2024年初一下冊數(shù)學(xué)專項練習(xí)同位角、內(nèi)錯角、同旁內(nèi)角知識講解【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.了解“三線八角”模型特征；2．掌握同位角、內(nèi)錯角、同旁內(nèi)角的概念，并能從圖形中識別它們．【要點梳理】要點一、同位角、內(nèi)錯角、同旁內(nèi)角的概念1.“三線八角”模型如圖，直線AB、CD與直線EF相交(或者說兩條直線AB、CD被第三條直線EF所截)，構(gòu)成八個角，簡稱為“三線八角”，如圖1.圖1圖1要點詮釋：⑴兩條直線AB,CD與同一條直線EF相交．⑵“三線八角”中的每個角是由截線與一條被截線相交而成．2.同位角、內(nèi)錯角、同旁內(nèi)角的定義在“三線八角”中，如上圖1，（1）同位角：像∠1與∠5，這兩個角分別在直線AB、CD的同一方，并且都在直線EF的同側(cè)，具有這種位置關(guān)系的一對角叫做同位角.（2）內(nèi)錯角：像∠3與∠5，這兩個角都在直線AB、CD之間，并且在直線EF的兩側(cè)，像這樣的一對角叫做內(nèi)錯角.（3）同旁內(nèi)角：像∠3和∠6都在直線AB、CD之間，并且在直線EF的同一旁，像這樣的一對角叫做同旁內(nèi)角.要點詮釋：(1)“三線八角”是指上面四個角中的一個角與下面四個角中的一個角之間的關(guān)系，顯然是沒有公共頂點的兩個角.(2)“三線八角”中共有4對同位角，2對內(nèi)錯角，2對同旁內(nèi)角．要點二、同位角、內(nèi)錯角、同旁內(nèi)角位置特征及形狀特征要點詮釋：巧妙識別三線八角的兩種方法：(1)巧記口訣來識別：一看三線，二找截線，三查位置來分辨.(2)借助方位來識別根據(jù)這三種角的位置關(guān)系，我們可以在圖形中標(biāo)出方位，判斷時依方位來識別，如圖2．【典型例題】類型一、“三線八角”模型1.(1)圖3中，∠1、∠2由直線被直線所截而成．(2)圖4中，AB為截線，∠D是否屬于以AB為截線的三線八角圖形中的角？【答案】(1)EF，CD；AB．（2）不是．【解析】（1）∠1、∠2兩角共同的邊所在的直線為截線，而另一邊所在的直線為被截線．（2）因為∠D的兩邊都不在直線AB上，所以∠D不屬于以AB為截線的三線八角圖形中的角．【總結(jié)升華】判斷“三線八角”的關(guān)鍵是找出哪兩條直線是被截線，哪條直線是截線.類型二、同位角、內(nèi)錯角、同旁內(nèi)角的辨別2.如圖，(1)DE為截線,∠E與哪個角是同位角?(2)∠B與∠4是同旁內(nèi)角，則截出這兩個角的截線與被截線是哪些直線？(3)∠B和∠E是同位角嗎?為什么?【答案與解析】解：（1）DE為截線,∠E與∠3是同位角；（2）截出這兩個角的截線是直線BC,被截線是直線BF、DE；（3）不是,因為∠B與∠E的兩邊中任一邊沒有落在同一直線上,所以∠B和∠E不是同位角.【總結(jié)升華】確定角的關(guān)系的方法：（1）先找出截線，由截線與其它線相交得到的角有哪幾個；（2）將這幾個角抽出來，觀察分析它們的位置關(guān)系；（3）再取其它的線為截線，再抽取與該截線相關(guān)的角來分析.舉一反三：【變式】如圖所示，下列說法錯誤的是（）A．∠1和∠3是同位角 B．∠1和∠5是同位角C．∠1和∠2是同旁內(nèi)角 D．∠5和∠6是內(nèi)錯角【答案】B解：從圖上可以看出∠1和∠5不存在直接聯(lián)系，而其它三個選項都符合各自角的定義，正確．3.（2014秋?太康縣期末）如圖，用數(shù)字標(biāo)出的八個角中，同位角、內(nèi)錯角、同旁內(nèi)角分別有哪些？請把它們一一寫出來．【答案與解析】解：內(nèi)錯角：∠1與∠4，∠3與∠5，∠2與∠6，∠4與∠8；同旁內(nèi)角：∠3與∠6，∠2與∠5，∠2與∠4，∠4與∠5；同位角：∠3與∠7，∠2與∠8，∠4與∠6．【總結(jié)升華】要分析各對角是由哪兩條直線被哪一條直線所截的，可以把復(fù)雜圖形按題目要求分解成簡單的圖形后，結(jié)論便一目了然.舉一反三：【變式】如圖∠1、∠2、∠3、∠4、∠5中，哪些是同位角？哪些是內(nèi)錯角？哪些是同旁內(nèi)角？【答案】解：同位角：∠5與∠1，∠4與∠3；內(nèi)錯角：∠2與∠3，∠4與∠1；同旁內(nèi)角：∠4與∠2，∠5與∠3，∠5與∠4.4.分別指出下列圖中的同位角、內(nèi)錯角、同旁內(nèi)角.【答案與解析】解：同位角：∠B與∠ACD，∠B與∠ECD；內(nèi)錯角：∠A與∠ACD，∠A與∠ACE；同旁內(nèi)角：∠B與∠ACB，∠A與∠B，∠A與∠ACB，∠B與∠BCE．【總結(jié)升華】在復(fù)雜圖形中，分析同位角、內(nèi)錯角、同旁內(nèi)角，應(yīng)把圖形分解成幾個“兩條直線與同一條直線相交”的圖形，并抽取交點處的角來分析．舉一反三：【變式】請寫出圖中的同位角、內(nèi)錯角、同旁內(nèi)角．【答案】解：∠1與∠5，∠2與∠6，∠3與∠7，∠4與∠8是同位角；∠2與∠8，∠3與∠5是內(nèi)錯角；∠2與∠5，∠3與∠8是同旁內(nèi)角.類型三、同位角、內(nèi)錯角、同旁內(nèi)角大小之間的關(guān)系5.如圖直線DE、BC被直線AB所截，(1)∠1和∠2、∠1和∠3、∠1和∠4各是什么角？每組中兩角的大小關(guān)系如何？(2)如果∠1=∠4，那么∠1和∠2相等嗎？∠1和∠3互補嗎？為什么？【答案與解析】解：(1)∠1和∠2是內(nèi)錯角；∠1和∠3是同旁內(nèi)角；∠1和∠4是同位角．每組中兩角的大小均不確定．(2)∠1與∠2相等，∠1和∠3互補.理由如下：①∵∠1=∠4（已知）∠4＝∠2（對頂角相等）∴∠1＝∠2.②∵∠4＋∠3＝180°(鄰補角定義)∠1＝∠4(已知)∴∠1＋∠3＝180°即∠1和∠3互補.綜上，如果∠1=∠4，那么∠1與∠2相等，∠1和∠3互補．【總結(jié)升華】在“三線八角”中，如果有一對同位角相等，則其他對同位角也分別相等，并且所有的內(nèi)錯角相等，所有同旁內(nèi)角互補．舉一反三：【變式1】若∠1與∠2是內(nèi)錯角，則它們之間的關(guān)系是()．A．∠1＝∠2B．∠1＞∠2C．∠1＜∠2D．∠1＝∠2或∠1＞∠2或∠1＜∠2【答案】D【變式2】下列命題：①兩條直線相交，一角的兩鄰補角相等，則這兩條直線垂直；②兩條直線相交，一角與其鄰補角相等，則這兩條直線垂直；③內(nèi)錯角相等，則它們的角平分線互相垂直；④同旁內(nèi)角互補，則它們的角平分線互相垂直，其中正確的個數(shù)為（）．A．4B．3C．2D．1【答案】C（提示：②④正確）．平行線及其判定（基礎(chǔ)）知識講解【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.理解平行線的概念，會用作圖工具畫平行線，了解在同一平面內(nèi)兩條直線的位置關(guān)系；2.掌握平行公理及其推論；3.掌握平行線的判定方法，并能運用“平行線的判定方法”，判定兩條直線是否平行.【要點梳理】要點一、平行線的定義及畫法1．定義：在同一平面內(nèi)，不相交的兩條直線叫做平行線，如果直線a與b平行，記作a∥b．要點詮釋：(1)平行線的定義有三個特征：一是在同一個平面內(nèi)；二是兩條直線；三是不相交，三者缺一不可；(2)有時說兩條射線平行或線段平行，實際是指它們所在的直線平行，兩條線段不相交并不意味著它們就平行．(3)在同一平面內(nèi)，兩條直線的位置關(guān)系只有相交和平行兩種．特別地，重合的直線視為一條直線，不屬于上述任何一種位置關(guān)系．2.平行線的畫法：用直尺和三角板作平行線的步驟：①落：用三角板的一條斜邊與已知直線重合.②靠：用直尺緊靠三角板一條直角邊.③推：沿著直尺平移三角板,使與已知直線重合的斜邊通過已知點.④畫：沿著這條斜邊畫一條直線,所畫直線與已知直線平行.要點二、平行公理及推論1．平行公理：經(jīng)過直線外一點，有且只有一條直線與這條直線平行．2．推論：如果兩條直線都與第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行．要點詮釋：(1)平行公理特別強調(diào)“經(jīng)過直線外一點”，而非直線上的點，要區(qū)別于垂線的第一性質(zhì)．(2)公理中“有”說明存在；“只有”說明唯一．（3）“平行公理的推論”也叫平行線的傳遞性.要點三、直線平行的判定判定方法1：同位角相等，兩直線平行.如上圖，幾何語言：∵∠3＝∠2∴AB∥CD（同位角相等，兩直線平行）判定方法2：內(nèi)錯角相等，兩直線平行.如上圖，幾何語言：∵∠1＝∠2∴AB∥CD（內(nèi)錯角相等，兩直線平行）判定方法3：同旁內(nèi)角互補，兩直線平行.如上圖，幾何語言：∵∠4＋∠2＝180°∴AB∥CD（同旁內(nèi)角互補，兩直線平行）要點詮釋：平行線的判定是由角相等或互補，得出平行，即由數(shù)推形.【典型例題】類型一、平行線的定義及表示1．下列敘述正確的是()A．兩條直線不相交就平行B．在同一平面內(nèi)，不相交的兩條線叫做平行線C．在同一平面內(nèi)，不相交的兩條直線叫做平行線D．在同一平面內(nèi)，不相交的兩條線段叫做平行線【答案】C【解析】在同一平面內(nèi)兩條直線的位置關(guān)系是不相交就平行，但在空間就不一定了，故A選項錯；平行線是在同一平面內(nèi)不相交的兩條直線，不相交的兩條曲線就不是平行線，故B選項錯；平行線是針對兩條直線而言．不相交的兩條線段所在的直線不一定不相交，故D選項錯．【總結(jié)升華】本例屬于對概念的考查，應(yīng)從平行線的概念入手進(jìn)行判斷．舉一反三：【變式】下列說法錯誤的是（） A． 無數(shù)條直線可交于一點 B． 直線的垂線有無數(shù)條，但過一點與垂直的直線只有一條 C． 直線的平行線有無數(shù)條，但過直線外一點的平行線只有一條 D． 互為鄰補角的兩個角一個是鈍角，一個是銳角【答案】D類型二、平行公理及推論2．下列說法中正確的有()①一條直線的平行線只有一條；②過一點與已知直線平行的直線只有一條；③因為a∥b，c∥d，所以a∥d；④經(jīng)過直線外一點有且只有一條直線與已知直線平行．A．1個B2個C．3個D．4個【答案】A【解析】一條直線的平行線有無數(shù)條，故①錯；②中的點在直線外還是在直線上位置不明確，所以②錯，③中b與c的位置關(guān)系不明確，所以③也是錯誤的；根據(jù)平行公理可知④正確，故選A．【總結(jié)升華】本題主要考察的是“平行公理及推論”的內(nèi)容，要正確理解必須要抓住關(guān)鍵字詞及其重要特征，在理解的基礎(chǔ)上記憶，在比較中理解．舉一反三：【變式】直線a∥b，b∥c，則直線a與c的位置關(guān)系是.【答案】平行類型三、兩直線平行的判定3.如圖，在下列條件中，不能判定直線與平行的是（） A．∠1=∠2 B． ∠2=∠3 C． ∠3=∠5 D．∠3+∠4=180°【思路點撥】根據(jù)平行線的判定方法進(jìn)行判斷．【答案】C【解析】解：∠3與∠5不是同位角，不是內(nèi)錯角，也不是同旁內(nèi)角，所以∠3=∠5不能判定AB∥CD．【總結(jié)升華】正確識別“三線八角”中的同位角、內(nèi)錯角、同旁內(nèi)角是正確答題的關(guān)鍵，熟練掌握平行線的判定定理．舉一反三：【變式1】如圖，下列條件中，不能判斷直線∥的是（）.A．∠1=∠3B．∠2=∠3C．∠4=∠5D．∠2+∠4=1800 【答案】B【變式2】已知，如圖，BE平分DABC，CF平分DBCD，D1=D2，求證：AB//CD．【答案】∵D1=D2∴2D1=2D2，即∠ABC＝∠BCD∴AB//CD（內(nèi)錯角相等，兩直線平行）4.如圖所示，由(1)∠1＝∠3，(2)∠BAD＝∠DCB，可以判定哪兩條直線平行．【思路點撥】試著將復(fù)雜的圖形分解成“基本圖形”．【答案與解析】解：(1)由∠1＝∠3，可判定AD∥BC（內(nèi)錯角相等，兩直線平行）；(2)由∠BAD＝∠DCB，∠1＝∠3得：∠2＝∠BAD-∠1＝∠DCB-∠3＝∠4（等式性質(zhì)），即∠2＝∠4可以判定AB∥CD（內(nèi)錯角相等，兩直線平行）．綜上，由（1）（2）可判定：AD∥BC，AB∥CD.【總結(jié)升華】本題探索結(jié)論的過程采用了“由因索果”的方法．即在條件下探索由這些條件可推導(dǎo)出哪些結(jié)論，再由這些結(jié)論推導(dǎo)出新的結(jié)論，直到得出結(jié)果．5.在同一平面內(nèi)，如果兩條直線都垂直于同一條直線，那么這兩條直線平行嗎？為什么？【答案與解析】解：這兩條直線平行.理由如下：如圖：∵b⊥a,c⊥a∴∠1＝∠2＝90°∴b∥c(同位角相等，兩直線平行)．【總結(jié)升華】本題的結(jié)論可以作為兩直線平行的判定方法.舉一反三：【變式】已知，如圖，EF^EG，GM^EG，D1=D2，AB與CD平行嗎？請說明理由．【答案】解：AB∥CD．理由如下：如圖：∵EF^EG，GM^EG(已知)，∴∠FEQ＝∠MGE＝90°(垂直的定義)．又∵∠1＝∠2(已知)，∴∠FEQ-∠1＝∠MGE-∠2(等式性質(zhì))，即∠3＝∠4．∴AB∥CD(同位角相等，兩直線平行)．平行線及其判定（提高）知識講解【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.理解平行線的概念，會用作圖工具畫平行線，了解在同一平面內(nèi)兩條直線的位置關(guān)系；2.掌握平行公理及其推論；3.掌握平行線的判定方法，并能運用“平行線的判定方法”，判定兩條直線是否平行.【要點梳理】要點一、平行線的定義及畫法1．定義：在同一平面內(nèi)，不相交的兩條直線叫做平行線，如果直線a與b平行，記作a∥b．要點詮釋：(1)平行線的定義有三個特征：一是在同一個平面內(nèi)；二是兩條直線；三是不相交，三者缺一不可；(2)有時說兩條射線平行或線段平行，實際是指它們所在的直線平行，兩條線段不相交并不意味著它們就平行．(3)在同一平面內(nèi)，兩條直線的位置關(guān)系只有相交和平行兩種．特別地，重合的直線視為一條直線，不屬于上述任何一種位置關(guān)系．2.平行線的畫法：用直尺和三角板作平行線的步驟：①落：用三角板的一條直角邊與已知直線重合.②靠：用直尺緊靠三角板另一條直角邊.③推：沿著直尺平移三角板,使與已知直線重合的直角邊通過已知點.④畫：沿著這條直角邊畫一條直線,所畫直線與已知直線平行.要點二、平行公理及推論1．平行公理：經(jīng)過直線外一點，有且只有一條直線與這條直線平行．2．推論：如果兩條直線都與第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行．要點詮釋：(1)平行公理特別強調(diào)“經(jīng)過直線外一點”，而非直線上的點，要區(qū)別于垂線的第一性質(zhì)．(2)公理中“有”說明存在；“只有”說明唯一．（3）“平行公理的推論”也叫平行線的傳遞性.要點三、直線平行的判定判定方法1：同位角相等，兩直線平行.如上圖，幾何語言：∵∠3＝∠2∴AB∥CD（同位角相等，兩直線平行）判定方法2：內(nèi)錯角相等，兩直線平行.如上圖，幾何語言：∵∠1＝∠2∴AB∥CD（內(nèi)錯角相等，兩直線平行）判定方法3：同旁內(nèi)角互補，兩直線平行.如上圖，幾何語言：∵∠4＋∠2＝180°∴AB∥CD（同旁內(nèi)角互補，兩直線平行）要點詮釋：平行線的判定是由角相等或互補，得出平行，即由數(shù)推形.【典型例題】類型一、平行線的定義及表示1．下列說法正確的是()A．不相交的兩條線段是平行線.B．不相交的兩條直線是平行線.C．不相交的兩條射線是平行線.D．在同一平面內(nèi)，不相交的兩條直線叫做平行線.【答案】D【解析】平行線定義中三個關(guān)鍵詞語：“同一平面內(nèi)”，“不相交”，“兩條直線”.【總結(jié)升華】本例屬于對概念的考查，應(yīng)從平行線的概念入手進(jìn)行判斷．類型二、平行公理及推論2．在同一平面內(nèi)，下列說法：（1）過兩點有且只有一條直線；（2）兩條直線有且只有一個公共點；（3）過一點有且只有一條直線與已知直線垂直；（4）過一點有且只有一條直線與已知直線平行。其中正確的個數(shù)為：()A．1個B．2個C．3個D．4個【答案】B【解析】正確的是：（1）(3).【總結(jié)升華】對平面幾何中概念的理解，一定要緊扣概念中的關(guān)鍵詞語，要做到對它們正確理解，對不同的幾何語言的表達(dá)要注意區(qū)分不同表述之間的聯(lián)系和區(qū)別．舉一反三：【變式】下列命題中正確的有（）①相等的角是對頂角；②若a∥b，b∥c，則a∥c；③同位角相等；④鄰補角的平分線互相垂直． A．0個 B． 1個 C． 2個 D． 3個【答案】C類型三、兩直線平行的判定3.（2016春·泰山區(qū)期末）下列圖形中，由∠1=∠2，能推出AB∥CD的是（） A． B． C． D．【答案】B【解析】如圖所示：∵∠1=∠2（已知），∠2=∠3（對頂角相等）∴∠1=∠3∴AB∥CD（同位角相等，兩直線平行），故選B【總結(jié)升華】此題考查了平行線的判定，熟練掌握平行線的判定方法是解本題的關(guān)鍵．舉一反三：【變式】一個學(xué)員在廣場上駕駛汽車，兩次拐彎后，行駛的方向與原來的方向相同，這兩次拐彎的角度可能是()A．第一次向左拐30°，第二次向右拐30°B．第一次向右拐50°，第二次向左拐130°C．第一次向右拐50°，第二次向右拐130°D．第一次向左拐50°，第二次向左拐130°【答案】A提示：“方向相同”有兩層含義，即路線平行且方向相同，在此基礎(chǔ)上準(zhǔn)確畫出示意圖．圖B顯然不同向，因為路線不平行．圖C中，∠1＝180°-130°＝50°，路線平行但不同向．圖D中，∠1＝180°-130°＝50°，路線平行但不同向．只有圖A路線平行且同向，故應(yīng)選A．4.如圖所示，已知∠B＝25°，∠BCD＝45°，∠CDE＝30°，∠E＝10°．試說明AB∥EF的理由．【思路點撥】利用輔助線把AB、EF聯(lián)系起來．【答案與解析】解法1：如圖所示，在∠BCD的內(nèi)部作∠BCM＝25°，在∠CDE的內(nèi)部作∠EDN＝10°．∵∠B＝25°，∠E＝10°(已知)，∴∠B＝∠BCM，∠E