第54講圓錐曲線的綜合應(yīng)用——證明、探究性問題思維導(dǎo)圖知識梳理1．證明問題代數(shù)轉(zhuǎn)化法：圓錐曲線中的證明問題多涉及幾何量的證明，比如涉及線段或角相等以及位置關(guān)系等等．證明時，常把幾何量用坐標(biāo)表示，建立某個變量的函數(shù)，用代數(shù)方法證明.2.探究、存在性問題存在性問題的解法：先假設(shè)存在，用待定系數(shù)法設(shè)出，列出關(guān)于待定系數(shù)的方程組，推證滿足條件的結(jié)論，若方程組有實數(shù)解，則元素(點、直線、曲線或參數(shù))存在；否則，元素(點、直線、曲線或參數(shù))不存在．要注意的是：(1)當(dāng)條件和結(jié)論不唯一時要分類討論；(2)當(dāng)給出結(jié)論而要推導(dǎo)出存在的條件時，先假設(shè)成立，再推出條件；(3)當(dāng)條件和結(jié)論都不知，按常規(guī)方法解題很難時，要開放思維，采取另外合適的方法.題型歸納題型1證明問題【例1-1】設(shè)橢圓C：eq\f(x2,2)＋y2＝1的右焦點為F，過F的直線l與C交于A，B兩點，點M的坐標(biāo)為(2,0)．(1)當(dāng)l與x軸垂直時，求直線AM的方程；(2)設(shè)O為坐標(biāo)原點，證明：∠OMA＝∠OMB.【跟蹤訓(xùn)練1-1】設(shè)橢圓E的方程為eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)，點O為坐標(biāo)原點，點A的坐標(biāo)為(a,0)，點B的坐標(biāo)為(0，b)，點M在線段AB上，滿足|BM|＝2|MA|，直線OM的斜率為eq\f(\r(5),10).(1)求E的離心率e；(2)設(shè)點C的坐標(biāo)為(0，－b)，N為線段AC的中點，證明：MN⊥AB.【跟蹤訓(xùn)練1-2】在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點F的坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))，以線段MF為直徑的圓與x軸相切．(1)求點M的軌跡E的方程；(2)設(shè)T是E上橫坐標(biāo)為2的點，OT的平行線l交E于A，B兩點，交曲線E在T處的切線于點N，求證：|NT|2＝eq\f(5,2)|NA|·|NB|.【名師指導(dǎo)】幾何證明問題的解題策略：(1)圓錐曲線中的證明問題，主要有兩類：一是證明點、直線、曲線等幾何元素中的位置關(guān)系，如：某點在某直線上、某直線經(jīng)過某個點、某兩條直線平行或垂直等；二是證明直線與圓錐曲線中的一些數(shù)量關(guān)系(相等或不等)．(2)解決證明問題時，主要根據(jù)直線、圓錐曲線的性質(zhì)、直線與圓錐曲線的位置關(guān)系等，通過相關(guān)的性質(zhì)應(yīng)用、代數(shù)式的恒等變形以及必要的數(shù)值計算等進(jìn)行證明題型2探究、存在性問題【例2-1】已知圓C：(x－1)2＋y2＝eq\f(1,4)，一動圓與直線x＝－eq\f(1,2)相切且與圓C外切．(1)求動圓圓心P的軌跡T的方程；(2)若經(jīng)過定點Q(6,0)的直線l與曲線T交于A，B兩點，M是線段AB的中點，過M作x軸的平行線與曲線T相交于點N，試問是否存在直線l，使得NA⊥NB，若存在，求出直線l的方程；若不存在，請說明理由．【例2-1】如圖，橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)經(jīng)過點Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(3,2)))，離心率e＝eq\f(1,2)，直線l的方程為x＝4.(1)求橢圓C的方程；(2)AB是經(jīng)過右焦點F的任一弦(不經(jīng)過點P)，設(shè)直線AB與直線l相交于點M，記直線PA，PB，PM的斜率分別為k1，k2，k3.問：是否存在常數(shù)λ，使得k1＋k2＝λk3？若存在，求出λ的值；若不存在，請說明理由．【跟蹤訓(xùn)練2-1】已知橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的兩個焦點分別為F1，F(xiàn)2，短軸的一個端點為P，△PF1F2內(nèi)切圓的半徑為eq\f(b,3)，設(shè)過點F2的直線l被橢圓C截得的線段為RS，當(dāng)l⊥x軸時，|RS|＝3.(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)在x軸上是否存在一點T，使得當(dāng)l變化時，總有TS與TR所在直線關(guān)于x軸對稱？若存在，請求出點T的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【名師指導(dǎo)】1.存在性問題的求解方法(1)解決存在性問題通常采用“肯定順推法”，將不確定性問題明朗化．一般步驟：①假設(shè)滿足條件的曲線(或直線、點)等存在，用待定系數(shù)法設(shè)出；