專題37等差數(shù)列及其前n項和一、【知識梳理】【考綱要求】1.理解等差數(shù)列的概念.2.掌握等差數(shù)列的通項公式與前n項和公式.3.能在具體的問題情境中識別數(shù)列的等差關(guān)系，并能用等差數(shù)列的有關(guān)知識解決相應(yīng)的問題.4.了解等差數(shù)列與一次函數(shù)的關(guān)系.【考點預(yù)測】1．等差數(shù)列的有關(guān)概念(1)等差數(shù)列的定義一般地，如果一個數(shù)列從第2項起，每一項與它的前一項的差都等于同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列就叫做等差數(shù)列，這個常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差，通常用字母d表示，定義表達式為an－an－1＝d(常數(shù))(n≥2，n∈N*)．(2)等差中項若三個數(shù)a，A，b成等差數(shù)列，則A叫做a與b的等差中項，且有A＝eq\f(a＋b,2).2．等差數(shù)列的有關(guān)公式(1)通項公式：an＝a1＋(n－1)d.(2)前n項和公式：Sn＝na1＋eq\f(nn－1,2)d或Sn＝eq\f(na1＋an,2).3．等差數(shù)列的常用性質(zhì)(1)通項公式的推廣：an＝am＋(n－m)d(n，m∈N*)．(2)若{an}為等差數(shù)列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，則ak＋al＝am＋an.(3)若{an}是等差數(shù)列，公差為d，則ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*)是公差為md的等差數(shù)列．(4)數(shù)列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也是等差數(shù)列．(5)S2n－1＝(2n－1)an.(6)等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(Sn,n)))為等差數(shù)列．【常用結(jié)論】1.關(guān)于等差數(shù)列奇數(shù)項和與偶數(shù)項和的性質(zhì)①若項數(shù)為2n，則S偶－S奇＝nd，eq\f(S奇,S偶)＝eq\f(an,an＋1)；②若項數(shù)為2n－1，則S偶＝(n－1)an，S奇＝nan，S奇－S偶＝an，eq\f(S奇,S偶)＝eq\f(n,n－1).2.兩個等差數(shù)列{an}，{bn}的前n項和Sn，Tn之間的關(guān)系為eq\f(S2n－1,T2n－1)＝eq\f(an,bn).【方法技巧】1.等差數(shù)列的基本運算的解題策略(1)等差數(shù)列的通項公式及前n項和公式共涉及五個量a1，an，d，n，Sn，知其中三個就能求另外兩個，體現(xiàn)了方程思想．(2)數(shù)列的通項公式和前n項和公式在解題中起到變量代換的作用，而a1和d是等差數(shù)列的兩個基本量，用它們表示已知量和未知量是常用方法．2.等差數(shù)列的判定與證明方法3.如果{an}為等差數(shù)列，m＋n＝p＋q，則am＋an＝ap＋aq(m，n，p，q∈N*)．因此，若出現(xiàn)am－n，am，am＋n等項時，可以利用此性質(zhì)將已知條件轉(zhuǎn)化為與am(或其他項)有關(guān)的條件；若求am項，可由am＝eq\f(1,2)(am－n＋am＋n)轉(zhuǎn)化為求am－n，am＋n或am－n＋am＋n的值．4.等差數(shù)列前n項和的性質(zhì)在等差數(shù)列{an}中，Sn為其前n項和，則(1)S2n＝n(a1＋a2n)＝…＝n(an＋an＋1)；(2)S2n－1＝(2n－1)an；(3)當項數(shù)為偶數(shù)2n時，S偶－S奇＝nd；項數(shù)為奇數(shù)2n－1時，S奇－S偶＝a中，S奇∶S偶＝n∶(n－1)．5.求等差數(shù)列{an}的前n項和Sn的最值的方法二、【題型歸類】【題型一】等差數(shù)列的基本運算【典例1】記Sn為等差數(shù)列{an}的前n項和.若a1＝－2，a2＋a6＝2，則S10＝________.【典例2】將數(shù)列{2n－1}與{3n－2}的公共項從小到大排列得到數(shù)列{an}，則{an}的前n項和為__________.【典例3】已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若S8＝a8＝8，則公差d＝()A.eq\f(1,4) B.eq\f(1,2) C.1 D.2【題型二】等差數(shù)列的判定與證明【典例1】已知數(shù)列{an}的各項均為正數(shù)，記Sn為{an}的前n項和，從下面①②③中選取兩個作為條件，證明另外一個成立．①數(shù)列{an}是等差數(shù)列；②數(shù)列{eq\r(Sn)}是等差數(shù)列；③a2＝3a1.注：若選擇不同的組合分別解答，則按第一個解答計分．【典例2】已知在數(shù)列{an}中，a1＝1，an＝2an－1＋1(n≥2，n∈N*)，記bn＝log2(an＋1)．(1)判斷{bn}是否為等差數(shù)列，并說明理由；(2)求數(shù)列{an}的通項公式．【典例3】已知數(shù)列{an}滿足a1＝1，且nan＋1－(n＋1)an＝2n2＋2n.(1)求a2，a3；(2)證明數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(an,n)))是等差數(shù)列，并求{an}的通項公式．【題型三】等差數(shù)列項的性質(zhì)【典例1】設(shè)Sn為等差數(shù)列{an}的前n項和，且4＋a5＝a6＋a4，則S9等于()A．72B．36C．18D．9【典例2】在等差數(shù)列{an}中，若a2＋a4＋a6＋a8＋a10＝80，則a7－eq\f(1,2)a8的值為()A．4B．6C．8D．10【典例3】已知數(shù)列{an}滿足2an＝an－1＋an＋1(n≥2)，a2＋a4＋a6＝12，a1＋a3＋a5＝9，則a3＋a4等于()A．6 B．7C．8 D．9【題型四】等差數(shù)列前n項和性質(zhì)的應(yīng)用【典例1】已知等差數(shù)列{an}的前10項和為30，它的前30項和為210，則前20項和為()A．100 B．120C．390 D．540【典例2】在等差數(shù)列{an}中，a1＝－2018，其前n項和為Sn，若eq\f(S12,12)－eq\f(S10,10)＝2，則S2018的值等于()A．－2018 B．－2016C．－2019 D．－2017【典例3】北京天壇的圜丘壇為古代祭天的場所，分上、中、下三層．上層中心有一塊圓形石板(稱為天心石)，環(huán)繞天心石砌9塊扇面形石板構(gòu)成第一環(huán)，向外每環(huán)依次增加9塊．下一層的第一環(huán)比上一層的最后一環(huán)多9塊，向外每環(huán)依次也增加9塊，已知每層環(huán)數(shù)相同，且下層比中層多729塊，則三層共有扇面形石板(不含天心石)()A．3699塊 B．3474塊C．3402塊 D．3339塊【題型五】等差數(shù)列的前n項和的最值【典例1】已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，a6＋a8＝6，S9－S6＝3，則Sn取得最大值時n的值為()A．5 B．6C．7 D．8【典例2】設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且a1＞0，a3＋a10＞0，a6a7＜0，則滿足Sn＞0的最大自然數(shù)n的值為()A．6 B．7C．12 D．13三、【培優(yōu)訓練】【訓練一】（多選）已知定義：在數(shù)列{an}中，若aeq\o\al(2,n)－aeq\o\al(2,n－1)＝p(n≥2，n∈N*，p為常數(shù))，則稱{an}為等方差數(shù)列．下列命題正確的是()A．若{an}是等方差數(shù)列，則{aeq\o\al(2,n)}是等差數(shù)列B．{(－1)n}是等方差數(shù)列C．若{an}是等方差數(shù)列，則{akn}(k∈N*，k為常數(shù))不可能還是等方差數(shù)列D．若{an}既是等方差數(shù)列，又是等差數(shù)列，則該數(shù)列為常數(shù)列【訓練二】多環(huán)芳香烴化合物中有不少是致癌物質(zhì)，學生鐘愛的快餐油炸食品中會產(chǎn)生苯并芘，它是由苯和芘稠合而成的一類多環(huán)芳香烴，長期食用會致癌．下面是一組多環(huán)芳香烴的結(jié)構(gòu)簡式和分子式：名稱萘蒽并四苯…并n苯結(jié)構(gòu)簡式……分子式C10H8C14H10C18H12……由此推斷并十苯的分子式為________．【訓練三】設(shè)數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若eq\f(Sn,S2n)為常數(shù)，則稱數(shù)列{an}為“精致數(shù)列”．已知等差數(shù)列{bn}的首項為1，公差不為0，若數(shù)列{bn}為“精致數(shù)列”，則數(shù)列{bn}的通項公式為________．【訓練四】定義向量列a1，a2，a3，…，an從第二項開始，每一項與它的前一項的差都等于同一個常向量(即坐標都是常數(shù)的向量)，即an＝an－1＋d(n≥2，且n∈N*)，其中d為常向量，則稱這個向量列{an}為等差向量列．這個常向量叫做等差向量列的公差向量，且向量列{an}的前n項和Sn＝a1＋a2＋…＋an.已知等差向量列{an}滿足a1＝(1,1)，a2＋a4＝(6,10)，則向量列{an}的前n項和Sn＝____________________.【訓練五】在等差數(shù)列{an}中，a3＋a4＝4，a5＋a7＝6.(1)求{an}的通項公式；(2)設(shè){bn}＝[an]，求數(shù)列{bn}的前10項和，其中[x]表示不超過x的最大整數(shù)，如[0.9]＝0，[2.6]＝2.【訓練六】等差數(shù)列{an}中，公差d＜0，a2＋a6＝－8，a3a5＝7.(1)求{an}的通項公式；(2)記Tn為數(shù)列{bn}前n項的和，其中bn＝|an|，n∈N*，若Tn≥1464，求n的最小值.四、【強化測試】【單選題】1.已知公差不為0的等差數(shù)列{an}中，a2＋a4＝a6，a9＝aeq\o\al(2,6)，則a10＝()A.eq\f(5,2) B.5 C.10 D.402.已知數(shù)列{an}滿足5an＋1＝25·5an，且a2＋a4＋a6＝9，則logeq\f(1,3)(a5＋a7＋a9)＝()A.－3 B.3 C.－eq\f(1,3) D.eq\f(1,3)3.在數(shù)列{an}中，a1＝3，am＋n＝am＋an(m，n∈N*)，若a1＋a2＋a3＋…＋ak＝135，則k＝()A.10 B.9 C.8 D.74.已知等差數(shù)列{an}滿足a3＋a6＋a8＋a11＝12，則2a9－a11的值為()A．－3B．3C．－12D．125.中國古代數(shù)學名著《張邱建算經(jīng)》中有如下問題：今有十等人，每等一人，宮賜金以等次差降之(等差數(shù)列)，上三人先入，得金四斤，持出；下四人后入，得金三斤，持出；中間三人未到者，亦依等次更給．則第一等人(得金最多者)得金斤數(shù)是()A.eq\f(37,26) B.eq\f(37,27)C.eq\f(52,39) D.eq\f(56,39)6.已知等差數(shù)列{an}的項數(shù)為奇數(shù)，其中所有奇數(shù)項之和為319，所有偶數(shù)項之和為290，則該數(shù)列的中間項為()A．28 B．29C．30 D．317.已知數(shù)列{an}是等差數(shù)列，若a9＋3a11<0，a10·a11<0，且數(shù)列{an}的前n項和Sn有最大值，那么Sn取得最小正值時n等于()A．20B．17C．19D．218.已知函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x＝－1對稱，且f(x)在(－1，＋∞)上單調(diào)，若數(shù)列{an}是公差不為0的等差數(shù)列，且f(a50)＝f(a51)，則數(shù)列{an}的前100項的和為()A．－200 B．－100C．－50 D．0【多選題】9.設(shè)數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若eq\f(S2n,S4n)為常數(shù)，則稱數(shù)列{an}為“吉祥數(shù)列”，則下列數(shù)列{bn}為“吉祥數(shù)列”的是()A.bn＝n B.bn＝(－1)n(n＋1)C.bn＝4n－2 D.bn＝2n10.設(shè){an}是等差數(shù)列，Sn是其前n項的和，且S5＜S6，S6＝S7＞S8，則下列結(jié)論正確的是()A．d＜0B．a(chǎn)7＝0C．S9＞S5D．S6與S7均為Sn的最大值11.已知數(shù)列{an}是公差不為0的等差數(shù)列，前n項和為Sn，滿足a1＋5a3＝S8，下列選項正確的有()A．a(chǎn)10＝0B．S10最小C．S7＝S12D．S20＝012.設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，公差為d.已知a3＝12，S12＞0，a7＜0，則()A．a(chǎn)6＞0B．－eq\f(24,7)＜d＜－3C．當Sn＜0時，n的最小值為13D．數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(Sn,an)))中的最小項為第7項【填空題】13.設(shè)Sn為等差數(shù)列{an}的前n項和，若S6＝1，S12＝4，則S18＝________.14.等差數(shù)列{an}與{bn}的前n項和分別為Sn和Tn，若eq\f(Sn,Tn)＝eq\f(3n－2,2n＋1)，則eq\f(a7,b7)等于________.15.設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn.若a2＝－3，S5＝－10，則a5＝________.16.一百零八塔，位于寧夏吳忠青銅峽市，是始建于西夏時期的喇嘛式實心塔群，是中國現(xiàn)存最大且排列最整齊的喇嘛塔群之一．一百零八塔，因塔群的塔數(shù)而得名，塔群隨山勢鑿石分階而建，由下而上逐層增高，依山勢自上而下各層的塔數(shù)分別為1,3,3,5,5,7，…，該數(shù)列從第5項開始成等差數(shù)列，則該塔群最下面三層的塔數(shù)之和為________．【解答題】17.記Sn為等差數(shù)列{an}的前n項和．已知S9＝－a5.(1)若a3＝4，求{an}的通項公式；(2)若a1＞0，求使得Sn≥an的n的取值范圍．18.已知等差數(shù)列的前三項依次為a，4，3a，前n項和為Sn，且Sk＝110.(1)求a及k的值；(2)已知數(shù)列{bn}滿足bn＝eq\f(Sn,n)，證明數(shù)列{bn}是等差數(shù)列，并求其前n項和Tn.19.在①數(shù)列{Sn－n2}是公差為－3的等差數(shù)列，②Sn＝n2＋an－5n＋4，③數(shù)列{an}是公差不為0的等差數(shù)列，且a3a6＝aeq\o\al(2,4)這三個條件中任意選擇一個，添加到下面的題目中，然后解答補充完整的題目．已知數(shù)列{an}中，a1＝－2，{an}的前n項和為Sn，且________．求an.20.若數(shù)列{an}的各項均為正數(shù)，對任意n∈