第三章測(cè)量的不確定度與數(shù)據(jù)處理物理學(xué)-實(shí)驗(yàn)-高等學(xué)校-教材簡(jiǎn)明大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)教程01測(cè)量與誤差PARTONE為確定待測(cè)對(duì)象的量值而進(jìn)行的實(shí)驗(yàn)過(guò)程稱(chēng)為測(cè)量。物理實(shí)驗(yàn)就是借助儀器將待測(cè)物理量同一選作單位的標(biāo)準(zhǔn)物理量進(jìn)行直接或間接比較來(lái)確定它們間的倍數(shù)關(guān)系，從而得出待測(cè)物理量的量值。所以，測(cè)量是物理實(shí)驗(yàn)的基本過(guò)程。量值一般是由一個(gè)數(shù)乘以計(jì)量單位所表示的特定量的大小。測(cè)量對(duì)象(所選定的物體或物理量)、測(cè)量單位(定量標(biāo)準(zhǔn))、測(cè)量方法和測(cè)量不確定度(測(cè)量結(jié)果可信賴(lài)的程度)被稱(chēng)為測(cè)量的四要素。測(cè)量的基本分類(lèi)如下。一、測(cè)量1.按測(cè)量方法分類(lèi)(1)直接測(cè)量：用測(cè)量?jī)x器直接讀出待測(cè)量值的測(cè)量。(2)間接測(cè)量：利用某些原理和公式，由直接測(cè)量得到的若干物理量推算出待測(cè)量值的測(cè)量。2.按測(cè)量條件分類(lèi)(1)等精度測(cè)量：在測(cè)量人員、儀器、方法、環(huán)境等測(cè)量條件不變的情況下進(jìn)行的多次重復(fù)性測(cè)量。另外，在實(shí)際測(cè)量中，若某些次要條件變化后對(duì)測(cè)量結(jié)果無(wú)明顯的影響，則一般也按等精度測(cè)量處理。(2)不等精度測(cè)量：測(cè)量中，只要其中一個(gè)測(cè)量條件發(fā)生變化，就變成不等精度測(cè)量。一、測(cè)量3.按測(cè)量結(jié)果的情況分類(lèi)(1)絕對(duì)測(cè)量：為進(jìn)行測(cè)量須規(guī)定一些標(biāo)準(zhǔn)單位，如選定長(zhǎng)度的單位為米、質(zhì)量的單位為千克、時(shí)間的單位為秒、電流強(qiáng)度的單位為安培等國(guó)際單位制中的單位。凡利用與這些作為標(biāo)準(zhǔn)單位的標(biāo)準(zhǔn)量進(jìn)行比較而得出待測(cè)量絕對(duì)大小的測(cè)量即為絕對(duì)測(cè)量。(2)相對(duì)測(cè)量：測(cè)量結(jié)果僅給出待測(cè)量與標(biāo)準(zhǔn)量之間的差值或比值的測(cè)量。4.按測(cè)量過(guò)程中物理量的狀態(tài)分類(lèi)(1)靜態(tài)測(cè)量：指測(cè)量過(guò)程中待測(cè)物理量是不變的或者在相當(dāng)程度上可以認(rèn)為是不變的。(2)動(dòng)態(tài)測(cè)量：指測(cè)量過(guò)程中待測(cè)物理量是隨時(shí)間變化的。一、測(cè)量二、誤差任何物質(zhì)都有自身各種各樣的特征，反映這些特征的物理量在某一時(shí)刻、某一位置或狀態(tài)下的效應(yīng)體現(xiàn)了客觀的真實(shí)數(shù)值，稱(chēng)為真值。我們進(jìn)行測(cè)量的目的就是要力圖得到真值。但在實(shí)際測(cè)量中，因各種原因，如測(cè)試者的操作、調(diào)整和讀數(shù)不可能完全準(zhǔn)確，實(shí)驗(yàn)理論的近似性，儀器結(jié)構(gòu)不可能完美無(wú)缺，環(huán)境的不穩(wěn)定性等，待測(cè)量的真值是不可能測(cè)量得到的，測(cè)量值與真值間總會(huì)存在著或多或少的差異。我們把測(cè)量值與真值之差稱(chēng)為誤差。若測(cè)量值為N，真值為N0，則誤差誤差

=

測(cè)量值－被測(cè)量真值ΔN=

N－N0ΔN反映的是測(cè)量值偏離真值的大小和方向，因而被稱(chēng)為測(cè)量的絕對(duì)誤差。這個(gè)定義百年未變，實(shí)用中多產(chǎn)生歧義，容易誤解。真值是理想概念，一般不能用于計(jì)算誤差。1誤差的定義二、誤差1)絕對(duì)誤差絕對(duì)誤差表示測(cè)量結(jié)果N與真值N0之間的差值以一定的可能性(概率)出現(xiàn)的范圍，以及真值以一定的可能性(概率)出現(xiàn)在N-dN~N+dN區(qū)間內(nèi)，它表達(dá)了測(cè)量值對(duì)真值絕對(duì)值偏離的程度。顯然，絕對(duì)誤差除大小之外，還有正負(fù)(方向)。但僅根據(jù)絕對(duì)誤差的大小，而不考慮測(cè)量值的大小是不能比較不同測(cè)量結(jié)果的可靠程度的。相對(duì)誤差則能顯示測(cè)量誤差所占的分量，因而能更直觀地表示測(cè)量結(jié)果的可靠程度。2)相對(duì)誤差把

稱(chēng)為測(cè)量的相對(duì)誤差。由于真值不可能測(cè)得，往往用準(zhǔn)確度足夠高的實(shí)際值來(lái)作為待測(cè)量的約定值，稱(chēng)為最佳估值或約定真值。絕對(duì)誤差和相對(duì)誤差中的N0，一般以測(cè)量量的算術(shù)平均值來(lái)代替。2誤差的表示形式二、誤差根據(jù)誤差的性質(zhì)及產(chǎn)生的原因，可將誤差分為系統(tǒng)誤差、隨機(jī)誤差和過(guò)失誤差三種?；A(chǔ)實(shí)驗(yàn)中應(yīng)主要掌握隨機(jī)誤差和系統(tǒng)誤差，它們的性質(zhì)不同，應(yīng)分別處理。1)系統(tǒng)誤差重復(fù)測(cè)量中保持或以可預(yù)知方式變化的測(cè)量誤差分量稱(chēng)為系統(tǒng)誤差，簡(jiǎn)稱(chēng)系差。這種誤差，在測(cè)量過(guò)程中對(duì)結(jié)果的影響總是朝著一個(gè)方向偏離的，其大小不變或按一定規(guī)律變化。(1)系統(tǒng)誤差的來(lái)源。①儀器誤差：所用量具或裝置的不完善、儀器的固有缺陷或未按規(guī)定條件使用而引起的誤差。②方法誤差(理論誤差)：實(shí)驗(yàn)原理不夠完善、測(cè)量理論公式帶有近似性、實(shí)驗(yàn)條件不能達(dá)到理論公式所規(guī)定的要求、測(cè)量方法不完善或因?qū)τ绊憣?shí)驗(yàn)結(jié)果的某些因素不清楚而引起的誤差。③環(huán)境誤差：外界環(huán)境條件如光照、溫度、電磁場(chǎng)、壓強(qiáng)等規(guī)律變化的影響而引起的誤差。④個(gè)人誤差：觀察者生理或心理特點(diǎn)以及不良習(xí)慣或偏向而引起的誤差。3誤差的分類(lèi)二、誤差系統(tǒng)誤差經(jīng)常是一些實(shí)驗(yàn)測(cè)量的主要誤差來(lái)源。分析系統(tǒng)誤差的來(lái)源和減小系統(tǒng)誤差是實(shí)驗(yàn)教學(xué)中重要的內(nèi)容，更是實(shí)驗(yàn)報(bào)告要討論的問(wèn)題。(2)系統(tǒng)誤差包括已定系差和未定系差。①已定系差——符號(hào)和絕對(duì)值已經(jīng)知道的誤差分量，要做修正?！耙呀?jīng)知道”不是“已經(jīng)確定”。實(shí)驗(yàn)中應(yīng)盡量消除已定系差，或用已定系差值對(duì)測(cè)量結(jié)果進(jìn)行修正，修正公式為已修正測(cè)量結(jié)果=測(cè)得值(或其平均值)—已定系差

(3-3)②未定系差——符號(hào)或絕對(duì)值未被確定而未知的系差分量，即估計(jì)特征值。未定系差在一定意義上具有隨機(jī)性。3誤差的分類(lèi)二、誤差①對(duì)換法將測(cè)量值的某些條件如被測(cè)物的位置相互交換，使產(chǎn)生系統(tǒng)誤差的原因?qū)y(cè)量結(jié)果起作用，從而抵消了系統(tǒng)誤差。(3)消除系統(tǒng)誤差的一些方法②儀器對(duì)比法將儀器或儀表的示值引入修正值，這是用準(zhǔn)確級(jí)別高的儀器做對(duì)比進(jìn)行修正的。③改變測(cè)量方法如將電流反向進(jìn)行讀數(shù)，在增加砝碼與減少砝碼過(guò)程中讀數(shù)，在刻度盤(pán)上相隔180°的兩個(gè)游標(biāo)上讀數(shù)等。系統(tǒng)誤差的特點(diǎn)是增加測(cè)量次數(shù)誤差不能減少，只能從方法、理論、儀器等方面的改進(jìn)與修正來(lái)實(shí)現(xiàn)。3誤差的分類(lèi)二、誤差2）隨機(jī)誤差隨機(jī)誤差是指重復(fù)測(cè)量中以不可預(yù)知方式變化的測(cè)量誤差分量。(1)隨機(jī)誤差的特點(diǎn)如下。隨機(jī)誤差的大小和方向不定，時(shí)大、時(shí)小、時(shí)正、時(shí)負(fù)，完全是隨機(jī)的，初看顯得毫無(wú)規(guī)律，但當(dāng)測(cè)量次數(shù)足夠多時(shí)，可以發(fā)現(xiàn)它具有內(nèi)在的規(guī)律性，即統(tǒng)計(jì)規(guī)律。隨機(jī)誤差是一種隨機(jī)變量，它服從某種統(tǒng)計(jì)分布規(guī)律，可以用相應(yīng)部分的概率密度函數(shù)或分布函數(shù)來(lái)描述。隨機(jī)誤差的常用分布有二項(xiàng)分布、正態(tài)分布、泊松分布、均勻分布、指數(shù)分布等。在物理基礎(chǔ)實(shí)驗(yàn)中等精度測(cè)量的隨機(jī)誤差有一部分服從正態(tài)分布(又稱(chēng)為高斯分布)，下面將以正態(tài)分布為例來(lái)說(shuō)明統(tǒng)計(jì)規(guī)律的一些些概念和特征。3誤差的分類(lèi)二、誤差(2)隨機(jī)誤差的分布函數(shù)與實(shí)驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)偏差。3誤差的分類(lèi)二、誤差3誤差的分類(lèi)(2)隨機(jī)誤差的分布函數(shù)與實(shí)驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)偏差。二、誤差由圖3-1可以歸納出正態(tài)分布的特點(diǎn)。①單峰性：絕對(duì)值小的誤差比絕對(duì)值大的誤差出現(xiàn)的機(jī)會(huì)多。②有界性：絕對(duì)值很大的誤差出現(xiàn)的概率趨近于零，即誤差有一定的實(shí)際限度，它不會(huì)超出一定的范圍。③對(duì)稱(chēng)性：絕對(duì)值相等的正、負(fù)誤差出現(xiàn)的概率相等。④抵償性：誤差的算術(shù)平均值隨著測(cè)量次數(shù)的增加而逐漸接近于零，當(dāng)測(cè)量次數(shù)為無(wú)窮大時(shí)，誤差的算術(shù)平均值為零。3誤差的分類(lèi)(3)隨機(jī)誤差可能的來(lái)源。隨機(jī)誤差的產(chǎn)生是測(cè)量過(guò)程中許多偶然的或不確定的因素引起的。隨機(jī)誤差一般既無(wú)法預(yù)知，又難以控制和估量，因而在測(cè)量過(guò)程中它的出現(xiàn)帶有某種必然性和不可避免性。隨機(jī)誤差是測(cè)量誤差的一部分，其大小和符號(hào)雖然不知，但在相同條件下對(duì)同一穩(wěn)定被測(cè)量的多次重復(fù)測(cè)量中，它們的分布常滿(mǎn)足一定的統(tǒng)計(jì)規(guī)律。隨機(jī)誤差分布絕大多數(shù)是“有界性”的，大多有抵償性，相當(dāng)多的有單峰性，即絕對(duì)值小的誤差出現(xiàn)概率大。注意：事實(shí)上，統(tǒng)計(jì)規(guī)律不一定是正態(tài)分布。二、誤差3)高度異常值凡是用測(cè)量時(shí)的客觀條件不能解釋為合理的那些明顯歪曲實(shí)驗(yàn)結(jié)果的誤差統(tǒng)稱(chēng)為過(guò)失誤差。目前，在測(cè)量學(xué)的規(guī)范中并沒(méi)有將“過(guò)失誤差”包含在誤差之內(nèi)。此誤差無(wú)規(guī)則可循，但只要認(rèn)真地做好測(cè)量準(zhǔn)備，專(zhuān)心地進(jìn)行觀測(cè)、讀數(shù)和記錄等，是可以避免的。帶有過(guò)失誤差的數(shù)據(jù)稱(chēng)為壞值或異常值，當(dāng)今把包含粗大誤差和過(guò)失誤差的測(cè)得值統(tǒng)稱(chēng)為異常值。測(cè)量要避免出現(xiàn)高度顯著的異常值。含有壞值的測(cè)量結(jié)果是完全無(wú)效的，我們應(yīng)當(dāng)將其刪除。有的壞值經(jīng)過(guò)分析肯定為不合理的可以廢棄，其余的可以根據(jù)誤差理論定出的取舍準(zhǔn)則決定取舍。3誤差的分類(lèi)二、誤差4測(cè)量中的誤差一個(gè)物理量的測(cè)量誤差是測(cè)量過(guò)程中所有誤差源影響的總體現(xiàn)。大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)中以系統(tǒng)誤差和隨機(jī)誤差為主，實(shí)驗(yàn)(計(jì)量)物理學(xué)規(guī)律總結(jié)如下。系統(tǒng)誤差：重復(fù)測(cè)量中保持恒定或以可預(yù)知方式變化的誤差分量。隨機(jī)誤差：重復(fù)測(cè)量中以不可預(yù)知方式變化的誤差分量。誤差的隨機(jī)性：包括隨機(jī)誤差的隨機(jī)變量特性——嚴(yán)格隨機(jī)；未定系差也有某種“隨機(jī)性”——近似隨機(jī)。嚴(yán)格隨機(jī)和近似隨機(jī)是不確定度分量平方根合成法的基礎(chǔ)。兩類(lèi)隨機(jī)性是客觀存在的。由于未定系差具有隨機(jī)性，所以系統(tǒng)誤差和隨機(jī)誤差在一定的條件下可以相互轉(zhuǎn)化。二、誤差4測(cè)量中的誤差當(dāng)系統(tǒng)誤差的變化規(guī)律未知時(shí)，用這種隨機(jī)化技術(shù)可將未定系統(tǒng)誤差轉(zhuǎn)化為隨機(jī)誤差來(lái)處理，以消除未定系差的影響。誤差公理：誤差始終存在于一切檢測(cè)和測(cè)量過(guò)程中，檢測(cè)或計(jì)量結(jié)果必然包括真值和誤差兩個(gè)因子，不含誤差的檢測(cè)或計(jì)量結(jié)果是無(wú)意義的。對(duì)誤差公理重要性的狹義理解可以幫助我們：①掌握誤差來(lái)源，分析誤差性質(zhì)，減小測(cè)量誤差；②正確處理數(shù)據(jù)，合理評(píng)價(jià)結(jié)果，估計(jì)不確定度；③優(yōu)化實(shí)驗(yàn)方案，合理選用儀器，提高測(cè)量水平。對(duì)誤差公理重要性的廣義理解：①通過(guò)較小誤差的準(zhǔn)確測(cè)量，觀測(cè)量及量變現(xiàn)象，是認(rèn)識(shí)與發(fā)現(xiàn)客觀世界的新規(guī)律或新理論的實(shí)踐基礎(chǔ)，是檢驗(yàn)和發(fā)展科學(xué)理論的依據(jù)；②一定意義上，誤差的發(fā)現(xiàn)研究是發(fā)明和發(fā)現(xiàn)的基礎(chǔ)；③是科研、工、商業(yè)和物質(zhì)生活中質(zhì)量評(píng)價(jià)與保證工作的核心內(nèi)容。三、常用的對(duì)測(cè)量結(jié)果評(píng)價(jià)的三個(gè)概念1.精密度3.精確度2.準(zhǔn)確度準(zhǔn)確度表示測(cè)量結(jié)果中系統(tǒng)誤差大小的程度。它反映了測(cè)量值與真值符合的程度。精確度是測(cè)量結(jié)果中系統(tǒng)誤差與隨機(jī)誤差的綜合評(píng)定。它表示測(cè)量值與真值的一致程度。精密度表示測(cè)量結(jié)果中隨機(jī)誤差大小的程度。它反映了重復(fù)測(cè)量所得結(jié)果的離散程度。02直接測(cè)量隨機(jī)誤差的估算PARTTWO一、單次測(cè)量的誤差在實(shí)驗(yàn)中常常由于條件不許可，或測(cè)量精度要求不高，或在間接測(cè)量中某一物理量的誤差對(duì)最后的結(jié)果影響較小等原因，對(duì)待測(cè)物理量的測(cè)量能一次精確地測(cè)定，沒(méi)有必要多次重復(fù)測(cè)量。對(duì)于單次測(cè)量的誤差，因?yàn)閷?shí)驗(yàn)時(shí)的狀況不同，很難確定統(tǒng)一的規(guī)定。一般情況下可根據(jù)儀器的最小分度和當(dāng)時(shí)測(cè)量的具體條件去估計(jì)。最小分度值：刻度尺上兩條最相鄰刻度線(xiàn)之間的距離。若測(cè)量值的隨機(jī)誤差很小，則可按注明的儀器誤差作為單次測(cè)量的誤差。若沒(méi)有注明，則可取儀器的最小分度或最小分度的一半作為單次測(cè)量的誤差。二、多次測(cè)量的誤差由隨機(jī)誤差的統(tǒng)計(jì)規(guī)律及其正態(tài)分布曲線(xiàn)可知，測(cè)量值的隨機(jī)誤差有正有負(fù)，相加后可抵消一部分，而且測(cè)量次數(shù)越多相消的機(jī)會(huì)越多。由此可見(jiàn)，在確定的測(cè)量條件下，減少測(cè)量結(jié)果的隨機(jī)誤差的方法是增加測(cè)量次數(shù)。但必須注意，測(cè)量次數(shù)并不是越多越好。因?yàn)橛懻撾S機(jī)誤差的前提是等精度測(cè)量，而增加測(cè)量次數(shù)必定要延長(zhǎng)測(cè)量時(shí)間，這將給保持穩(wěn)定的測(cè)量條件增加困難。同時(shí)，延長(zhǎng)時(shí)間也會(huì)給觀測(cè)者帶來(lái)疲勞，這有可能引起較大的觀測(cè)誤差。另外，增加測(cè)量次數(shù)只能對(duì)降低隨機(jī)誤差有利，而與系統(tǒng)誤差的減小無(wú)關(guān)，所以在實(shí)際測(cè)量中，測(cè)量次數(shù)不必過(guò)多。一般在科學(xué)研究中測(cè)量次數(shù)取10~20次，而在基礎(chǔ)實(shí)驗(yàn)中只取3~10次。二、多次測(cè)量的誤差二、多次測(cè)量的誤差二、多次測(cè)量的誤差三、置信概率與極限誤差三、置信概率與極限誤差四、異常值剔除從以上圖和數(shù)據(jù)可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)測(cè)量次數(shù)無(wú)限多時(shí)，測(cè)量值與平均值之差的絕對(duì)值大于3σ的概率僅為0.3%，對(duì)于有限次測(cè)量，這種可能性是微乎其微的。因此對(duì)于一次測(cè)量中測(cè)量值與平均值之差的絕對(duì)值大于3σ則可以認(rèn)為是測(cè)量失誤，應(yīng)該將該次的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)予以剔除。這一判據(jù)被稱(chēng)為3σ判據(jù)。在物理實(shí)驗(yàn)中用極限誤差與各次測(cè)量的偏差進(jìn)行比較，若發(fā)現(xiàn)某偏差大于極限誤差，則它所對(duì)應(yīng)的測(cè)量值在過(guò)程中擬有過(guò)失誤差存在，應(yīng)予舍棄。在大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)中，最簡(jiǎn)單地發(fā)現(xiàn)并剔除異常值的方法就是作圖法，異常值所標(biāo)示的點(diǎn)游離于直線(xiàn)較遠(yuǎn)之處，通過(guò)作圖法很容易辨別它們。本課程中的實(shí)驗(yàn)項(xiàng)目中都會(huì)運(yùn)用這種簡(jiǎn)單的方法，但前提是測(cè)量次數(shù)不能太少。03儀器誤差PARTTHERE一、儀器誤差限與標(biāo)準(zhǔn)誤差儀器誤差限是指在正確使用儀器的條件下測(cè)量所得結(jié)果的最大誤差，用Δ儀或ΔINS表示。教學(xué)中儀器誤差限ΔINS一般簡(jiǎn)單地取計(jì)量器具的最大允許誤差的絕對(duì)值。儀器誤差也同樣包含系統(tǒng)誤差和隨機(jī)誤差兩部分，究竟哪個(gè)因素為主，要具體分析。一般儀器誤差的概率密度函數(shù)遵從均勻分布規(guī)律，由此可得儀器標(biāo)準(zhǔn)誤差為二、常用儀器的儀器誤差限1.鋼直尺和鋼卷尺常用鋼直尺的分度值為1mm，有的在始端或末端50mm內(nèi)加有0.5mm的刻度線(xiàn)。為了方便數(shù)據(jù)處理，在大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)中，除了注明之外，木質(zhì)直尺、塑料直尺、鋼直尺的儀器誤差限一般分別取0.5mm、0.2mm、0.1mm。鋼卷尺的儀器誤差限取0.2mm。2.游標(biāo)卡尺游標(biāo)卡尺的分度值有0.02mm、0.05mm和0.1mm三種，游標(biāo)卡尺的最大允許誤差就是該游標(biāo)卡尺的分度值，即ΔINS=分度值。通常表述為游標(biāo)卡尺取最小分度值(精度)為示值誤差。游標(biāo)卡尺不分精度等級(jí)，一般測(cè)量范圍在300mm以下的卡尺其分度值便是儀器的示值誤差。3.千分尺(螺旋測(cè)微計(jì))千分尺按其精度分為零級(jí)和一級(jí)兩類(lèi)。實(shí)驗(yàn)室通常使用的是一級(jí)千分尺，最大允許誤差見(jiàn)表3-1。二、常用儀器的儀器誤差限4.天平按結(jié)構(gòu)原理，天平可分為機(jī)械天平和電子天平兩種。機(jī)械天平按準(zhǔn)確度又可分為I、II、III、IV四個(gè)等級(jí)，它們分別表示特別準(zhǔn)確度、高準(zhǔn)確度、中準(zhǔn)確度、普通準(zhǔn)確度。實(shí)驗(yàn)室常用的是高準(zhǔn)確度天平。高準(zhǔn)確度天平中，又進(jìn)一步細(xì)分為8級(jí)、9級(jí)和10級(jí)。對(duì)于機(jī)械天平，國(guó)家標(biāo)準(zhǔn)沒(méi)有給出統(tǒng)一的最大允許誤差，根據(jù)測(cè)量實(shí)踐，在設(shè)法消除不等臂誤差的測(cè)量條件下，可以粗略地認(rèn)為，天平的分度值可以作為它的最大允許誤差，即ΔINS=分度值。對(duì)于電子天平，國(guó)家標(biāo)準(zhǔn)給出了在不同載荷下的最大允許誤差值，II級(jí)電子天平的最大允許誤差(以分度值e表示)見(jiàn)表3-2。5.機(jī)械秒表和電子秒表機(jī)械秒表的最大允許誤差可以認(rèn)為就是它的分度值，即ΔINS=分度值。電子秒表的最大允許誤差Δ儀=(0.01+0.0000058t)，式中t是被測(cè)時(shí)間間隔。二、常用儀器的儀器誤差限6.測(cè)溫儀表實(shí)驗(yàn)室常用測(cè)溫儀表主要有水銀溫度計(jì)、電阻溫度計(jì)、熱電偶和光測(cè)高溫度計(jì)等，測(cè)溫儀表的最大允許誤差見(jiàn)表3-3。二、常用儀器的儀器誤差限7.電氣指示儀表電氣指示儀表，如電壓表、電流表等，它們的最大允許誤差與該儀表的準(zhǔn)確度等級(jí)、量程這兩個(gè)參數(shù)有關(guān)。1)電氣儀表的準(zhǔn)確度根據(jù)中華人民共和國(guó)國(guó)家標(biāo)準(zhǔn)GB/T776-1976《電氣測(cè)量指示儀表通用技術(shù)條件》，規(guī)定電表準(zhǔn)確度分為0.1、0.2、0.5、1.0、1.5、2.5、5.0七個(gè)級(jí)別。2)電表誤差限與準(zhǔn)確度若準(zhǔn)確度等級(jí)為Sn，量程為Xm，則最大允許誤差可表示為二、常用儀器的儀器誤差限7.電氣指示儀表8.數(shù)字測(cè)量?jī)x表根據(jù)儀表的用途有數(shù)字電壓表、數(shù)字歐姆表、數(shù)字電流表、數(shù)字瓦特表、數(shù)字Q表等。04有效數(shù)字PARTFOUR一、有效數(shù)字的定義測(cè)量結(jié)果中可靠的幾位數(shù)字加上可疑的一位數(shù)字統(tǒng)稱(chēng)有效數(shù)字。有效數(shù)字只允許測(cè)量值的最后一位存在誤差。國(guó)家標(biāo)準(zhǔn)中對(duì)有效位數(shù)的定義：對(duì)沒(méi)有小數(shù)位且以若干個(gè)零結(jié)尾的數(shù)值，從非零數(shù)字最左一位向右數(shù)，所得位數(shù)減去無(wú)效零(即僅為定位用的零)的個(gè)數(shù)，就是有效位數(shù)；對(duì)其他十進(jìn)制數(shù)，從非零數(shù)字最左一位向右數(shù)，所得位數(shù)就是有效位數(shù)。物理實(shí)驗(yàn)中記錄測(cè)得值、表示結(jié)果量值和不確定度都只取有限的位數(shù)。本節(jié)要解決以下的問(wèn)題：直接測(cè)量量記錄時(shí)，該保留幾位有效數(shù)字?需要估讀嗎?直接測(cè)量：量的數(shù)據(jù)中估讀位的數(shù)字該如何取?這個(gè)數(shù)字與測(cè)量?jī)x器有關(guān)嗎?或者說(shuō)不同精度的儀器的測(cè)量結(jié)果相同嗎?間接測(cè)量量的數(shù)據(jù)的有效數(shù)字如何取?測(cè)量結(jié)果的有效數(shù)位如何取?測(cè)量結(jié)果的精確度是怎樣表示的?二、修約規(guī)則(四舍六入五湊偶)數(shù)值修約就是去掉數(shù)據(jù)中多余的位，也叫作化整。修約間隔就是修約后所保留的有效數(shù)字末位的最小間隔。直接測(cè)量量的修約間隔等于測(cè)量?jī)x器的儀器誤差限。預(yù)先選定修約間隔，從它的完整的整數(shù)倍數(shù)列中挑選出一個(gè)數(shù)，來(lái)代替原來(lái)的數(shù)值，這個(gè)過(guò)程就叫作修約。修約間隔確定后，數(shù)據(jù)的有效位數(shù)也就確定了。大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)采用的修約規(guī)則：(1)要舍棄的數(shù)字的最左一位小于5時(shí)，舍去；(2)要舍棄的數(shù)字的最左一位大于5(包括等于5且其后有不全為零的數(shù))時(shí)，進(jìn)1；(3)要舍棄數(shù)字最左一位是5，同時(shí)5后面沒(méi)有數(shù)字或者數(shù)字全是0，若保留的末位是奇數(shù)則進(jìn)1，是偶數(shù)或0則舍棄；(4)負(fù)數(shù)修約時(shí)先把絕對(duì)值按上述規(guī)定修約，然后在修約后的值前面加負(fù)號(hào)。這套規(guī)則被稱(chēng)為“四舍六入五湊偶”。三、實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的有效位數(shù)確定(1)游標(biāo)類(lèi)量具，一般應(yīng)讀到游標(biāo)分度值的整數(shù)倍。(2)對(duì)數(shù)顯儀表及有十進(jìn)步進(jìn)式標(biāo)度盤(pán)的儀表，一般應(yīng)直接讀取儀表的示值。(3)對(duì)指針式儀表，讀數(shù)時(shí)一般要估讀到最小分度值的1/10~1/2，可疑數(shù)字的讀取應(yīng)符合修約間隔的規(guī)定，即該儀器的儀器誤差限。(4)對(duì)于可估讀到最小分度值以下的計(jì)量器具，當(dāng)最小分度不小于1mm時(shí)，通常要估讀到0.1分度，如螺旋測(cè)微計(jì)和測(cè)量顯微鏡鼓輪的讀數(shù)，都要估計(jì)到1/10分度。少數(shù)情況下也可只估讀到0.2或0.5分度，如光具座上的標(biāo)尺的坐標(biāo)讀數(shù)可以只估計(jì)到mm分度的1/2或1/5。1原始數(shù)據(jù)(直接測(cè)量量)有效位數(shù)的確定所以在直接測(cè)量讀數(shù)時(shí)：①應(yīng)估讀到儀器最小刻度以下的一位存疑數(shù)字；②有效數(shù)字位數(shù)的多少既與使用儀器的精度有關(guān)，又與被測(cè)量本身的大小有關(guān)。綜上所述，有效數(shù)字位數(shù)是儀器精度和被測(cè)量本身大小的客觀反映，不能任意增減。三、實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的有效位數(shù)確定對(duì)于實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)處理中利用某些原理和公式，由直接測(cè)量得到的若干物理量推算出待測(cè)量值的計(jì)算過(guò)程中的數(shù)值，一般為間接測(cè)量量和中間物理量的有效數(shù)字。遵循以下原則：可靠數(shù)字之間相運(yùn)算，其結(jié)果仍為可靠數(shù)字?？煽繑?shù)字與可疑數(shù)字或可疑數(shù)字之間相運(yùn)算，其結(jié)果均為可疑數(shù)字。對(duì)參與運(yùn)算的數(shù)和中間運(yùn)算結(jié)果都不修約，只在計(jì)算出不確定度后最后結(jié)果表示前再修約，這樣做既是需要，也更有利于實(shí)驗(yàn)效率的提高。有多個(gè)數(shù)值參與運(yùn)算時(shí)，在運(yùn)算中應(yīng)比按有效數(shù)字運(yùn)算規(guī)則規(guī)定的多保留一位，以防止由于多次取舍引入計(jì)算誤差，但運(yùn)算最后仍應(yīng)舍去。有些教材列舉了“四則運(yùn)算的位數(shù)定則”“尾數(shù)舍入法則”以及乘方與開(kāi)方、對(duì)數(shù)、三角函數(shù)等諸多運(yùn)算結(jié)果的有效位數(shù)處理的方法。必須強(qiáng)調(diào)指出：這些定則與方法僅僅是一種粗略的方法，是常常與合理規(guī)律有偏差的近似，由不確定度決定有效位數(shù)是根本的方法，這是“大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)”課程的教學(xué)要點(diǎn)之一。2運(yùn)算過(guò)程中的數(shù)和中間運(yùn)算結(jié)果的有效位數(shù)三、實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的有效位數(shù)確定獨(dú)立被測(cè)量的不確定度一般只取一或兩位有效位數(shù)。大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)課程統(tǒng)一規(guī)定：實(shí)驗(yàn)測(cè)量結(jié)果的不確定度和用百分?jǐn)?shù)表示的相對(duì)不確定度取2位。這一規(guī)則是對(duì)較嚴(yán)密規(guī)則的簡(jiǎn)化。在結(jié)果表達(dá)式中，量值y與不確定度的修約間隔基本相同，末位要對(duì)齊，即不確定度最后一位數(shù)在小數(shù)點(diǎn)什么位置，測(cè)量結(jié)果有效數(shù)字的最后一位就取到什么位數(shù)。3測(cè)量結(jié)果最終表達(dá)式中的有效位數(shù)四、直線(xiàn)擬合結(jié)果的有效位數(shù)的初步確定直線(xiàn)擬合時(shí)計(jì)算器或程序能同時(shí)給出截距b0、斜率b1

的值，可簡(jiǎn)化地使截距b0的末位與yi有效位數(shù)末位對(duì)齊，使斜率b1的有效位數(shù)和最大間隔(ymax-ymin)位數(shù)大致相同。有效位數(shù)的確定，既要能夠充分反映測(cè)量或數(shù)學(xué)方法的精密度，又要避免位數(shù)過(guò)多而做無(wú)用功或造成誤解?；疽笫亲深^、放中間。抓兩頭，就是抓好原始實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)讀取和最后結(jié)果表示兩個(gè)環(huán)節(jié)；放中間，就是中間運(yùn)算放手多取幾位，不無(wú)端地減少位數(shù)。評(píng)定不確定度的教學(xué)實(shí)驗(yàn)應(yīng)由教師來(lái)約定結(jié)果的位數(shù)，一般默認(rèn)取2有效數(shù)字。五、數(shù)值修約的基本要求05直接測(cè)量結(jié)果的不確定度評(píng)定PARTFIVE一、測(cè)量不確定度的概念測(cè)量不確定度(簡(jiǎn)稱(chēng)不確定度)是表征被測(cè)量的真值(或與定義、測(cè)量任務(wù)相關(guān)聯(lián)的被測(cè)量值)所處的量值散布范圍的評(píng)定。它表示由于測(cè)量誤差的存在而對(duì)被測(cè)量值不能確定的程度。不確定度反映了可能存在的誤差分布范圍，即隨機(jī)誤差分量和未定系差分量的聯(lián)合分布范圍。測(cè)量不確定度表征測(cè)量值的分散性、準(zhǔn)確性和可靠程度。按照置信概率的標(biāo)準(zhǔn)，不確定度有兩類(lèi)：概率約為2/3的為合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度，概率為95%的為擴(kuò)展不確定度。合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度和擴(kuò)展不確定度分別以已修正測(cè)量結(jié)果為中心考察重復(fù)測(cè)量中測(cè)量值的分布概率來(lái)確定所限定的范圍。當(dāng)概率分別為2/3≈66.7%和95%時(shí)，測(cè)量值的分布范圍分別為合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度

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和擴(kuò)展不確定度U。顯然，U應(yīng)比

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的值大。大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)課程只要求掌握合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度。1測(cè)量不確定度一、測(cè)量不確定度的概念完整的測(cè)量結(jié)果表示中，必須包括測(cè)量所得的被測(cè)量的數(shù)值和測(cè)量單位，一般應(yīng)給出不確定度。處理實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)時(shí)，通常先做誤差分析，必要時(shí)謹(jǐn)慎地剔除高度異常值，修正已定系差，再評(píng)定不確定度。在實(shí)驗(yàn)測(cè)量中，無(wú)論是直接測(cè)量量還是間接測(cè)量量，每一個(gè)測(cè)量量都有其對(duì)應(yīng)的測(cè)量不確定度。按照不確定度數(shù)學(xué)模型分類(lèi)，可分為直接測(cè)量量的合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度和間接測(cè)量量的合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度。2合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度二、直接測(cè)量量的合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度的簡(jiǎn)化評(píng)定方法1.A類(lèi)不確定度和B類(lèi)不確定度因誤差來(lái)源不同，一個(gè)直接測(cè)量量的不確定度分為A類(lèi)分量和B類(lèi)分量。(1)A類(lèi)不確定度：凡是可以通過(guò)統(tǒng)計(jì)方法來(lái)計(jì)算的不確定度稱(chēng)為A類(lèi)不確定度，又稱(chēng)為統(tǒng)計(jì)不確定度。(2)B類(lèi)不確定度：凡是不能用統(tǒng)計(jì)方法計(jì)算，而只能用其他方法估算的不確定度稱(chēng)為B類(lèi)不確定度，又稱(chēng)為非統(tǒng)計(jì)不確定度。使用不確定度來(lái)評(píng)定測(cè)量結(jié)果和誤差時(shí)，不要再把誤差分為隨機(jī)誤差與系統(tǒng)誤差。但這并不表示A、B兩類(lèi)不確定度與隨機(jī)誤差和系統(tǒng)誤差沒(méi)有關(guān)系。實(shí)際上，隨機(jī)誤差全部和系統(tǒng)誤差中具有隨機(jī)性質(zhì)的未定系差用A類(lèi)不確定度來(lái)評(píng)定，即A類(lèi)不確定度評(píng)定的不全是隨機(jī)誤差；系統(tǒng)誤差也不能都用B類(lèi)不確定度來(lái)評(píng)定，因?yàn)樵谶M(jìn)行測(cè)量結(jié)果的不確定度評(píng)定前，必須先把已定系差修正后再進(jìn)行，即按A、B類(lèi)劃分不確定度時(shí)，已經(jīng)不包括已定系差。二、直接測(cè)量量的合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度的簡(jiǎn)化評(píng)定方法2.直接測(cè)量量y的合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度uC的計(jì)算步驟直接測(cè)量量應(yīng)在等精度測(cè)量條件進(jìn)行，其不確定度分為A類(lèi)分量和B類(lèi)分量。直接測(cè)量量的合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度是A類(lèi)、B類(lèi)兩類(lèi)分量的方和根合成。第一步：計(jì)算直接測(cè)量量的算術(shù)平均值。式中，k為有效的測(cè)量次數(shù)。第二步：A類(lèi)分量uA的計(jì)算。二、直接測(cè)量量的合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度的簡(jiǎn)化評(píng)定方法2.直接測(cè)量量y的合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度uC的計(jì)算步驟第三步：B類(lèi)分量uB的計(jì)算。第四步：合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度uC的計(jì)算。第五步：直接測(cè)量量y的測(cè)量結(jié)果表示為二、直接測(cè)量量的合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度的簡(jiǎn)化評(píng)定方法2.直接測(cè)量量y的合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度uC的計(jì)算步驟06間接測(cè)量結(jié)果的不確定度合成PARTSIX一、間接測(cè)量量不確定度合成公式的微分變換法微分變換法1.微分變換法求間接測(cè)量結(jié)果標(biāo)準(zhǔn)不確定度傳遞公式一、間接測(cè)量量不確定度合成公式的微分變換法2.求間接測(cè)量結(jié)果標(biāo)準(zhǔn)不確定度的步驟(1)對(duì)函數(shù)求全微分(對(duì)加減法)，或先取對(duì)數(shù)再求全微分(對(duì)乘除法)；(4)將微分號(hào)變?yōu)椴淮_定度符號(hào)；(2)合并同一分量的系數(shù)，合并時(shí)，有的項(xiàng)可以相互抵消，從而得到最簡(jiǎn)單的形式；(5)求平方和，再開(kāi)方得到不確定度傳遞公式。(3)系數(shù)取絕對(duì)值；二、間接測(cè)量量不確定度合成公式的表格查閱法表3-4的所有公式中各測(cè)量量的值，可以是測(cè)量值標(biāo)準(zhǔn)偏差，或A、B類(lèi)標(biāo)準(zhǔn)不確定度，或擴(kuò)展不確定度。但應(yīng)注意合成時(shí)各測(cè)量值要有相同的量綱與置信概率，才能使最終結(jié)果的不確定度有共同的置信概率。三、最大不確定度在實(shí)驗(yàn)測(cè)量中，若只需粗略估計(jì)不確定度的大小，則采用線(xiàn)性(算術(shù))合成法則計(jì)算即可。因而只要按照前面的方法得到間接測(cè)量不確定度的傳遞公式，式中各不確定度符號(hào)可理解為儀器誤差。由于取絕對(duì)值相加，得到的不確定度值偏大，又稱(chēng)最大不確定度?？偨Y(jié)間接測(cè)量量的合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度的微分變換法操作步驟如下。第一步：對(duì)間接測(cè)量量公式求全微分。將直接測(cè)量量作為自變量，求偏導(dǎo)數(shù)(即靈敏系數(shù))。有幾個(gè)直接測(cè)量量，就有幾項(xiàng)。第二步：將每一個(gè)直接測(cè)量量微分前的函數(shù)整理為原間接測(cè)量量公式的形式，并作為公因項(xiàng)提出，以間接測(cè)量量符號(hào)代替之。第三步：將微分算符變換為Δ符號(hào)并整理，使每一項(xiàng)都含有偏導(dǎo)自變量的相對(duì)分式項(xiàng)。第四步：將間接測(cè)量量符號(hào)除以等式兩側(cè)，則等式左式可視為間接測(cè)量量的相對(duì)誤差，等式右邊每一項(xiàng)相當(dāng)于每一個(gè)直接測(cè)量量的相對(duì)誤差乘以該測(cè)量量的系數(shù)。此即為相對(duì)誤差的傳遞公式。第五步：將每一項(xiàng)的Δ變換為u，并將不同的自變量符號(hào)標(biāo)注在u的下標(biāo)處，此即為該測(cè)量量的不確定度。第六步：按照合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度的方和根合成原則，將等式右邊的每一項(xiàng)先平方，然后加起來(lái)，再對(duì)整個(gè)左式開(kāi)方。注意，每一平方項(xiàng)內(nèi)應(yīng)包含兩個(gè)因子：一是該直接測(cè)量量的相對(duì)不確定度，二是求偏導(dǎo)整理后的系數(shù)。該系數(shù)就是該自變量(該直接測(cè)量量)的不確定度對(duì)測(cè)量結(jié)果不確定度的影響或者傳遞的權(quán)重。第七步：上式為間接測(cè)量量的合成標(biāo)準(zhǔn)相對(duì)不確定度傳遞公式，將間接測(cè)量量符號(hào)從左式的分母乘到等式右邊，就得到這個(gè)間接測(cè)量量合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度的傳遞公式。07數(shù)據(jù)處理的常用方法PARTSEVEN一、列表法(1)具體要求如下。(2)數(shù)據(jù)在列表處理時(shí)，應(yīng)該遵循下列原則。①根據(jù)測(cè)量公式和實(shí)驗(yàn)的具體要求設(shè)計(jì)出適當(dāng)?shù)谋砀?，教材上沒(méi)有的應(yīng)自行設(shè)計(jì)。②多次等精度測(cè)量應(yīng)標(biāo)出測(cè)量序號(hào)，表后留出平均值、標(biāo)準(zhǔn)偏差和A類(lèi)標(biāo)準(zhǔn)不確定度的空位，以便進(jìn)一步做數(shù)據(jù)處理；測(cè)量?jī)x器的誤差限一并寫(xiě)在數(shù)據(jù)后或者在表外另加注明。③列表時(shí)要求標(biāo)明各物理量符號(hào)和單位，單位要注在標(biāo)題欄中，每個(gè)表格應(yīng)有表題。④忠于實(shí)驗(yàn)結(jié)果，記錄原始數(shù)據(jù)，數(shù)據(jù)要正確反映測(cè)量的有效數(shù)字。⑤表格力求簡(jiǎn)單、清楚、分類(lèi)明顯、便于看出有關(guān)量的關(guān)系。實(shí)驗(yàn)室安全“準(zhǔn)入制”，包括實(shí)驗(yàn)室安全知識(shí)和實(shí)驗(yàn)室規(guī)章制度的學(xué)習(xí)、培訓(xùn)和考試，準(zhǔn)入資格審核及建立安全準(zhǔn)入人員檔案，安全承諾書(shū)等內(nèi)容，并以此作為實(shí)驗(yàn)室安全準(zhǔn)入的條件。每位進(jìn)入大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)室的學(xué)生都應(yīng)在進(jìn)入實(shí)驗(yàn)室前接受實(shí)驗(yàn)安全學(xué)習(xí)和培訓(xùn)，取得進(jìn)入實(shí)驗(yàn)室的資格，并簽署實(shí)驗(yàn)室安全承諾書(shū)。二、作圖法1.作圖法的優(yōu)點(diǎn)①圖線(xiàn)是根據(jù)多個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)描繪出的光滑曲線(xiàn)，這相當(dāng)于多次測(cè)量取平均的作用。②能簡(jiǎn)便地從圖中求出實(shí)驗(yàn)需要的某些結(jié)果。例如，在單擺實(shí)驗(yàn)中，通過(guò)求出T2-L直線(xiàn)的斜率4π2/g，即可得知重力加速度g的大小。③從圖線(xiàn)上可直接讀出沒(méi)有進(jìn)行測(cè)量的對(duì)應(yīng)于某個(gè)x的y值(內(nèi)插法)；在一定的條件下也可從圖線(xiàn)的延伸部分讀得測(cè)量范圍以外的數(shù)值(外推法)。④可以幫助發(fā)現(xiàn)實(shí)驗(yàn)中個(gè)別測(cè)量值的錯(cuò)誤以及實(shí)驗(yàn)中的系統(tǒng)誤差。⑤可用變量置換法把某些復(fù)雜的函數(shù)關(guān)系線(xiàn)性化及曲線(xiàn)改直，便于研究應(yīng)用。⑥可以繪制出儀器的校準(zhǔn)曲線(xiàn)或正常工作曲線(xiàn)，以減少儀器的測(cè)量誤差。二、作圖法2.作圖要求①測(cè)量點(diǎn)和所作圖線(xiàn)必須清楚正確，要能反映被測(cè)量的精度和數(shù)量間的關(guān)系，并便于讀取數(shù)據(jù)。②作圖必須用坐標(biāo)紙，要使畫(huà)出的圖線(xiàn)比較對(duì)稱(chēng)地充滿(mǎn)整個(gè)圖紙，既不偏于一角或一邊，也不要太陡或太平，若是直線(xiàn)，則應(yīng)使傾角接近于45°。③要根據(jù)數(shù)據(jù)處理的需要選用直角坐標(biāo)紙、對(duì)數(shù)坐標(biāo)紙、極坐標(biāo)紙等，并確定其大小。在大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)中常用的是規(guī)格為17cm*25cm的直角坐標(biāo)紙。二、作圖法3.作圖規(guī)則①標(biāo)出坐標(biāo)軸：坐標(biāo)的起點(diǎn)可以不取零值而取比所測(cè)數(shù)據(jù)最小值略小的整數(shù)開(kāi)始標(biāo)值，并在軸的端點(diǎn)標(biāo)明物理量名稱(chēng)及單位。X和Y軸二變量的變化范圍表現(xiàn)在坐標(biāo)紙上的長(zhǎng)度應(yīng)該相差不大，最多也不要超過(guò)一倍。②坐標(biāo)軸的分度：測(cè)量數(shù)據(jù)中的可靠數(shù)字在圖中亦應(yīng)是可靠的，存疑數(shù)字在圖中亦應(yīng)是估計(jì)的，所以軸線(xiàn)上的最小格對(duì)應(yīng)數(shù)據(jù)中可靠數(shù)字的最后一位。兩軸的比例尺可以不同，一般一小格代表存疑數(shù)字的一、二或五個(gè)單位，要避免用一小格代表三或九個(gè)單位。比例尺選定后，以變量的整數(shù)個(gè)單位為間距，在軸側(cè)標(biāo)出數(shù)值。③標(biāo)出數(shù)據(jù)點(diǎn)：用削尖的鉛筆和直尺以

等符號(hào)標(biāo)出各數(shù)據(jù)點(diǎn)，并使符號(hào)的中心與測(cè)量值準(zhǔn)確一致。當(dāng)在一張圖紙上畫(huà)幾條曲線(xiàn)時(shí)，可用不同的符號(hào)加以區(qū)分。④連線(xiàn)：除校準(zhǔn)曲