上海音樂學(xué)院安師附屬實(shí)驗(yàn)中學(xué)高三數(shù)學(xué)理下學(xué)期期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.（5分）已知=（3，4），=（5，12），則與夾角的余弦為（） A． B． C． D． 參考答案：A考點(diǎn)： 數(shù)量積表示兩個(gè)向量的夾角．專題： 計(jì)算題．分析： 利用向量的模的坐標(biāo)公式求出向量的坐標(biāo)，利用向量的數(shù)量積公式求出兩個(gè)向量的數(shù)量積；利用向量的數(shù)量積求出向量的夾角余弦．解答： =5，=13，=3×5+4×12=63，設(shè)夾角為θ，所以cosθ=故選A．點(diǎn)評(píng)： 本題考查向量的模的坐標(biāo)公式、向量的坐標(biāo)形式的數(shù)量積公式、利用向量的數(shù)量積求向量的夾角余弦．2.已知變量滿足約束條件，則的取值范圍是（

）

A.

B.

C.

D.參考答案：A約束條件對(duì)應(yīng)的三個(gè)“角點(diǎn)”坐標(biāo)分別為：

，則3.某程序框圖如圖所示，該程序運(yùn)行后輸出的值是8，則S0值為下列各值中的

(A)0

(B)1

(C)2

(D)3

參考答案：A略4.已知函數(shù)，若＝－1，則實(shí)數(shù)a的值為

A、2B、±1C.1D、一1參考答案：C，故選C．5.已知雙曲線C2：的一個(gè)頂點(diǎn)是拋物線C1：y2=2x的焦點(diǎn)F，兩條曲線的一個(gè)交點(diǎn)為M，|MF|=，則雙曲線C2的離心率是（）A． B． C． D．參考答案：C【考點(diǎn)】雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)．【分析】通過題意可知F（，0）、不妨記M（1，），將點(diǎn)M、F代入雙曲線方程，計(jì)算即得結(jié)論．【解答】解：由題意可知F（，0），由拋物線的定義可知：xM=﹣=1，∴yM=±，不妨記M（1，），∵F（，0）是雙曲線的一個(gè)頂點(diǎn)，∴=1，即a2=，又點(diǎn)M在雙曲線上，∴=1，即b2=，∴e==，故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查求雙曲線的離心率，考查運(yùn)算求解能力，注意解題方法的積累，屬于中檔題．6.若在曲線f（x，y）=0上兩個(gè)不同點(diǎn)處的切線重合，則稱這條切線為曲線f（x，y）=0的“自公切線”。下列方程：①；②，③；④對(duì)應(yīng)的曲線中存在“自公切線”的有

（

）

A．③④

B．①④

C．①②

D．②③參考答案：D略7.在△ABC中,,,E,F為BC的三等分點(diǎn),則?=(

) A．

B．

C．

D．參考答案：B8.已知，則

（

）A． B．

C．

D．參考答案：A9.利用如圖算法在平面直角坐標(biāo)系上打印一系列點(diǎn)，則打印的點(diǎn)在圓內(nèi)有（

）A．2個(gè)

B．3個(gè)

C．4個(gè)

D．5個(gè)參考答案：B10.設(shè)集合，，則M∩N=（）A.{－2,－1} B.{－1,0} C.{0,1} D.{1,2}參考答案：C【分析】先求解集合N中的不等式，再求交集即可?！驹斀狻?；故選：C【點(diǎn)睛】本題考查集合的基本運(yùn)算，求兩個(gè)集合的交集，屬于基礎(chǔ)題。二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.若對(duì)恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是

。參考答案：12.在Rt中，，，P是AB邊上的一個(gè)三等分點(diǎn)，則的值為____參考答案：4運(yùn)用坐標(biāo)法如圖A

設(shè)=2x+2y=2（x+y）如圖所示，P坐標(biāo)為或可得原式=

注意：要必須畫圖，切忌憑空想象13.在的二項(xiàng)展開式中，的系數(shù)為

參考答案：-4014.（1）在極坐標(biāo)系中，定點(diǎn)，點(diǎn)在直線上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)線段最短時(shí)，點(diǎn)的極坐標(biāo)為

．參考答案：15.若a>0，則的最小值是____________．參考答案：516.（坐標(biāo)系與參數(shù)方程選做題）在極坐標(biāo)系中，已知兩點(diǎn)、的極坐標(biāo)分別為，，則△（其中為極點(diǎn)）的面積為

參考答案：317.已知函數(shù)則______．參考答案：考點(diǎn)：1、分段函數(shù)的解析式；2、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì).三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（滿分14分）如圖，在四面體ABCD中，O、E分別是BD、BC的中點(diǎn)，（Ⅰ）求證：平面BCD；（Ⅱ）求異面直線AB與CD所成角的余弦值；（Ⅲ）求點(diǎn)E到平面ACD的距離．參考答案：是直角斜邊AC上的中線，∴

……………9分

方法二：(2)解：以O(shè)為原點(diǎn)，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則，……

9分19.（12分）（2015?欽州模擬）如圖，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，側(cè)面AA1C1C⊥底面ABC，AA1=A1C=AC=2，AB=BC且AB⊥BC．（1）求證：AC⊥A1B；（2）求三棱錐C1﹣ABA1的體積．參考答案：【考點(diǎn)】：棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積；空間中直線與直線之間的位置關(guān)系．【專題】：空間位置關(guān)系與距離．【分析】：（1）取AC中點(diǎn)O，連A1O，BO，由已知得A1O⊥AC，BO⊥AC，從而AC⊥平面A1OB，由此能證明AC⊥A1B．（2）由，利用等積法能求出三棱錐C1﹣ABA1的體積．（1）證明：取AC中點(diǎn)O，連A1O，BO．∵AA1=A1C，∴A1O⊥AC，…1分又AB=BC，∴BO⊥AC，…2分∵A1O∩BO=O，∴AC⊥平面A1OB，…3分又A1B?平面A1OB，…4分∴AC⊥A1B…5分（2）解：由條件得：…6分∵三棱柱ABC﹣A1B1C1中，側(cè)面AA1C1C⊥底面ABC，AA1=A1C=AC=2，AB=BC且AB⊥BC，∴，，…9分∴=…10分=．…12分【點(diǎn)評(píng)】：本題考查異面直線垂直的證明，考查三棱錐的體積的求法，解題時(shí)要注意空間思維能力的培養(yǎng)．20.（本小題滿分13分）已知函數(shù)．（1）求證函數(shù)在區(qū)間上存在唯一的極值點(diǎn)，并用二分法求函數(shù)取得極值時(shí)相應(yīng)的近似值（誤差不超過）；（參考數(shù)據(jù)，，）（2）當(dāng)時(shí)，若關(guān)于的不等式恒成立，試求實(shí)數(shù)的取值范圍.參考答案：解：（Ⅰ），

∵

，，∴

．

………………2分令，則，

……3分∴

在區(qū)間上單調(diào)遞增，∴

在區(qū)間上存在唯一零點(diǎn)，∴

在區(qū)間上存在唯一的極小值點(diǎn)．

…………………4分取區(qū)間作為起始區(qū)間，用二分法逐次計(jì)算如下：①

，而，∴

極值點(diǎn)所在區(qū)間是；②

又，∴

極值點(diǎn)所在區(qū)間是；③

∵

，∴

區(qū)間內(nèi)任意一點(diǎn)即為所求．

……7分（Ⅱ）由，得，即，∵

，

∴，……8分令，則．

………………10分令，則．∵，∴，∴在上單調(diào)遞增，∴，因此故在上單調(diào)遞增，

……12分則，∴

的取值范圍是………13分略21.已知函數(shù).（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）當(dāng)時(shí)，討論函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù).參考答案：(1)見解析；(2)見解析【分析】（1）討論a的范圍，得出f′（x）＞0和f′（x）＜0的解集，得出f（x）的單調(diào)性；（2）求出f（x）的極大值，判斷極大值小于0，根據(jù)f（x）的單調(diào)性得出f（x）的零點(diǎn)個(gè)數(shù)．【詳解】（1），令，其對(duì)稱軸為，令，則.當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，對(duì)稱軸為，若，即，恒成立，所以，所以在上單調(diào)遞增；若時(shí)，設(shè)的兩根，，當(dāng)時(shí)，，所以，所以在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，所以，所以在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，所以，所以在上單調(diào)遞增，綜上所述：當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；若時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；（2）當(dāng)時(shí)，由（1）知在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，下面研究的極大值，又，所以，令，則（），可得在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，且的極大值，所以，所以，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，且，，所以存在，使得，又當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，所以只有一個(gè)零點(diǎn)，綜上所述，當(dāng)時(shí)，在上只有一個(gè)零點(diǎn).【點(diǎn)睛】本題考查了導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系，函數(shù)極值、單調(diào)性與函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)判斷，屬于難題．22.（本小題滿分14分）如圖，已知橢圓C：的離心率，短軸的右端點(diǎn)為B，M（1，0）為線段OB的中點(diǎn)．（Ⅰ）求橢圓C的方程；（Ⅱ）過點(diǎn)M任意作一條直線與橢圓C相交于兩點(diǎn)P，Q試問在x軸上是否存在定點(diǎn)N，使得∠PNM=∠QNM？若存在，求出點(diǎn)N的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．參考答案：（Ⅰ）．（Ⅱ）滿足條件的點(diǎn)N存在，坐標(biāo)為.試題分析：（Ⅰ）由題意知,,由，得（Ⅱ）假設(shè)存在滿足條件的點(diǎn)N，坐標(biāo)為（t，0），其中t為常數(shù).由題意直線PQ的斜率不為0，可得直線PQ的方程可設(shè)為：,；設(shè),聯(lián)立，消去x得：,應(yīng)用韋達(dá)定理

根據(jù)知：即，整理得即求得.試題解析：（Ⅰ）由題意知,

…1分由，

…3分橢圓方程為．

…4分（Ⅱ）若存在滿足條件的點(diǎn)N，坐標(biāo)為（t，0），其中t為常數(shù).由題意直線PQ的斜率不為0，直線PQ的方程可設(shè)為：,

…5分設(shè),