時間序列模型2024/5/11時間序列模型一、隨機過程、時間序列二、時間序列模型的分類三、自相關(guān)函數(shù)四、偏自相關(guān)函數(shù)五、時間序列模型的建立與預(yù)測

用什么方法去分析我國外商直接投資的變化趨勢和國內(nèi)生產(chǎn)總值的變化趨勢.

大部分同學(xué)都使用了時間變量或者虛擬變量作為被解釋變量來分析外商直接投資的變化趨勢。也就是說采用回歸分析的方法來分析外商直接投資和國內(nèi)生產(chǎn)總值的變化趨勢.

2024/5/13回歸分析方法主要是以經(jīng)濟理論為基礎(chǔ),根據(jù)幾個變量之間的因果關(guān)系,建立回歸模型來分析變量之間的關(guān)系,以達到分析的目的.

回歸分析方法既可以分析橫截面數(shù)據(jù),也可以分析時間序列數(shù)據(jù).2024/5/14

時間序列分析方法由美國學(xué)者博克思Box-Jenkins和英國學(xué)者詹金斯(G.M.JENKINS)

首先提出。它適用于各種領(lǐng)域的時間序列分析。時間序列模型不同于一般的經(jīng)濟計量模型的兩個特點是：⑴這種建模方法不以經(jīng)濟理論為依據(jù)，而是依據(jù)變量自身的變化規(guī)律，利用外推機制描述時間序列的變化。⑵明確考慮時間序列的非平穩(wěn)性。如果時間序列非平穩(wěn)，建立模型之前應(yīng)先通過差分把它變換成平穩(wěn)的時間序列，再考慮建模問題。一、隨機過程、時間序列

為什么在研究時間序列之前先要介紹隨機過程？時間序列不是無源之水。它是由相應(yīng)隨機過程產(chǎn)生的。只有從隨機過程的角度認(rèn)識了它的一般規(guī)律,對時間序列的分析才會有指導(dǎo)意義,對時間序列的認(rèn)識才會更深刻。自然界中事物變化的過程可以分成兩類。一類是確定型過程，一類是非確定型過程。確定型過程即可以用關(guān)于時間t的函數(shù)描述的過程。例如，真空中的自由落體運動過程，電容器通過電阻的放電過程，行星的運動過程等。2024/5/17非確定型過程即不能用一個（或幾個）關(guān)于時間t的確定性函數(shù)描述的過程。換句話說，對同一事物的變化過程獨立、重復(fù)地進行多次觀測而得到的結(jié)果是不相同的。

例如，對河流水位的測量。其中每一時刻的水位值都是一個隨機變量。如果以一年的水位紀(jì)錄作為實驗結(jié)果，便得到一個水位關(guān)于時間的函數(shù)xt。這個水位函數(shù)是預(yù)先不可確知的。只有通過測量才能得到。而在每年中同一時刻的水位紀(jì)錄是不相同的。2024/5/18

隨機過程：由隨機變量組成的一個有序序列稱為隨機過程，用{x，t

T}表示，隨機過程簡記為

{xt}或xt

。隨機過程也常簡稱為過程。隨機過程一般分為兩類。一類是離散型的，一類是連續(xù)型的。如果一個隨機過程{xt}對任意的t

T

都是一個連續(xù)型隨機變量，則稱此隨機過程為連續(xù)型隨機過程。如果一個隨機過程{xt}對任意的t

T

都是一個離散型隨機變量，則稱此隨機過程為離散型隨機過程。91）均值E(Xt)=

是與時間t無關(guān)的常數(shù)；

2）方差Var(Xt)=

2是與時間t無關(guān)的常數(shù)；

3）協(xié)方差Cov(Xt,Xt+k)=

k

是只與時期間隔k有關(guān)，與時間t無關(guān)的常數(shù)；

符合三個條件的過程稱為平穩(wěn)的隨機過程.非平穩(wěn)序列有趨勢的序列：線性的，非線性的有趨勢、季節(jié)性和周期性的復(fù)合型序列10一類特殊的平穩(wěn)序列

——白噪聲序列隨機序列{xt}對任何xt和xt+k都與t不相關(guān)，且均值為零，方差為有限常數(shù)正態(tài)白噪聲序列：白噪聲序列，且服從正態(tài)分布例如，要記錄某市日電力消耗量，則每日的電力消耗量就是一個隨機變量，于是得到一個日電力消耗量關(guān)于天數(shù)t的函數(shù)。而這些以年為單位的函數(shù)族構(gòu)成了一個隨機過程

{xt},t=1,2,…365。因為時間以天為單位，是離散的，所以這個隨機過程是離散型隨機過程。而一年的日電力消耗量的實際觀測值序列就是一個時間序列。14自然科學(xué)領(lǐng)域中的許多時間序列常常是平穩(wěn).如工業(yè)生產(chǎn)中對液面、壓力、溫度的控制過程，某地的氣溫變化過程，某地100年的水文資料，單位時間內(nèi)路口通過的車輛數(shù)過程等。但經(jīng)濟領(lǐng)域中多數(shù)宏觀經(jīng)濟時間序列卻都是非平穩(wěn)的。如一個國家的年GDP序列，年投資序列，年進出口序列等。153.差分：時間序列變量的本期值與其滯后值相減的運算叫差分。首先給出差分符號。對于時間序列xt

，一階差分可表示為

xt

-

xt-1=

xt=(1-L)xt

=xt

-Lxt

其中

稱為一階差分算子。L

稱為滯后算子，其定義是Lnxt

=xt-n

。16二次一階差分表示為，

xt

=

xt-

xt

-1

=(xt-xt

-1)–(xt-1-xt

-2)=xt-2

xt

-1+xt

–2，或

xt

=(1-L

)2

xt

=(1–2L+L2)xt

=xt

–2xt-1+xt–2k階差分可表示為

xt

-

xt-k=

k

xt=(1-Lk

)xt

=xt

–Lk

xtk階差分常用于季節(jié)性數(shù)據(jù)的差分171920二、時間序列模型的分類與自回歸模型常聯(lián)系在一起的是平穩(wěn)性問題。對于自回歸過程AR(p)，如果其特征方程L)=1-

1L-

2L2-…-

pLp

=(1–G1L)(1–G2L)...(1–Gp

L)=0的所有根的絕對值都大于1，則稱AR(p)是一個平穩(wěn)的隨機過程。2024/5/122AR(p)過程中最常用的是AR(1)、AR(2)過程，

xt=

1xt-1

+ut保持其平穩(wěn)性的條件是特征方程(1-

1L)=0根的絕對值必須大于1，滿足|1/

1|

1，也就是：

|

1|<12024/5/123注意：（1）由定義知任何一個q階移動平均過程都是由q+1個白噪聲變量的加權(quán)和組成，所以任何一個移動平均過程都是平穩(wěn)的。（2）與移動平均過程相聯(lián)系的一個重要概念是可逆性。移動平均過程具有可逆性的條件是特征方程。

L)=(1+

1L+

2L2+…+

qLq)=0的全部根的絕對值必須大于1。254、單整自回歸移動平均過程

以上介紹了三種平穩(wěn)的隨機過程。對于ARMA過程（包括AR過程），如果特征方程

(L)=0的全部根取值在單位圓之外，則該過程是平穩(wěn)的；如果若干個或全部根取值在單位圓之內(nèi)，則該過程是強非平穩(wěn)的。除此之外還有第三種情形，即特征方程的若干根取值恰好在單位圓上(根的值等于1)。這種根稱為單位根，這種過程也是非平穩(wěn)的。下面介紹這種重要的非平穩(wěn)隨機過程。28隨機過程yt

經(jīng)過d

次差分之后可變換為一個以(L)為p階自回歸算子，

(L)為q階移動平均算子的平穩(wěn)、可逆的隨機過程，則稱yt

為（p,d,q）階單整(單積)自回歸移動平均過程，記為ARIMA(p,d,q)。ARIMA過程也稱為綜合自回歸移動平均過程。其中

(L)

d稱為廣義自回歸算子。30當(dāng)p

0,d=0,q

0時，

ARIMA(p,d,q)變成ARMA(p,q)過程;d=0,p=0,q

0時，ARIMA過程變成MA(q)過程；當(dāng)d=q=0時,ARIMA過程變成AR(p)過程;而當(dāng)p=d=q=0時，ARIMA過程變成白噪聲過程;31（1）

自相關(guān)函數(shù)定義由第一節(jié)知隨機過程{xt}中的每一個元素xt，t=1,2,…都是隨機變量。對于平穩(wěn)的隨機過程，其期望為常數(shù)，用

表示，即

E(xt)=

,t=1,2,…隨機過程的取值將以

為中心上下變動。平穩(wěn)隨機過程的方差也是一個常量

Var(xt)=E[(xt

-E(xt))2]=E[(xt-

)2]=

x2,t=1,2,…

x2用來度量隨機過程取值對其均值

的離散程度。2024/5/132相隔k期的兩個隨機變量xt

與xt

-k

的協(xié)方差即滯后k期的自協(xié)方差，定義為

k=Cov(xt

,xt-k)=E[(xt-

)(xt-k-

)]自協(xié)方差序列

k

,k=0,1,…,K,稱為隨機過程

{xt}的自協(xié)方差函數(shù)。當(dāng)k=0時,

0=Var(xt)=

x22024/5/133自相關(guān)系數(shù)定義:

k=

因為對于一個平穩(wěn)過程有

Var(xt)=Var(xt-k)=

x2

所以自相關(guān)系數(shù)可以改寫為

k===當(dāng)k=0時，有

0=1。2024/5/134以滯后期k為變量的自相關(guān)系數(shù)列

k,k=0,1,…,K稱為自相關(guān)函數(shù)。2024/5/1352.自回歸過程的自相關(guān)函數(shù)(1)平穩(wěn)AR(1)過程的自相關(guān)函數(shù)

xt=

xt-1+ut,

1其自相關(guān)函數(shù)為

k=

1k,（k

0）2024/5/136（2）AR(p)過程的自相關(guān)函數(shù)對于p階自回歸過程自相關(guān)函數(shù)有兩種不同的表現(xiàn):1.當(dāng)特征方程的根為實數(shù)時,自相關(guān)函數(shù)將隨著k的增加幾何衰減至零,稱為指數(shù)衰減.2.當(dāng)特征方程的根中含有一對共扼復(fù)根時,自相關(guān)函數(shù)將按正弦振蕩形式衰減.383.移動平均過程的自相關(guān)函數(shù)(1)MA(1)過程的自相關(guān)函數(shù)對于MA(1)過程xt

=ut

+

1ut-140(2)MA(q)過程的自相關(guān)函數(shù)MA(q)過程的自相關(guān)函數(shù)是

當(dāng)k

q

時，

k=0，說明

k,k=0,1,…具有截尾特征。424.ARMA(1,1)過程的自相關(guān)函數(shù)ARMA(1,1)過程的自相關(guān)函數(shù)

k從

1開始指數(shù)衰減。

1的大小取決于

1和

1,

1的符號取決于(

1-

1)。若

1>0，指數(shù)衰減是平滑的，或正或負(fù)。若

1<0，相關(guān)函數(shù)為正負(fù)交替式指數(shù)衰減。對于ARMA(p,q)過程，p,q

2時，自相關(guān)函數(shù)是指數(shù)衰減或正弦衰減的。43四、偏自相關(guān)函數(shù)偏自相關(guān)函數(shù)是描述隨機過程結(jié)構(gòu)特征的另一種方法。用

kj

表示k階自回歸式中第j個回歸系數(shù)，則k階自回歸模型表示為

xt

=

k1xt-1+

k2xt-2+…+

kk

xt-k+ut其中

kk

是最后一個回歸系數(shù)。2024/5/147若把k=1,2…的一系列回歸式

kk看作是滯后期k的函數(shù)，則稱

kk,k=1,2…為偏自相關(guān)函數(shù)。它由下式中的紅項組成。

xt

=

11xt-1+ut

xt

=

21xt-1+

22xt-2+ut。。。

xt

=

k1xt-1+

k2xt-2+…+

kk

xt-k+ut2024/5/148對于AR(2)過程，當(dāng)k

2時，

kk

0，當(dāng)k>2時，

kk

=0。偏自相關(guān)函數(shù)在滯后期2以后有截尾特性。對于AR(p)過程，當(dāng)k

p時，

kk

0，當(dāng)k>p時，

kk

=0。偏自相關(guān)函數(shù)在滯后期p以后有截尾特性，因此可用此特征識別AR(p)過程的階數(shù)。

MA(1)過程的偏自相關(guān)函數(shù)呈指數(shù)衰減特征。若

1>0,偏自相關(guān)函數(shù)呈交替改變符號式指數(shù)衰減；若

1

0，偏自相關(guān)函數(shù)呈負(fù)數(shù)的指數(shù)衰減50五、時間序列模型的建立與預(yù)測建立時間序列模型通常包括三個步驟:（1）模型的識別;（2）模型參數(shù)的估計;（3）診斷與檢驗。模型的識別就是通過對相關(guān)圖的分析，初步確定適合于給定樣本的ARIMA模型形式，即確定d,p,q的取值。2024/5/1531.模型的識別

模型的識別主要依賴于對相關(guān)圖與偏相關(guān)圖的分析。在對經(jīng)濟時間序列進行分析之前，首先應(yīng)對樣本數(shù)據(jù)取對數(shù)，目的是消除數(shù)據(jù)中可能存在的異方差，然后分析其相關(guān)圖。識別的第1步是判斷隨機過程是否平穩(wěn)2024/5/155由前面分析可知，如果一個隨機過程是平穩(wěn)的，其特征方程的根都應(yīng)在單位圓之外。如果(L)=0的根接近單位圓，自相關(guān)函數(shù)將衰減的很慢。所以在分析相關(guān)圖時，如果發(fā)現(xiàn)其衰減很慢，即可認(rèn)為該時間序列是非平穩(wěn)的。這時應(yīng)對該時間序列進行差分，同時分析差分序列的相關(guān)圖以判斷差分序列的平穩(wěn)性，直至得到一個平穩(wěn)的序列。對于經(jīng)濟時間序列，差分次數(shù)，即模型ARIMA中的參數(shù)d通常只取0，1或22024/5/1562模型參數(shù)的估計AR(P)模型的估計采用OLS法.MA(q)和ARMA(q)模型的估計比較復(fù)雜.2024/5/163AR(p)的最小二乘估計普通最小二乘法ARMA(p,q)的最小二乘估計非線性最小二乘估計3診斷與檢驗完成模型的識別與參數(shù)估計后，應(yīng)對估計結(jié)果進行診斷與檢驗，以求發(fā)現(xiàn)所選用的模型是否合適。若不合適，應(yīng)該知道下一步作何種修改。這一階段主要檢驗擬合的模型是否合理。一是檢驗?zāi)Ｐ蛥?shù)的估計值是否具有顯著性；二是檢驗?zāi)Ｐ偷臍埐钚蛄惺欠駷榘自肼暋?shù)估計值的顯著性檢驗是通過t檢驗完成的2024/5/166Q檢驗的零假設(shè)是

H0：

1=

2=…=

K即模型的誤差項是一個白噪聲過程。Q統(tǒng)計量定義為

Q=T(T+2)近似服從

2(K-p-q)分布，其中T表示樣本容量，rk

表示用殘差序列計算的自相關(guān)系數(shù)值，K表示自相關(guān)系數(shù)的個數(shù)，p

表示模型自回歸部分的最大滯后值，q表示移動平均部分的最大滯后值。2024/5/167用殘差序列計算Q統(tǒng)計量的值。顯然若殘差序列不是白噪聲，殘差序列中必含有其他成