非牛頓流體流動(dòng)高等流體力學(xué)》汪志明教授2/72§1非牛頓流體的流變特性

任何流動(dòng)問(wèn)題的數(shù)學(xué)描述都建立在力學(xué)的一般性原理基礎(chǔ)上。這些原理都可以用平衡方程來(lái)描述。流體對(duì)機(jī)械作用的響應(yīng)不僅依據(jù)于這些守恒律，而且取決于該種流體的特性，這種響應(yīng)稱之為物質(zhì)的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系（或以流變曲線的形式給出），而這種應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系稱之為流體的本構(gòu)方程或流變模式。盡管物質(zhì)系統(tǒng)都遵守質(zhì)量守恒方程、動(dòng)量守恒方程和能量守恒方程，但現(xiàn)實(shí)的問(wèn)題是守恒方程的數(shù)目常少于未知數(shù)數(shù)目。

嚴(yán)格意義上，一種特定的本構(gòu)方程只適用于一種假設(shè)的模型化的流體。因此本構(gòu)關(guān)系的建立相當(dāng)于定義一種假設(shè)的流體模型，即用一種近似的方法描述某一特定流體的流變行為。第2頁(yè),共69頁(yè)，2024年2月25日，星期天高等流體力學(xué)》汪志明教授3/72§1非牛頓流體的流變特性圖9.1流體的流變曲線對(duì)比第3頁(yè),共69頁(yè)，2024年2月25日，星期天高等流體力學(xué)》汪志明教授4/721.純粘性非牛頓流體在雙對(duì)數(shù)坐標(biāo)系中，擬塑性非牛頓流體的流動(dòng)曲線斜率小于1，表觀粘度隨剪切速率增加而減?。幻浰苄苑桥ｎD流體的流動(dòng)曲線斜率大于1，表觀粘度隨剪切速率增加而增大。沒(méi)有一種具有簡(jiǎn)單形式的本構(gòu)方程足以描述不同的擬塑性非牛頓流體。在石油工程中被廣泛應(yīng)用的在雙對(duì)數(shù)坐標(biāo)系中流動(dòng)曲線為一直線的冪律方程僅適用于有限的剪切速率范圍，其經(jīng)驗(yàn)表達(dá)式為:

稠度系數(shù)、流動(dòng)指數(shù)兩個(gè)系數(shù)均與溫度有關(guān)。§1非牛頓流體的流變特性無(wú)時(shí)間依存性的非牛頓流體第4頁(yè),共69頁(yè)，2024年2月25日，星期天高等流體力學(xué)》汪志明教授5/72§1非牛頓流體的流變特性圖9.2原油的稠度系數(shù)和流動(dòng)指數(shù)隨溫度的變化規(guī)律無(wú)時(shí)間依存性的非牛頓流體第5頁(yè),共69頁(yè)，2024年2月25日，星期天高等流體力學(xué)》汪志明教授6/72

。試確定該流體的流變參數(shù)?！?非牛頓流體的流變特性〖例9-1〗有一屬于假塑性流體的鉆井液，用旋轉(zhuǎn)粘度計(jì)測(cè)得的流變性實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)如下：當(dāng)剪切速率時(shí)，；，〖解〗假塑性流體的流變方程可寫(xiě)為兩邊取自然對(duì)數(shù)可得例題帶入已知數(shù)據(jù)第6頁(yè),共69頁(yè)，2024年2月25日，星期天高等流體力學(xué)》汪志明教授7/72

在柱坐標(biāo)系中，冪律流體本構(gòu)關(guān)系的一種更為精確的表達(dá)式為：

顯然其表觀粘度：在被驗(yàn)證的范圍內(nèi)，冪律關(guān)系式和實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)吻合的很好，但在剪切速率非常低和非常高時(shí)，關(guān)系式的精度下降。擬塑性非牛頓流體的流動(dòng)指數(shù)總是小于1，大多數(shù)原油、細(xì)黏土懸浮液、部分鉆井液和清洗液均呈現(xiàn)擬塑性非牛頓流體流動(dòng)特性?！?非牛頓流體的流變特性無(wú)時(shí)間依存性的非牛頓流體第7頁(yè),共69頁(yè)，2024年2月25日，星期天高等流體力學(xué)》汪志明教授8/72

賓漢塑性流體是指在剪切速率超過(guò)一有限值后才流動(dòng)，并且隨后其應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系呈現(xiàn)線性關(guān)系的一類非牛頓流體。石蠟、瀝青、某些鉆井液、漂浮在空中的灰塵懸浮液和下水道中排放的污液都屬于賓漢流體。賓漢流體的本構(gòu)方程為:

冪律關(guān)系式同樣也可以用于描述脹塑性非牛頓流體，只要選擇不同的稠度系數(shù)和流動(dòng)指數(shù)。脹塑性非牛頓流體的流動(dòng)指數(shù)總是大于1。不規(guī)則形狀固體顆粒懸浮于液體的稠流體就屬于這種流體，其脹塑性隨濃度迅速變化，濃度低時(shí)可能呈現(xiàn)擬塑性流動(dòng)特性，濃度高時(shí)其可能呈現(xiàn)脹塑性非牛頓流體流動(dòng)特性。2.粘塑性非牛頓流體§1非牛頓流體的流變特性無(wú)時(shí)間依存性的非牛頓流體第8頁(yè),共69頁(yè)，2024年2月25日，星期天高等流體力學(xué)》汪志明教授9/72圖9.3不同濃度條件下賓漢型鉆井液的流動(dòng)曲線§1非牛頓流體的流變特性無(wú)時(shí)間依存性的非牛頓流體第9頁(yè),共69頁(yè)，2024年2月25日，星期天高等流體力學(xué)》汪志明教授10/72

另有三個(gè)模型綜合了賓漢模型和冪律模型，反映了低剪切速率下流體介于賓漢模型和冪律模型之間的特性：卡森模型，赫謝爾－巴克利（Herschel-Bulkley）模型和羅伯遜－史蒂夫（Robertson-Stiff）模型。

卡森模型是兩參數(shù)模型，在油漆、涂料、塑料等領(lǐng)域有所應(yīng)用，在鉆井液中應(yīng)用較少，其本構(gòu)方程為：§1非牛頓流體的流變特性無(wú)時(shí)間依存性的非牛頓流體第10頁(yè),共69頁(yè)，2024年2月25日，星期天高等流體力學(xué)》汪志明教授11/72

在石油工程領(lǐng)域，大部分鉆井液和某些原油為帶屈服值的擬塑性非牛頓流體，即赫謝爾－巴克利（Herschel-Bulkley）流體，其特點(diǎn)是與賓漢流體一樣具有屈服值，但當(dāng)應(yīng)力超過(guò)屈服值時(shí)其應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系是非線性的。帶屈服值的擬塑性非牛頓流體的本構(gòu)方程為:§1非牛頓流體的流變特性無(wú)時(shí)間依存性的非牛頓流體第11頁(yè),共69頁(yè)，2024年2月25日，星期天高等流體力學(xué)》汪志明教授12/72

不論是牛頓流體、擬塑性非牛頓流體，還是脹塑性非牛頓流體，它們對(duì)剪切應(yīng)力的響應(yīng)都是瞬時(shí)的，流變行為受系統(tǒng)結(jié)構(gòu)影響，平衡結(jié)構(gòu)依賴于剪切速率。剪切速率改變，平衡結(jié)構(gòu)無(wú)滯后地隨之變化，因此稱這種結(jié)構(gòu)的變化為瞬時(shí)的、可逆的變化。

羅伯遜－史蒂夫（Robertson-Stiff）模型和赫謝爾－巴克利（Herschel-Bulkley）模型同屬三參數(shù)模型。羅伯遜－史蒂夫（Robertson-Stiff）模型將剪切力作為一個(gè)參數(shù)，其本構(gòu)方程為：§1非牛頓流體的流變特性無(wú)時(shí)間依存性的非牛頓流體第12頁(yè),共69頁(yè)，2024年2月25日，星期天高等流體力學(xué)》汪志明教授13/721.觸變性非牛頓流體另一類廣泛存在的依時(shí)性非牛頓流體的流變特性對(duì)剪切速率變化的響應(yīng)是滯后的，由于流體結(jié)構(gòu)的變化極其緩慢，因此其變化過(guò)程不可逆。某些鉆井液和原油就屬于這類依時(shí)性非牛頓流體。如果在剪切速率恒定條件下，剪切應(yīng)力隨剪切過(guò)程的進(jìn)行而衰減，那么我們稱這種流體為觸變性非牛頓流體。

§1非牛頓流體的流變特性有時(shí)間依存性的非牛頓流體

穩(wěn)定的剪切應(yīng)力值與剪切速率的關(guān)系為：式中，該關(guān)系式說(shuō)明一種與時(shí)間無(wú)關(guān)的極限結(jié)構(gòu)狀態(tài)是穩(wěn)定的，它可以用于描述在管線中輸送幾公里后的原油的流變特性。

第13頁(yè),共69頁(yè)，2024年2月25日，星期天高等流體力學(xué)》汪志明教授14/72

在剪切速率恒定條件下，剪切應(yīng)力隨剪切過(guò)程的進(jìn)行而衰減的規(guī)律。隨剪切過(guò)程進(jìn)行，剪切應(yīng)力漸趨于某一穩(wěn)定值，而其所需的時(shí)間隨剪切速率增大而增大。圖9.5在剪切速率恒定條件下，剪切應(yīng)力隨剪切過(guò)程的衰減規(guī)律§1非牛頓流體的流變特性有時(shí)間依存性的非牛頓流體第14頁(yè),共69頁(yè)，2024年2月25日，星期天高等流體力學(xué)》汪志明教授15/72

原油的觸變性對(duì)相對(duì)較短的輸送管線，尤其是油田的地面集輸管線是很重要的。在眾多描述觸變性非牛頓流體的本構(gòu)關(guān)系中，冪律型本構(gòu)方程是最簡(jiǎn)單的一種?；诖罅康膶挿秶鷮?shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，波波克（Bobok）納瓦弟爾（Navratil）（1982）提出了一種相對(duì)簡(jiǎn)單的流變方程描述觸變性原油，他將原油視為流變特性變化的擬塑性流體，剪切應(yīng)力隨剪切速率和一個(gè)無(wú)因次結(jié)構(gòu)參數(shù)而變化，即：

§1非牛頓流體的流變特性有時(shí)間依存性的非牛頓流體第15頁(yè),共69頁(yè)，2024年2月25日，星期天高等流體力學(xué)》汪志明教授16/72

假設(shè)觸變性流體的結(jié)構(gòu)完全由依賴于剪切速率和剪切過(guò)程的結(jié)構(gòu)參數(shù)確定，則方程的物理意義可以從由剪切速率、結(jié)構(gòu)參數(shù)和剪切應(yīng)力三參數(shù)正交坐標(biāo)系中的剪切狀態(tài)曲面看出。任何剪切條件的變化都遵循剪切狀態(tài)曲面上的一條曲線。

圖9.6觸變性流體的剪切狀態(tài)§1非牛頓流體的流變特性有時(shí)間依存性的非牛頓流體第16頁(yè),共69頁(yè)，2024年2月25日，星期天高等流體力學(xué)》汪志明教授17/72

等剪切速率過(guò)程是不可逆的，它只能沿等剪切速率曲線朝結(jié)構(gòu)參數(shù)減小的方向（即觸變結(jié)構(gòu)破壞的方向）進(jìn)行，因?yàn)榻Y(jié)構(gòu)破壞的速度遠(yuǎn)快于結(jié)構(gòu)重建的速度，因此我們可以認(rèn)為等剪切速率過(guò)程是不可逆過(guò)程。

等剪切速率過(guò)程的另一個(gè)重要特征是它具有一條描述極限剪切應(yīng)力值的穩(wěn)定流動(dòng)曲線。當(dāng)剪切速率恒定時(shí)，剪切應(yīng)力和結(jié)構(gòu)參數(shù)都隨剪切過(guò)程的持續(xù)而降低，直至達(dá)到穩(wěn)定的剪切應(yīng)力值和結(jié)構(gòu)參數(shù)值，即等剪切速率曲線不能穿過(guò)穩(wěn)定流動(dòng)曲線。§1非牛頓流體的流變特性有時(shí)間依存性的非牛頓流體第17頁(yè),共69頁(yè)，2024年2月25日，星期天高等流體力學(xué)》汪志明教授18/72圖9.7觸變性流體的流動(dòng)曲線

實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明稠度系數(shù)隨結(jié)構(gòu)參數(shù)而變，但流動(dòng)指數(shù)不變。穩(wěn)定流動(dòng)曲面被等剪切速率曲線和等結(jié)構(gòu)參數(shù)曲線從不同方向穿過(guò)，穿越點(diǎn)C的剪切速率值是評(píng)價(jià)等結(jié)構(gòu)參數(shù)時(shí)任意一條流動(dòng)曲線的稠度系數(shù)的重要參量。§1非牛頓流體的流變特性有時(shí)間依存性的非牛頓流體第18頁(yè),共69頁(yè)，2024年2月25日，星期天高等流體力學(xué)》汪志明教授19/72

等結(jié)構(gòu)參數(shù)時(shí)任意一條流動(dòng)曲線與穩(wěn)定流動(dòng)曲線相交于C點(diǎn)，顯然有下式成立：

沿等結(jié)構(gòu)參數(shù)曲線，稠度系數(shù)和流動(dòng)指數(shù)為常數(shù)，即當(dāng)結(jié)構(gòu)參數(shù)不變時(shí)，觸變性流體實(shí)際上呈現(xiàn)擬塑性流體的流變特征，即：當(dāng)時(shí)，

某一給定的剪切速率值處剪切應(yīng)力可能小于穩(wěn)定的剪切應(yīng)力值。當(dāng)時(shí)，

則流變過(guò)程是可逆的，即不論何時(shí)改變剪切速率，測(cè)量得到的剪切應(yīng)力都將落在曲線上。§1非牛頓流體的流變特性有時(shí)間依存性的非牛頓流體帶入第19頁(yè),共69頁(yè)，2024年2月25日，星期天高等流體力學(xué)》汪志明教授20/72

當(dāng)剪切速率增至某一更高值P點(diǎn)時(shí)，該P(yáng)點(diǎn)瞬時(shí)獲得的剪切應(yīng)力值將落在同樣一條流變曲線上，因?yàn)橛|變性結(jié)構(gòu)沒(méi)有變化。但從即刻起，觸變結(jié)構(gòu)開(kāi)始改變，剪切狀態(tài)將沿等剪切速率曲線達(dá)到穩(wěn)定流動(dòng)曲線C點(diǎn)，相應(yīng)的結(jié)構(gòu)破壞過(guò)程中剪切應(yīng)力為：§1非牛頓流體的流變特性有時(shí)間依存性的非牛頓流體

當(dāng)管徑增大或流量減小導(dǎo)致剪切速率減小時(shí)，剪切應(yīng)力是穩(wěn)定的，但小于穩(wěn)定剪切應(yīng)力值。當(dāng)管徑減小或流量增大導(dǎo)致剪切速率增大時(shí)，剪切應(yīng)力為結(jié)構(gòu)破壞起始時(shí)的應(yīng)力值其大小由（9.15）式確定。第20頁(yè),共69頁(yè)，2024年2月25日，星期天高等流體力學(xué)》汪志明教授21/722.振凝性非牛頓流體假如流體在等剪切速率條件下剪切應(yīng)力隨剪切時(shí)間而增大，那么我們稱之為振凝性流體。最常見(jiàn)的實(shí)例就是雞蛋白。盡管振凝性流體作為壓裂液是有用的，但與觸變性流體相比，振凝性流體不太常見(jiàn)?！?非牛頓流體的流變特性有時(shí)間依存性的非牛頓流體第21頁(yè),共69頁(yè)，2024年2月25日，星期天高等流體力學(xué)》汪志明教授22/72§1非牛頓流體的流變特性粘彈性非牛頓流體1.爬桿現(xiàn)象圖9.8威森貝格（Weissenberg）效應(yīng)試驗(yàn)

粘彈性流體是指剪切應(yīng)力同時(shí)依賴于剪切速率和變形程度的非牛頓流體。既具有與時(shí)間有關(guān)的非牛頓流體的全部流變性質(zhì)又具有部分彈性恢復(fù)效應(yīng)的物料的性質(zhì)。從某種意義上講，所有液體都具有粘彈性，尤其在很高的剪切速率下流動(dòng)的情況。第22頁(yè),共69頁(yè)，2024年2月25日，星期天高等流體力學(xué)》汪志明教授23/722.擠出脹大現(xiàn)象圖9.9擠出膨脹對(duì)比圖§1非牛頓流體的流變特性粘彈性非牛頓流體第23頁(yè),共69頁(yè)，2024年2月25日，星期天高等流體力學(xué)》汪志明教授24/723.同心套管軸向流動(dòng)現(xiàn)象圖9.10同心套管流動(dòng)試驗(yàn)圖§1非牛頓流體的流變特性粘彈性非牛頓流體第24頁(yè),共69頁(yè)，2024年2月25日，星期天高等流體力學(xué)》汪志明教授25/724.回彈現(xiàn)象

被拉長(zhǎng)的彈簧突然松開(kāi)時(shí)會(huì)立即縮回原來(lái)的長(zhǎng)度，即回彈現(xiàn)象。牛頓流體只有粘性而無(wú)回彈現(xiàn)象。粘彈性流體有彈性和衰退記憶兩種效應(yīng)。具備彈性使它區(qū)別于牛頓流體，有衰退記憶使它區(qū)別于彈性固體。5.無(wú)管虹吸現(xiàn)象圖9.11虹吸現(xiàn)象對(duì)比圖§1非牛頓流體的流變特性粘彈性非牛頓流體第25頁(yè),共69頁(yè)，2024年2月25日，星期天高等流體力學(xué)》汪志明教授26/726.次級(jí)流現(xiàn)象圖9.12牛頓流體次級(jí)流

圖9.13粘彈性流體次級(jí)流§1非牛頓流體的流變特性粘彈性非牛頓流體

盛有牛頓流體（如圖9.12）和粘彈性流體（如圖9.13）的燒杯中，旋轉(zhuǎn)緊貼在液面上的圓盤(pán)，產(chǎn)生的主流方向沿周向，且近圓盤(pán)處液層周向速度最大，越接近杯底液層流速越低，杯底處液層流速為零。圓盤(pán)旋轉(zhuǎn)引起的二次流方向如圖所示，兩燒杯中二次流方向相反。牛頓流體的次級(jí)流方向可用離心效應(yīng)解釋，而粘彈性流體的二次流方向尚未得以解釋。其它運(yùn)動(dòng)狀態(tài)下，粘彈性物料也會(huì)產(chǎn)生不同于牛頓流體的次級(jí)流現(xiàn)象。第26頁(yè),共69頁(yè)，2024年2月25日，星期天高等流體力學(xué)》汪志明教授27/72

馬克斯韋爾（Maxwell）提出了一種描述粘彈性流體的最簡(jiǎn)單的本構(gòu)方程。他認(rèn)為這種粘彈性流體的剪切速率等于粘性剪切速率和彈性剪切速率之和：

當(dāng)速度梯度由起始常數(shù)值突然降至零時(shí)，上述方程則為：§1非牛頓流體的流變特性粘彈性非牛頓流體第27頁(yè),共69頁(yè)，2024年2月25日，星期天高等流體力學(xué)》汪志明教授28/72圖9.14粘彈性松弛圖§1非牛頓流體的流變特性粘彈性非牛頓流體第28頁(yè),共69頁(yè)，2024年2月25日，星期天高等流體力學(xué)》汪志明教授29/721963年懷特（White）和曼茲納（Metzner）提出了或許是最切合實(shí)際的描述粘彈性流體的本構(gòu)方程，其張量形式為：

對(duì)一維穩(wěn)定層流運(yùn)動(dòng)而言，懷特－曼茲納（White-Metzner）本構(gòu)方程即為：§1非牛頓流體的流變特性粘彈性非牛頓流體第29頁(yè),共69頁(yè)，2024年2月25日，星期天高等流體力學(xué)》汪志明教授30/72§1非牛頓流體的流變特性粘彈性非牛頓流體

流變儀測(cè)量結(jié)果和射流膨脹現(xiàn)象證明了懷特－曼茲納（White-Metzner）本構(gòu)方程是正確的。圖9.15給出了法向應(yīng)力差和剪切應(yīng)力隨剪切速率變化的規(guī)律。有意義的是在低剪切速率時(shí)法向應(yīng)力差和剪切應(yīng)力相當(dāng)，而在高剪切速率時(shí)，法向應(yīng)力差高出剪切應(yīng)力一個(gè)數(shù)量級(jí)。圖9.15法向應(yīng)力差與剪切應(yīng)力關(guān)系圖第30頁(yè),共69頁(yè)，2024年2月25日，星期天高等流體力學(xué)》汪志明教授31/72

第八章非牛頓流體流動(dòng)§1非牛頓流體的流變特性§2擬塑性流體在圓管中的層流運(yùn)動(dòng)§3賓漢流體在圓管中的層流運(yùn)動(dòng)§4粘彈性流體在圓管中的不穩(wěn)定層流運(yùn)動(dòng)§5擬塑性流體在環(huán)空中的層流運(yùn)動(dòng)§6非牛頓流體在圓管中的湍流運(yùn)動(dòng)第31頁(yè),共69頁(yè)，2024年2月25日，星期天高等流體力學(xué)》汪志明教授32/72

考察一個(gè)如圖所示的具有等截面積的傾斜直圓管。不可壓縮的擬塑性流體在其中做一維的穩(wěn)定層流運(yùn)動(dòng)。圖9.16擬塑性流體傾斜圓管流動(dòng)在柱坐標(biāo)下的微元體圖§2擬塑性流體在圓管中的層流運(yùn)動(dòng)第32頁(yè),共69頁(yè)，2024年2月25日，星期天高等流體力學(xué)》汪志明教授33/72§2擬塑性流體在圓管中的層流運(yùn)動(dòng)

再由擬塑性流體的本構(gòu)方程知：

并考慮到管道中沿徑向速度是遞減的，因此切應(yīng)力方向與流動(dòng)方向相反，因此有：進(jìn)一步整理動(dòng)量方程可得：由動(dòng)量方程：第33頁(yè),共69頁(yè)，2024年2月25日，星期天高等流體力學(xué)》汪志明教授34/72§2擬塑性流體在圓管中的層流運(yùn)動(dòng)

積分上式可得管道中擬塑性流體的速度分布為：

式中水力坡降為：

由壁面粘附條件（即壁面速度為零）可得積分常數(shù)為：第34頁(yè),共69頁(yè)，2024年2月25日，星期天高等流體力學(xué)》汪志明教授35/72§2擬塑性流體在圓管中的層流運(yùn)動(dòng)流量：最大流速：

若取平均速度為參考速度，則無(wú)因次速度為：壁面切應(yīng)力：平均流速：第35頁(yè),共69頁(yè)，2024年2月25日，星期天高等流體力學(xué)》汪志明教授36/72§2擬塑性流體在圓管中的層流運(yùn)動(dòng)

若流動(dòng)指數(shù)取1，即牛頓流體，則由圖可知速度分布為我們所知的拋物面。隨流動(dòng)指數(shù)由1逐漸增大（即脹塑性流體），速度分布變的越陡，逐漸趨于一條斜直線。圖9.17擬塑性流體流動(dòng)的無(wú)因次速度分布圖第36頁(yè),共69頁(yè)，2024年2月25日，星期天高等流體力學(xué)》汪志明教授37/72§2擬塑性流體在圓管中的層流運(yùn)動(dòng)以平均流速表示的水頭損失：若將上式寫(xiě)成：則摩阻系數(shù)為：

對(duì)比牛頓流體運(yùn)動(dòng)方程中粘性應(yīng)力的計(jì)算，我們可以給出擬塑性流體雷諾數(shù)的表達(dá)式：

另一種定義雷諾數(shù)的方法是參考牛頓流體：第37頁(yè),共69頁(yè)，2024年2月25日，星期天高等流體力學(xué)》汪志明教授38/72§2擬塑性流體在圓管中的層流運(yùn)動(dòng)圖9.18摩阻系數(shù)與雷諾數(shù)關(guān)系圖

圖中給出了不同流動(dòng)指數(shù)下雷諾數(shù)與摩阻系數(shù)間的相互關(guān)系。當(dāng)剪切速率很低時(shí)，采用冪律流體本構(gòu)方程描述粘塑性流體是不合適的，因?yàn)楣苤行奶幩俣忍荻融呌诹?，由此?jì)算出的管中心位置附近的各物理量精度不夠。同時(shí)由于管中心附近位置的剪切應(yīng)力也趨于零，因此由此造成的能量耗散可以忽略不計(jì)，采用冪律流體本構(gòu)方程計(jì)算出的摩擦系數(shù)和水頭損失也能滿足工程精度。第38頁(yè),共69頁(yè)，2024年2月25日，星期天高等流體力學(xué)》汪志明教授39/72

第八章非牛頓流體流動(dòng)§1非牛頓流體的流變特性§2擬塑性流體在圓管中的層流運(yùn)動(dòng)§3賓漢流體在圓管中的層流運(yùn)動(dòng)§4粘彈性流體在圓管中的不穩(wěn)定層流運(yùn)動(dòng)§5擬塑性流體在環(huán)空中的層流運(yùn)動(dòng)§6非牛頓流體在圓管中的湍流運(yùn)動(dòng)第39頁(yè),共69頁(yè)，2024年2月25日，星期天高等流體力學(xué)》汪志明教授40/72

由第二節(jié)可知，任何流體在圓管中的穩(wěn)定層流運(yùn)動(dòng)均滿足同樣的動(dòng)量方程，即

考慮到圓管中沿徑向流體速度遞減，因此賓漢流體的本構(gòu)方程為：§3賓漢流體在圓管中的層流運(yùn)動(dòng)

由賓漢流體的流變曲線可知，流體必須克服其屈服應(yīng)力才能運(yùn)動(dòng)，因此圓管中賓漢流體運(yùn)動(dòng)由兩部分組成：①圓管中心附近的流體以均勻速度做剛體般的整體運(yùn)動(dòng)；②圓管與勻速剛體流體間的環(huán)形空間中的流體做剪切流動(dòng)。圓管中間均速剛體流體的半徑可由下式確定：第40頁(yè),共69頁(yè)，2024年2月25日，星期天高等流體力學(xué)》汪志明教授41/72

積分上述動(dòng)量方程，我們就可得環(huán)形空間中賓漢流體的剪切流動(dòng)的速度分布為：

進(jìn)一步由壁面粘附條件可求得上式中的積分常數(shù)為：

所以概括起來(lái)，賓漢流體在圓管中的穩(wěn)定層流運(yùn)動(dòng)的速度分布為：§3賓漢流體在圓管中的層流運(yùn)動(dòng)第41頁(yè),共69頁(yè)，2024年2月25日，星期天高等流體力學(xué)》汪志明教授42/72

若取圓管中牛頓流體穩(wěn)定層流運(yùn)動(dòng)時(shí)的最大速度為參考速度，圖9.19給出了不同無(wú)因次屈服應(yīng)力與壁面應(yīng)力比值條件下，圓管中賓漢流體在等水力坡降條件下運(yùn)動(dòng)時(shí)無(wú)因次速度隨無(wú)因次徑向距離的變化規(guī)律。從圖中可看出，隨屈服應(yīng)力與壁面應(yīng)力比值增大，圓管中均速運(yùn)動(dòng)的剛體半徑增大，而其速度隨之減小。圖9.19賓漢流體的無(wú)因次速度與無(wú)因次距離關(guān)系圖§3賓漢流體在圓管中的層流運(yùn)動(dòng)第42頁(yè),共69頁(yè)，2024年2月25日，星期天高等流體力學(xué)》汪志明教授43/72

圓管中賓漢流體的流量也由均速運(yùn)動(dòng)的剛體運(yùn)動(dòng)的流量和環(huán)形空間中剪切流動(dòng)的流量?jī)刹糠纸M成，即：

相應(yīng)地可計(jì)算出平均流速、平均剪切速率為：

因此，水平圓管中賓漢流體的壓力降為：

考慮到以壓力降表示的平均剪切速率（賓漢方程）、壁面剪切應(yīng)力分別為：§3賓漢流體在圓管中的層流運(yùn)動(dòng)第43頁(yè),共69頁(yè)，2024年2月25日，星期天高等流體力學(xué)》汪志明教授44/72則求得摩阻系數(shù)為：

式中：1952年赫得斯托羅姆（Hedstrom）運(yùn)用無(wú)因次分析原理得出賓漢流體在圓管中穩(wěn)定流動(dòng)的摩阻系數(shù)是實(shí)際雷諾數(shù)和赫得斯托羅姆（Hedstrom）雷諾數(shù)的函數(shù)，即：§3賓漢流體在圓管中的層流運(yùn)動(dòng)第44頁(yè),共69頁(yè)，2024年2月25日，星期天高等流體力學(xué)》汪志明教授45/72

圖中曲線告訴我們一個(gè)重要的結(jié)論：隨赫得斯托羅姆（Hedstrom）雷諾數(shù)增大，賓漢流體在圓管中由層流轉(zhuǎn)捩為湍流的臨界雷諾數(shù)要比牛頓流體在圓管中流動(dòng)時(shí)的臨界雷諾數(shù)著實(shí)大的多。圖9.20摩阻系數(shù)同雷諾數(shù)的關(guān)系圖§3賓漢流體在圓管中的層流運(yùn)動(dòng)第45頁(yè),共69頁(yè)，2024年2月25日，星期天高等流體力學(xué)》汪志明教授46/72

最適合計(jì)算賓漢流體在圓管中做穩(wěn)定層流運(yùn)動(dòng)時(shí)壓力降的公式是賓漢（Buckingham）方程。首先設(shè)定某一個(gè)壓力降值，并在已知賓漢流體屈服值和粘度條件下逐步計(jì)算出圓管中的速度分布和平均剪切速率，這樣就得到一組壓力降和平均剪切速率，然后插值求得實(shí)際壓力降。當(dāng)然也可以直接用牛頓－烈佛遜法（Newton-Raphson）方法解四次一元方程——賓漢方程。

對(duì)帶屈服值的擬塑性流體，其本構(gòu)方程為：

將其代入動(dòng)量方程，并考慮到沿徑向速度遞減的事實(shí)，則動(dòng)量方程改為：

§3賓漢流體在圓管中的層流運(yùn)動(dòng)第46頁(yè),共69頁(yè)，2024年2月25日，星期天高等流體力學(xué)》汪志明教授47/72

顯然，當(dāng)流動(dòng)指數(shù)取1時(shí)，上述的平均剪切速率公式就簡(jiǎn)化為賓漢流體的賓漢（Buckingham）方程。由上式計(jì)算出的壓力降總是小于賓漢流體時(shí)的壓力降，為簡(jiǎn)單起見(jiàn)，我們可以用賓漢（Buckingham）方程計(jì)算出帶屈服值的擬塑性流體在圓管中的壓力降，但計(jì)算值比實(shí)際值略高。利用壁面粘附條件（壁面速度為零），可進(jìn)一步求得帶屈服值的擬塑性流體在圓管中做穩(wěn)定層流運(yùn)動(dòng)時(shí)的速度分布和類似于賓漢（Buckingham）方程的平均剪切速率公式為：§3賓漢流體在圓管中的層流運(yùn)動(dòng)第47頁(yè),共69頁(yè)，2024年2月25日，星期天高等流體力學(xué)》汪志明教授48/72

第八章非牛頓流體流動(dòng)§1非牛頓流體的流變特性§2擬塑性流體在圓管中的層流運(yùn)動(dòng)§3賓漢流體在圓管中的層流運(yùn)動(dòng)§4粘彈性流體在圓管中的不穩(wěn)定層流運(yùn)動(dòng)§5擬塑性流體在環(huán)空中的層流運(yùn)動(dòng)§6非牛頓流體在圓管中的湍流運(yùn)動(dòng)第48頁(yè),共69頁(yè)，2024年2月25日，星期天高等流體力學(xué)》汪志明教授49/72§4粘彈性流體在圓管中的不穩(wěn)定層流運(yùn)動(dòng)

因?yàn)閺椥粤Σ⑽闯霈F(xiàn)在等直徑圓管中粘彈性流體的穩(wěn)定層流流動(dòng)動(dòng)量守恒方程中，因此其壓力損失僅受流體粘性影響，實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)也表明等直徑圓管內(nèi)粘彈性流體的穩(wěn)定層流流動(dòng)的壓力損失不受流體影響，所以可以將等直徑圓管內(nèi)粘彈性流體的穩(wěn)定層流流動(dòng)當(dāng)作純粘性流體流動(dòng)處理（牛頓流體或擬塑性流體）。但是，在快速振蕩流動(dòng)中粘彈性流體作用特別重要。為此，我們下面考慮馬克斯韋爾（Maxwell）模型流體在圓管中做層流流動(dòng)時(shí)流量與壓力降的關(guān)系。第49頁(yè),共69頁(yè)，2024年2月25日，星期天高等流體力學(xué)》汪志明教授50/72

并考慮到軸對(duì)稱性，忽略質(zhì)量力，則動(dòng)量方程改為：

若取柱坐標(biāo)系，并假定只有軸向速度，即：

當(dāng)馬克斯韋爾（Maxwell）流體在圓管內(nèi)作速度很小的層流流動(dòng)時(shí)，其本構(gòu)方程為：

將上述速度分量代入下列柱坐標(biāo)系中的連續(xù)性方程和動(dòng)量方程：§4粘彈性流體在圓管中的不穩(wěn)定層流運(yùn)動(dòng)第50頁(yè),共69頁(yè)，2024年2月25日，星期天高等流體力學(xué)》汪志明教授51/72

若剪切應(yīng)力、速度和壓力梯度等流動(dòng)參數(shù)按下列關(guān)系式周期性變化。

將改寫(xiě)后的本構(gòu)方程代入動(dòng)量方程，則有：

將改寫(xiě)后的本構(gòu)方程代入動(dòng)量方程：

積分上式，并利用下列邊界條件：§4粘彈性流體在圓管中的不穩(wěn)定層流運(yùn)動(dòng)第51頁(yè),共69頁(yè)，2024年2月25日，星期天高等流體力學(xué)》汪志明教授52/72

式中為零階貝塞爾函數(shù)，為貝塞爾方程的連續(xù)根。利用速度分布求得流量為：

式中為一階貝塞爾函數(shù)，若將貝塞爾函數(shù)按級(jí)數(shù)展開(kāi)，并考慮到，則流量為：求解動(dòng)量方程得：式中括弧內(nèi)第一項(xiàng)為彈性項(xiàng)，第二項(xiàng)為慣性項(xiàng)?！?粘彈性流體在圓管中的不穩(wěn)定層流運(yùn)動(dòng)第52頁(yè),共69頁(yè)，2024年2月25日，星期天高等流體力學(xué)》汪志明教授53/72

第八章非牛頓流體流動(dòng)§1非牛頓流體的流變特性§2擬塑性流體在圓管中的層流運(yùn)動(dòng)§3賓漢流體在圓管中的層流運(yùn)動(dòng)§4粘彈性流體在圓管中的不穩(wěn)定層流運(yùn)動(dòng)§5擬塑性流體在環(huán)空中的層流運(yùn)動(dòng)§6非牛頓流體在圓管中的湍流運(yùn)動(dòng)第53頁(yè),共69頁(yè)，2024年2月25日，星期天高等流體力學(xué)》汪志明教授54/72§5擬塑性流體在環(huán)空中的層流運(yùn)動(dòng)圖9.21擬塑性流體在環(huán)空中流動(dòng)

在鉆井和完井作業(yè)中，存在著鉆井泥漿或水泥漿在井壁與鉆桿的環(huán)形空間中的流動(dòng)，由于大多數(shù)鉆井泥漿屬于擬塑性流體或觸變擬塑性流體，因此研究環(huán)形空間中擬塑性流體流動(dòng)規(guī)律的意義是顯而易見(jiàn)的。第54頁(yè),共69頁(yè)，2024年2月25日，星期天高等流體力學(xué)》汪志明教授55/72柱坐標(biāo)系中的動(dòng)量方程為:

下面我們來(lái)考察無(wú)限長(zhǎng)的同心圓管間的環(huán)形空間中不可壓縮擬塑性流體自上而下的穩(wěn)定層流運(yùn)動(dòng)。柱坐標(biāo)系如9.21圖所示，流動(dòng)方向與同心軸正向相同，因此速度分量為：§5擬塑性流體在環(huán)空中的層流運(yùn)動(dòng)第55頁(yè),共69頁(yè)，2024年2月25日，星期天高等流體力學(xué)》汪志明教授56/72§5擬塑性流體在環(huán)空中的層流運(yùn)動(dòng)第56頁(yè),共69頁(yè)，2024年2月25日，星期天高等流體力學(xué)》汪志明教授57/72這樣就可進(jìn)一步求得積分常數(shù)為：

因此環(huán)形空間中擬塑性流體滿足的動(dòng)量方程可改寫(xiě)為：

將擬塑性流體的本構(gòu)方程代入，并對(duì)上式積分一次可得：

考慮到速度分量的取值，因此動(dòng)量方程簡(jiǎn)化為：考慮到最大流速處剪切速率為零，即：§5擬塑性流體在環(huán)空中的層流運(yùn)動(dòng)第57頁(yè),共69頁(yè)，2024年2月25日，星期天高等流體力學(xué)》汪志明教授58/72

與圓管中擬塑性流體運(yùn)動(dòng)時(shí)情況不同的是環(huán)形空間中存在兩個(gè)不同符號(hào)的剪切速率區(qū)域，一個(gè)是最大速度點(diǎn)與內(nèi)壁面間區(qū)域，另一個(gè)是最大速度點(diǎn)與外壁面間區(qū)域。前者內(nèi)剪切速率為正值，后者內(nèi)剪切速率為負(fù)值，因此下面我們分兩個(gè)區(qū)域來(lái)考察擬塑性流體的流動(dòng)規(guī)律。首先考察剪切速率為正值的流動(dòng)區(qū)域。我們注意到該區(qū)域內(nèi)速度梯度大于零，任一點(diǎn)的半徑都小于最大流速處的半徑，因此該區(qū)域內(nèi)的動(dòng)量方程為：§5擬塑性流體在環(huán)空中的層流運(yùn)動(dòng)第58頁(yè),共69頁(yè)，2024年2月25日，星期天高等流體力學(xué)》汪志明教授59/72

考慮到上式右邊是單調(diào)函數(shù)，因此可以用線性插值函數(shù)來(lái)取代，即：

利用內(nèi)壁半徑值和最大流速處半徑值，即可求得上式中的待定常數(shù)：

所以積分動(dòng)量方程，并考慮到利用內(nèi)壁面粘附條件求得積分常數(shù)，因此最后求得的速度分布為：§5擬塑性流體在環(huán)空中的層流運(yùn)動(dòng)第59頁(yè),共69頁(yè)，2024年2月25日，星期天高等流體力學(xué)》汪志明教授60/72

進(jìn)一步利用外壁半徑值和最大流速處半徑值，即可求得上式中的待定常數(shù)：

同樣地，我們可用插值函數(shù)來(lái)取代上式右邊的單調(diào)函數(shù)，即：

其次考察剪切速率為負(fù)值的流動(dòng)區(qū)域，該區(qū)域內(nèi)速度梯度小于零，任一點(diǎn)的半徑都大于最大流速處的半徑，因此該區(qū)域內(nèi)的動(dòng)量方程為：§5擬塑性流體在環(huán)空中的層流運(yùn)動(dòng)第60頁(yè),共69頁(yè)，2024年2月25日，星期天高等流體力學(xué)》汪志明教授61/72

在上述兩個(gè)剪切流動(dòng)區(qū)域的速度計(jì)算公式中，利用最大流速處的速度匹配條件可以解出最大流速處的半徑，即：

所以積分動(dòng)量方程，并考慮到利用外壁面粘附條件求得積分常數(shù)，因此最后求得的速度分布為：§5擬塑性流體在環(huán)空中的層流運(yùn)動(dòng)第61頁(yè),共69頁(yè)，2024年2月25日，星期天高等流體力學(xué)》汪志明教授62/72式中：

規(guī)律后，我們就很容易計(jì)算出通過(guò)圓管截面的流量是：§5擬塑性流體在環(huán)空中的層流運(yùn)動(dòng)第62頁(yè),共69頁(yè)，2024年2月25日，星期天高等流體力學(xué)》汪志明教授63/72

進(jìn)一步可得平均流速、水力坡降和水頭損