圓錐曲線部分級(jí)基礎(chǔ)過(guò)關(guān)題一、橢圓部分基礎(chǔ)題1.橢圓的定義(1)平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離的和等于常數(shù)(大于|F1F2|)的點(diǎn)的軌跡叫做橢圓.這兩個(gè)定點(diǎn)叫做橢圓的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)間的距離叫做橢圓的焦距，焦距的一半稱為半焦距.(2)其數(shù)學(xué)表達(dá)式：集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a＞0，c＞0，且a，c為常數(shù)：①若a＞c，則集合P為橢圓；②若a＝c，則集合P為線段；③若a＜c，則集合P為空集.2.橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)標(biāo)準(zhǔn)方程eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝1(a>b>0)圖形性質(zhì)范圍－a≤x≤a－b≤y≤b－b≤x≤b－a≤y≤a對(duì)稱性對(duì)稱軸：坐標(biāo)軸；對(duì)稱中心：原點(diǎn)頂點(diǎn)A1(－a，0)，A2(a，0)，B1(0，－b)，B2(0，b)A1(0，－a)，A2(0，a)，B1(－b，0)，B2(b，0)軸長(zhǎng)軸A1A2的長(zhǎng)為2a；短軸B1B2的長(zhǎng)為2b焦距|F1F2|＝2c離心率e＝eq\f(c,a)∈(0，1)a，b，c的關(guān)系c2＝a2－b21.橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程1.如果橢圓x2100+y236=1上一點(diǎn)P到焦點(diǎn)F1【答案】14【解析】【分析】根據(jù)橢圓的定義PF1+PF2=2a及橢圓x2100+【詳解】解：根據(jù)橢圓的定義PF又橢圓x2100+y236=1∴6+PF2故答案：14.【點(diǎn)睛】本題主要考查橢圓的定義及簡(jiǎn)單性質(zhì)，相對(duì)簡(jiǎn)單.2.已知經(jīng)過(guò)橢圓x225+y216=1的右焦點(diǎn)F2作垂直于（1）求ΔAF（2）如果AB不垂直于x軸,ΔAF【答案】（1）20；（2）不變，理由見(jiàn)解析【解析】【分析】根據(jù)橢圓的定義ΔAF1B【詳解】（1）由橢圓的定義得：AF所以ΔAF1B（2）不變，由橢圓的定義ΔAF1B的周長(zhǎng)為AF1+A【點(diǎn)睛】本題主要考查橢圓的定義，還考查了理解辨析的能力，屬于基礎(chǔ)題.3..已知A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別是(?1,0)，(1,0)，直線AM，BM相交于點(diǎn)M，且直線AM的斜率與直線BM的斜率的商是2，點(diǎn)M的軌跡是什么？為什么？【答案】點(diǎn)M的軌跡是直線x=?3，并去掉點(diǎn)?3,0【解析】【分析】設(shè)出點(diǎn)M的坐標(biāo)，求出直線AM,BM斜率，由kAMk【詳解】設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為x,y，則kAM=y當(dāng)y≠0時(shí)，kAMkBM所以點(diǎn)M的軌跡是直線x=?3，并去掉點(diǎn)?3,0.4.曲線與曲線的A.長(zhǎng)軸長(zhǎng)相等 B.短軸長(zhǎng)相等 C.離心率相等 D.焦距相等【答案】D【解析】【分析】分別求出兩橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)、短軸長(zhǎng)、離心率、焦距，即可判斷．【詳解】解：曲線表示焦點(diǎn)在軸上，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為10，短軸長(zhǎng)為6，離心率為，焦距為8．曲線表示焦點(diǎn)在軸上，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為，短軸長(zhǎng)為，離心率為，焦距為8．對(duì)照選項(xiàng)，則正確．故選：．【點(diǎn)睛】本題考查橢圓的方程和性質(zhì)，考查運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．5.如果點(diǎn)M(x,y)在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，總滿足關(guān)系式x2+(y?3)【答案】橢圓，理由見(jiàn)解析，x【解析】【分析】由x2+【詳解】點(diǎn)M的軌跡是橢圓，由M(x,y)滿足x2動(dòng)點(diǎn)M(x,y)到定點(diǎn)(0,3),(0,?3)的距離之和為10，且10>6，所以動(dòng)點(diǎn)的軌跡為橢圓.由2a=10,2c=6可得，b2焦點(diǎn)(0,3),(0,?3)在y軸上，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：x2.橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)1.求適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：（1）焦點(diǎn)在x軸上，a=6，e=；（2）焦點(diǎn)在y軸上，c=3，e=．【答案】（1）x236【解析】【詳解】試題分析：（1）由離心率公式，求得c，再由a，b，c的關(guān)系，求得b，即可得到橢圓方程；（2）由離心率公式，求得a，再由a，b，c的關(guān)系，求得b，即可得到橢圓方程試題解析：（1）a=6，e=，即，解得c=2，b2=a2﹣c2=32，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：=1；（2）c=3，e=，即，解得，a=5，b2=a2﹣c2=25﹣9=16．則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：=1．考點(diǎn)：橢圓方程及性質(zhì)2.求適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：（1）經(jīng)過(guò)P(?3,0)，Q(0,?2)兩點(diǎn)；（2）長(zhǎng)軸長(zhǎng)等于20，離心率等于35【答案】（1）x29+y24=1【解析】【分析】（1）設(shè)出橢圓方程,根據(jù)橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)A?3,0,B0,?2,得出a=3b=2（2）由條件可得2a=20ca=35,【詳解】解:（1）設(shè)橢圓方程為:x2a2+y2A?3,0,B0,?2分別為左頂點(diǎn)和下頂點(diǎn),所以得所以橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為x2（2）橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)等于20,離心率等于3依題意:2a=20ca=35,所以所以橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為:x2100+3.比較下列每組中橢圓的形狀，哪一個(gè)更接近于圓？為什么？（1）9x2+（2）x2+9y【答案】（1）x216+【解析】【分析】探究可得離心率e越大，橢圓越扁；e越小，橢圓越圓.所以只需比較離心率的大小即可得出結(jié)果.【詳解】因?yàn)闄E圓的離心率e=c所以e越大，ba越小，橢圓越扁；e越小，ba（1）橢圓9x2+y2=36即x2因?yàn)閑2<e4.已知P是橢圓x25+y24=1上的一點(diǎn)，且以點(diǎn)P及焦點(diǎn)F【答案】152,1，?152,1【解析】【分析】設(shè)Px,y是橢圓上一點(diǎn)，由面積可得y=1，代入橢圓可得x【詳解】由橢圓方程可得F1設(shè)Px,y則S△PF1F2所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為152,1，?152,15.一動(dòng)圓與圓x2+y【答案】x2【解析】【分析】利用動(dòng)圓分別與兩圓的相外切和內(nèi)切的位置關(guān)系，可得動(dòng)圓圓心與已知兩圓圓心間的關(guān)系，再根據(jù)它們的數(shù)量關(guān)系結(jié)合圓錐曲線的定義，即可判斷軌跡為橢圓，并求出軌跡方程．【詳解】設(shè)動(dòng)圓圓心為M(x,y)，半徑為R，設(shè)圓x2+y2+6x+5=0和圓x將圓的方程分別配方得：圓O1:x+3當(dāng)動(dòng)圓M與圓O1相外切時(shí)，有O當(dāng)動(dòng)圓M與圓O2相內(nèi)切時(shí)，有O將①②兩式相加，得O1∴動(dòng)圓圓心M(x,y)到點(diǎn)O1(?3,0)和O2所以點(diǎn)M的軌跡是焦點(diǎn)為點(diǎn)O1(?3,0)、O2設(shè)該橢圓的長(zhǎng)軸為2a，短軸為2b，焦距為2c；∴2c=6,2a=12，∴c=3,a=6∴b2∴動(dòng)圓圓心軌跡方程為x2【點(diǎn)睛】本題以兩圓的位置關(guān)系為載體，考查橢圓的定義，考查軌跡方程，熟練掌握橢圓的定義是解題關(guān)鍵．1.動(dòng)點(diǎn)M(x,y)與定點(diǎn)F(4,0)的距離和M到定直線l:x=254的距離的比是常數(shù)45解：如圖，設(shè)d是點(diǎn)M到直線l:x=25根據(jù)題意，動(dòng)點(diǎn)M的軌跡就是集合P=M由此得(x?4)2將上式兩邊平方，并化簡(jiǎn)，得9x即x2所以，點(diǎn)M的軌跡是長(zhǎng)軸、短軸長(zhǎng)分別為10，6的橢圓．2.如圖，已知直線l:4x?5y+m=0和橢圓C:x225+y29=1．m為何值時(shí)，直線l與橢圓圖分析：直線l與橢圓C的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)與方程組4x?5y+m=0,解的個(gè)數(shù)相對(duì)應(yīng)．所以，我們可以通過(guò)判斷上述方程組解的情況得到問(wèn)題的解答．解：由方程組4x?5y+m=0,消去y，得25x2+8mx+方程①的根的判別式Δ=64m由Δ>0，得?25<m<25．此時(shí)方程①有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，直線l與橢圓C有兩個(gè)不同的公共點(diǎn)．由Δ=0，得m1=25，m2=?25．此時(shí)方程①有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，直線由Δ<0，得m<?25，或m>25．此時(shí)方程①?zèng)]有實(shí)數(shù)根，直線l與橢圓C沒(méi)有公共點(diǎn)．3..經(jīng)過(guò)橢圓x22+y2=1的左焦點(diǎn)F1作傾斜角為60°的直線l，直線l與橢圓相交于【答案】8【解析】【分析】求出橢圓的左焦點(diǎn)F1(?1,0)，根據(jù)點(diǎn)斜式設(shè)出AB方程，聯(lián)立直線方程與橢圓方程消去y，利用根與系數(shù)的關(guān)系和弦長(zhǎng)公式即可算出弦【詳解】∵橢圓方程為x2∴焦點(diǎn)分別為F1(?1,0)，∵直線AB過(guò)左焦點(diǎn)F1傾斜角為60°∴直線AB的方程為y=3將AB方程與橢圓方程消去y，得7設(shè)A(x1，y1)，x1+∴|因此，|AB|=1+3故答案為：8【點(diǎn)睛】本題主要考查直線和橢圓的位置關(guān)系，考查弦長(zhǎng)的計(jì)算，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平和計(jì)算能力.4.如圖，圓O的半徑為定長(zhǎng)r，A是圓O內(nèi)一個(gè)定點(diǎn)，P是圓上任意一點(diǎn)，線段AP的垂直平分線l和半徑OP相交于點(diǎn)Q，當(dāng)點(diǎn)P在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)Q的軌跡是什么？為什么？【答案】橢圓，理由見(jiàn)解析【解析】【分析】如圖，連接QA，由題得|QA|+|QO|=r，且r>|OA|,即得點(diǎn)【詳解】如圖，連接QA，則|PQ|=|QA|所以r?|OQ|=|QA|,所以|QA|+|QO|=r，且所以當(dāng)點(diǎn)P在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)Q的軌跡是橢圓.【點(diǎn)睛】本題主要考查軌跡問(wèn)題，考查橢圓的定義，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平.5.點(diǎn)Mx,y與定點(diǎn)F2,0的距離和它到定直線x=8的距離的比是1:2，求點(diǎn)【答案】x2【解析】【分析】用坐標(biāo)表示已知條件，列出方程并化簡(jiǎn)可得點(diǎn)M的軌跡方程．【詳解】設(shè)d是點(diǎn)M到直線x=8的距離，根據(jù)題意，所求軌跡就是集合P=M由此得x?22將上式兩邊平方，并化簡(jiǎn)，得3x即點(diǎn)M的軌跡方程為：x26.如圖，DP⊥x軸，垂足為D，點(diǎn)M在DP的延長(zhǎng)線上，且|DM||DP|=32，當(dāng)點(diǎn)P在圓【答案】點(diǎn)M的軌跡方程為x24+y2【解析】【分析】設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為x,y，點(diǎn)Px0,y0【詳解】設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為x,y，點(diǎn)Px0,則由題可得x=x0y=∵點(diǎn)P在圓x2∴x即點(diǎn)M的軌跡方程為x24+y297.已知橢圓x225+（1）它到直線l的距離最小？最小距離是多少？（2）它到直線l的距離最大？最大距離是多少？【答案】（1）存在點(diǎn)P?4,95到直線距離最小，最小值為154141；（2【解析】【分析】設(shè)橢圓上點(diǎn)P(5cosθ,3【詳解】設(shè)橢圓上點(diǎn)P(5cos則點(diǎn)P到直線l距離d==554（1）當(dāng)cos(θ+φ)=?1時(shí)，d此時(shí)θ+φ=π+2kπ,k∈Z，即θ=π?φ+2kπ,k∈Z，所以cosθ=cos(π?φ+2kπ)=?所以存在點(diǎn)P?4,95（2）當(dāng)cos(θ+φ)=1時(shí)，d此時(shí)θ+φ=2kπ,k∈Z，即θ=?φ+2kπ,k∈Z，所以cosθ=cos(?φ+2kπ)=所以存在點(diǎn)P4,?958.已知點(diǎn)是橢圓上一點(diǎn)，且在軸上方，分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，直線斜率為，求的面積.【答案】【解析】【分析】將橢圓的方程轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)形式，求出兩個(gè)焦點(diǎn)的坐標(biāo)，利用點(diǎn)斜式求出直線的方程，將橢圓方程與直線的方程聯(lián)立求出交點(diǎn)的坐標(biāo)，利用三角形的面積底乘高除以2求出三角形的面積．【詳解】橢圓16x2+25y2＝1600化成標(biāo)準(zhǔn)形式為．∴F1、F2是橢圓的左、右焦點(diǎn)，∴F1（﹣6，0），F(xiàn)2（6，0），設(shè)P（x，y）是橢圓上一點(diǎn)，則消去y，得19x2﹣225x+650＝0，∴x1＝5或x2．當(dāng)x2時(shí)，代入②得與③矛盾，舍去．由x＝5，得y＝4．∴△PF1F2的面積S24．【點(diǎn)睛】本題已知橢圓上一點(diǎn)與右焦點(diǎn)連線的斜率，求該點(diǎn)與橢圓兩個(gè)焦點(diǎn)構(gòu)成三角形的面積，著重考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與簡(jiǎn)單性質(zhì)、直線與橢圓位置關(guān)系等知識(shí)，屬于中檔題．9.從橢圓上一點(diǎn)向軸作垂線，垂足恰好為左焦點(diǎn)，是橢圓與軸正半軸的交點(diǎn)，是橢圓與軸正半軸的交點(diǎn)，且，，求此橢圓方程.【答案】【解析】【分析】根據(jù)橢圓方方程可確定點(diǎn)坐標(biāo)，利用可構(gòu)造方程求得，結(jié)合和橢圓的關(guān)系可構(gòu)造方程求得，進(jìn)而得到橢圓方程.【詳解】由橢圓方程可知：，，設(shè)橢圓焦點(diǎn)，又，則，，，，整理可得：，又，，，，，此橢圓的方程為：.【點(diǎn)睛】本題考查橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的求解問(wèn)題，解題關(guān)鍵是能夠根據(jù)直線平行得到斜率相等關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題.10.已知的兩個(gè)頂點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別是，且AC，BC所在直線的斜率之積等于，試探求頂點(diǎn)C的軌跡.【答案】答案見(jiàn)解析【解析】【分析】設(shè)動(dòng)點(diǎn)C的坐標(biāo)，依題列關(guān)系，再對(duì)參數(shù)進(jìn)行討論得到軌跡即可.【詳解】設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為，由已知得：直線AC的斜率，直線BC的斜率，由題意知，整理得，當(dāng)時(shí)，頂點(diǎn)C的軌跡是焦點(diǎn)在軸上的橢圓，并除去兩點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，頂點(diǎn)C的軌跡是焦點(diǎn)在軸上的橢圓，并除去兩點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，頂點(diǎn)C的軌跡是圓，并除去兩點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，頂點(diǎn)C的軌跡是焦點(diǎn)在軸上的雙曲線，并除去兩點(diǎn).【點(diǎn)睛】本題考查了圓錐曲線軌跡方程問(wèn)題，屬于中檔題.11.已知橢圓x24+（1）這組直線何時(shí)與橢圓相交？（2）當(dāng)它們與橢圓相交時(shí)，證明這些線被橢圓截得的線段的中點(diǎn)在同一條直線上．【答案】（1）縱截距在(?32，32)時(shí)【解析】【分析】（1）設(shè)出平行直線的方程：y=32x+m，代入橢圓方程，消去y，由判別式大于0（2）運(yùn)用中點(diǎn)坐標(biāo)公式和參數(shù)方程，消去m，即可得到所求的結(jié)論．【詳解】（1）設(shè)一組平行直線的方程為y=3代入橢圓方程，可得9x即為18x由判別式大于0，可得144m解得?32則這組平行直線的縱截距在(?32，3（2）證明：由（1）直線和橢圓方程聯(lián)立，可得18x即有x1代入直線方程可得截得弦的中點(diǎn)為(?13m由x=?13my=1則這些直線被橢圓截得的線段的中點(diǎn)在一條直線y=?3二、雙曲線部分基礎(chǔ)題1.雙曲線的定義(1)平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離差的絕對(duì)值等于非零常數(shù)(小于|F1F2|)的點(diǎn)的軌跡叫做雙曲線.這兩個(gè)定點(diǎn)叫雙曲線的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)間的距離叫做雙曲線的焦距.(2)其數(shù)學(xué)表達(dá)式：集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c為常數(shù)且a>0，c>0.①若a<c，則集合P為雙曲線；②若a＝c，則集合P為兩條射線；③若a>c，則集合P為空集.2.雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)標(biāo)準(zhǔn)方程eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)圖形性質(zhì)范圍x≥a或x≤－a，y∈Rx∈R，y≤－a或y≥a對(duì)稱性對(duì)稱軸：坐標(biāo)軸；對(duì)稱中心：原點(diǎn)頂點(diǎn)A1(－a，0)，A2(a，0)A1(0，－a)，A2(0，a)漸近線y＝±eq\f(b,a)xy＝±eq\f(a,b)x離心率e＝eq\f(c,a)，e∈(1，＋∞)實(shí)虛軸線段A1A2叫做雙曲線的實(shí)軸，它的長(zhǎng)度|A1A2|＝2a；線段B1B2叫做雙曲線的虛軸，它的長(zhǎng)度|B1B2|＝2b；a叫做雙曲線的實(shí)半軸長(zhǎng)，b叫做雙曲線的虛半軸長(zhǎng)a，b，c的關(guān)系c2＝a2＋b21.求適合下列條件的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程：（1）焦點(diǎn)在x軸上，，；（2）焦點(diǎn)在x軸上，經(jīng)過(guò)點(diǎn)，（3）焦點(diǎn)為，，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)．【答案】（1）；（2）；（3）【解析】【分析】（1）根據(jù)條件，代入方程，即可得答案；（2）根據(jù)焦點(diǎn)在x軸上，設(shè)雙曲線方程為，將點(diǎn)坐標(biāo)代入，聯(lián)立求解，即可得，即可得答案；（3）根據(jù)焦點(diǎn)坐標(biāo)，可得c值及焦點(diǎn)在y軸，根據(jù)雙曲線定義，可得a值，根據(jù)a，b，c的關(guān)系，可得，即可得答案.【詳解】（1）因?yàn)榻裹c(diǎn)在x軸上，設(shè)雙曲線方程為，因?yàn)?，，所以雙曲線方程為；（2）因?yàn)榻裹c(diǎn)在x軸上，設(shè)雙曲線方程為，因?yàn)榻?jīng)過(guò)點(diǎn)，，代入可得，令，可得，解得，所以，所以雙曲線方程為：；（3）因?yàn)榻裹c(diǎn)為，，所以c=6，且交點(diǎn)在y軸，因?yàn)檫^(guò)點(diǎn)且經(jīng)過(guò)點(diǎn)，根據(jù)雙曲線定義可得，解得，又，所以雙曲線方程為：；2.已知方程表示雙曲線，求m的取值范圍．【答案】【解析】【分析】根據(jù)方程表示雙曲線即可得到，解得即可；【詳解】解：因?yàn)榉匠瘫硎倦p曲線，所以，解得或，即3.雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)分別是與，焦距為8；M是雙曲線上的一點(diǎn)，且，求的值．【答案】9【解析】【分析】根據(jù)焦距，可得c值，根據(jù)a，b，c的關(guān)系，可得a值，根據(jù)雙曲線定義，分類(lèi)討論，即可求得答案.【詳解】由題意得，焦距，可得，在雙曲線中，所以，解得，根據(jù)雙曲線定義可得，所以，解得或，當(dāng)時(shí)，不滿足題意，故舍去，當(dāng)時(shí)，，滿足題意，所以4.雙曲線上的一點(diǎn)到一個(gè)焦點(diǎn)的距離等于1，那么點(diǎn)到另一個(gè)焦點(diǎn)的距離為_(kāi)________.【答案】17.【解析】【詳解】試題分析：首先將已知的雙曲線方程轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)方程，然后根據(jù)雙曲線的定義知雙曲線上的點(diǎn)到兩個(gè)焦點(diǎn)的距離之差的絕對(duì)值為，即可求出點(diǎn)到另一個(gè)焦點(diǎn)的距離為17.考點(diǎn)：雙曲線的定義.5.求適合下列條件的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程．（1）焦點(diǎn)在軸上，，經(jīng)過(guò)點(diǎn)；（2）經(jīng)過(guò)、兩點(diǎn)．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）可設(shè)雙曲線的方程為，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入雙曲線的方程，求得的值，即可得出雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)雙曲線的方程為，將點(diǎn)、的坐標(biāo)代入雙曲線方程，求出、的值，即可求得雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.【詳解】（1）因?yàn)椋译p曲線的焦點(diǎn)在軸上，可設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入雙曲線的方程得，解得，因此，雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為；（2）設(shè)雙曲線的方程為，將點(diǎn)、的坐標(biāo)代入雙曲線方程可得，解得，因此，雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.1.求符合下列條件的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程：（1）頂點(diǎn)在x軸上，兩頂點(diǎn)間的距離是8，；（2）焦點(diǎn)在y軸上，焦距是16，．【答案】（1）；（2）1．【解析】【分析】（1）利用兩頂點(diǎn)間的距離及離心率求得，從而求得雙曲線方程；（2）利用焦距和離心率求得，從而求得雙曲線方程．【詳解】解：（1）頂點(diǎn)在x軸上，兩頂點(diǎn)間的距離是8，e，則a＝4，c＝5，b＝3，∴雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為；（2）焦點(diǎn)在y軸上，焦距是16，e，則c＝8，a＝6，b2，∴雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為1．2.對(duì)稱軸都在坐標(biāo)軸上的等軸雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)是，求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程和漸近線方程．【答案】；【解析】【分析】根據(jù)焦點(diǎn)坐標(biāo)及題意，設(shè)方程為，根據(jù)焦點(diǎn)坐標(biāo)，可求得，即可得答案.【詳解】因?yàn)橐粋€(gè)焦點(diǎn)是，所以，且焦點(diǎn)在x軸，所以設(shè)等軸雙曲線方程為，所以，解得，所以雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程為，漸近線方程為.3.雙曲線的漸近線方程是，虛軸長(zhǎng)為4，求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程．【答案】或【解析】【分析】若雙曲線焦點(diǎn)在x軸，設(shè)方程為，根據(jù)題意可得，即可求得a，b的值，即可得答案；若雙曲線焦點(diǎn)在y軸，設(shè)方程，根據(jù)題意，可得，即可求得a，b的值，即可得答案.【詳解】若雙曲線焦點(diǎn)在x軸，設(shè)方程為，則漸近線方程為，所以，解得，所以雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程為：；若雙曲線焦點(diǎn)在y軸，設(shè)方程，則漸近線方程為，所以，解得，所以雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程為：；所以雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程為或4.求適合下列條件的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.（1）焦點(diǎn)在x軸上，實(shí)軸長(zhǎng)10，虛軸長(zhǎng)8.（2）焦點(diǎn)在y軸上，焦距是10，虛軸長(zhǎng)8.（3）離心率，經(jīng)過(guò)點(diǎn).【答案】（1）；（2）；（3）.【解析】【分析】（1）根據(jù)題意，得到的值，結(jié)合雙曲線焦點(diǎn)所在軸，求得雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）根據(jù)題意，得到的值，利用雙曲線中的關(guān)系，求得的值，根據(jù)雙曲線焦點(diǎn)所在軸，求得雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；（3）根據(jù)題意，得到雙曲線為等軸雙曲線，設(shè)出方程，利用點(diǎn)在曲線上，點(diǎn)的坐標(biāo)滿足曲線的方程，求得結(jié)果.【詳解】（1）根據(jù)題意，所求雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)10，虛軸長(zhǎng)8，可得，則有，又因?yàn)殡p曲線的焦點(diǎn)在x軸上，所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為：；（2）根據(jù)題意，雙曲線的焦距是10，虛軸長(zhǎng)為8，可得，則，所以，又因?yàn)殡p曲線的焦點(diǎn)在y軸上，所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為：；（3）根據(jù)題意，雙曲線的離心率，即，則有，所以，所以該雙曲線為等軸雙曲線，設(shè)其方程為，又因?yàn)殡p曲線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則有，則，所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為：.【點(diǎn)睛】該題考查的是有關(guān)雙曲線的問(wèn)題，涉及到的知識(shí)點(diǎn)有雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程的求法，屬于基礎(chǔ)題目.5.求經(jīng)過(guò)點(diǎn)，并且對(duì)稱軸都在坐標(biāo)軸上的等軸雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程．【答案】.【解析】【分析】根據(jù)等軸雙曲線可設(shè)為，點(diǎn)代入直接求解即可.【詳解】設(shè)所求的等軸雙曲線的方程為：，將代入得：，即，所以等軸雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程：6.m，n為何值時(shí)，方程表示下列曲線：（1）圓；（2）橢圓；（3）雙曲線？【答案】（1）；（2），，且；（3）【解析】【分析】（1）若方程表示圓，則，即可得答案.（2）若方程表示橢圓，則，，且，即可得答案；（3）若方程表示雙曲線，則，即可得答案.【詳解】（1）若方程表示圓，則，所以當(dāng)時(shí)，方程為圓；（2）若方程表示橢圓，則，，且，所以當(dāng)，，且時(shí)，方程為橢圓；（3）若方程表示雙曲線，則，所以當(dāng)時(shí)，方程為雙曲線.7.求與橢圓有公共焦點(diǎn)，且離心率的雙曲線的方程.【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意雙曲線方程可設(shè)為，可得關(guān)于a，b的方程組，進(jìn)而求出a，b的數(shù)值即可求出雙曲線的方程.【詳解】依題意，雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)是，，故雙曲線方程可設(shè)為，又雙曲線的離心率，∴解之得，故雙曲線的方程為.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：該題考查圓錐曲線的綜合，解題方法如下：（1）根據(jù)橢圓方程，求得橢圓的焦點(diǎn)；（2）設(shè)出雙曲線的方程，根據(jù)雙曲線的離心率，以及橢圓中的關(guān)系，列出方程組，求出a，b的值；（3）最后寫(xiě)出雙曲線的方程.8.當(dāng)m變化時(shí)，指出方程表示的曲線的形狀．【答案】，當(dāng)時(shí)，表示軸；當(dāng)時(shí)，表示軸；時(shí)，方程表示以原點(diǎn)為圓心的單位圓；或時(shí)，方程表示雙曲線；且時(shí)，方程表示橢圓；【解析】【分析】根據(jù)題意，分類(lèi)討論求解即可得答案；【詳解】解：對(duì)于方程，當(dāng)時(shí)，方程為，即，表示軸；當(dāng)時(shí)，方程為，即，表示軸；當(dāng)且時(shí)，方程為，若，即時(shí)，方程為圓，，表示以原點(diǎn)為圓心的單位圓；若，即或時(shí)，方程表示雙曲線；若且時(shí)，即且時(shí)，方程表示橢圓；綜上，當(dāng)時(shí)，表示軸；當(dāng)時(shí)，表示軸；時(shí)，方程表示以原點(diǎn)為圓心的單位圓；或時(shí)，方程表示雙曲線；且時(shí)，方程表示橢圓；9.相距1400m的A，B兩個(gè)哨所，聽(tīng)到炮彈爆炸聲的時(shí)間相差3s，已知聲速是340m/s，問(wèn)炮彈爆炸點(diǎn)在怎樣的曲線上，并求出曲線的方程．【答案】炮彈爆炸點(diǎn)在雙曲線上，方程為.【解析】【分析】在適當(dāng)位置建系，根據(jù)題意，可得，根據(jù)雙曲線定義，可得a，c，進(jìn)而可得b，即可得點(diǎn)M的方程.【詳解】以AB所在直線為x軸，AB垂直平分線為y軸，建立直角坐標(biāo)系，則，設(shè)爆炸點(diǎn)為，則，根據(jù)雙曲線的定義可得，M在雙曲線上，且，所以，所以，所以點(diǎn)M的軌跡方程為：.1.動(dòng)點(diǎn)與定點(diǎn)的距離和它到定直線的距離的比是常數(shù)，求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡．解：設(shè)d是點(diǎn)M到直線l的距離，根據(jù)題意，動(dòng)點(diǎn)M的軌跡就是點(diǎn)的集合，由此得．將上式兩邊平方，并化簡(jiǎn)，得，即．所以，點(diǎn)M的軌跡是焦點(diǎn)在x軸上，實(shí)軸長(zhǎng)為6、虛軸長(zhǎng)為的雙曲線（圖）．圖2.如圖，過(guò)雙曲線的右焦點(diǎn)，傾斜角為30°的直線交雙曲線于A，B兩點(diǎn)，求．圖解：由雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程可知，雙曲線的焦點(diǎn)分別為，．因?yàn)橹本€的傾斜角是30°，且經(jīng)過(guò)右焦點(diǎn)，所以直線的方程為．①由消去y，得．解方程，得，．將，的值分別代入①，得，于是，A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，．所以．3.已知A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別是，，直線AM，BM相交于點(diǎn)M，且它們的斜率之積是．求點(diǎn)M的軌跡方程，并判斷軌跡的形狀．【答案】點(diǎn)M的軌跡方程為，軌跡為焦點(diǎn)在軸上的雙曲線，不含左右頂點(diǎn).【解析】【分析】設(shè)，根據(jù)斜率之積是即可得出方程，判定形狀.【詳解】設(shè)，因?yàn)?，所以，整理得，故點(diǎn)M的軌跡方程為，軌跡為焦點(diǎn)在軸上的雙曲線，不含左右頂點(diǎn).4.直線與雙曲線相交于A，B兩點(diǎn)，且A，B兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)之積為，求離心率e．【答案】.【解析】【分析】聯(lián)立，設(shè)，，由得.進(jìn)而可得離心率.【詳解】聯(lián)立，得，設(shè)，，則，解得.所以，離心率.5.如圖，圓O的半徑為定長(zhǎng)r，A是圓O外一個(gè)定點(diǎn)，P是圓O上任意一點(diǎn)．線段AP的垂直平分線l與直線OP相交于點(diǎn)Q，當(dāng)點(diǎn)P在圓O上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)Q的軌跡是什么？為什么？【答案】點(diǎn)Q的軌跡是以O(shè)，A為焦點(diǎn)，r為實(shí)軸的雙曲線，證明見(jiàn)解析.【解析】【分析】連接QA，由題意可得，所以，根據(jù)雙曲線的定義，即可得答案.【詳解】連接QA，如圖所示：因?yàn)閘為PA的垂直平分線，所以，所以為定值，又因?yàn)辄c(diǎn)A在圓外，所以，根據(jù)雙曲線定義，點(diǎn)Q的軌跡是以O(shè)，A為焦點(diǎn)，r為實(shí)軸的雙曲線.6.設(shè)動(dòng)點(diǎn)M與定點(diǎn)的距離和M到定直線的距離的比是，求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程，并說(shuō)明軌跡的形狀．【答案】動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程為，為焦點(diǎn)在x軸，長(zhǎng)軸為2a，短軸為2b的橢圓.【解析】【分析】設(shè)動(dòng)點(diǎn)，設(shè)d為點(diǎn)M到直線l的距離，根據(jù)題意可得，化簡(jiǎn)整理，令，即可得動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程，即可得答案.【詳解】設(shè)動(dòng)點(diǎn)，設(shè)d為點(diǎn)M到直線l的距離，由題意得，即，左右同時(shí)平方，化簡(jiǎn)可得，所以，令，所以，即，所以動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程為，為焦點(diǎn)在x軸，長(zhǎng)軸為2a，短軸為2b的橢圓.7.M是一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，MA與直線垂直，垂足A位于第一象限，MB與直線垂直，垂足B位于第四象限．若四邊形OAMB（O為原點(diǎn)）的面積為3，求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程．【答案】.【解析】【分析】首先利用點(diǎn)到直線的距離求，，利用面積為3，列式求軌跡方程.【詳解】設(shè)，根據(jù)題意可知點(diǎn)在和相交的右側(cè)區(qū)域，所以點(diǎn)到直線的距離，到直線的距離，即所以動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程：.8.從橢圓上一點(diǎn)向軸作垂線，垂足恰好為左焦點(diǎn)，是橢圓與軸正半軸的交點(diǎn)，是橢圓與軸正半軸的交點(diǎn)，且，，求此橢圓方程.【答案】【解析】【分析】根據(jù)橢圓方方程可確定點(diǎn)坐標(biāo)，利用可構(gòu)造方程求得，結(jié)合和橢圓的關(guān)系可構(gòu)造方程求得，進(jìn)而得到橢圓方程.【詳解】由橢圓方程可知：，，設(shè)橢圓焦點(diǎn)，又，則，，，，整理可得：，又，，，，，此橢圓的方程為：.【點(diǎn)睛】本題考查橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的求解問(wèn)題，解題關(guān)鍵是能夠根據(jù)直線平行得到斜率相等關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題.9.設(shè)橢圓與雙曲線的離心率分別為，，雙曲線的漸近線的斜率小于，求和的取值范圍．【答案】，【解析】【分析】根據(jù)題意，可得范圍，進(jìn)而可得的范圍，根據(jù)橢圓、雙曲線離心率的公式，化簡(jiǎn)整理，即可得答案.【詳解】設(shè)橢圓和雙曲線的焦半徑分別為，由題意得雙曲線的漸近線方程為，所以，則，所以，10.已知雙曲線，過(guò)點(diǎn)的直線l與雙曲線相交于A，B兩點(diǎn)，P能否是線段AB的中點(diǎn)？為什么？【答案】不能，證明見(jiàn)解析.【解析】【分析】當(dāng)直線l垂直x軸時(shí)，可得直線l方程，經(jīng)檢驗(yàn)不符合題意；當(dāng)直線l不垂直x軸時(shí)，設(shè)，利用點(diǎn)差法，假設(shè)點(diǎn)為線段AB的中點(diǎn)，可得直線l的斜率，進(jìn)而可得直線l的方程，與雙曲線聯(lián)立，判別式，方程無(wú)解，l不存在，綜合即可得答案.【詳解】當(dāng)直線l垂直x軸時(shí)，因?yàn)檫^(guò)點(diǎn)，所以直線l方程為x=1，又雙曲線，右頂點(diǎn)為（1,0）在直線l上所以直線l與雙曲線只有一個(gè)交點(diǎn)，不滿足題意；當(dāng)直線l不垂直x軸時(shí)，斜率存在，設(shè)，且，因?yàn)锳、B在雙曲線上，所以，兩式相減可得，所以，若點(diǎn)為線段AB的中點(diǎn)，則，即，代入上式，所以，則直線l的斜率，所以直線l的方程為，即，將直線l與雙曲線聯(lián)立，可得，，故方程無(wú)解所以不存在這樣的直線l，綜上，點(diǎn)P不能是線段AB的中點(diǎn).11.已知雙曲線與直線有唯一的公共點(diǎn)M，過(guò)點(diǎn)M且與l垂直的直線分別交x軸、y軸于，兩點(diǎn)．當(dāng)點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)時(shí)，求點(diǎn)的軌跡方程，并說(shuō)明軌跡是什么曲線．如果推廣到一般雙曲線，能得到什么相應(yīng)的結(jié)論？【答案】答案見(jiàn)解析【解析】【分析】聯(lián)立直線與雙曲線方程，利用可得，求得點(diǎn)坐標(biāo)，得出過(guò)點(diǎn)M且與l垂直的直線方程，即可表示出點(diǎn)，得出軌跡方程.【詳解】聯(lián)立方程可得，因?yàn)橛形ㄒ还颤c(diǎn)且，則，整理得，可解得點(diǎn)坐標(biāo)為，即，其中，于是，過(guò)點(diǎn)M且與l垂直的直線為，可得，即，則，即，其中，所以點(diǎn)的軌跡方程是（），軌跡是焦點(diǎn)在軸上，實(shí)軸長(zhǎng)為20，虛軸長(zhǎng)為10的雙曲線（去掉兩個(gè)頂點(diǎn)），如果將此題推廣到一般雙曲線，直線，其它條件不變，可得點(diǎn)的軌跡方程是，軌跡是焦點(diǎn)在軸上，實(shí)軸長(zhǎng)為，虛軸長(zhǎng)為的雙曲線（去掉兩個(gè)頂點(diǎn)）.三、拋物線部分的基礎(chǔ)題1.拋物線的定義(1)平面內(nèi)與一個(gè)定點(diǎn)F和一條定直線l(l不經(jīng)過(guò)點(diǎn)FF叫做拋物線的焦點(diǎn)，直線l叫做拋物線的準(zhǔn)線.(2)其數(shù)學(xué)表達(dá)式：{M||MF|＝d}(d為點(diǎn)M到準(zhǔn)線l的距離).2.拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì)圖形標(biāo)準(zhǔn)方程y2＝2px(p>0)y2＝－2px(p>0)x2＝2py(p>0)x2＝－2py(p>0)p的幾何意義：焦點(diǎn)F到準(zhǔn)線l的距離性質(zhì)頂點(diǎn)O(0，0)對(duì)稱軸y＝0x＝0焦點(diǎn)Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0))Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(p,2)，0))Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(p,2)))Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(p,2)))離心率e＝1準(zhǔn)線方程x＝－eq\f(p,2)x＝eq\f(p,2)y＝－eq\f(p,2)y＝eq\f(p,2)范圍x≥0，y∈Rx≤0，y∈Ry≥0，x∈Ry≤0，x∈R開(kāi)口方向向右向左向上向下1.根據(jù)下列條件寫(xiě)出拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程：（1）焦點(diǎn)是；（2）準(zhǔn)線方程是；（3）焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離是．【答案】（1）；（2）；（3）或.【解析】【分析】（1）根據(jù)拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)可寫(xiě)出拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）根據(jù)拋物線的準(zhǔn)線方程可寫(xiě)出拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；（3）根據(jù)拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離可寫(xiě)出拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程.【詳解】（1）由題意可知拋物線的焦點(diǎn)在軸的正半軸上，設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，則，可得，所以，拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為；（2）由題意可知拋物線的焦點(diǎn)在軸的正半軸上，設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，則，可得，因此，拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為；（3）拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為，所以，拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為或.2.填空（1）拋物線上一點(diǎn)M與焦點(diǎn)的距離是，則點(diǎn)M到準(zhǔn)線的距離是________，點(diǎn)M的橫坐標(biāo)是________；（2）拋物線上與焦點(diǎn)的距離等于9的點(diǎn)的坐標(biāo)是________．【答案】①.a②.③.或【解析】【分析】(1)根據(jù)拋物線的定義可得點(diǎn)M到準(zhǔn)線的距離，寫(xiě)出準(zhǔn)線方程即可得解；(2)寫(xiě)出拋物線的準(zhǔn)線方程，設(shè)出所求點(diǎn)的坐標(biāo)，列式即可作答.【詳解】(1)由已知結(jié)合拋物線定義得點(diǎn)M到準(zhǔn)線的距離是a；拋物線的準(zhǔn)線方程為，設(shè)的橫坐標(biāo)，于是有，即，所以點(diǎn)M到準(zhǔn)線的距離是a；點(diǎn)M的橫坐標(biāo)是；(2)拋物線的準(zhǔn)線，設(shè)所求點(diǎn)坐標(biāo)為，由(1)知，此時(shí)，即，所以所求點(diǎn)坐標(biāo)這或.故答案為：(1)a；；(2)或3.填空題（1）準(zhǔn)線方程為的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是________．（2）拋物線上與焦點(diǎn)的距離等于6的點(diǎn)的坐標(biāo)是________．【答案】①.②.【解析】【分析】（1）利用拋物線的性質(zhì)得，得，從而求得拋物線方程.（2）利用焦半徑公式求得該點(diǎn)坐標(biāo).【詳解】解：（1）準(zhǔn)線方程為，則，得，且焦點(diǎn)在軸上，故拋物線方程為；（2）設(shè)所求的點(diǎn)坐標(biāo)為，拋物線上與焦點(diǎn)的距離等于6，則，得，代入拋物線方程得，故所求點(diǎn)坐標(biāo)為.1.求適合下列條件的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程：（1）關(guān)于x軸對(duì)稱，并且經(jīng)過(guò)點(diǎn)；（2）關(guān)于y軸對(duì)稱，準(zhǔn)線經(jīng)過(guò)點(diǎn)；（3）準(zhǔn)線在y軸的右側(cè)，頂點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離是4；（4）焦點(diǎn)F在y軸負(fù)半軸上，經(jīng)過(guò)橫坐標(biāo)為16的點(diǎn)P，且FP平行于準(zhǔn)線．【答案】(1).(2).(3).(4).【解析】【分析】(1)設(shè)出拋物線方程代入點(diǎn)的坐標(biāo)即可求得拋物線方程.(2)先求得準(zhǔn)線方程，利用準(zhǔn)線方程求得的值，求得拋物線方程.(3)利用拋物線的幾何性質(zhì)求得，求得拋物線方程.(4)利用焦半徑公式及拋物線的幾何性質(zhì)求解即可.【詳解】(1)由題可設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為,.∵拋物線過(guò)點(diǎn)M(5,4),∴，則拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.(2)∵拋物線關(guān)于y軸對(duì)稱,且準(zhǔn)線過(guò)點(diǎn)E(5,5),∴拋物線的焦點(diǎn)在y軸正半軸上,設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，由題知，拋物線的準(zhǔn)線方程為,所以，得，拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.(3)拋物線的準(zhǔn)線在y軸右側(cè)，∴可設(shè)拋物線的方程為,∵拋物線頂點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離是4,所以，得，∴拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.(4)拋物線的焦點(diǎn)F在y軸負(fù)半軸，∴可設(shè)拋物線的方程為,∵拋物線經(jīng)過(guò)橫坐標(biāo)為16的點(diǎn),∴又FP平行于準(zhǔn)線，∴∴∴拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.2.過(guò)點(diǎn)作斜率為1的直線l，交拋物線于A，B兩點(diǎn)，求AB．【答案】【解析】【分析】直線方程與拋物線方程聯(lián)立，結(jié)合韋達(dá)定理，利用弦長(zhǎng)公式，計(jì)算求值.【詳解】直線與拋物線方程聯(lián)立，得，，設(shè)，得，，所以.3.垂直于x軸的直線交拋物線于A，B兩點(diǎn)，且，求直線AB的方程．【答案】x＝3【解析】【分析】先根據(jù)弦長(zhǎng)求得A，B的坐標(biāo)，代入拋物線方程可得．【詳解】解：∵垂直于x軸的直線交拋物線y2＝4x于A、B兩點(diǎn)，且|AB|＝4，∴A（x，2），B（x，），代入拋物線方程可得：12＝4x，x＝3∴直線AB的方程為x＝3.4.已知拋物線上一點(diǎn)M與焦點(diǎn)F的距離，求點(diǎn)M的坐標(biāo).【答案】【解析】【分析】利用拋物線的定義可M點(diǎn)的橫坐標(biāo)，代入拋物線方程求出M的坐標(biāo)，再利用斜率公式求解即可.【詳解】因?yàn)閽佄锞€上一點(diǎn)M與焦點(diǎn)F的距離，所以，所以，進(jìn)而有，所以點(diǎn)M的坐標(biāo)為：當(dāng)點(diǎn)M的坐標(biāo)為時(shí)，直線MF的斜率為當(dāng)點(diǎn)M的坐標(biāo)為時(shí)，直線MF的斜率為綜上可知直線線MF的斜率為或.故答案為：或5.從拋物線上各點(diǎn)向x軸作垂線段，求垂線段的中點(diǎn)的軌跡方程，并說(shuō)明它是什么曲線.【答案】；頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)為，開(kāi)口向右的拋物線.【解析】【分析】設(shè)出拋物線上的點(diǎn)M(x0，y0)及它向x軸所作垂線段的中點(diǎn)P的坐標(biāo)，再探求出它們的關(guān)系即可作答.【詳解】設(shè)拋物線上的點(diǎn)M(x0，y0)，過(guò)M作MQ⊥x軸于Q，設(shè)線段MQ中點(diǎn)P(x，y)，于是有，而，即，從而得，當(dāng)M為拋物線頂點(diǎn)時(shí)，可視為過(guò)M作x軸垂線的垂足Q與點(diǎn)M重合，其中點(diǎn)P與M重合，坐標(biāo)也滿足上述方程，所以垂線段的中點(diǎn)的軌跡方程是，它是頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)為，開(kāi)口向右的拋物線.6.正三角形的一個(gè)頂點(diǎn)位于坐標(biāo)原點(diǎn)，另外兩個(gè)頂點(diǎn)在拋物線()上，求這個(gè)正三角形的邊長(zhǎng).【答案】【解析】【分析】設(shè)另外兩個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為、，由圖形的對(duì)稱性可以得到，解此方程得到的值，從而可得結(jié)果.【詳解】設(shè)正三角形的頂點(diǎn)、在拋物線上，且設(shè)點(diǎn)、，則，，又，∴，即，∴，又∵，，，∴，由此可得，即線段關(guān)于軸對(duì)稱，∵軸垂直于，且，∴，∵，∴，∴.7.已知拋物線的方程為，直線l繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，討論直線l與拋物線的公共點(diǎn)個(gè)數(shù)，并回答下列問(wèn)題：（1）畫(huà)出圖形表示直線l與拋物線的各種位置關(guān)系，從圖中你發(fā)現(xiàn)直線l與拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)是什么情況？（2）與直線l的方程組成的方程組解的個(gè)數(shù)與公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)是什么關(guān)系？【答案】(1)相切或相交于一點(diǎn)；(2)相等.【解析】【分析】(1)在同一坐標(biāo)系下，作出拋物線，再作過(guò)點(diǎn)P的一系列直線，觀察所畫(huà)圖形即可得解；(2)聯(lián)立直線l與拋物線的方程組，討論方程組解的情況與觀察圖形所得交點(diǎn)個(gè)數(shù)比對(duì)即可得解.【詳解】(1)直線l與拋物線的位置關(guān)系有相交、相切、相離三種，如圖：其中相交時(shí)有相交于兩個(gè)公共點(diǎn)和相交只有一個(gè)公共點(diǎn)(圖中直線l0)，觀察圖形知，直線l與拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，直線l與拋物線相切(圖中直線l1，l2)和相交于一個(gè)公共點(diǎn)(圖中直線l0與x軸平行)；(2)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)直線l的斜率為k，方程為，即，由消去x得：，k=0時(shí)，y=1，，方程組只有一個(gè)解，由圖知直線l與拋物線相交，只有一個(gè)公共點(diǎn)，直線l的斜率為0；時(shí)，，或時(shí)，方程組有兩個(gè)相同的實(shí)數(shù)解，由圖知直線l與拋物線相切，只有一個(gè)公共點(diǎn)，直線l的斜率分別為；時(shí)，方程組有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，由圖知直線l與拋物線交于兩點(diǎn)，直線l的斜率；時(shí)，方程組沒(méi)有實(shí)數(shù)解，由圖知直線l與拋物線相離，沒(méi)有公共點(diǎn)，直線l的斜率；直線l的斜率不存在時(shí)，l的方程為x=2，顯然方程組沒(méi)有實(shí)數(shù)解，由圖知直線l與拋物線相離，沒(méi)有公共點(diǎn)，直線l的斜率不存在，所以拋物線與直線l的方程組成的方程組解的個(gè)數(shù)與拋物線與直線l公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)相等.1.經(jīng)過(guò)拋物線焦點(diǎn)F的直線交拋物線于A，B兩點(diǎn)，經(jīng)過(guò)點(diǎn)A和拋物線頂點(diǎn)的直線交拋物線的準(zhǔn)線于點(diǎn)D，求證：直線平行于拋物線的對(duì)稱軸．分析：我們用坐標(biāo)法證明這個(gè)結(jié)論，即通過(guò)建立拋物線及直線的方程，運(yùn)用方程研究直線與拋物線對(duì)稱軸之間的位置關(guān)系．建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，只要證明點(diǎn)D的縱坐標(biāo)與點(diǎn)B的縱坐標(biāo)相等即可．圖證明：如圖，以拋物線的對(duì)稱軸為x軸，拋物線的頂點(diǎn)為原點(diǎn)，建立平面直角坐標(biāo)系．設(shè)拋物線的方程為，①點(diǎn)A的坐標(biāo)為，則直線的方程為，②拋物線的準(zhǔn)線方程是．③聯(lián)立②③，可得點(diǎn)D的縱坐標(biāo)為．因?yàn)榻裹c(diǎn)F的坐標(biāo)是，當(dāng)時(shí)，直線的方程為．④聯(lián)立①④，消去x，可得，即，可得點(diǎn)B的縱坐標(biāo)為，與點(diǎn)D的縱坐標(biāo)相等，于是平行于x軸．當(dāng)時(shí)，易知結(jié)論成立．所以，直線平行于拋物線的對(duì)稱軸．2.如圖，已知定點(diǎn)，軸于點(diǎn)C，M是線段上任意一點(diǎn)，軸于點(diǎn)D，D，于點(diǎn)E，與相交于點(diǎn)P，求點(diǎn)P的軌跡方程．圖336解：設(shè)點(diǎn)，，其中，則點(diǎn)E的坐標(biāo)為．由題意，直線的方程為．①因?yàn)辄c(diǎn)M在上，將點(diǎn)M的坐標(biāo)代入①，得，②所以點(diǎn)P的橫坐標(biāo)x滿足②．直線的方程為；③因?yàn)辄c(diǎn)P在上，所以點(diǎn)P的坐標(biāo)滿足③．將②代入③，消去m，得，即點(diǎn)P的軌跡方程．3..點(diǎn)在拋物線上，F(xiàn)為焦點(diǎn)，直線MF與準(zhǔn)線相交于點(diǎn)N，求．【答案】15【解析】【分析】先求出點(diǎn)M坐標(biāo)，再求出直線MF方程，進(jìn)而求出點(diǎn)N坐標(biāo)即可得解.【詳解】因點(diǎn)在拋物線上，則，即，而焦點(diǎn)，直線MF：