八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)第一單元測(cè)試題及答案一、選擇題（每小題3分，共30分）

1.下列命題：

①等腰三角形的角平分線、中線和高重合；

②等腰三角形兩腰上的高相等；

③等腰三角形的最短邊是底邊；

④等邊三角形的高、中線、角平分線都相等；

⑤等腰三角形都是銳角三角形.

其中正確的有（）

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

2.如圖，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=3，AC=4．AD平分∠BAC交BC于點(diǎn)D，則BD的長(zhǎng)為（）

A.B.C.D.

3.如圖，在△ABC中，，點(diǎn)D在AC邊上，且，則∠A的度數(shù)為（）

A.30°B.36°C.45°D.70°

4.（2015•湖北荊門中考）已知一個(gè)等腰三角形的兩邊長(zhǎng)分別是2和4，則該等腰三角形的周長(zhǎng)為（）

A.8或10B.8C.10D.6或12

5.如圖，已知，，，下列結(jié)論：

①；

②；

③；

④△≌△．

其中正確的有（）

A.1個(gè)B.2個(gè)

C.3個(gè)D.4個(gè)

6.在△ABC中，∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶3，最短邊cm，則最長(zhǎng)邊AB的長(zhǎng)是（）

A.5cmB.6cmC.cmD.8cm

7.如圖，已知，，下列條件能使△≌△的是（）

A.B.C.D.三個(gè)答案都是

8.（2015•陜西中考）如圖，在△ABC中，∠A=36°，AB＝AC，BD是△ABC的角平分線，若在邊AB上截取BE＝BC，連接DE，則圖中等腰三角形共有（）

A.2個(gè)B.3個(gè)C.4個(gè)D.5個(gè)

9.已知一個(gè)直角三角形的周長(zhǎng)是2，斜邊上的中線長(zhǎng)為2，則這個(gè)三角形的面積為（）

A.5B.2C.D.1

10.如圖，在△ABC中，AB的垂直平分線交AC于點(diǎn)D，交AB于點(diǎn)E，如果cm，那么△的周長(zhǎng)是（）

A.6cmB.7cmC.8cmD.9cm

二、填空題（每小題3分，共24分）

11.如圖所示，在等腰△ABC中，AB=AC,∠BAC=50°,∠BAC的平分線與AB的垂直平分線交于點(diǎn)O，點(diǎn)C沿EF折疊后與點(diǎn)O重合，則∠OEC的度數(shù)是.

12.若一個(gè)三角形的三條高線交點(diǎn)恰好是此三角形的一個(gè)頂點(diǎn)，則此三角形是______三角形.

13.（2015•四川樂山中考）如圖，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，DE垂直平分AB，已知∠ADE＝40°，則∠DBC＝________°.

14.如圖，在△ABC中，，AM平分∠，cm，則點(diǎn)M到AB的距離是_________.

15.如圖，在等邊△ABC中，F(xiàn)是AB的中點(diǎn)，F(xiàn)E⊥AC于E，若△ABC的邊長(zhǎng)為10，則

_________，_________.

16.(2015•江蘇連云港中考)在△ABC中，AB＝4,AC＝3，AD是△ABC的角平分線，則△ABD與△ACD的面積之比是.

17.如圖，已知的垂直平分線交于點(diǎn)，則.

18.一副三角板疊在一起如圖所示放置,最小銳角的頂點(diǎn)D恰好放在等腰直角三角板的斜邊AB上,BC與DE交于點(diǎn)M,如果∠ADF=100°,那么∠BMD為度.

三、解答題（共46分）

19.（6分）如圖，在△ABC中，，是上任意一點(diǎn)（M與A不重合），MD⊥BC，且交∠的平分線于點(diǎn)D，求證：.

20.（6分）聯(lián)想三角形外心的概念，我們可引入如下概念.

定義：到三角形的兩個(gè)頂點(diǎn)距離相等的點(diǎn)，叫做此三角形的準(zhǔn)外心.

舉例：如圖（1），若PA＝PB，則點(diǎn)P為△ABC的準(zhǔn)外心.

應(yīng)用：如圖（2），CD為等邊三角形ABC的高，準(zhǔn)外心P在高CD上，且PD＝AB，求∠APB的度數(shù).

探究：已知△ABC為直角三角形，斜邊BC＝5，AB＝3，準(zhǔn)外心P在AC邊上，試探PA

的長(zhǎng).

21.（6分）如圖所示，在四邊形中，平分∠.

求證：.

22.（6分）如圖所示，以等腰直角三角形ABC的斜邊AB為邊作等邊△ABD，連接DC，以DC為邊作等邊△DCE，B，E在C，D的同側(cè)，若，求BE的長(zhǎng).

23.（6分）如圖所示，在Rt△ABC中，，點(diǎn)D是AC的中點(diǎn)，將一塊銳角為45°的直角三角板如圖放置，使三角板斜邊的兩個(gè)端點(diǎn)分別與A，D重合，連接BE，EC．試猜想線段BE和EC的數(shù)量及位置關(guān)系，并證明你的猜想．

第24題圖

24.（8分）（2015•陜西中考）如圖，在△ABC中，AB＝AC，作AD⊥AB交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D，作AE∥BD，CE⊥AC，且AE，CE相交于點(diǎn)E.求證：AD＝CE.

25.（8分）已知：如圖，，是上一點(diǎn)，于點(diǎn)，的延長(zhǎng)線交的延長(zhǎng)線于點(diǎn).求證：△是等腰三角形．

參考答案

1.B解析：只有②④正確.

2.A解析：∵∠BAC=90°，AB=3，AC=4，

∴

∴BC邊上的高=

∵AD平分∠BAC，∴點(diǎn)D到AB，AC的距離相等，設(shè)為h，

則解得

解得故選A．

3.B解析：因?yàn)?，所?

因?yàn)椋?

又因?yàn)椋?/p>

所以，

所以所以

4.C解析：當(dāng)?shù)妊切蔚难L(zhǎng)是2，底邊長(zhǎng)是4時(shí)，等腰三角形的三邊長(zhǎng)是2，2，4，根據(jù)三角形的三邊關(guān)系，不能構(gòu)成三角形，所以不合題意，舍去；當(dāng)?shù)妊切蔚难L(zhǎng)是4，底邊長(zhǎng)是2時(shí)，等腰三角形的三邊長(zhǎng)是4，4，2，根據(jù)三角形的三邊關(guān)系，能構(gòu)成三角形，所以該三角形的周長(zhǎng)為4＋4＋2=10.

5.C解析：因?yàn)椋?/p>

所以△≌△（），

所以，

所以，

即故③正確.

又因?yàn)椋?/p>

所以△≌△（ASA），

所以，故①正確.

由△≌△，知，

又因?yàn)椋?/p>

所以△≌△，故④正確.

由于條件不足，無法證得②

故正確的結(jié)論有：①③④.

6.D解析：因?yàn)椤螦∶∠B∶∠C=1∶2∶3，

所以△ABC為直角三角形，且∠C為直角.

又因?yàn)樽疃踢卌m，則最長(zhǎng)邊cm.

7.D解析：添加A選項(xiàng)中條件可用“AAS”判定兩個(gè)三角形全等；

添加B選項(xiàng)中條件可用“SAS”判定兩個(gè)三角形全等；

添加C選項(xiàng)中條件可用“HL”判定兩個(gè)三角形全等.故選D．

8.D解析：在△ABC中，∵∠A=36°，AB=AC，

∴△ABC是等腰三角形，∠ABC=∠C=72°.

∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠CBD=36°，

∴∠A=∠ABD，∠CDB=∠A+∠ABD＝36°+36°=72°，

∴∠C＝∠CDB，∴△ABD，△CBD都是等腰三角形.

∴BC=BD.∵BE=BC，∴BD=BE，

∴△EBD是等腰三角形，

∴∠BED＝=＝72°.

在△AED中，∵∠A=36°，∠BED＝∠A+∠ADE，∴∠ADE＝∠BED-∠A＝72°-36°＝36°，∴∠ADE=∠A=36°，∴△AED是等腰三角形.

∴圖*有5個(gè)等腰三角形.

9.B解析：設(shè)此直角三角形為△ABC，其中

因?yàn)橹苯侨切涡边叺拈L(zhǎng)等于斜邊上中線長(zhǎng)的2倍，所以

又因?yàn)橹苯侨切蔚闹荛L(zhǎng)是，所以.

兩邊平方，得，即.

由勾股定理知，

所以，所以.

10.D解析：因?yàn)榇怪逼椒?，所?

所以△的周長(zhǎng)（cm）.

11.100°解析:如圖所示，由AB=AC，AO平分∠BAC，得AO所在直線是線段BC的垂直平分線，連接OB，則OB=OA=OC，

所以∠OAB=∠OBA=×50°=25°，

得∠BOA=∠COA=

∠BOC=360°-∠BOA-∠COA=100°.

所以∠OBC=∠OCB==40°.

由于EO=EC，故∠OEC=180°-2×40°=100°.

12.直角解析:直角三角形的三條高線交點(diǎn)恰好是此三

角形的一個(gè)頂點(diǎn)；銳角三角形的三條高線交點(diǎn)在此三角形的內(nèi)部；鈍角三角形的三條高線交點(diǎn)在三角形的外部.

13.15解析：在Rt△AED中，∠ADE＝40°，所以∠A＝50°.

因?yàn)锳B＝AC，所以∠ABC＝（180°－50°）÷2＝65°.

因?yàn)镈E垂直平分AB，所以DA＝DB，

所以∠DBE＝∠A＝50°.

所以∠DBC＝65°－50°＝15°.

14.20cm解析:根據(jù)角平分線的性質(zhì)：角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等可得答案.

15.1∶3解析：因?yàn)椋現(xiàn)是AB的中點(diǎn)，所以.

在Rt△中，因?yàn)?，所?

又，所.

16.4∶3解析：如圖所示，過點(diǎn)D作DM⊥AB，DN⊥AC，

垂足分別為點(diǎn)M和點(diǎn)N.

∵AD平分∠BAC，∴DM＝DN.

∵AB×DM，

AC×DN，

∴.第16題答圖

17.解析:∵∠BAC=120，AB=AC，

∴∠B=∠C=

∵AC的垂直平分線交BC于點(diǎn)D，∴AD=CD.

∴

∴

18.85解析:∵∠BDM=180°-∠ADF-∠FDE=180°-100°-30°=50°，

∴∠BMD=180°-∠BDM-∠B=180°-50°-45°=85°.

19.證明：∵，

∴∥，∴.

又∵為∠的平分線，

∴，∴，

∴.

20.解：應(yīng)用：若PB＝PC，連接PB，則∠PCB＝∠PBC.

∵CD為等邊三角形的高，∴AD＝BD，∠PCB＝30°，

∴∠PBD＝∠PBC＝30°，∴

∴

∴

與已知PD＝AB矛盾，∴PB≠PC.

若PA＝PC，連接PA，同理，可得PA≠PC.

若PA＝PB，由PD＝AB，得PD＝BD，∴∠BPD＝45°，∴∠APB＝90°.

探究：若PB＝PC，設(shè)PA＝x，則x2+32=(4-x)2，∴x＝，即PA＝.

若PA＝PC，則PA＝2.

若PA＝PB，由圖（2）知，在Rt△PAB中，這種情況不可能.故PA＝2或.

21.證明：如圖，過點(diǎn)D作DE⊥AB交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，

過點(diǎn)D作于點(diǎn)F.

因?yàn)锽D平分∠ABC，所以.

在Rt△EAD和Rt△FCD中，

所以Rt△EAD≌Rt△FCD（HL）.

所以∠=∠.

因?yàn)椤稀?0°，

所以∠.

22.解：因?yàn)椤鰽BD和△CDE都是等邊三角形，

所以，∠∠60°.

所以∠∠∠∠，

即∠∠.

在△和△中，因?yàn)?/p>

所以△≌△，所以.

又，所以.

在等腰直角△中，，故.

23.解：，BE⊥EC.

證明：∵，點(diǎn)D是AC的中點(diǎn)，∴.

∵∠∠45°，∴