突破點(diǎn)8回歸分析、獨(dú)立性檢驗(yàn)提煉1變量的相關(guān)性(1)正相關(guān)：在散點(diǎn)圖中，點(diǎn)散布在從左下角到右上角的區(qū)域．(2)負(fù)相關(guān)：在散點(diǎn)圖中，點(diǎn)散布在從左上角到右下角的區(qū)域．(3)相關(guān)系數(shù)r：當(dāng)r>0時(shí)，兩變量正相關(guān)；當(dāng)r<0時(shí)，兩變量負(fù)相關(guān)；當(dāng)|r|≤1且|r|越接近于1，相關(guān)程度越高，當(dāng)|r|≤1且|r|越接近于0，相關(guān)程度越低.提煉2線(xiàn)性回歸方程方程eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))稱(chēng)為線(xiàn)性回歸方程，其中eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(\i\su(i＝1,n,x)iyi－n\o(x,\s\up6(－))\o(y,\s\up6(－)),\i\su(i＝1,n,x)\o\al(2,i)－n\x\to(x)2)，eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\o(y,\s\up6(－))－eq\o(b,\s\up6(^))eq\o(x,\s\up6(－)).(eq\o(x,\s\up6(－))，eq\o(y,\s\up6(－)))稱(chēng)為樣本中心點(diǎn).提煉3獨(dú)立性檢驗(yàn)(1)確定分類(lèi)變量，獲取樣本頻數(shù)，得到列聯(lián)表．(2)求觀(guān)測(cè)值：k＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d).(3)根據(jù)臨界值表，作出正確判斷．如果k≥kα，就推斷“X與Y有關(guān)系”，這種推斷犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)α，否則就認(rèn)為在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)α的前提下不能推斷“X與Y有關(guān)系”．回訪(fǎng)1變量的相關(guān)性1．(2015·全國(guó)卷Ⅱ)根據(jù)下面給出的2004年至2013年我國(guó)二氧化硫年排放量(單位：萬(wàn)噸)柱形圖，以下結(jié)論中不正確的是()圖8-1A．逐年比較，2008年減少二氧化硫排放量的效果最顯著B(niǎo)．2007年我國(guó)治理二氧化硫排放顯現(xiàn)成效C．2006年以來(lái)我國(guó)二氧化硫年排放量呈減少趨勢(shì)D．2006年以來(lái)我國(guó)二氧化硫年排放量與年份正相關(guān)D對(duì)于A選項(xiàng)，由圖知從2007年到2008年二氧化硫排放量下降得最多，故A正確．對(duì)于B選項(xiàng)，由圖知，由2006年到2007年矩形高度明顯下降，因此B正確．對(duì)于C選項(xiàng)，由圖知從2006年以后除2011年稍有上升外，其余年份都是逐年下降的，所以C正確．由圖知2006年以來(lái)我國(guó)二氧化硫年排放量與年份負(fù)相關(guān)，故選D.]2．(2012·全國(guó)卷)在一組樣本數(shù)據(jù)(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)(n≥2，x1，x2，…，xn不全相等)的散點(diǎn)圖中，若所有樣本點(diǎn)(xi，yi)(i＝1,2，…，n)都在直線(xiàn)y＝eq\f(1,2)x＋1上，則這組樣本數(shù)據(jù)的樣本相關(guān)系數(shù)為()A．－1 B．0C.eq\f(1,2) D．1D樣本點(diǎn)都在直線(xiàn)上時(shí)，其數(shù)據(jù)的估計(jì)值與真實(shí)值是相等的，即yi＝eq\o(y,\s\up6(^))i，代入相關(guān)系數(shù)公式r＝eq\r(1－\f(\i\su(i＝1,n,)yi－\o(y,\s\up6(^))i2,\i\su(i＝1,n,)yi－\x\to(y)2))＝1.]3．(2015·全國(guó)卷Ⅰ)某公司為確定下一年度投入某種產(chǎn)品的宣傳費(fèi)，需了解年宣傳費(fèi)x(單位：千元)對(duì)年銷(xiāo)售量y(單位：t)和年利潤(rùn)z(單位：千元)的影響．對(duì)近8年的年宣傳費(fèi)xi和年銷(xiāo)售量yi(i＝1,2，…，8)數(shù)據(jù)作了初步處理，得到下面的散點(diǎn)圖及一些統(tǒng)計(jì)量的值．圖8-2eq\x\to(x)eq\x\to(y)eq\x\to(w)eq\o(∑,\s\up6(8))eq\o(,\s\do4(i＝1))(xi－eq\x\to(x))2eq\o(∑,\s\up6(8))eq\o(,\s\do4(i＝1))(wi－eq\x\to(w))2eq\o(∑,\s\up6(8))eq\o(,\s\do4(i＝1))(xi－eq\x\to(x))(yi－eq\x\to(y))eq\o(∑,\s\up6(8))eq\o(,\s\do4(i＝1))(wi－eq\x\to(w))(yi－eq\x\to(y))46.65636.8289.81.61469108.8表中wi＝eq\r(xi)，w]＝eq\f(1,8)eq\o(∑,\s\up6(8))eq\o(,\s\do4(i＝1))wi.(1)根據(jù)散點(diǎn)圖判斷，y＝a＋bx與y＝c＋deq\r(x)哪一個(gè)適宜作為年銷(xiāo)售量y關(guān)于年宣傳費(fèi)x的回歸方程類(lèi)型？(給出判斷即可，不必說(shuō)明理由)(2)根據(jù)(1)的判斷結(jié)果及表中數(shù)據(jù)，建立y關(guān)于x的回歸方程；(3)已知這種產(chǎn)品的年利潤(rùn)z與x，y的關(guān)系為z＝0.2y－x.根據(jù)(2)的結(jié)果回答下列問(wèn)題：①年宣傳費(fèi)x＝49時(shí)，年銷(xiāo)售量及年利潤(rùn)的預(yù)報(bào)值是多少？②年宣傳費(fèi)x為何值時(shí)，年利潤(rùn)的預(yù)報(bào)值最大？附：對(duì)于一組數(shù)據(jù)(u1，v1)，(u2，v2)，…，(un，vn)，其回歸直線(xiàn)v＝α＋βu的斜率和截距的最小二乘估計(jì)分別為eq\o(β,\s\up6(^))＝eq\f(\o(∑,\s\up6(n))\o(,\s\do4(i＝1))ui－\x\to(u)vi－\x\to(v),\o(∑,\s\up6(n))\o(,\s\do4(i＝1))ui－\x\to(u)2)，eq\o(α,\s\up6(^))＝eq\x\to(v)－eq\o(β,\s\up6(^))eq\a\vs4\al(\x\to(u)).解](1)由散點(diǎn)圖可以判斷，y＝c＋deq\r(x)適宜作為年銷(xiāo)售量y關(guān)于年宣傳費(fèi)x的回歸方程類(lèi)型.2分(2)令w＝eq\r(x)，先建立y關(guān)于w的線(xiàn)性回歸方程．由于eq\o(d,\s\up6(^))＝eq\f(\i\su(i＝1,8,)wi－\x\to(w)yi－\x\to(y),\i\su(i＝1,8,)wi－\x\to(w)2)＝eq\f(108.8,1.6)＝68，eq\o(c,\s\up6(^))＝eq\x\to(y)－eq\o(d,\s\up6(^))eq\x\to(w)＝563－68×6.8＝100.6，4分所以y關(guān)于w的線(xiàn)性回歸方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝100.6＋68w，因此y關(guān)于x的回歸方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝100.6＋68eq\r(x).6分(3)①由(2)知，當(dāng)x＝49時(shí)，年銷(xiāo)售量y的預(yù)報(bào)值eq\o(y,\s\up6(^))＝100.6＋68eq\r(49)＝576.6，年利潤(rùn)z的預(yù)報(bào)值eq\o(z,\s\up6(^))＝576.6×0.2－49＝66.32.8分②根據(jù)(2)的結(jié)果知，年利潤(rùn)z的預(yù)報(bào)值eq\o(z,\s\up6(^))＝0.2(100.6＋68eq\r(x))－x＝－x＋13.6eq\r(x)＋20.12.10分所以當(dāng)eq\r(x)＝eq\f(13.6,2)＝6.8，即x＝46.24時(shí)，eq\o(z,\s\up6(^))取得最大值．故年宣傳費(fèi)為46.24千元時(shí)，年利潤(rùn)的預(yù)報(bào)值最大.12分回訪(fǎng)2獨(dú)立性檢驗(yàn)4．(2012·遼寧高考)電視傳媒公司為了解某地區(qū)電視觀(guān)眾對(duì)某類(lèi)體育節(jié)目的收視情況，隨機(jī)抽取了100名觀(guān)眾進(jìn)行調(diào)查．下面是根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制的觀(guān)眾日均收看該體育節(jié)目時(shí)間的頻率分布直方圖：圖8-3將日均收看該體育節(jié)目時(shí)間不低于40分鐘的觀(guān)眾稱(chēng)為“體育迷”．(1)根據(jù)已知條件完成下面的2×2列聯(lián)表，并據(jù)此資料你是否認(rèn)為“體育迷”與性別有關(guān)？非體育迷體育迷合計(jì)男女1055合計(jì)(2)將上述調(diào)查所得到的頻率視為概率．現(xiàn)在從該地區(qū)大量電視觀(guān)眾中，采用隨機(jī)抽樣方法每次抽取1名觀(guān)眾，抽取3次，記被抽取的3名觀(guān)眾中的“體育迷”人數(shù)為X.若每次抽取的結(jié)果是相互獨(dú)立的，求X的分布列，期望E(X)和方差D(X)．附：K2＝eq\f(nn11n22－n12n212,n1＋n2＋n＋1n＋2)，P(K2≥k)0.050.01k3.8416.635解](1)由頻率分布直方圖可知，在抽取的100人中，“體育迷”有25人，從而2×2列聯(lián)表如下：非體育迷體育迷合計(jì)男301545女451055合計(jì)75251002分將2×2列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)代入公式計(jì)算，得k＝eq\f(nn11n22－n12n212,n1＋n2＋n＋1n＋2)＝eq\f(100×30×10－45×152,75×25×45×55)＝eq\f(100,33)≈3.030.因?yàn)?.030<3.841，所以沒(méi)有理由認(rèn)為“體育迷”與性別有關(guān).6分(2)由頻率分布直方圖知抽到“體育迷”的頻率為0.25，將頻率視為概率，即從觀(guān)眾中抽取一名“體育迷”的概率為eq\f(1,4).8分由題意知X～Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，\f(1,4)))，從而X的分布列為X0123Peq\f(27,64)eq\f(27,64)eq\f(9,64)eq\f(1,64)10分E(X)＝np＝3×eq\f(1,4)＝eq\f(3,4)，D(X)＝np(1－p)＝3×eq\f(1,4)×eq\f(3,4)＝eq\f(9,16).12分熱點(diǎn)題型1回歸分析題型分析：高考命題常以實(shí)際生活為背景，重在考查回歸分析中散點(diǎn)圖的作用、回歸方程的求法和應(yīng)用，難度中等.在一次抽樣調(diào)查中測(cè)得樣本的5組數(shù)據(jù)，得到一個(gè)變量y關(guān)于x的回歸方程模型，其對(duì)應(yīng)的數(shù)值如下表：x0.250.5124y1612521(1)試作出散點(diǎn)圖，根據(jù)散點(diǎn)圖判斷，y＝a＋bx與y＝eq\f(k,x)＋m哪一個(gè)適宜作為變量y關(guān)于x的回歸方程模型？(給出判斷即可，不必說(shuō)明理由)(2)根據(jù)(1)的判斷結(jié)果及表中數(shù)據(jù)，建立變量y關(guān)于x的回歸方程；(3)根據(jù)(2)中所求的變量y關(guān)于x的回歸方程預(yù)測(cè)：當(dāng)x＝3時(shí)，對(duì)應(yīng)的y值為多少？(保留四位有效數(shù)字)解](1)作出變量y與x之間的散點(diǎn)圖，如圖所示，2分由圖可知變量y與x近似地呈反比例函數(shù)關(guān)系，那么y＝eq\f(k,x)＋m適宜作為變量y關(guān)于x的回歸方程模型.4分(2)由(1)知y＝eq\f(k,x)＋m適宜作為變量y關(guān)于x的回歸方程模型，令t＝eq\f(1,x)，則y＝kt＋m，由y與x的數(shù)據(jù)表可得y與t的數(shù)據(jù)表如下：t4210.50.25y1612521……………6分作出y與t的散點(diǎn)圖，如圖所示．8分由圖可知y與t近似地呈線(xiàn)性相關(guān)關(guān)系．又eq\o(t,\s\up6(－))＝1.55，eq\o(y,\s\up6(－))＝7.2，eq\i\su(i＝1,5,t)iyi＝94.25，eq\i\su(i＝1,5,t)eq\o\al(2,i)＝21.3125，所以k＝eq\f(\i\su(i＝1,5,t)iyi－5\o(t,\s\up6(－))\o(y,\s\up6(－)),\i\su(i＝1,5,t)\o\al(2,i)－5\x\to(t)2)＝eq\f(94.25－5×1.55×7.2,21.3125－5×1.552)≈4.1344，m＝eq\o(y,\s\up6(－))－keq\o(t,\s\up6(－))＝7.2－4.1344×1.55≈0.8，所以y＝4.1344t＋0.8，所以y關(guān)于x的回歸方程為y＝eq\f(4.1344,x)＋0.8.10分(3)由(2)得y關(guān)于x的回歸方程是y＝eq\f(4.1344,x)＋0.8，當(dāng)x＝3時(shí)，可得y＝eq\f(4.1344,3)＋0.8≈2.178.12分1．正確理解計(jì)算eq\o(b,\s\up6(^))，eq\o(a,\s\up6(^))的公式和準(zhǔn)確的計(jì)算，是求線(xiàn)性回歸方程的關(guān)鍵．其中線(xiàn)性回歸方程必過(guò)樣本中心點(diǎn)(eq\o(x,\s\up6(－))，eq\o(y,\s\up6(－)))．2．在分析兩個(gè)變量的相關(guān)關(guān)系時(shí)，可根據(jù)樣本數(shù)據(jù)作出散點(diǎn)圖來(lái)確定兩個(gè)變量之間是否具有相關(guān)關(guān)系，若具有線(xiàn)性相關(guān)關(guān)系，則可通過(guò)線(xiàn)性回歸方程估計(jì)和預(yù)測(cè)變量的值．變式訓(xùn)練1](2016·石家莊二模)為了解某地區(qū)某種農(nóng)產(chǎn)品的年產(chǎn)量x(單位：噸)對(duì)價(jià)格y(單位：千元/噸)和年利潤(rùn)z的影響，對(duì)近五年該農(nóng)產(chǎn)品的年產(chǎn)量和價(jià)格統(tǒng)計(jì)如下表：x12345y7.06.55.53.82.2(1)求y關(guān)于x的線(xiàn)性回歸方程eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))；(2)若每噸該農(nóng)產(chǎn)品的成本為2千元，假設(shè)該農(nóng)產(chǎn)品可全部賣(mài)出，預(yù)測(cè)當(dāng)年產(chǎn)量為多少時(shí)，年利潤(rùn)z取到最大值？(保留兩位小數(shù))參考公式：eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(\i\su(i＝1,n,)xi－\o(x,\s\up6(－))yi－\o(y,\s\up6(－)),\i\su(i＝1,n,)xi－\o(x,\s\up6(－))2)＝eq\f(\i\su(i＝1,n,x)iyi－n\o(x,\s\up6(－))\o(y,\s\up6(－)),\i\su(i＝1,n,x)\o\al(2,i)－n\x\to(x)2)，eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\o(y,\s\up6(－))－eq\o(b,\s\up6(^))eq\o(x,\s\up6(－)).解](1)eq\o(x,\s\up6(－))＝3，eq\o(y,\s\up6(－))＝5，2分eq\i\su(i＝1,5,x)i＝15，eq\i\su(i＝1,5,y)i＝25，eq\i\su(i＝1,5,x)iyi＝62.7，eq\i\su(i＝1,5,x)eq\o\al(2,i)＝55，解得eq\o(b,\s\up6(^))＝－1.23，eq\o(a,\s\up6(^))＝8.69，4分所以eq\o(y,\s\up6(^))＝8.69－1.23x.6分(2)年利潤(rùn)z＝x(8.69－1.23x)－2x＝－1.23x2＋6.69x，10分所以當(dāng)x＝2.72，即年產(chǎn)量為2.72噸時(shí)，年利潤(rùn)z取得最大值.12分熱點(diǎn)題型2獨(dú)立性檢驗(yàn)題型分析：盡管全國(guó)卷Ⅰ近幾年未在該點(diǎn)命題，但其極易與分層抽樣、概率統(tǒng)計(jì)等知識(shí)交匯，是潛在的命題點(diǎn)之一，須引起足夠的重視.(2016·山西四校第二次聯(lián)考)心理學(xué)家分析發(fā)現(xiàn)視覺(jué)和空間能力與性別有關(guān)，某數(shù)學(xué)興趣小組為了驗(yàn)證這個(gè)結(jié)論，從興趣小組中按分層抽樣的方法抽取50名同學(xué)(男30，女20)，給所有同學(xué)幾何題和代數(shù)題各一題，讓各位同學(xué)自由選擇一道題進(jìn)行解答．選題情況如下表：(單位：人)幾何題代數(shù)題總計(jì)男同學(xué)22830女同學(xué)81220總計(jì)302050(1)能否據(jù)此判斷有97.5%的把握認(rèn)為視覺(jué)和空間能力與性別有關(guān)？(2)經(jīng)過(guò)多次測(cè)試后，甲每次解答一道幾何題所用的時(shí)間在5～7分鐘，乙每次解答一道幾何題所用的時(shí)間在6～8分鐘，現(xiàn)甲、乙各解同一道幾何題，求乙比甲先解答完的概率；(3)現(xiàn)從選擇做幾何題的8名女生中任意抽取2人對(duì)她們的答題情況進(jìn)行全程研究，記丙、丁2名女生被抽到的人數(shù)為X，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望E(X)．附表及公式：P(K2≥k0)0.150.100.050.0250.0100.0050.001k02.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828K2＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)，n＝a＋b＋c＋d.解題指導(dǎo)]計(jì)算keq\o(→,\s\up7(查表))下結(jié)論eq\o(→,\s\up7(幾何概型))求概率eq\o(→,\s\up7(超幾何分布))求X的分布列及E(X)．解](1)由表中數(shù)據(jù)得k＝eq\f(50×22×12－8×82,30×20×30×20)＝eq\f(50,9)≈5.556>5.024，2分所以有97.5%的把握認(rèn)為視覺(jué)和空間能力與性別有關(guān).3分(2)設(shè)甲、乙解答一道幾何題的時(shí)間分別為x，y分鐘，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(5≤x≤7，,6≤y≤8))表示的平面區(qū)域如圖所示．設(shè)事件A為“乙比甲先做完此道題”，則x>y滿(mǎn)足的區(qū)域如圖中陰影部分所示.5分由幾何概型可得P(A)＝eq\f(\f(1,2)×1×1,2×2)＝eq\f(1,8)，即乙比甲先解答完的概率為eq\f(1,8).7分(3)由題可知，在選擇做幾何題的8名女生中任意抽取2人的方法有Ceq\o\al(2,8)＝28種，其中丙、丁2人沒(méi)有一個(gè)人被抽到的有Ceq\o\al(2,6)＝15種；恰有一人被抽到的有Ceq\o\al(1,2)·Ceq\o\al(1,6)＝12種；2人都被抽到的有Ceq\o\al(2,2)＝1種．所以X的可能取值為0,1,2，P(X＝0)＝eq\f(15,28)，8分P(X＝1)＝eq\f(12,28)＝eq\f(3,7)，9分P(X＝2)＝eq\f(1,28).10分X的分布列為：X012Peq\f(15,28)eq\f(3,7)eq\f(1,28)11分E(X)＝0×eq\f(15,28)＋1×eq\f(3,7)＋2×eq\f(1,28)＝eq\f(1,2).12分求解獨(dú)立性檢驗(yàn)問(wèn)題時(shí)要注意：一是2