運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定性基礎(chǔ)

目錄

第三章運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定性基礎(chǔ)

§3-1基本概念

§3-2相平面方法

§3-3李雅普諾夫直接方法

§3-4一次近似穩(wěn)定性理論

§3-5機(jī)械系統(tǒng)的穩(wěn)定性

2-2第2頁(yè),共58頁(yè)，2024年2月25日，星期天§3-1基本概念2-3穩(wěn)定：受擾運(yùn)動(dòng)與未擾運(yùn)動(dòng)相差不大。不穩(wěn)定：受擾運(yùn)動(dòng)與未擾運(yùn)動(dòng)相差大。1.擾動(dòng)方程第3頁(yè),共58頁(yè)，2024年2月25日，星期天第4頁(yè),共58頁(yè)，2024年2月25日，星期天2.李雅普諾夫穩(wěn)定性定義第5頁(yè),共58頁(yè)，2024年2月25日，星期天第6頁(yè),共58頁(yè)，2024年2月25日，星期天李雅普諾夫穩(wěn)定性的定義基于以下條件：在同一微分方程支配下，受擾運(yùn)動(dòng)僅由初擾動(dòng)引起，在初擾動(dòng)后，系統(tǒng)不再受其他擾動(dòng)，且受擾運(yùn)動(dòng)與未擾運(yùn)動(dòng)在t→∞無(wú)限時(shí)間內(nèi)的同一時(shí)刻進(jìn)行比較。軌道穩(wěn)定性只要求受擾運(yùn)動(dòng)軌道與未擾運(yùn)動(dòng)軌道充分接近，但同一時(shí)刻兩者可能相距甚遠(yuǎn)。第7頁(yè),共58頁(yè)，2024年2月25日，星期天第8頁(yè),共58頁(yè)，2024年2月25日，星期天第9頁(yè),共58頁(yè)，2024年2月25日，星期天§3-2相平面方法不顯含時(shí)間t的系統(tǒng)稱(chēng)為自治系統(tǒng)。對(duì)單自由度自治系統(tǒng)，其運(yùn)動(dòng)過(guò)程可由相平面內(nèi)的軌跡來(lái)描述。系統(tǒng)平衡對(duì)應(yīng)相跡為奇點(diǎn)。根據(jù)李雅普諾夫穩(wěn)定性的幾何解釋?zhuān)蓮钠纥c(diǎn)的不同類(lèi)型，確定奇點(diǎn)附近的相跡走向，從而確定系統(tǒng)平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性。這種直觀的幾何方法稱(chēng)為相平面方法。1.保守系統(tǒng)的能量積分第10頁(yè),共58頁(yè)，2024年2月25日，星期天2.相軌跡特性每一條相跡代表系統(tǒng)的一種可能的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。所有相跡代表所有可能的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，也包括平衡狀態(tài)?？紤]到初始條件的連續(xù)性，相軌跡一般來(lái)說(shuō)可以充滿相平面（整個(gè)或局部）。獲得相軌跡可由運(yùn)動(dòng)方程亦可由上述方程。顯然，平衡狀態(tài)的相跡為一個(gè)點(diǎn)，反之，相軌跡退化為一個(gè)點(diǎn)時(shí)（稱(chēng)為奇點(diǎn)），對(duì)應(yīng)于一個(gè)平衡狀態(tài)。第11頁(yè),共58頁(yè)，2024年2月25日，星期天研究平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性，可由奇點(diǎn)的特征獲得。因?yàn)楦鶕?jù)李雅普諾夫穩(wěn)定性定義，擾動(dòng)引起的相跡改變?cè)谄纥c(diǎn)的附近（鄰域），稱(chēng)為（平衡）穩(wěn)定。因此“中心”對(duì)應(yīng)于穩(wěn)定平衡狀態(tài)“鞍點(diǎn)”對(duì)應(yīng)于不穩(wěn)定平衡狀態(tài)奇點(diǎn)分類(lèi)：（1）中心，指奇點(diǎn)周?chē)南噗E為圍繞奇點(diǎn)的類(lèi)型（2）鞍點(diǎn)，指奇點(diǎn)周?chē)南噗E有不圍繞奇點(diǎn)的類(lèi)型根據(jù)相跡方程（3.2.4），相跡奇點(diǎn)的類(lèi)型可由勢(shì)能函數(shù)V(x)獲得。總結(jié)如下：第12頁(yè),共58頁(yè)，2024年2月25日，星期天第13頁(yè),共58頁(yè)，2024年2月25日，星期天拉格朗日定理若單自由度保守系統(tǒng)的勢(shì)能在平衡位置處有孤立極小值，則平衡穩(wěn)定，否則不穩(wěn)定。該定理稱(chēng)為“拉格朗日-狄里克雷定理”，簡(jiǎn)稱(chēng)“拉格朗日定理”第14頁(yè),共58頁(yè)，2024年2月25日，星期天第15頁(yè),共58頁(yè)，2024年2月25日，星期天中心：對(duì)應(yīng)于單擺下垂位置鞍點(diǎn)：對(duì)應(yīng)于單擺倒立位置結(jié)論：?jiǎn)螖[下垂位置穩(wěn)定，單擺倒立位置不穩(wěn)定第16頁(yè),共58頁(yè)，2024年2月25日，星期天4.靜態(tài)分岔第17頁(yè),共58頁(yè)，2024年2月25日，星期天第18頁(yè),共58頁(yè)，2024年2月25日，星期天龐加萊方法:第19頁(yè),共58頁(yè)，2024年2月25日，星期天第20頁(yè),共58頁(yè)，2024年2月25日，星期天第21頁(yè),共58頁(yè)，2024年2月25日，星期天第22頁(yè),共58頁(yè)，2024年2月25日，星期天5.耗散系統(tǒng)第23頁(yè),共58頁(yè)，2024年2月25日，星期天第24頁(yè),共58頁(yè)，2024年2月25日，星期天§3-3李雅普諾夫直接方法不求解運(yùn)動(dòng)微分方程，而是根據(jù)擾動(dòng)微分方程本身直接判斷其零解的穩(wěn)定性。1.定號(hào)，半定號(hào)和不定號(hào)函數(shù)第25頁(yè),共58頁(yè)，2024年2月25日，星期天2.李雅普諾夫定理第26頁(yè),共58頁(yè)，2024年2月25日，星期天上述定理的嚴(yán)格數(shù)學(xué)證明可參考有關(guān)文獻(xiàn)。下面，我們從幾何觀點(diǎn)給出不嚴(yán)格但直觀的證明。第27頁(yè),共58頁(yè)，2024年2月25日，星期天第28頁(yè),共58頁(yè)，2024年2月25日，星期天第29頁(yè),共58頁(yè)，2024年2月25日，星期天第30頁(yè),共58頁(yè)，2024年2月25日，星期天第31頁(yè),共58頁(yè)，2024年2月25日，星期天第32頁(yè),共58頁(yè)，2024年2月25日，星期天第33頁(yè),共58頁(yè)，2024年2月25日，星期天第34頁(yè),共58頁(yè)，2024年2月25日，星期天第35頁(yè),共58頁(yè)，2024年2月25日，星期天3.拉格朗日定理在§3-2中給出了單自由度保守系統(tǒng)穩(wěn)定性的拉格朗日定理。利用李雅普諾夫直接方法，可以進(jìn)一步證明，拉格朗日定理也適用于任意自由度的保守系統(tǒng)系統(tǒng)。取系統(tǒng)的哈密頓函數(shù)H=T+V為李雅普諾夫函數(shù)，其中動(dòng)能為廣義速度的正定二次齊次函數(shù)，將平衡位置作為勢(shì)能的零點(diǎn)。若勢(shì)能在V平衡位置取孤立極小值，則

V為廣義坐標(biāo)的正定函數(shù)。因此

H=T+V為正定函數(shù)。由于保守系統(tǒng)存在能量積分，T+V均為常數(shù)，其沿?cái)_動(dòng)方程的解曲線的全導(dǎo)數(shù)必等于零。根據(jù)李雅普諾夫的定理一，平衡位置穩(wěn)定。拉格朗日定理：若勢(shì)能V在平衡位置取孤立極小值，則保守系統(tǒng)的平衡穩(wěn)定。第36頁(yè),共58頁(yè)，2024年2月25日，星期天切塔耶夫定理：若勢(shì)能V在平衡位置取孤立極大值，且V為廣義坐標(biāo)的二次齊次函數(shù)，則保守系統(tǒng)的平衡不穩(wěn)定。第37頁(yè),共58頁(yè)，2024年2月25日，星期天§3-4一次近似穩(wěn)定性理論李雅普諾夫直接方法理論上適用于一切非線性系統(tǒng)，但由于缺乏普遍適用的構(gòu)造李雅普諾夫函數(shù)的方法，因此，實(shí)際應(yīng)用時(shí)存在不少困難。線性系統(tǒng)已經(jīng)發(fā)展的十分完善。將非線性系統(tǒng)近似化為線性系統(tǒng)，稱(chēng)為一次近似系統(tǒng)。能否用一次近似系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析代替非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析，需要研究。本節(jié)首先研究線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性準(zhǔn)則，然后給出李雅普諾夫一次近似理論。第38頁(yè),共58頁(yè)，2024年2月25日，星期天1.線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性準(zhǔn)則第39頁(yè),共58頁(yè)，2024年2月25日，星期天第40頁(yè),共58頁(yè)，2024年2月25日，星期天由于線性微分方程組的通解是由基本解的線性組合構(gòu)成，因此方程組（3.4.3）的零解穩(wěn)定性可根據(jù)特征值的實(shí)部符號(hào)判定。歸納為以下定理。第41頁(yè),共58頁(yè)，2024年2月25日，星期天線性方程組穩(wěn)定性準(zhǔn)則

定理一：若所有特征值的實(shí)部為負(fù)，則線性方程組的零解漸近穩(wěn)定。定理二：若至少有一特征值的實(shí)部為正，則線性方程組的零解不穩(wěn)定。具有正實(shí)部的特征值數(shù)目稱(chēng)為不穩(wěn)定度。定理三：若存在零實(shí)部的特征值，且為單根，其余根無(wú)正實(shí)部，則線性方程組的零解穩(wěn)定，但不是漸近穩(wěn)定。若為重根，則零解不穩(wěn)定。第42頁(yè),共58頁(yè)，2024年2月25日，星期天2.李雅普諾夫一次近似理論

以上三定理適用于線性系統(tǒng)，李雅普諾夫證明，在一定條件下，從一次近似方程的穩(wěn)定性推斷原方程的穩(wěn)定性。歸納為以下定理。

定理一：若一次近似方程的所有特征值的實(shí)部為負(fù)，則原線性方程組的零解漸近穩(wěn)定。

定理二：若一次近似方程至少有一特征值的實(shí)部為正，則原方程組的零解不穩(wěn)定。

定理三：若一次近似方程存在零實(shí)部的特征值，其余根無(wú)正實(shí)部，則不能判斷原方程組的零解穩(wěn)定性。

定理一和定理二與線性系統(tǒng)相同，定理三為臨界情況，線性系統(tǒng)能判斷穩(wěn)定與否。但非線性系統(tǒng)不行，此時(shí)非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性在很大程度上取決于略去的高次項(xiàng)。第43頁(yè),共58頁(yè)，2024年2月25日，星期天第44頁(yè),共58頁(yè)，2024年2月25日，星期天第45頁(yè),共58頁(yè)，2024年2月25日，星期天第46頁(yè),共58頁(yè)，2024年2月25日，星期天第47頁(yè),共58頁(yè)，2024年2月25日，星期天第48頁(yè),共58頁(yè)，2024年2月25日，星期天第49頁(yè),共58頁(yè)，2024年2月25日，星期天3.勞斯-赫爾維茨判據(jù)

一次近似方程的全部特征值實(shí)部為負(fù)，是一次近似方程也是原方程的零解漸近穩(wěn)定的充分條件。

1895年提出的勞斯-赫爾維茨判據(jù)是判斷此條件是否滿足的實(shí)用方法。設(shè)線性方程組的特征方程展開(kāi)后的一般形式為：第50頁(yè),共58頁(yè)，2024年2月25日，星期天第51頁(yè),共58頁(yè)，2024年2月25日，星期天第52頁(yè),共58頁(yè)，2024年2月25日，星期天第53頁(yè),共58頁(yè)，2024年2月25日，星期天第54頁(yè),共58頁(yè)，2024年2月25日，星期天§3-5機(jī)械系統(tǒng)的穩(wěn)定性

工程機(jī)械系統(tǒng)除受到重力和彈性恢復(fù)力等保守力以外，還受有阻尼力，有時(shí)對(duì)帶有旋轉(zhuǎn)部件的機(jī)械系統(tǒng)還有科氏慣性力引起的廣義力——陀螺力。一般來(lái)說(shuō)，機(jī)械系統(tǒng)通常包含保守力，阻尼力和陀螺力。1.線性化動(dòng)力學(xué)方程的普遍形式第55頁(yè),共58頁(yè)，2024年2月25日，星期天2.機(jī)械系統(tǒng)的穩(wěn)定性定理