Chapter4變換域系統(tǒng)羅新龍北京郵電大學信息工程學院101#,100876DSP:DigitalSignalProcessing1頁北京郵電大學信息工程學院:羅新龍OverviewFrequencyResponse(FR)TransformFunction(TF)PhaseDelayandGroupDelayDSP:DigitalSignalProcessing2頁北京郵電大學信息工程學院:羅新龍LSI系統(tǒng)的不同描述對于一個線性移不變離散時間系統(tǒng),我們有如下的四種描述.頻率響應傳遞函數差分方程卷積關系y(n)=x(n)*h(n)DSP:DigitalSignalProcessing3頁北京郵電大學信息工程學院:羅新龍頻率響應(FR)傅立葉分析把所有信號表示成正弦信號的和,如正弦函數是LSI系統(tǒng)的特征函數.正弦函數的尺度變換描述了系統(tǒng)的本質特性---FrequencyResponse.DSP:DigitalSignalProcessing4頁北京郵電大學信息工程學院:羅新龍正弦函數作為特征函數IR的h(n)完全描述了LSI系統(tǒng)輸入正弦信號DSP:DigitalSignalProcessing5頁北京郵電大學信息工程學院:羅新龍系統(tǒng)的頻率響應H(ej

)如果輸入x(n)是單位正弦信號,則脈沖響應為h(n)的系統(tǒng)輸出的信號是原信號的|H(ej

)|,相位偏移arg{H(ej

)}=

(

).|H(ej

)|為幅頻響應增益arg{H(ej

)}為相頻響應相偏移DSP:DigitalSignalProcessing6頁北京郵電大學信息工程學院:羅新龍實正弦信號實際應用的信號都是實數,如DSP:DigitalSignalProcessing7頁北京郵電大學信息工程學院:羅新龍實正弦信號頻率為

0的實正弦信號通過脈沖響應為h(n)的LSI系統(tǒng),它的增益

相偏移

為(0)DSP:DigitalSignalProcessing8頁北京郵電大學信息工程學院:羅新龍系統(tǒng)的暫態(tài)/穩(wěn)態(tài)大部分信號從一個有限時間開始,如DSP:DigitalSignalProcessing9頁北京郵電大學信息工程學院:羅新龍系統(tǒng)的暫態(tài)/穩(wěn)態(tài)暫態(tài)是脈沖響應h(n)傅立葉變換的尾部.對于FIR系統(tǒng)當n

N時h(n)=0,此時暫態(tài)也為0.

對于任意穩(wěn)定的IR系統(tǒng),當n

很大時,暫態(tài)趨于零.DSP:DigitalSignalProcessing10頁北京郵電大學信息工程學院:羅新龍FRExample

MA濾波器

DSP:DigitalSignalProcessing11頁北京郵電大學信息工程學院:羅新龍FRExampleDSP:DigitalSignalProcessing12頁北京郵電大學信息工程學院:羅新龍FRExampleMA濾波器輸入

0=0.1

H(ej

0)~4/5ej

0

1=0.5

H(ej

1)~-1/5ej

1輸出DSP:DigitalSignalProcessing13頁北京郵電大學信息工程學院:羅新龍LSI系統(tǒng)的傳遞函數對LSI系統(tǒng)的差分方程(LCCDE)兩邊取Z變換得:由Z變換的卷積性質得

Z[y(n)]=Z[x(n)*h(n)]=X(z)H(z)DSP:DigitalSignalProcessing14頁北京郵電大學信息工程學院:羅新龍LSI系統(tǒng)的傳遞函數傳遞函數為系統(tǒng)的輸出與輸入之比:DSP:DigitalSignalProcessing15頁北京郵電大學信息工程學院:羅新龍FIR系統(tǒng)的傳遞函數如果LSI系統(tǒng)的傳遞函數H(z)中,a(k)=0,k=1,2,…,N,并令b(0)=1,則傳遞函數為:

H(z)=1+b(1)z-1+…+b(M)z-M

對應的差分方程為:

y(n)=x(n)+b(1)x(n-1)+…+b(M)x(n-M)對應的單位抽樣響應為:

h(n)=b(0)(n)+b(1)(n-1)+…+b(M)(n-M)DSP:DigitalSignalProcessing16頁北京郵電大學信息工程學院:羅新龍有理多項式的Z變換考慮有理多項式:為了與Z變換一致,我們以z-1

作為變量重新整理了多項式.DSP:DigitalSignalProcessing17頁北京郵電大學信息工程學院:羅新龍有理多項式Z變換的因式分解可以對有理多項式H(z)作因式分解:{zk}為分子多項式的根

H(z)=0,即{zk}為H(z)的零點.{pk}為分母多項式的根

H(z)=,即{pk}為H(z)的極點.

DSP:DigitalSignalProcessing18頁北京郵電大學信息工程學院:羅新龍零點和極點圖可以把零點和極點畫在同一個復-z平面圖中.DSP:DigitalSignalProcessing19頁北京郵電大學信息工程學院:羅新龍IIR系統(tǒng)的穩(wěn)定性如果a(k),k=1,2,…,N不全為零,輸入端包含輸出端的反饋,則單位沖激響應h(n)將無限長,記為IIR系統(tǒng).一個LSI系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是它的所有極點都位于單位圓內.Proof:我們先假設有理多項式H(z)的極點是單極點,那么它可以分解為DSP:DigitalSignalProcessing20頁北京郵電大學信息工程學院:羅新龍LSI系統(tǒng)穩(wěn)定性的判據每個因式ck

z/(z-pk)對應一個時域序列,因此H(z)對應的時域序列為由于系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件為

因此為了上式級數有限必須且只需公比|pk|<1.DSP:DigitalSignalProcessing21頁北京郵電大學信息工程學院:羅新龍LSI系統(tǒng)穩(wěn)定性的判據如果有理多項式含有多重極點,不妨假設有兩重極點p,則:

H(z)的分解式中含有分式z/(z-p)2,因此:H(z)的時域序列h(n)中包含級數,而這個序列當|p|<1時收斂.因此當LSI系統(tǒng)含有多重極點時,它只要位于單位圓內,則也穩(wěn)定.h(n)序列的級數求和等價于它的Z變換為z=1時的情形.DSP:DigitalSignalProcessing22頁北京郵電大學信息工程學院:羅新龍TFExampley(n)=x(n)–1.2x(n-1)+x(n-3)+1.3y(n-1)-1.04y(n-2)-0.222y(n-3)

分解

0=0.6+j0.8,0=0.3,1=0.5+j0.7.DSP:DigitalSignalProcessing23頁北京郵電大學信息工程學院:羅新龍TFExample極點為

i

ROC因果序列ROC:|z|>max{|

i|}

包含單位圓穩(wěn)定DSP:DigitalSignalProcessing24頁北京郵電大學信息工程學院:羅新龍有理多項式Z變換的頻率響應LSI系統(tǒng)的頻率響應關系式:傳遞函數的關系式:只要在傳遞函數中令z=ej

就可以得到系統(tǒng)的頻率響應.DSP:DigitalSignalProcessing25頁北京郵電大學信息工程學院:羅新龍有理多項式Z變換的頻率響應由傳遞函數得到系統(tǒng)的頻率響應:由于|z|=1,因此當取不同的值時,ej

在單位圓上變化,可以得到模與幅角都在變化的向量:ej

-zr

,ej

-pk.DSP:DigitalSignalProcessing26頁北京郵電大學信息工程學院:羅新龍LSI系統(tǒng)的幅頻響應和相頻響應復數的運算法則:

z=z1

·z2|z|=|z1|·|z2|,=1+2.z=z1

/z2

|z|=|z1|/|z2|,=1-2.LSI系統(tǒng)的幅頻響應:LSI系統(tǒng)的相頻響應:DSP:DigitalSignalProcessing27頁北京郵電大學信息工程學院:羅新龍LSI系統(tǒng)的頻率響應舉例例:一個LSI系統(tǒng)的差分方程為

y(n)=x(n)–4x(n–1)+4x(n–2)大致分析一下該系統(tǒng)的幅頻和相頻響應.解:容易求得系統(tǒng)的傳遞函數為

H(z)=1–4z-1+4z-2=(z–2)2/z2.這個系統(tǒng)是FIR系統(tǒng),它在z=2處有兩重零點,在原點處有兩重極點.令z=ej

則

H(ej

)=(ej

–2)2/(ej

)2DSP:DigitalSignalProcessing28頁北京郵電大學信息工程學院:羅新龍LSI系統(tǒng)的頻率響應舉例幅頻響應:|H(ej

)|=|ej

–2|2/|ej

|2=(cos

–2)2+sin2

=5–4cos

|H(ej

)|的周期為2,當0<時,它是一個單調增函數,當<2時,它是一個單調減函數,當=取得最大值9,當=0時,取得最小值1.DSP:DigitalSignalProcessing29頁北京郵電大學信息工程學院:羅新龍幅頻曲線圖DSP:DigitalSignalProcessing30頁北京郵電大學信息工程學院:羅新龍相頻響應相頻響應:(z–2)=(cos

–2)+jsin=rej

即rcos=cos

–2rsin=sin=+arctg(sin/(cos

–2))相位為:()=2–2

=2+2arctg(sin/(cos

–2))–

2.DSP:DigitalSignalProcessing31頁北京郵電大學信息工程學院:羅新龍相頻響應圖DSP:DigitalSignalProcessing32頁北京郵電大學信息工程學院:羅新龍UnwrapPhaseResponseMatlab的子程序為:unwrap(p)DSP:DigitalSignalProcessing33頁北京郵電大學信息工程學院:羅新龍IIR系統(tǒng)的信號流圖與結構IIR系統(tǒng)的信號流圖:

y(n)+

1kN

a(k)y(n-k)=

0rMb(r)x(n-r),b(0)=1用表示單位延遲,用表示乘法器,表示加法器.

Z-1b(i)DSP:DigitalSignalProcessing34頁北京郵電大學信息工程學院:羅新龍濾波Idea:構造H(ej

)分離有用信息.e.g.x(n)=Acos(

1n)+Bcos(

2n),

第一部分我們感興趣,第二部分我們不感興趣.構造濾波器:|H(ej

1)|~1|H(ej

2)|~0那么y(n)=h(n)*x(n)Acos(1n+(1))DSP:DigitalSignalProcessing35頁北京郵電大學信息工程學院:羅新龍FilteringExample3點FIR濾波器h(n)={}混合頻率1=0.1rad/samp

和2=0.4rad/samp,濾去1,即H(ej1)=0.

H(ej

)=

nh(n)e-jn=

+e-j

+e-j2

=e-j

(+(ej

+e-j

))=e-j

(+2cos())

|H(ej

)|=|+2cos()|,

=0.4時,|H(ej

)|=1,

=0.1時,|H(ej

)|=0=13.76,=-6.76.DSP:DigitalSignalProcessing36頁北京郵電大學信息工程學院:羅新龍FilteringExampleFilterIR頻率響應Input/OutputDSP:DigitalSignalProcessing37頁北京郵電大學信息工程學院:羅新龍相延遲和群延遲對于正弦輸入x(n)=cos(

0n),y(n)=|H(ej

0)|cos(

0n+(0)),|H(ej

0)|為增益,(0)為時偏移或者相偏移.i.e.or,此處稱為相延遲.DSP:DigitalSignalProcessing38頁北京郵電大學信息工程學院:羅新龍PhaseDelayExample對于三點濾波器

H(ej

)=e-j

(+2cos())

()=-

()=-(()/)=1即對于所有頻率有一個采樣點的延遲.DSP:DigitalSignalProcessing39頁北京郵電大學信息工程學院:羅新龍群延遲考慮調制載波x(n)=A(n)cos(

cn),A(n)=Acos(

mn),并且

m<<

c包絡的延遲和載波的延遲可能不同.DSP:DigitalSignalProcessing40頁北京郵電大學信息工程學院:羅新龍GroupDelay因此x(n)=Acos(

mn)cos(

cn)=A/2[cos(

m-

c)n+cos(

m+c)n]從而y(n)=h(n)*x(n)=A/2[H(ej(

m-

c))cos(

m-

c)n+H(ej(

m+

c))cos(

m+

c