五年（2019-2023）年高考真題分項(xiàng)匯編專題08計(jì)數(shù)原理、概率及統(tǒng)計(jì)考點(diǎn)一眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)1．【多選】（2023?新高考Ⅰ）有一組樣本數(shù)據(jù)，，，，其中是最小值，是最大值，則A．，，，的平均數(shù)等于，，，的平均數(shù) B．，，，的中位數(shù)等于，，，的中位數(shù) C．，，，的標(biāo)準(zhǔn)差不小于，，，的標(biāo)準(zhǔn)差 D．，，，的極差不大于，，，的極差2．（2023?上海）現(xiàn)有某地一年四個(gè)季度的（億元），第一季度為232（億元），第四季度為241（億元），四個(gè)季度的逐季度增長(zhǎng)，且中位數(shù)與平均數(shù)相同，則該地一年的為．3．（2020?上海）已知有四個(gè)數(shù)1，2，，，這四個(gè)數(shù)的中位數(shù)是3，平均數(shù)是4，則．考點(diǎn)二極差、方差與標(biāo)準(zhǔn)差4．【多選】（2021?新高考Ⅱ）下列統(tǒng)計(jì)量中，能度量樣本，，，的離散程度的有A．樣本，，，的標(biāo)準(zhǔn)差 B．樣本，，，的中位數(shù) C．樣本，，，的極差 D．樣本，，，的平均數(shù)5．【多選】（2021?新高考Ⅰ）有一組樣本數(shù)據(jù)，，，，由這組數(shù)據(jù)得到新樣本數(shù)據(jù)，，，，其中，2，，，為非零常數(shù)，則A．兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本平均數(shù)相同 B．兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本中位數(shù)相同 C．兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本標(biāo)準(zhǔn)差相同 D．兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本極差相同考點(diǎn)三古典概型及其概率計(jì)算公式6．（2022?新高考Ⅰ）從2至8的7個(gè)整數(shù)中隨機(jī)取2個(gè)不同的數(shù)，則這2個(gè)數(shù)互質(zhì)的概率為A． B． C． D．7．（2022?上海）為了檢測(cè)學(xué)生的身體素質(zhì)指標(biāo)，從游泳類1項(xiàng)，球類3項(xiàng)，田徑類4項(xiàng)共8項(xiàng)項(xiàng)目中隨機(jī)抽取4項(xiàng)進(jìn)行檢測(cè)，則每一類都被抽到的概率為．8．（2021?上海）已知花博會(huì)有四個(gè)不同的場(chǎng)館，，，，甲、乙兩人每人選2個(gè)去參觀，則他們的選擇中，恰有一個(gè)館相同的概率為．9．（2019?上海）某三位數(shù)密碼，每位數(shù)字可在這10個(gè)數(shù)字中任選一個(gè)，則該三位數(shù)密碼中，恰有兩位數(shù)字相同的概率是．考點(diǎn)四相互獨(dú)立事件和相互獨(dú)立事件的概率乘法公式10．（2021?新高考Ⅰ）有6個(gè)相同的球，分別標(biāo)有數(shù)字1，2，3，4，5，6，從中有放回的隨機(jī)取兩次，每次取1個(gè)球．甲表示事件“第一次取出的球的數(shù)字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的數(shù)字是2”，丙表示事件“兩次取出的球的數(shù)字之和是8”，丁表示事件“兩次取出的球的數(shù)字之和是7”，則A．甲與丙相互獨(dú)立 B．甲與丁相互獨(dú)立 C．乙與丙相互獨(dú)立 D．丙與丁相互獨(dú)立11．【多選】（2023?新高考Ⅱ）在信道內(nèi)傳輸0，1信號(hào)，信號(hào)的傳輸相互獨(dú)立．發(fā)送0時(shí)，收到1的概率為，收到0的概率為；發(fā)送1時(shí)，收到0的概率為，收到1的概率為．考慮兩種傳輸方案：?jiǎn)未蝹鬏敽腿蝹鬏敚畣未蝹鬏斒侵该總€(gè)信號(hào)只發(fā)送1次，三次傳輸是指每個(gè)信號(hào)重復(fù)發(fā)送3次．收到的信號(hào)需要譯碼，譯碼規(guī)則如下：?jiǎn)未蝹鬏敃r(shí)，收到的信號(hào)即為譯碼；三次傳輸時(shí)，收到的信號(hào)中出現(xiàn)次數(shù)多的即為譯碼（例如，若依次收到1，0，1，則譯碼為A．采用單次傳輸方案，若依次發(fā)送1，0，1，則依次收到1，0，1的概率為B．采用三次傳輸方案，若發(fā)送1，則依次收到1，0，1的概率為 C．采用三次傳輸方案，若發(fā)送1，則譯碼為1的概率為 D．當(dāng)時(shí)，若發(fā)送0，則采用三次傳輸方案譯碼為0的概率大于采用單次傳輸方案譯碼為0的概率考點(diǎn)五頻率分布直方圖12．（2023?新高考Ⅱ）某研究小組經(jīng)過(guò)研究發(fā)現(xiàn)某種疾病的患病者與未患病者的某項(xiàng)醫(yī)學(xué)指標(biāo)有明顯差異，經(jīng)過(guò)大量調(diào)查，得到如下的患病者和未患病者該指標(biāo)的頻率分布直方圖：利用該指標(biāo)制定一個(gè)檢測(cè)標(biāo)準(zhǔn)，需要確定臨界值，將該指標(biāo)大于的人判定為陽(yáng)性，小于或等于的人判定為陰性，此檢測(cè)標(biāo)準(zhǔn)的漏診率是將患病者判定為陰性的概率，記為（c）；誤診率是將未患病者判定為陽(yáng)性的概率，記為（c）．假設(shè)數(shù)據(jù)在組內(nèi)均勻分布，以事件發(fā)生的頻率作為相應(yīng)事件發(fā)生的概率．（1）當(dāng)漏診率（c）時(shí)，求臨界值和誤診率（c）；（2）設(shè)函數(shù)（c）（c）（c）．當(dāng)，，求（c）的解析式，并求（c）在區(qū)間，的最小值．13．（2022?新高考Ⅱ）在某地區(qū)進(jìn)行流行病學(xué)調(diào)查，隨機(jī)調(diào)查了100位某種疾病患者的年齡，得到如下的樣本數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖：（1）估計(jì)該地區(qū)這種疾病患者的平均年齡（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值為代表）；（2）估計(jì)該地區(qū)一位這種疾病患者的年齡位于區(qū)間，的概率；（3）已知該地區(qū)這種疾病患者的患病率為，該地區(qū)年齡位于區(qū)間，的人口占該地區(qū)總?cè)丝诘模畯脑摰貐^(qū)中任選一人，若此人的年齡位于區(qū)間，，求此人患這種疾病的概率（以樣本數(shù)據(jù)中患者的年齡位于各區(qū)間的頻率作為患者的年齡位于該區(qū)間的概率，精確到0.0001．考點(diǎn)六分類加法計(jì)數(shù)原理（2020?上海）已知，，，0，1，2，，、，則的情況有種．考點(diǎn)七排列、組合及簡(jiǎn)單計(jì)數(shù)問(wèn)題15．（2023?新高考Ⅱ）某學(xué)校為了了解學(xué)生參加體育運(yùn)動(dòng)的情況，用比例分配的分層隨機(jī)抽樣方法作抽樣調(diào)查，擬從初中部和高中部?jī)蓪庸渤槿?0名學(xué)生，已知該校初中部和高中部分別有400名和200名學(xué)生，則不同的抽樣結(jié)果共有A．種 B．種 C．種 D．種16．（2022?新高考Ⅱ）甲、乙、丙、丁、戊5名同學(xué)站成一排參加文藝匯演，若甲不站在兩端，丙和丁相鄰，則不同的排列方式共有A．12種 B．24種 C．36種 D．48種17．（2020?海南）要安排3名學(xué)生到2個(gè)鄉(xiāng)村做志愿者，每名學(xué)生只能選擇去一個(gè)村，每個(gè)村里至少有一名志愿者，則不同的安排方法共有A．2種 B．3種 C．6種 D．8種18．（2020?山東）6名同學(xué)到甲、乙、丙三個(gè)場(chǎng)館做志愿者，每名同學(xué)只去1個(gè)場(chǎng)館，甲場(chǎng)館安排1名，乙場(chǎng)館安排2名，丙場(chǎng)館安排3名，則不同的安排方法共有A．120種 B．90種 C．60種 D．30種19．（2023?新高考Ⅰ）某學(xué)校開(kāi)設(shè)了4門(mén)體育類選修課和4門(mén)藝術(shù)類選修課，學(xué)生需從這8門(mén)課中選修2門(mén)或3門(mén)課，并且每類選修課至少選修1門(mén)，則不同的選課方案共有種（用數(shù)字作答）．20．（2020?上海）從6個(gè)人挑選4個(gè)人去值班，每人值班一天，第一天安排1個(gè)人，第二天安排1個(gè)人，第三天安排2個(gè)人，則共有種安排情況．21．（2019?上海）首屆中國(guó)國(guó)際進(jìn)口博覽會(huì)在上海舉行，某高校擬派4人參加連續(xù)5天的志愿者活動(dòng)，其中甲連續(xù)參加2天，其他人各參加1天，則不同的安排方法有種（結(jié)果用數(shù)值表示）考點(diǎn)八二項(xiàng)式定理22．（2023?上海）已知，若存在，1，2，，使得，則的最大值為．23．（2022?上海）二項(xiàng)式的展開(kāi)式中，項(xiàng)的系數(shù)是常數(shù)項(xiàng)的5倍，則．24．（2022?浙江）已知多項(xiàng)式，則，．25．（2022?新高考Ⅰ）的展開(kāi)式中的系數(shù)為（用數(shù)字作答）．（2021?浙江）已知多項(xiàng)式，則；．27．（2021?上海）已知二項(xiàng)式展開(kāi)式中，的系數(shù)為80，則．28．（2021?上海）已知的展開(kāi)式中，唯有的系數(shù)最大，則的系數(shù)和為．29．（2020?浙江）二項(xiàng)展開(kāi)式，則，．30．（2020?上海）已知二項(xiàng)式，則展開(kāi)式中的系數(shù)為．31．（2019?上海）已知二項(xiàng)式，則展開(kāi)式中含項(xiàng)的系數(shù)為．32．（2019?浙江）在二項(xiàng)式展開(kāi)式中，常數(shù)項(xiàng)是，系數(shù)為有理數(shù)的項(xiàng)的個(gè)數(shù)是．33．（2019?上海）在的展開(kāi)式中，常數(shù)項(xiàng)等于．考點(diǎn)九離散型隨機(jī)變量及其分布列34．（2019?浙江）設(shè)．隨機(jī)變量的分布列是01則當(dāng)在內(nèi)增大時(shí)，A．增大 B．減小 C．先增大后減小 D．先減小后增大考點(diǎn)十離散型隨機(jī)變量的期望與方差35．（2022?浙江）現(xiàn)有7張卡片，分別寫(xiě)上數(shù)字1，2，2，3，4，5，6．從這7張卡片中隨機(jī)抽取3張，記所抽取卡片上數(shù)字的最小值為，則，．36．（2021?浙江）袋中有4個(gè)紅球，個(gè)黃球，個(gè)綠球．現(xiàn)從中任取兩個(gè)球，記取出的紅球數(shù)為，若取出的兩個(gè)球都是紅球的概率為，一紅一黃的概率為，則，．37．（2020?浙江）盒中有4個(gè)球，其中1個(gè)紅球，1個(gè)綠球，2個(gè)黃球．從盒中隨機(jī)取球，每次取1個(gè)，不放回，直到取出紅球?yàn)橹梗O(shè)此過(guò)程中取到黃球的個(gè)數(shù)為，則，．38．（2023?上海）2023年6月7日，21世紀(jì)汽車(chē)博覽會(huì)在上海舉行，已知某汽車(chē)模型公司共有25個(gè)汽車(chē)模型，其外觀和內(nèi)飾的顏色分布如下表所示：紅色外觀藍(lán)色外觀棕色內(nèi)飾128米色內(nèi)飾23（1）若小明從這些模型中隨機(jī)拿一個(gè)模型，記事件為小明取到紅色外觀的模型，事件為小明取到棕色內(nèi)飾的模型，求（B）和，并判斷事件和事件是否獨(dú)立；（2）該公司舉行了一個(gè)抽獎(jiǎng)活動(dòng)，規(guī)定在一次抽獎(jiǎng)中，每人可以一次性從這些模型中拿兩個(gè)汽車(chē)模型，給出以下假設(shè)：假設(shè)1：拿到的兩個(gè)模型會(huì)出現(xiàn)三種結(jié)果，即外觀和內(nèi)飾均為同色、外觀和內(nèi)飾都異色、以及僅外觀或僅內(nèi)飾同色；假設(shè)2：按結(jié)果的可能性大小，概率越小獎(jiǎng)項(xiàng)越高；假設(shè)3：該抽獎(jiǎng)活動(dòng)的獎(jiǎng)金額為：一等獎(jiǎng)600元，二等獎(jiǎng)300元、三等獎(jiǎng)150元；請(qǐng)你分析獎(jiǎng)項(xiàng)對(duì)應(yīng)的結(jié)果，設(shè)為獎(jiǎng)金額，寫(xiě)出的分布列并求出的數(shù)學(xué)期望．39．（2023?新高考Ⅰ）甲、乙兩人投籃，每次由其中一人投籃，規(guī)則如下：若命中則此人繼續(xù)投籃，若未命中則換為對(duì)方投籃．無(wú)論之前投籃情況如何，甲每次投籃的命中率均為0.6，乙每次投籃的命中率均為0.8．由抽簽確定第1次投籃的人選，第1次投籃的人是甲、乙的概率各為0.5．（1）求第2次投籃的人是乙的概率；（2）求第次投籃的人是甲的概率；（3）已知：若隨機(jī)變量服從兩點(diǎn)分布，且，，2，，，則．記前次（即從第1次到第次投籃）中甲投籃的次數(shù)為，求．40．（2021?新高考Ⅱ）一種微生物群體可以經(jīng)過(guò)自身繁殖不斷生存下來(lái)，設(shè)一個(gè)這種微生物為第0代，經(jīng)過(guò)一次繁殖后為第1代，再經(jīng)過(guò)一次繁殖后為第2代，，該微生物每代繁殖的個(gè)數(shù)是相互獨(dú)立的且有相同的分布列，設(shè)表示1個(gè)微生物個(gè)體繁殖下一代的個(gè)數(shù)，，1，2，．（Ⅰ）已知，，，，求；（Ⅱ）設(shè)表示該種微生物經(jīng)過(guò)多代繁殖后臨近滅絕的概率，是關(guān)于的方程：的一個(gè)最小正實(shí)根，求證：當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，；（Ⅲ）根據(jù)你的理解說(shuō)明（2）問(wèn)結(jié)論的實(shí)際含義．41．（2021?新高考Ⅰ）某學(xué)校組織“一帶一路”知識(shí)競(jìng)賽，有，兩類問(wèn)題．每位參加比賽的同學(xué)先在兩類問(wèn)題中選擇一類并從中隨機(jī)抽取一個(gè)問(wèn)題回答，若回答錯(cuò)誤則該同學(xué)比賽結(jié)束；若回答正確則從另一類問(wèn)題中再隨機(jī)抽取一個(gè)問(wèn)題回答，無(wú)論回答正確與否，該同學(xué)比賽結(jié)束．類問(wèn)題中的每個(gè)問(wèn)題回答正確得20分，否則得0分；類問(wèn)題中的每個(gè)問(wèn)題回答正確得80分，否則得0分．已知小明能正確回答類問(wèn)題的概率為0.8，能正確回答類問(wèn)題的概率為0.6，且能正確回答問(wèn)題的概率與回答次序無(wú)關(guān)．（1）若小明先回答類問(wèn)題，記為小明的累計(jì)得分，求的分布列；（2）為使累計(jì)得分的期望最大，小明應(yīng)選擇先回答哪類問(wèn)題？并說(shuō)明理由．考點(diǎn)十一正態(tài)分布42．（2021?新高考Ⅱ）某物理量的測(cè)量結(jié)果服從正態(tài)分布，則下列結(jié)論中不正確的是A．越小，該物理量在一次測(cè)量中落在內(nèi)的概率越大 B．該物理量在一次測(cè)量中大于10的概率為0.5 C．該物理量在一次測(cè)量中小于9.99與大于10.01的概率相等 D．該物理量在一次測(cè)量中結(jié)果落在與落在的概率相等43．（2022?新高考Ⅱ）已知隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，且，則．考點(diǎn)十二散點(diǎn)圖44．（2023?上海）根據(jù)所示的散點(diǎn)圖，下列說(shuō)法正確的是A．身高越大，體重越大 B．身高越大，體重越小 C．身高和體重成正相關(guān) D．身高和體重成負(fù)相關(guān)考點(diǎn)十三獨(dú)立性檢驗(yàn)45．（2022?新高考Ⅰ）一醫(yī)療團(tuán)隊(duì)為研究某地的一種地方性疾病與當(dāng)?shù)鼐用竦男l(wèi)生習(xí)慣（衛(wèi)生習(xí)慣分為良好和不夠良好兩類）的關(guān)系，在已患該疾病的病例中隨機(jī)調(diào)查了100例（稱為病例組），同時(shí)在未患該疾病的人群中隨機(jī)調(diào)查了100人（稱為對(duì)照組），得到如下數(shù)據(jù)：不夠良好良好病例組4060對(duì)照組1090（1）能否有的把握認(rèn)為患該疾病群體與未患該疾病群體的衛(wèi)生習(xí)慣有差異？（2）從該地的人群中任選一人，表示事件“選到的人衛(wèi)生習(xí)慣不夠良好”，表示事件“選到的人患有該疾病”，與的比值是衛(wèi)生習(xí)慣不夠良好對(duì)患該疾病風(fēng)險(xiǎn)程度的一項(xiàng)度量指標(biāo)，記該指標(biāo)為．（ⅰ）證明：；（ⅱ）利用該調(diào)查數(shù)據(jù)，給出，的估計(jì)值，并利用（?。┑慕Y(jié)果給出的估計(jì)值．附：．0.0500.0100.0013.8416.63510.82846．（2020?山東）為加強(qiáng)環(huán)境保護(hù)，治理空氣污染，環(huán)境監(jiān)測(cè)部門(mén)對(duì)某市空氣質(zhì)量進(jìn)行調(diào)研，隨機(jī)抽查了100天空氣中的和濃度（單位：，得下表：，，，，32184，6812，3710（1）估計(jì)事件“該市一天空氣中濃度不超過(guò)75，且濃度不超過(guò)150”的概率；（2）根據(jù)所給數(shù)據(jù)，完成下面的列聯(lián)表：，，，，（3）根據(jù)（2）中的列聯(lián)表，判斷是否有的把握認(rèn)為該市一天空氣中濃度與濃度有關(guān)？附：0.0500.0100.0013.8416.63510.828五年（2019-2023）年高考真題分項(xiàng)匯編專題08計(jì)數(shù)原理、概率及統(tǒng)計(jì)考點(diǎn)一眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)1．【多選】（2023?新高考Ⅰ）有一組樣本數(shù)據(jù)，，，，其中是最小值，是最大值，則A．，，，的平均數(shù)等于，，，的平均數(shù) B．，，，的中位數(shù)等于，，，的中位數(shù) C．，，，的標(biāo)準(zhǔn)差不小于，，，的標(biāo)準(zhǔn)差 D．，，，的極差不大于，，，的極差【解析】選項(xiàng)，，，，的平均數(shù)不一定等于，，，的平均數(shù)，錯(cuò)誤；選項(xiàng)，，，，的中位數(shù)等于，，，，的中位數(shù)等于，正確；選項(xiàng)，設(shè)樣本數(shù)據(jù)，，，為0，1，2，8，9，10，可知，，，的平均數(shù)是5，，，，的平均數(shù)是5，，，，的方差，，，，的方差，，，錯(cuò)誤．選項(xiàng)，，，，正確．故選：．2．（2023?上海）現(xiàn)有某地一年四個(gè)季度的（億元），第一季度為232（億元），第四季度為241（億元），四個(gè)季度的逐季度增長(zhǎng)，且中位數(shù)與平均數(shù)相同，則該地一年的為．【解析】設(shè)第二季度為億元，第三季度為億元，則，中位數(shù)與平均數(shù)相同，，，該地一年的為（億元）．故答案為：946（億元）．3．（2020?上海）已知有四個(gè)數(shù)1，2，，，這四個(gè)數(shù)的中位數(shù)是3，平均數(shù)是4，則．【解析】因?yàn)樗膫€(gè)數(shù)的平均數(shù)為4，所以，因?yàn)橹形粩?shù)是3，所以，解得，代入上式得，所以，故答案為：36．考點(diǎn)二極差、方差與標(biāo)準(zhǔn)差4．【多選】（2021?新高考Ⅱ）下列統(tǒng)計(jì)量中，能度量樣本，，，的離散程度的有A．樣本，，，的標(biāo)準(zhǔn)差 B．樣本，，，的中位數(shù) C．樣本，，，的極差 D．樣本，，，的平均數(shù)【解析】中位數(shù)是反應(yīng)數(shù)據(jù)的變化，方差是反應(yīng)數(shù)據(jù)與均值之間的偏離程度，極差是用來(lái)表示統(tǒng)計(jì)資料中的變異量數(shù)，反映的是最大值與最小值之間的差距，平均數(shù)是反應(yīng)數(shù)據(jù)的平均水平，故能反應(yīng)一組數(shù)據(jù)離散程度的是標(biāo)準(zhǔn)差，極差．故選：．5．【多選】（2021?新高考Ⅰ）有一組樣本數(shù)據(jù)，，，，由這組數(shù)據(jù)得到新樣本數(shù)據(jù)，，，，其中，2，，，為非零常數(shù)，則A．兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本平均數(shù)相同 B．兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本中位數(shù)相同 C．兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本標(biāo)準(zhǔn)差相同 D．兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本極差相同【解析】對(duì)于，兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)的差為，故錯(cuò)誤；對(duì)于，兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本中位數(shù)的差是，故錯(cuò)誤；對(duì)于，標(biāo)準(zhǔn)差，兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本標(biāo)準(zhǔn)差相同，故正確；對(duì)于，，2，，，為非零常數(shù)，的極差為，的極差為，兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本極差相同，故正確．故選：．考點(diǎn)三古典概型及其概率計(jì)算公式6．（2022?新高考Ⅰ）從2至8的7個(gè)整數(shù)中隨機(jī)取2個(gè)不同的數(shù)，則這2個(gè)數(shù)互質(zhì)的概率為A． B． C． D．【解析】從2至8的7個(gè)整數(shù)中任取兩個(gè)數(shù)共有種方式，其中互質(zhì)的有：23，25，27，34，35，37，38，45，47，56，57，58，67，78，共14種，故所求概率為．故選：．7．（2022?上海）為了檢測(cè)學(xué)生的身體素質(zhì)指標(biāo)，從游泳類1項(xiàng)，球類3項(xiàng)，田徑類4項(xiàng)共8項(xiàng)項(xiàng)目中隨機(jī)抽取4項(xiàng)進(jìn)行檢測(cè)，則每一類都被抽到的概率為．【解析】從游泳類1項(xiàng)，球類3項(xiàng)，田徑類4項(xiàng)共8項(xiàng)項(xiàng)目中隨機(jī)抽取4項(xiàng)進(jìn)行檢測(cè)，則每一類都被抽到的方法共有種，而所有的抽取方法共有種，故每一類都被抽到的概率為，故答案為：．8．（2021?上海）已知花博會(huì)有四個(gè)不同的場(chǎng)館，，，，甲、乙兩人每人選2個(gè)去參觀，則他們的選擇中，恰有一個(gè)館相同的概率為．【解析】甲選2個(gè)去參觀，有種，乙選2個(gè)去參觀，有種，共有種，若甲乙恰有一個(gè)館相同，則選確定相同的館有種，然后從剩余3個(gè)館種選2個(gè)進(jìn)行排列，有種，共有種，則對(duì)應(yīng)概率，故答案為：．9．（2019?上海）某三位數(shù)密碼，每位數(shù)字可在這10個(gè)數(shù)字中任選一個(gè)，則該三位數(shù)密碼中，恰有兩位數(shù)字相同的概率是．【解析】方法一、（直接法）某三位數(shù)密碼鎖，每位數(shù)字在數(shù)字中選取，總的基本事件個(gè)數(shù)為1000，其中恰有兩位數(shù)字相同的個(gè)數(shù)為，則其中恰有兩位數(shù)字相同的概率是；方法二、（排除法）某三位數(shù)密碼鎖，每位數(shù)字在數(shù)字中選取，總的基本事件個(gè)數(shù)為1000，其中三位數(shù)字均不同和全相同的個(gè)數(shù)為，可得其中恰有兩位數(shù)字相同的概率是．故答案為：．考點(diǎn)四相互獨(dú)立事件和相互獨(dú)立事件的概率乘法公式10．（2021?新高考Ⅰ）有6個(gè)相同的球，分別標(biāo)有數(shù)字1，2，3，4，5，6，從中有放回的隨機(jī)取兩次，每次取1個(gè)球．甲表示事件“第一次取出的球的數(shù)字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的數(shù)字是2”，丙表示事件“兩次取出的球的數(shù)字之和是8”，丁表示事件“兩次取出的球的數(shù)字之和是7”，則A．甲與丙相互獨(dú)立 B．甲與丁相互獨(dú)立 C．乙與丙相互獨(dú)立 D．丙與丁相互獨(dú)立【解析】由題意可知，兩點(diǎn)數(shù)和為8的所有可能為：，，，，，兩點(diǎn)數(shù)和為7的所有可能為，，，，，，（甲，（乙，（丙，（丁，（甲丙）（甲（丙，（甲?。祝ǘ?，（乙丙）（乙（丙，（丙?。ūǘ?，故選：．11．【多選】（2023?新高考Ⅱ）在信道內(nèi)傳輸0，1信號(hào)，信號(hào)的傳輸相互獨(dú)立．發(fā)送0時(shí)，收到1的概率為，收到0的概率為；發(fā)送1時(shí)，收到0的概率為，收到1的概率為．考慮兩種傳輸方案：?jiǎn)未蝹鬏敽腿蝹鬏敚畣未蝹鬏斒侵该總€(gè)信號(hào)只發(fā)送1次，三次傳輸是指每個(gè)信號(hào)重復(fù)發(fā)送3次．收到的信號(hào)需要譯碼，譯碼規(guī)則如下：?jiǎn)未蝹鬏敃r(shí)，收到的信號(hào)即為譯碼；三次傳輸時(shí)，收到的信號(hào)中出現(xiàn)次數(shù)多的即為譯碼（例如，若依次收到1，0，1，則譯碼為A．采用單次傳輸方案，若依次發(fā)送1，0，1，則依次收到1，0，1的概率為B．采用三次傳輸方案，若發(fā)送1，則依次收到1，0，1的概率為 C．采用三次傳輸方案，若發(fā)送1，則譯碼為1的概率為 D．當(dāng)時(shí)，若發(fā)送0，則采用三次傳輸方案譯碼為0的概率大于采用單次傳輸方案譯碼為0的概率【解析】采用單次傳輸方案，若依次發(fā)送1，0，1，則依次收到1，0，1的概率為：，故正確；采用三次傳輸方案，若發(fā)送1，依次收到1，0，1的概率為：，故正確；采用三次傳輸方案，若發(fā)送1，則譯碼為1包含收到的信號(hào)為包含兩個(gè)1或3個(gè)1，故所求概率為：，故錯(cuò)誤；三次傳輸方案發(fā)送0，譯碼為0的概率，單次傳輸發(fā)送0譯碼為0的概率，，當(dāng)時(shí)，，故，故正確．故選：．考點(diǎn)五頻率分布直方圖12．（2023?新高考Ⅱ）某研究小組經(jīng)過(guò)研究發(fā)現(xiàn)某種疾病的患病者與未患病者的某項(xiàng)醫(yī)學(xué)指標(biāo)有明顯差異，經(jīng)過(guò)大量調(diào)查，得到如下的患病者和未患病者該指標(biāo)的頻率分布直方圖：利用該指標(biāo)制定一個(gè)檢測(cè)標(biāo)準(zhǔn)，需要確定臨界值，將該指標(biāo)大于的人判定為陽(yáng)性，小于或等于的人判定為陰性，此檢測(cè)標(biāo)準(zhǔn)的漏診率是將患病者判定為陰性的概率，記為（c）；誤診率是將未患病者判定為陽(yáng)性的概率，記為（c）．假設(shè)數(shù)據(jù)在組內(nèi)均勻分布，以事件發(fā)生的頻率作為相應(yīng)事件發(fā)生的概率．（1）當(dāng)漏診率（c）時(shí)，求臨界值和誤診率（c）；（2）設(shè)函數(shù)（c）（c）（c）．當(dāng)，，求（c）的解析式，并求（c）在區(qū)間，的最小值．【解析】（1）當(dāng)漏診率（c）時(shí)，則，解得；（c）；（2）當(dāng)，時(shí)，（c）（c）（c），當(dāng)，時(shí)，（c）（c）（c），故（c），所以（c）的最小值為0.02．13．（2022?新高考Ⅱ）在某地區(qū)進(jìn)行流行病學(xué)調(diào)查，隨機(jī)調(diào)查了100位某種疾病患者的年齡，得到如下的樣本數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖：（1）估計(jì)該地區(qū)這種疾病患者的平均年齡（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值為代表）；（2）估計(jì)該地區(qū)一位這種疾病患者的年齡位于區(qū)間，的概率；（3）已知該地區(qū)這種疾病患者的患病率為，該地區(qū)年齡位于區(qū)間，的人口占該地區(qū)總?cè)丝诘模畯脑摰貐^(qū)中任選一人，若此人的年齡位于區(qū)間，，求此人患這種疾病的概率（以樣本數(shù)據(jù)中患者的年齡位于各區(qū)間的頻率作為患者的年齡位于該區(qū)間的概率，精確到0.0001．【解析】（1）由頻率分布直方圖得該地區(qū)這種疾病患者的平均年齡為：歲．（2）該地區(qū)一位這種疾病患者的年齡位于區(qū)間，的頻率為：，估計(jì)該地區(qū)一位這種疾病患者的年齡位于區(qū)間，的概率為0.89．（3）設(shè)從該地區(qū)中任選一人，此人的年齡位于區(qū)間，為事件，此人患這種疾病為事件，則．考點(diǎn)六分類加法計(jì)數(shù)原理（2020?上海）已知，，，0，1，2，，、，則的情況有種．【解析】當(dāng)，0種，當(dāng)，2種，當(dāng)，4種；當(dāng)，6種，當(dāng)，4種；當(dāng)，2種，當(dāng)，0種，故共有：．故答案為：18．考點(diǎn)七排列、組合及簡(jiǎn)單計(jì)數(shù)問(wèn)題15．（2023?新高考Ⅱ）某學(xué)校為了了解學(xué)生參加體育運(yùn)動(dòng)的情況，用比例分配的分層隨機(jī)抽樣方法作抽樣調(diào)查，擬從初中部和高中部?jī)蓪庸渤槿?0名學(xué)生，已知該校初中部和高中部分別有400名和200名學(xué)生，則不同的抽樣結(jié)果共有A．種 B．種 C．種 D．種【解析】初中部和高中部分別有400和200名學(xué)生，人數(shù)比例為，則需要從初中部抽取40人，高中部取20人即可，則有種．故選：．16．（2022?新高考Ⅱ）甲、乙、丙、丁、戊5名同學(xué)站成一排參加文藝匯演，若甲不站在兩端，丙和丁相鄰，則不同的排列方式共有A．12種 B．24種 C．36種 D．48種【解析】把丙和丁捆綁在一起，4個(gè)人任意排列，有種情況，甲站在兩端的情況有種情況，甲不站在兩端，丙和丁相鄰的不同排列方式有種，故選：．17．（2020?海南）要安排3名學(xué)生到2個(gè)鄉(xiāng)村做志愿者，每名學(xué)生只能選擇去一個(gè)村，每個(gè)村里至少有一名志愿者，則不同的安排方法共有A．2種 B．3種 C．6種 D．8種【解析】要安排3名學(xué)生到2個(gè)鄉(xiāng)村做志愿者，每名學(xué)生只能選擇去一個(gè)村，每個(gè)村里至少有一名志愿者，則不同的安排方法共有：．故選：．18．（2020?山東）6名同學(xué)到甲、乙、丙三個(gè)場(chǎng)館做志愿者，每名同學(xué)只去1個(gè)場(chǎng)館，甲場(chǎng)館安排1名，乙場(chǎng)館安排2名，丙場(chǎng)館安排3名，則不同的安排方法共有A．120種 B．90種 C．60種 D．30種【解析】因?yàn)槊棵瑢W(xué)只去1個(gè)場(chǎng)館，甲場(chǎng)館安排1名，乙場(chǎng)館安排2名，丙場(chǎng)館安排3名，甲場(chǎng)館從6人中挑一人有：種結(jié)果；乙場(chǎng)館從余下的5人中挑2人有：種結(jié)果；余下的3人去丙場(chǎng)館；故共有：種安排方法；故選：．19．（2023?新高考Ⅰ）某學(xué)校開(kāi)設(shè)了4門(mén)體育類選修課和4門(mén)藝術(shù)類選修課，學(xué)生需從這8門(mén)課中選修2門(mén)或3門(mén)課，并且每類選修課至少選修1門(mén)，則不同的選課方案共有種（用數(shù)字作答）．【解析】若選2門(mén)，則只能各選1門(mén)，有種，如選3門(mén)，則分體育類選修課選2，藝術(shù)類選修課選1，或體育類選修課選1，藝術(shù)類選修課選2，則有，綜上共有種不同的方案．故答案為：64．20．（2020?上海）從6個(gè)人挑選4個(gè)人去值班，每人值班一天，第一天安排1個(gè)人，第二天安排1個(gè)人，第三天安排2個(gè)人，則共有種安排情況．【解析】根據(jù)題意，可得排法共有種．故答案為：180．21．（2019?上海）首屆中國(guó)國(guó)際進(jìn)口博覽會(huì)在上海舉行，某高校擬派4人參加連續(xù)5天的志愿者活動(dòng)，其中甲連續(xù)參加2天，其他人各參加1天，則不同的安排方法有種（結(jié)果用數(shù)值表示）【解析】在五天里，連續(xù)的2天，一共有4種，剩下的3人排列，故有種，故答案為：24．考點(diǎn)八二項(xiàng)式定理22．（2023?上海）已知，若存在，1，2，，使得，則的最大值為．【解析】二項(xiàng)式的通項(xiàng)為，，1，2，，，二項(xiàng)式的通項(xiàng)為，，1，2，，，，，1，2，，，若，則為奇數(shù)，此時(shí)，，，，又為奇數(shù)，的最大值為49．故答案為：49．23．（2022?上海）二項(xiàng)式的展開(kāi)式中，項(xiàng)的系數(shù)是常數(shù)項(xiàng)的5倍，則．【解析】二項(xiàng)式的展開(kāi)式中，項(xiàng)的系數(shù)是常數(shù)項(xiàng)的5倍，即，即，，故答案為：10．24．（2022?浙江）已知多項(xiàng)式，則，．【解析】，；令，則，令，則，．故答案為：8，．25．（2022?新高考Ⅰ）的展開(kāi)式中的系數(shù)為（用數(shù)字作答）．【解析】的通項(xiàng)公式為，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，的展開(kāi)式中的系數(shù)為．故答案為：．（2021?浙江）已知多項(xiàng)式，則；．【解析】即為展開(kāi)式中的系數(shù)，所以；令，則有，所以．故答案為：5；10．27．（2021?上海）已知二項(xiàng)式展開(kāi)式中，的系數(shù)為80，則．【解析】的展開(kāi)式的通項(xiàng)公式為，所以的系數(shù)為，解得．故答案為：2．28．（2021?上海）已知的展開(kāi)式中，唯有的系數(shù)最大，則的系數(shù)和為．【解析】由題意，，且，所以，所以令，的系數(shù)和為．故答案為：64．29．（2020?浙江）二項(xiàng)展開(kāi)式，則，．【解析】，則．．故答案為：80；122．30．（2020?上海）已知二項(xiàng)式，則展開(kāi)式中的系數(shù)為．【解析】，所以展開(kāi)式中的系數(shù)為10．故答案為：10．31．（2019?上海）已知二項(xiàng)式，則展開(kāi)式中含項(xiàng)的系數(shù)為．【解析】二項(xiàng)式的展開(kāi)式的通項(xiàng)公式為，令，求得，可得展開(kāi)式中含項(xiàng)的系數(shù)值為，故答案為：40．32．（2019?浙江）在二項(xiàng)式展開(kāi)式中，常數(shù)項(xiàng)是，系數(shù)為有理數(shù)的項(xiàng)的個(gè)數(shù)是．【解析】二項(xiàng)式的展開(kāi)式的通項(xiàng)為．由，得常數(shù)項(xiàng)是；當(dāng)，3，5，7，9時(shí)，系數(shù)為有理數(shù)，系數(shù)為有理數(shù)的項(xiàng)的個(gè)數(shù)是5個(gè)．故答案為：，5．33．（2019?上海）在的展開(kāi)式中，常數(shù)項(xiàng)等于．【解析】展開(kāi)式的通項(xiàng)為，，得，故展開(kāi)式的常數(shù)項(xiàng)為第5項(xiàng)：．故答案為：15．考點(diǎn)九離散型隨機(jī)變量及其分布列34．（2019?浙江）設(shè)．隨機(jī)變量的分布列是01則當(dāng)在內(nèi)增大時(shí)，A．增大 B．減小 C．先增大后減小 D．先減小后增大【解析】，，先減小后增大故選：．考點(diǎn)十離散型隨機(jī)變量的期望與方差35．（2022?浙江）現(xiàn)有7張卡片，分別寫(xiě)上數(shù)字1，2，2，3，4，5，6．從這7張卡片中隨機(jī)抽取3張，記所抽取卡片上數(shù)字的最小值為，則，．【解析】根據(jù)題意可得：的取值可為1，2，3，4，又，，，，，故答案為：；．36．（2021?浙江）袋中有4個(gè)紅球，個(gè)黃球，個(gè)綠球．現(xiàn)從中任取兩個(gè)球，記取出的紅球數(shù)為，若取出的兩個(gè)球都是紅球的概率為，一紅一黃的概率為，則，．【解析】由題意，，又一紅一黃的概率為，所以，解得，，故；由題意，的可能取值為0，1，2，所以，，，所以．故答案為：1；．37．（2020?浙江）盒中有4個(gè)球，其中1個(gè)紅球，1個(gè)綠球，2個(gè)黃球．從盒中隨機(jī)取球，每次取1個(gè)，不放回，直到取出紅球?yàn)橹梗O(shè)此過(guò)程中取到黃球的個(gè)數(shù)為，則，．【解析】【解法1】由題意知隨機(jī)變量的可能取值分別為0，1，2；表示取到紅球后（停止取球）還沒(méi)有取到黃球，有以下兩種情況：①第一次就取到紅球，②第一次取到綠球、第二次取到紅球，所以；當(dāng)時(shí)，有以下三種情況：①第一次取到1個(gè)黃球?yàn)?，第二次紅球?yàn)椋Ｖ谷∏?；②第一次取?個(gè)黃球?yàn)椋诙稳〉骄G球?yàn)?，第三次取到紅球?yàn)?，停止取球；③第一次取到綠球?yàn)椋诙稳〉近S球?yàn)?，第三次取到紅球?yàn)?，停止取球；所以；；所以的分布列為?12數(shù)學(xué)期望為．【解法2】由題意知，隨機(jī)變量的可能取值為0，1，2；計(jì)算；；；所以．故答案為：，1．38．（2023?上海）2023年6月7日，21世紀(jì)汽車(chē)博覽會(huì)在上海舉行，已知某汽車(chē)模型公司共有25個(gè)汽車(chē)模型，其外觀和內(nèi)飾的顏色分布如下表所示：紅色外觀藍(lán)色外觀棕色內(nèi)飾128米色內(nèi)飾23（1）若小明從這些模型中隨機(jī)拿一個(gè)模型，記事件為小明取到紅色外觀的模型，事件為小明取到棕色內(nèi)飾的模型，求（B）和，并判斷事件和事件是否獨(dú)立；（2）該公司舉行了一個(gè)抽獎(jiǎng)活動(dòng)，規(guī)定在一次抽獎(jiǎng)中，每人可以一次性從這些模型中拿兩個(gè)汽車(chē)模型，給出以下假設(shè)：假設(shè)1：拿到的兩個(gè)模型會(huì)出現(xiàn)三種結(jié)果，即外觀和內(nèi)飾均為同色、外觀和內(nèi)飾都異色、以及僅外觀或僅內(nèi)飾同色；假設(shè)2：按結(jié)果的可能性大小，概率越小獎(jiǎng)項(xiàng)越高；假設(shè)3：該抽獎(jiǎng)活動(dòng)的獎(jiǎng)金額為：一等獎(jiǎng)600元，二等獎(jiǎng)300元、三等獎(jiǎng)150元；請(qǐng)你分析獎(jiǎng)項(xiàng)對(duì)應(yīng)的結(jié)果，設(shè)為獎(jiǎng)金額，寫(xiě)出的分布列并求出的數(shù)學(xué)期望．【解析】（1）若紅色外觀的模型，則分棕色內(nèi)飾12個(gè)，米色內(nèi)飾2個(gè)，則對(duì)應(yīng)的概率（A），若小明取到棕色內(nèi)飾，分紅色外觀12，藍(lán)色外觀8，則對(duì)應(yīng)的概率（B）．取到紅色外觀的模型同時(shí)是棕色內(nèi)飾的有12個(gè)，即，則．（A）（B），（A）（B），即事件和事件不獨(dú)立．（2）由題意知，300，150，則外觀和內(nèi)飾均為同色的概率、外觀和內(nèi)飾都異色的概率、僅外觀或僅內(nèi)飾同色的概率，，，，，則的分布列為：150300600則（元．39．（2023?新高考Ⅰ）甲、乙兩人投籃，每次由其中一人投籃，規(guī)則如下：若命中則此人繼續(xù)投籃，若未命中則換為對(duì)方投籃．無(wú)論之前投籃情況如何，甲每次投籃的命中率均為0.6，乙每次投籃的命中率均為0.8．由抽簽確定第1次投籃的人選，第1次投籃的人是甲、乙的概率各為0.5．（1）求第2次投籃的人是乙的概率；（2）求第次投籃的人是甲的概率；（3）已知：若隨機(jī)變量服從兩點(diǎn)分布，且，，2，，，則．記前次（即從第1次到第次投籃）中甲投籃的次數(shù)為，求．【解析】（1）設(shè)第2次投籃的人是乙的概率為，由題意得；（2）由題意設(shè)為第次投籃的是甲，則，，又，則是首項(xiàng)為，公比為0.4的等比數(shù)列，，即，第次投籃的人是甲的概率為；（3）由（2）得，由題意得甲第次投籃次數(shù)服從兩點(diǎn)分布，且，，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，綜上所述，，．40．（2021?新高考Ⅱ）一種微生物群體可以經(jīng)過(guò)自身繁殖不斷生存下來(lái)，設(shè)一個(gè)這種微生物為第0代，經(jīng)過(guò)一次繁殖后為第1代，再經(jīng)過(guò)一次繁殖后為第2代，，該微生物每代繁殖的個(gè)數(shù)是相互獨(dú)立的且有相同的分布列，設(shè)表示1個(gè)微生物個(gè)體繁殖下一代的個(gè)數(shù)，，1，2，．（Ⅰ）已知，，，，求；（Ⅱ）設(shè)表示該種微生物經(jīng)過(guò)多代繁殖后臨近滅絕的概率，是關(guān)于的方程：的一個(gè)最小正實(shí)根，求證：當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，；（Ⅲ）根據(jù)你的理解說(shuō)明（2）問(wèn)結(jié)論的實(shí)際含義．【解析】（Ⅰ）解：由題意，，，，，故；（Ⅱ）證明：由題意可知，，則，所以，變形為，所以，即，即，令，若時(shí)，則的對(duì)稱軸為，注意到，（1），若時(shí)，（1），當(dāng)時(shí)，（1），的正實(shí)根，原方程的最小正實(shí)根，當(dāng)時(shí)，（1），的正實(shí)根，原方程的最小正實(shí)根，（Ⅲ）解：當(dāng)1個(gè)微生物個(gè)體繁殖下一代的期望小于等于1時(shí)，這種微生物經(jīng)過(guò)多代繁殖后臨近滅絕；當(dāng)1個(gè)微生物個(gè)體繁殖下一代的期望大于1時(shí)，這種微生物經(jīng)過(guò)多代繁殖后還有繼續(xù)繁殖的可能．41．（2021?新高考Ⅰ）某學(xué)校組織“一帶一路”知識(shí)競(jìng)賽，有，兩類問(wèn)題．每位參加比賽的同學(xué)先在兩類問(wèn)題中選擇一類并從中隨機(jī)抽取一個(gè)問(wèn)題回答，若回答錯(cuò)誤則該同學(xué)比賽結(jié)束；若回答正確則從另一類問(wèn)題中再隨機(jī)抽取一個(gè)問(wèn)題回答，無(wú)論回答正確與否，該同學(xué)比賽結(jié)束．類問(wèn)題中的每個(gè)問(wèn)題回答正確得20分，否則得0分；類問(wèn)題中的每個(gè)問(wèn)題回答正確得80分，否則得0分．已知小明能正確回答類問(wèn)題的概率為0.8，能正確回答類問(wèn)題的概率為0.6，且能正確回答問(wèn)題的概率與回答次序無(wú)關(guān)．（1）若小明先回答類問(wèn)題，記為小明的累計(jì)得分，求的分布列；（2）為使累計(jì)得分的期望最大，小明應(yīng)選擇先回答哪類問(wèn)題？并說(shuō)明理由．【解析】（1）由已知可得，的所有可能取值為0，20，100，則，，所以的分布列為：0201000.20.320.48（2）由（1）可知小明先回答類問(wèn)題累計(jì)得分的期望