的解析

式；

(2)過B作軸，點(diǎn)廠為垂足，聯(lián)結(jié)AB,若△AOB與△BOF相似，求此時(shí)的“旋

似比”；

(3)當(dāng)“旋似比”為工時(shí)，過點(diǎn)A作AELx軸，垂足為E,點(diǎn)。是y軸上一點(diǎn)，且滿足

NBDO=/OAE,求點(diǎn)。的坐標(biāo).

【分析】(1)設(shè)線段0A繞。點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后對(duì)應(yīng)點(diǎn)為4,過點(diǎn)A作AELx軸交于

點(diǎn)E,過點(diǎn)A作A￡)_Lx軸交于點(diǎn)。，先證明△40E四△OAE(A4S),可求4(-6,2),

再由“旋似比”為3,求出6),即可求y=-期；

X

(2)由(1)知，/OAE=/BOF,當(dāng)XAOBsXOFB時(shí)，NBAO=NBOF,設(shè)“旋似

比”為%,則弛=%,求出40=2百5，由tan/OAE=工，求出BO=Wii,再由3BF

0A33

=OF,分別求出BF=2,OF=2,即可求％=工；

33

(3)過點(diǎn)8作BG_Ly軸交于點(diǎn)G,由(1)可得8(3,1),由題意可得tan/BOO=J_=

3

毀，求出。G=9,則。(0,10)或(0,-8).

DG

【解答】解：(1)設(shè)線