優(yōu)能個(gè)性化產(chǎn)品研發(fā)中心高三數(shù)學(xué)公式大全一、乘法公式 3二、二次函數(shù) 3三、不等式 41、解一元二次不等式 42、含絕對值不等式 53、根式不等式 54、指數(shù)、對數(shù)不等式 55、分式不等式 66、基本不等式 6四、集合與常用邏輯用語 71、常用數(shù)集及其記法 72、集合間的基本關(guān)系 73、集合間的基本運(yùn)算 84、四種命題及相互關(guān)系 85、充分條件和必要條件 86、簡單的邏輯聯(lián)結(jié)詞 97、全稱量詞與特稱量詞 9五、函數(shù)與導(dǎo)數(shù) 101、冪的運(yùn)算及指數(shù)的運(yùn)算 102、對數(shù)的運(yùn)算 103、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)的圖像與性質(zhì) 114、導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算 13六、三角函數(shù)與解三角形 141、弧度制（弧長及扇形面積） 142、任意角的正弦、余弦、正切的定義 143、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系 144、誘導(dǎo)公式 155、兩角和與差的正弦、余弦、正切公式 156、正弦定理、余弦定理、面積公式 167、利用正弦、余弦定理解三角形 17七、數(shù)列 181、等差數(shù)列 182、等比數(shù)列 203、數(shù)列求通項(xiàng) 214、數(shù)列求和 21八、平面向量 231、公式法 231/41優(yōu)能個(gè)性化產(chǎn)品研發(fā)中心2、三角形“五心”向量形式表示 24九、復(fù)數(shù) 251、復(fù)數(shù)的基本概念、復(fù)數(shù)相等的條件 252、復(fù)數(shù)代數(shù)形式的四則運(yùn)算法則 253、常見的運(yùn)算規(guī)律 26十、空間向量與立體幾何 261、棱柱、棱錐、球的表面積和體積 262、空間向量的坐標(biāo)計(jì)算 263、空間向量距離公式、中點(diǎn)公式、重心公式 274、利用空間向量解決立體幾何問題 27十一、平面解析幾何初步 291、直線的傾斜角、斜率、表達(dá)式 292、直線的位置關(guān)系 293、點(diǎn)點(diǎn)距離、點(diǎn)線距離、線線距離 304、圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與一般方程 305、直線與圓、兩圓的位置關(guān)系（d表示圓心到直線的距離） 31十二、圓錐曲線與方程 321、橢圓 322、雙曲線 333、拋物線 34十三、統(tǒng)計(jì) 351、簡單隨機(jī)抽樣 352、分層抽樣和系統(tǒng)抽樣 353、頻率分布表，直方圖，折線圖，莖葉圖 354、樣本數(shù)據(jù)的數(shù)字特征 365、用樣本的頻率分布估計(jì)總體分布，用樣本的基本數(shù)字特征估計(jì)總體的基本數(shù)字特征 36十四、排列、組合、二項(xiàng)式定理 371.排列組合 372.二項(xiàng)式定理 37十五、隨機(jī)變量 391、古典概型、幾何概型、條件概率 392、離散型隨機(jī)變量的分布列 392/41優(yōu)能個(gè)性化產(chǎn)品研發(fā)中心一、乘法公式必須記住的乘法公式（1）平方差公式a2b2=abab（2）完全平方公式ab2a22abb2（3）立方和公式a3b3=aba2abb2（4）立方差公式a3b3=aba2abb2（5）三數(shù)和平方公式abc2a2b2c22ab+bcac（6）兩數(shù)和立方公式a+b3a3+3a2b3ab2+b3（7）兩數(shù)差立方公式ab3a33a2b3ab2b3二、二次函數(shù)1、二次函數(shù)的表達(dá)式（1）一般式：fxax2bxca,b,c為常數(shù)，a0（2）頂點(diǎn)式fxaxh2ka0（3）零點(diǎn)式：fxaxx1xx2a02、一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系ax2bxc=0a,b,cR，a0,0的兩根是x1,x2,則x1x2baxxc 1 2 a3/41優(yōu)能個(gè)性化產(chǎn)品研發(fā)中心三、不等式1、解一元二次不等式判別式b24ac000二次函數(shù)yax2bxca0的圖象有兩個(gè)相異實(shí)數(shù)根一元二次方程xb有兩個(gè)相等實(shí)數(shù)根ax2bxc0a0的根1,22ax1x2b沒有實(shí)數(shù)根x1x22abxx＜或一元二次不等式ax2bxc＞02axxRa0的解集b+2ax＞2abb+2bxc＜0一元二次不等式axx2a＜x＜2aa0的解集4/41優(yōu)能個(gè)性化產(chǎn)品研發(fā)中心2、含絕對值不等式a0時(shí)，有xax2a2axa;ax2a2xa或xa.3、根式不等式fx0①fxgxgx0fxgxfx0x0②fxgxgxgx2ffx0③fxgxgx0xgx2f

fx0gx04、指數(shù)、對數(shù)不等式①當(dāng)a1時(shí)，afxagxfxgxfx0logafxlogagxgx0fxgx②當(dāng)0a1時(shí)，afxagxfxgxfx0logafxlogagxgx0fxgx5/41優(yōu)能個(gè)性化產(chǎn)品研發(fā)中心5、分式不等式fx0fx0fx0fxgx0;①或gxgx0gx0fx0fx0fx0fxgx0;②或gxgx0gx0fxfxgx00③00gx0gx④fxafxagx0gxfxagx0.gxgx6、基本不等式①重要不等式如果a,bR，那么a2b22ab（當(dāng)且僅當(dāng)ab時(shí)取“=”）.②基本不等式如果a,bR，那么ab2ab（當(dāng)且僅當(dāng)ab時(shí)取“=”）.③基本不等式的幾種變形形式ab2a2b2a,bR;ab222aba2b2a,bR;ab1122abbaba2（a,b同號，當(dāng)且僅當(dāng)ab時(shí)取“=”）；a2b2c2abbccaa,b,cR.6/41優(yōu)能個(gè)性化產(chǎn)品研發(fā)中心四、集合與常用邏輯用語1、常用數(shù)集及其記法常用數(shù)集一覽表掌握打√常用數(shù)集簡稱記法?全體非負(fù)整數(shù)組成的集合非負(fù)整數(shù)集(或自然數(shù)集)N?所有正整數(shù)組成的集合正整數(shù)集N/N+?全體整數(shù)組成的集合整數(shù)集Z?全體有理數(shù)組成的集合有理數(shù)集Q?全體實(shí)數(shù)組成的集合實(shí)數(shù)集R2、集合間的基本關(guān)系子集、真子集、集合相等名稱子集真子集集合相等記號AB(或BA)AüB(或BYA)ABAB，且B中至少有一元A中的任一元素都屬于意義A中的任一元素都屬于BB，B中的任一元素都屬素不屬于A于A(1)AA(1)üA(A為非空集合)(2)A(2)若AüB且BüC,則(1)AB性質(zhì)(3)若AB且BC,則AC(2)BA(4)若AB且BA,則ABAüC示意圖或7/41優(yōu)能個(gè)性化產(chǎn)品研發(fā)中心3、集合間的基本運(yùn)算名稱交集并集補(bǔ)集記號ABABCUA意義x|xA,且xBx|xA，或xBx|xU，且xA(1)AAA(1)AAA(1)ACUA(2)A(2)AA性質(zhì)(3)ABA(3)ABAACUAU(2)ABBABB示意圖4、四種命題及相互關(guān)系(1)“若p，則q”形式的命題及其逆命題、否命題與逆否命題①原命題：pq②逆命題：qp③否命題：pq④逆否命題：qp(2)四種命題的相互關(guān)系原命題互逆逆命題若p則q若q則p互否互否互為逆否互否否命題互逆逆否命題p則q若q則p5、充分條件和必要條件（1）充分條件：若pq，則p是q的充分條件（2）必要條件：若pq，則p是q的必要條件（3）充要條件：若pq，則p是q的充要條件8/41優(yōu)能個(gè)性化產(chǎn)品研發(fā)中心6、簡單的邏輯聯(lián)結(jié)詞（1）或：pq（2）且：pq（3）非：p（4）pq，pq的真假：pqpqpq真真真真真假真假假真真假假假假假（5）p的真假：pp真假假真7、全稱量詞與特稱量詞（1）全稱量詞：（2）全稱命題：xM,px成立（3）存在量詞：（4）特稱命題：x0M,px0成立（5）全稱命題的否定：p:xM,pxp:x0M,px0（6）特稱命題的否定：p:x0M,px0p:xM,px9/41優(yōu)能個(gè)性化產(chǎn)品研發(fā)中心五、函數(shù)與導(dǎo)數(shù)1、冪的運(yùn)算及指數(shù)的運(yùn)算arasarsa0,r,sQarasarsa0,r,sQarsarsa0,r,sQabrarbra0,b0,rQbrbra0,b0,rQaramanama0,m,nN,且n1nm11mnana0,m,nN,且n1namanana（a必須使na有意義，nN，且n1）a01a0,a1a,a11aa02、對數(shù)的運(yùn)算（1）對數(shù)的性質(zhì)：幾何恒等式（a，N，b都是正數(shù)，且a，b1）alogaN NlogaNlogbN（換底公式）logbaloganbmmnlogabloga10（2）對數(shù)的運(yùn)算法則（a0且a1,MlogaMNlogaMlogaN；logamMm1logaM（3）常用對數(shù)：log10NlgN

logaaNNlogab1logbalogaa1log 11aa0,N0，nN*且n2）MlogaMlogaNlogaMnnlogaMlogaNlogan1logaMMn自然對數(shù)：logeNlnN（e2.71828 ）10/41優(yōu)能個(gè)性化產(chǎn)品研發(fā)中心3、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)的圖像與性質(zhì)（1）指數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)a10a1圖象定義域：R性值域：0，+質(zhì)過定點(diǎn)0,1，即x0時(shí)，y1在R上是增函數(shù)在R上是減函數(shù)x0,ax1;x0,0ax1;x0,0ax1x0,ax1（2）對數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)a10a111/41優(yōu)能個(gè)性化產(chǎn)品研發(fā)中心圖11象0101定義域：(0,)值域：R性過定點(diǎn)(1,0)，即x1時(shí)，y0質(zhì)在(0,)上是增函數(shù)在(0,)上是減函數(shù)x1,logax0；x1,logax0；0x1,logax00x1,logax0（3）冪函數(shù)的圖像與性質(zhì)①冪函數(shù)的圖像與性質(zhì)函yx1特?cái)?shù)yx2yx3yx1性征質(zhì)0,定義域xxR且x00,0,值域yyR且y0奇偶性奇偶奇非奇非偶奇x0,時(shí)，增x0,時(shí)，減單調(diào)性增x,0時(shí)，減增增x,0時(shí)，減定點(diǎn)0,0,1,11,1②五種冪函數(shù)的圖象比較12/41優(yōu)能個(gè)性化產(chǎn)品研發(fā)中心4、導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算(1)基本初等函數(shù)的運(yùn)算公式：公式1：若f(x)c，則f'(x)0公式2：若f(x)xn，則f'(x)nxn1公式3：若f(x)sinx，則f'(x)cosx公式4：若f(x)cosx，則f'(x)sinx公式5：若f(x)ax，則f'(x)axlna(a0且a1)公式6：若f(x)ex，則f'(x)ex公式7：若f(x)logax，則f'(x)xln1aa0且a1公式8：若f(x)lnx，則f'(x)1x(2)導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則：13/41優(yōu)能個(gè)性化產(chǎn)品研發(fā)中心[f(x)g(x)]f(x)g(x)[f(x)g(x)]f(x)g(x)f(x)g(x)f(x)f③(x)g(x)f(x)g(x)(g(x)0)g2(x)g(x)Cf(x)Cf(x)(C為常數(shù))fxfx(其中=(x))六、三角函數(shù)與解三角形1、弧度制（弧長及扇形面積）（1）弧度與角度互化：2rad360,rad180,1rad(180)5718',1(180)rad.（2）弧長，扇形面積公式：設(shè)扇形的弧長為l，圓心角大小為(rad)，半徑為r，弧長公式：lr；扇形的面積公式：S12r2.2、任意角的正弦、余弦、正切的定義(1)設(shè)是一個(gè)任意角，它的終邊與單位圓交于點(diǎn)Px,y，那么：siny, cosx, tanxy(2)設(shè)點(diǎn)Ax,y為角終邊上任意一點(diǎn)，那么：（設(shè)rx2y2）sinry，cosrx，tanxy3、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系（1）平方關(guān)系：sin2cos21，14/41優(yōu)能個(gè)性化產(chǎn)品研發(fā)中心（2）商數(shù)關(guān)系：tan=cossin.（3）sinxcosx;sinxcosx;sinxcosx三個(gè)關(guān)系間的關(guān)系(sinxcosx)2(sinxcosx)24sinxcosx;(sinxcosx)2(sinxcosx)24sinxcosx;2sinxcosx(sinxcosx)211(sinxcosx)24、誘導(dǎo)公式誘導(dǎo)公式格式：k2(kZ)（1）可以為任意角，但是一般設(shè)為銳角.（2）誘導(dǎo)公式記憶口訣：奇變偶不變，符號看象限.①首先判斷角所在象限；②其次根據(jù)角所在象限判斷符號③奇變偶不變（k是奇數(shù)，變函數(shù)名，即sincos；k是偶數(shù)，不變函數(shù)名）（3）在角k2(kZ)中，若k2(kZ)不在[0,2)內(nèi)，在計(jì)算時(shí)可以直接加上或者減去2的整數(shù)倍后在進(jìn)行計(jì)算.5、兩角和與差的正弦、余弦、正切公式（1）和角和差角公式sin()=sincossincoscos()=coscos sinsintan()=tantan1 tantanasinbcosa2b2sin()（2）二倍角的正弦、余弦、正切公式sin2=2sincossin2=cos2sin2=2cos21=12sin2tan2=2tan1tan2（3）升冪公式15/41優(yōu)能個(gè)性化產(chǎn)品研發(fā)中心1cos2cos221cos2sin221sin(sin22cos22)2（4）降冪公式sincos1sin22121cos22(1+cos2)6、正弦定理、余弦定理、面積公式（1）正弦定理①定理： a b c 2R，（R為△ABC外接圓半徑）sinA sinB sinC2RsinA,b2RsinB,c2RsinC；sinA:sinB:sinCa:b:c；sinA2aR，sinB2bR，sinC2cR；sin2A+sin2B2sinAsinBcosCsin2Ca2b22abcosCc2；bcosC+ccosBasinBcosCsinCcosBsinA；bcsinBsinC等a2sin2A③解決的問題：已知兩角和任一邊，求其他兩邊和另一角；已知兩邊和其中一邊的對角，求另一邊的對角；16/41優(yōu)能個(gè)性化產(chǎn)品研發(fā)中心（2）余弦定理①定理：a2=b2+c22bccosA；b2=a2+c22accosB;c2=a2+b22abcosC②定理變形：cosAb2c2a2bc2a2222=12bccosA=b+ca2bc2bccosBa2c2b2ac2b2222=12accosB=a+cb2ac2accosCa2b2c2ba2c2222=12abcosC=a+bc2ab2ba③解決的問題：已知三邊求三角形的任意一角；已知兩邊和他們的夾角，求第三邊和其他兩個(gè)角．7、利用正弦、余弦定理解三角形（1）解三角形中常用公式和結(jié)論ABCABC，BAC，CAB;sinAsin(BC);cosAcos(BC);tanAtan(BC)②在△ABC中（a,b,c分別為角A,B,C所對應(yīng)的邊）：abcABCsinAsinBsinC；a＞b＞cA＞B＞CsinA＞sinB＞sinC；a2+b2=c2角C為直角△ABC為直角三角形;；a2+b2＜c2角C為鈍角△ABC為鈍角三角形;a2+b2＞c2角C為銳角△ABC形狀不確定;tanA+tanBtanCtanAtanBtanC;銳角△ABC滿足：AB＞2,CB＞2,AC＞217/41優(yōu)能個(gè)性化產(chǎn)品研發(fā)中心bc＞a,ac＞b;bc＜a,ca＜b,ab＜c.（2）已知三角形兩邊a,b及A解的個(gè)數(shù)A90A90A90ab一個(gè)解一個(gè)解一個(gè)解ab無解無解一個(gè)解ababsinA兩個(gè)解無解無解absinA一個(gè)解absinA無解七、數(shù)列1、等差數(shù)列（1）定義：如果一個(gè)數(shù)列從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它前一項(xiàng)的差等于同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列就叫做等差數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差，通常用字母d表示.定義表達(dá)式：anan1dnN*,n2；an1andnN*（2）等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與變形ana1(n1)danam(nm)dd=an-amn-m（3）等差數(shù)列的常見性質(zhì)：①等差中項(xiàng)：若a,A,b成等差數(shù)列，則A稱為a,b的等差中項(xiàng)，即A=a+b；2③若{an}為等差數(shù)列，前n項(xiàng)和為Sn，則其中Sk，S2kSk，S3kS2k，…仍成等差數(shù)列18/41優(yōu)能個(gè)性化產(chǎn)品研發(fā)中心④當(dāng)項(xiàng)數(shù)為偶數(shù)時(shí)，設(shè)項(xiàng)數(shù)為2n的等差數(shù)列：S偶aa2nnnan1,S奇aa2n1nnan.則有S偶S奇nd,S偶an122S奇an⑤當(dāng)項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)時(shí)，設(shè)項(xiàng)數(shù)為2n1：S偶aa2n2n1n1an,S奇aa2n1nnan.則有S奇S偶an,S偶n122S奇n（4）等差數(shù)列前n和Sn：（倒序相加法）Snn(a1an)或Snna11n(n1)d2 2（5）等差數(shù)列前n項(xiàng)和的最值問題：d2d①利用二次函數(shù)求S的最值：Snnan．22n1②利用an取值的正負(fù)情況來研究數(shù)列和的變化情況：當(dāng)a1an0求得n值；0,d0時(shí)，Sn有最大值，通過an10當(dāng)a1an0求得n值．0,d0時(shí)，Sn有最小值，通過an10（6）對稱設(shè)項(xiàng)法：①項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)項(xiàng)可設(shè)：鬃,a2d,a-d,a,a+d,a+2d,鬃②項(xiàng)數(shù)為偶數(shù)項(xiàng)可設(shè)：鬃,a2d,a-d,a+d,a+2d,鬃（7）等差數(shù)列判斷方法：①定義法：anan1常數(shù)（n2）②中項(xiàng)公式法：2anan1an1n2an為等差數(shù)列③通項(xiàng)公式法：anpnq（p、q為常數(shù)）an為等差數(shù)列④前n項(xiàng)和公式法：SnAn2Bn（A、B為常數(shù)）an為等差數(shù)列⑤說明：后兩種方法主要適用于選擇填空中的簡單判斷，而不能用來證明等差數(shù)列。19/41優(yōu)能個(gè)性化產(chǎn)品研發(fā)中心2、等比數(shù)列（1）定義：如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比等于同一個(gè)非零常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列叫做等比數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比，通常用字母q表示.定義的表達(dá)式：an q或an1q(q10)an1 an（2）等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及求和公式ananSn

a1qn1a1q0．a(chǎn)mqnm．na1(q1)aaqa(1qn)(q1)1q1q（3）等比數(shù)列的性質(zhì)：①等比中項(xiàng)：如果在a與b中間插入一個(gè)數(shù)G，使a,G,b成等比數(shù)列，那么G叫做a與b的等比中項(xiàng)．即G 是a與b的等比中項(xiàng)a,G,b成等比數(shù)列G2ab．②若{an}為等比數(shù)列，mnpqm,n,p,qN，則amanapaq．③若{an}為等比數(shù)列，公比為q(q11)，前n和為Sn，則其中Sk，S2kSk，S3kS2k，…仍成等比數(shù)列.④若{an}為等比數(shù)列,an>0則{logaan}為等差數(shù)列，反之，若{logaan}為等差數(shù)列，則{an}為等比數(shù)列；（4）對稱設(shè)項(xiàng)法：減少運(yùn)算量：,a,a,aq,①項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)可設(shè)：鬃鬃 鬃qa,a,aq,aq3②項(xiàng)數(shù)為偶數(shù)可設(shè)：鬃鬃 鬃q3 q（5）等比數(shù)列的判定及證明①定義法：an1q（nN,q0是常數(shù)） an 是等比數(shù)列；an②中項(xiàng)法：an21anan2（nN）且an0 an 是等比數(shù)列；20/41優(yōu)能個(gè)性化產(chǎn)品研發(fā)中心③通項(xiàng)法：ancqncq0 an 是等比數(shù)列．若mnpqm,n,p,qN，則amanapaq．④前n項(xiàng)和公式法：Sn=kqn-k(q1 0)說明：后兩種方法主要適用于選擇題，填空題中的簡單判斷，而不能用來證明等比數(shù)列.3、數(shù)列求通項(xiàng)（1）公式法：{a}是等差數(shù)列，則aa(n1)d；{a}是等比數(shù)列，則anaqn1nn1n1S（n1)（2）an與Sn的關(guān)系：an1SnSn1(n2)（3）累加法求數(shù)列的通項(xiàng)：an1anf(n)an1anf(n)（4）累乘法求數(shù)列的通項(xiàng)：an1anf(n)an1f(n)an（5）構(gòu)造等差、等比數(shù)列求通項(xiàng)：an1panq；an1panqn4、數(shù)列求和數(shù)列求和的常用方法：公式法；分組求和；裂項(xiàng)相消法；錯(cuò)位相減法；特殊數(shù)列求和．（1）公式法：①等差數(shù)列求和公式：Snnann1dna1an122②等比數(shù)列求和公式：Sna11qn,q11qq1na1,（2）分組求和：21/41優(yōu)能個(gè)性化產(chǎn)品研發(fā)中心①差比分組：an為等差數(shù)列，bn為等比數(shù)列，cnanbn，則cn前n項(xiàng)和Snc1c2c3cn1cn采用差比分組求和為：Sna1a2an+b1b2bn.②奇偶分組：a,n為奇數(shù)c2c3cn1cn采用奇若an等差數(shù)列，bn等差數(shù)列，cnn，則cn前n項(xiàng)和Snc1bn,n為偶數(shù)偶分組求和：SnS奇+S偶.③錯(cuò)位相減法：若an為等差數(shù)列，bn為等比數(shù)列，cnanbn或cnan，則cn前n項(xiàng)和用錯(cuò)位相減法.bn④裂項(xiàng)相消法：cn1111andanan1danan1111變形：mm111n(n1)nn1nnkknnk11112(求和要注意)nn2n2n2111132n12n322n12n3111114；21(2n1)(2n1)22n14n2n1類型二：①an2n(2nA)(2n1A)②an3n(3nA)(3n1A)類型三：①an(1)n4n(2n1)(2n1)

11；(2nA)(2n1A)1[11]2nA)(3n1A)(3(1)n(11)2n12n122/41優(yōu)能個(gè)性化產(chǎn)品研發(fā)中心②an(1)n2AnBC(1)n(11)(BC)(AnB)(AnC)AnBAnC1類型四：n1nnn1類型五：對數(shù)式裂項(xiàng)：logan1logaloga(a0,a0)cacn1cnnn1n注：裂項(xiàng)相消就是把式子裂成兩項(xiàng)相加減,最后求和的式子有加有減能相消,達(dá)到化簡式子的目的.八、平面向量1、公式法（1）向量加減法運(yùn)算：三角形法則①向量的加法：求兩個(gè)向量的和平行四邊形法則 ②向量的減法：一個(gè)向量減去另一個(gè)向量，相當(dāng)于加上這個(gè)向量的相反數(shù)，即aba(b)．CBabBbabbabAbOBAOAaaaABBCACOAOBOCABOBOA注：向量加減法滿足交換律和結(jié)合律律：交換律：abba結(jié)合律：(ab)ca(bc)．③平面向量的數(shù)乘ba．④平面向量坐標(biāo)的加減、數(shù)乘運(yùn)算：a(x1,y1)，b(x2,y2)，ab(x1x2,y1y2)．a(chǎn)(x1,y1)．23/41優(yōu)能個(gè)性化產(chǎn)品研發(fā)中心（2）數(shù)量積的計(jì)算①ab|a||b|cosa,b．②已知a(x1,y1)，b(x2,y2)，則abx1x2y1y2．（3）向量模的計(jì)算x2y2①若已知平面向量的坐標(biāo)a(x,y)，則|a|．m2②|manb||manb|2|a|22mn|a||b|n2|b|2（4）向量夾角的計(jì)算①兩向量夾角的定義及范圍：[0,]．x1x2y1y2②兩向量間夾角的計(jì)算：cosab(為兩向量夾角)|a||b|x12y12x22y22（5）向量的投影計(jì)算①投影的定義：|b|cos為b在a方向上的投影．x1x2y1y2ab②兩向量間夾角的計(jì)算|b|cos=．x2y2|a|11（6）兩個(gè)向量平行和垂直的判定x1y1①兩個(gè)平行向量的判定：a//b(b0)R,使得abxyxy0()．1221x2y20yy0②兩個(gè)垂直向量的判定：abcosa,b90ab0xx22112、三角形“五心”向量形式表示（1）O為 ABC的外心OA2OB2OC2（2）O為 ABC的重心OA+OB+OC=024/41優(yōu)能個(gè)性化產(chǎn)品研發(fā)中心（3）O為 ABC的垂心OAOB=OBOC=OAOC（4）O為 ABC的內(nèi)心aOAbOBcOC0（5）O為 ABC的的旁心aOA=bOBcOC九、復(fù)數(shù)1、復(fù)數(shù)的基本概念、復(fù)數(shù)相等的條件（1）虛數(shù)單位：i，i2=1（2）定義：形如zabia,bR的數(shù)叫做復(fù)數(shù)，其中a,b分別是它的實(shí)部和虛部.b0時(shí)，za為實(shí)數(shù)；當(dāng)b0時(shí)，zabi為虛數(shù)；當(dāng)a0且b0時(shí)，zbi為純虛數(shù).（3）①兩個(gè)軸：實(shí)軸：x軸；虛軸：y軸.②實(shí)軸上的點(diǎn)都表示實(shí)數(shù)；③除原點(diǎn)以外，虛軸上的點(diǎn)都表示純虛數(shù).（4）復(fù)數(shù)相等：abi=cdiac,bda,b,c,dR.（5）復(fù)數(shù)的模及共軛復(fù)數(shù)①模：向量OZ的模r叫做復(fù)數(shù)zabia,bR的模，記作z或abi，由模的定義可知：z=abi=ra2b2（顯然r0，rR）②共軛復(fù)數(shù)：設(shè)zabi，z的共軛復(fù)數(shù)記為z，則zabi,zza2b2,zza2b2.（6）復(fù)數(shù)的幾何意義：復(fù)數(shù)zabia,bR對應(yīng)復(fù)平面上的點(diǎn)Za,b，對應(yīng)的向量是OZ=a,b2、復(fù)數(shù)代數(shù)形式的四則運(yùn)算法則（1）加法：abi+cdiacbdi；（2）減法：abicdiacbdi；（3）乘法：abicdiacbdbcadi；25/41優(yōu)能個(gè)性化產(chǎn)品研發(fā)中心abiabicdiacbdbcadiacbdbcad（4）除法：=i.cdicdicdic2d2c2d2c2d23、常見的運(yùn)算規(guī)律zz;zz2a;zz2bi;zzz2z2a2b2；zzR;i4n1i;i4n21;i4n3i;i4n41；十、空間向量與立體幾何1、棱柱、棱錐、球的表面積和體積名稱面積體積圓柱S側(cè)2rhVShr2h圓錐S側(cè)rlV錐體1Sh3圓臺1S側(cè)r1r2lV臺體S上S上S下S下h3直棱柱S側(cè)ChVSh正棱錐1為斜高1S側(cè)V3Sh2Chh正棱臺11S側(cè)h為斜高V臺體S上S上S下S下h32CCh球S球4R2V4R332、空間向量的坐標(biāo)計(jì)算ax1,y1,z1,bx2,y2,z2，則①abx1x2,y1y2,z1z2;②abx1x2,y1y2,z1z2;26/41優(yōu)能個(gè)性化產(chǎn)品研發(fā)中心ax1,y1,z1R;abx1x2y1y2z1z2.⑤設(shè)Ax1,y1,z1,Bx2,y2,z2,則BAOAOBx1x2,y1y2,z1z2.3、空間向量距離公式、中點(diǎn)公式、重心公式①設(shè)點(diǎn)Ax1,y1,z1，Bx2,，則；y2,z2ABx1x22y1y22z1z22②設(shè)點(diǎn)Ax1,y1,z1，Bx2,y2,z2，Cx3,y3,z3，xxyy2zz2則線段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為,,.222xxxyyyzzz則ABC的重心坐標(biāo)為,,3334、利用空間向量解決立體幾何問題（1）平行①線線平行：a//ba//bab；②線面平行：a//amam0；③面面平行：//m//nmn。（2）垂直①線線垂直：ababab0；②線面垂直：aa//mam；③面面垂直：mnmn0。（3）角度|ab|①線線角：cos|cos|(為向量a,b夾角[0,]，為兩直線a,b夾角[0,])；2|a||b|27/41優(yōu)能個(gè)性化產(chǎn)品研發(fā)中心|am|(為直線a與平面的所成的角[0,②線面角：sin])；2|a||m||mn|cos,為二面角[0,2]|m||n|。③面面角：|mn|cos,為二面角[,]|m||n|2（4）距離①點(diǎn)面距：P平面的法向量為n，P是平面外一點(diǎn)，點(diǎn)M為平面內(nèi)n任一點(diǎn)，則P到平面的距離d就是MP在向量nM方向上射影的絕對值：d|nMP|；|n|E②線線距：aa,b是兩異面直線，n是a,b的法向量，點(diǎn)Ea,Fb則異面直線a,b之間的距離是：EF；dnbFn3線面距：平面∥直線l，的法向量為n，P直線l，點(diǎn)M為平面內(nèi)l PnM

一點(diǎn)，則直線l與平面的距離d就是MP在向 n方向上射影的絕對值：d|nMP||n|4面面距：P平面//平面，平面的法向量為n，點(diǎn)M為平面內(nèi)一點(diǎn)，n點(diǎn)P為平面內(nèi)一點(diǎn)，則平面與平面的距離d就是MP在向量M|nMP|n方向上射影的絕對值：d。|n|28/41優(yōu)能個(gè)性化產(chǎn)品研發(fā)中心十一、平面解析幾何初步1、直線的傾斜角、斜率、表達(dá)式(1)直線的傾斜角：0,180．(2)直線的斜率①當(dāng)傾斜角2時(shí)，ktan；②過兩點(diǎn)的斜率：ky2y1x1x2，Ax1,y1,Bx2,y2.xx21(3)直線的方程表達(dá)式①斜截式：ykxb②點(diǎn)斜式：yy0k(xx0)xx0③兩點(diǎn)式：yy1xx1x1x2,y1y2yyxx2121④截距式：axby1ab0⑤一般式：AxByC0A，B不全為02、直線的位置關(guān)系（1）斜截式形式：l1:yk1xb1，l2:yk2xb2①l1//l2kk12b1b2；l1和l2相交k1k2；③l1和l2kk重合12b1=b2；29/41優(yōu)能個(gè)性化產(chǎn)品研發(fā)中心l1l2k1k21（2）一般式形式：l1:A1xB1yC10；l2:A2xB2yC201l1//l2AB=AB1221；A1C2A2C1或B1C2B2C1l1和l2相交A1B2A2B1③l1和l2AB=AB重合1221A1C2=A2C1或B1C2=B2C1l1l2A1A2B1B203、點(diǎn)點(diǎn)距離、點(diǎn)線距離、線線距離（1）兩點(diǎn)間距離：設(shè)A(x1,y1)，B（x2,y2）|AB| (x1x2)2(y1y2)2（2）點(diǎn)到直線距離：設(shè)點(diǎn)Px0,y0，直線l:AxByC0d Ax0By0CA2B2（3）兩平行線間的距離：設(shè)l:AxByC0；l:AxByC0CC211221dC1C2A2B24、圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與一般方程（1）圓的標(biāo)準(zhǔn)方程xa2yb2r2，其中圓心a,b，半徑為r；（2）一般方程：x2y2DxEyF0（隱含條件：D2E24F0D,E）其中圓心，221半徑rD2E24F230/41優(yōu)能個(gè)性化產(chǎn)品研發(fā)中心（3）以A(x1,y1)，B(x2,y2)為直徑的圓的方程可以設(shè)為(xx1)(xx2)(yy1)(yy2)05、直線與圓、兩圓的位置關(guān)系（d表示圓心到直線的距離）（1）直線AxByC0與圓(xa)2(yb)2r2的位置關(guān)系有三種：dr相離0dr相切0dr相交0；弦長公式l2r2d2（2）兩圓的位置關(guān)系：圓心距O1O2d，R＞r①外離：dRr②外切：d=Rr③相交：Rr＜d＜Rrh④內(nèi)切：d=Rr⑤內(nèi)含：d＜Rr31/41優(yōu)能個(gè)性化產(chǎn)品研發(fā)中心十二、圓錐曲線與方程1、橢圓焦點(diǎn)的位置焦點(diǎn)在x軸上焦點(diǎn)在y軸上圖形x2y2y2x2標(biāo)準(zhǔn)方程abab第一定義到兩定點(diǎn)F1、F2的距離之和等于常數(shù)2a，即|MF1||MF2|2a（2a|F1F2|）第二定義MFe(0e1)與一定點(diǎn)的距離和到一定直線的距離之比為常數(shù)e，即d范圍axa且bybbxb且aya頂點(diǎn)A1a,0、A2a,0A10,a、A20,aB10,b、B20,bB1b,0、B2b,0軸長長軸的長2a短軸的長2b對稱性關(guān)于x軸、y軸對稱，關(guān)于原點(diǎn)中心對稱焦點(diǎn)F1c,0、F2c,0F10,c、F20,c焦距FF2c(c2a2b2)12c離心率ec2a2b21b2(0e1)aa2a2a2xa2ya2準(zhǔn)線方程cc焦半徑左焦半徑：MF1aex0下焦半徑：MF1aey0M(x0,y0)右焦半徑：MF2aex0上焦半徑：MF2aey0焦點(diǎn)三角形面積SMFFb2tan(F1MF2)212通徑過焦點(diǎn)且垂直于長軸的弦叫通徑：HH2b2A(x1,y1),B(x2,y2)，（焦點(diǎn)）弦長公式AB1k2x1x21k2(x1x2)24x1x232/41優(yōu)能個(gè)性化產(chǎn)品研發(fā)中心2、雙曲線焦點(diǎn)的位置焦點(diǎn)在x軸上焦點(diǎn)在y軸上圖形x2y2y2x2標(biāo)準(zhǔn)方程abab第一定義到兩定點(diǎn)F1、F2的距離之差的絕對值等于常數(shù)2a，即|MF1||MF2|2a（02a|F1F2|）第二定義MFe(e1)與一定點(diǎn)的距離和到一定直線的距離之比為常數(shù)e，即d范圍xa或xa，yRya或ya，xR頂點(diǎn)1a,0、2a,010,a、20,a軸長實(shí)軸的長2a虛軸的長2b對稱性關(guān)于x軸、y軸對稱，關(guān)于原點(diǎn)中心對稱焦點(diǎn)F1c,0、F2c,0F10,c、F20,c焦距FF2c(c2a2b2)cc2a2b2b2(e1)離心率aa21aa2ya2準(zhǔn)線方程ccba漸近線方程ab左焦：MFexa左焦：MFeyaM在右支MF2ex0aM在上支MF2ey0a焦半徑右焦：右焦：M(x0,y0)MFexaMFeya左焦：左焦：0M在左支MF2ex0aM在下支MF2ey0a右焦：右焦：焦點(diǎn)三角形面積SMFFb2cot(F1MF2)2通徑過焦點(diǎn)且垂直于長軸的弦叫通徑：HHb233/41優(yōu)能個(gè)性化產(chǎn)品研發(fā)中心3、拋物線圖形標(biāo)準(zhǔn)方程p0y22pxx22pyx22pyy22pxp0p0p0定義與一定點(diǎn)F和一條定直線l的距離相等的點(diǎn)的軌跡叫做拋物線(定點(diǎn)F不在定直線l上)頂點(diǎn)0,0離心率e1對稱軸x軸y軸范圍x0x0y0y0pppp焦點(diǎn)F,0F,0F0,F0,2222準(zhǔn)線方程xpxpypyp2222焦半徑ppppM(x0,y0)MFxMFxMFyMFy通徑過拋物線的焦點(diǎn)且垂直于對稱軸的弦稱為通徑：HH2p焦點(diǎn)弦長ABx1x2p公式參數(shù)p的幾參數(shù)p表示焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離，p越大，開口越闊何意義設(shè)AB為過拋物線y22px(p0)焦點(diǎn)的弦，A(x,y)、B(x,y)，直線AB的傾斜角為，則1122⑴xxp2,yyp2;⑵AB2p;12412sin2⑶以AB為直徑的圓與準(zhǔn)線相切；⑷焦點(diǎn)F對A、B在準(zhǔn)線上射影的張角為2⑸112.|FA||FB|P34/41一對一&一對六 產(chǎn)品研發(fā)中心十三、統(tǒng)計(jì)1、簡單隨機(jī)抽樣（1）定義：設(shè)一個(gè)總體含有N個(gè)個(gè)體，從中逐個(gè)不放回的抽取n個(gè)個(gè)體作為樣本(nN)，如果每次抽取時(shí)總體內(nèi)的各個(gè)個(gè)體被抽到的機(jī)會都相等，就把這種抽樣方法叫做簡單隨機(jī)抽樣。（2）最常用的簡單隨機(jī)抽樣的方法：抽簽法和隨機(jī)數(shù)法.2、分層抽樣和系統(tǒng)抽樣（1）系統(tǒng)抽樣的步驟：假設(shè)要從容量為的總體中抽取容量為的樣本.①編號：先將總體的N個(gè)個(gè)體編號；②分段：確定分段間隔k，對編號進(jìn)行分段，當(dāng)Nn（n是樣本容量）是整數(shù)時(shí)，取kNn；③定首個(gè)個(gè)體：在第1段用簡單隨機(jī)抽樣確定第一個(gè)個(gè)體編號1(1k)；④獲取樣本：按照一定的規(guī)則抽取樣本，通常是將1加上間隔k得到第2個(gè)個(gè)體編號1k，再加k得到第3個(gè)個(gè)體編號12k，一次進(jìn)行下去，直到獲取整個(gè)樣本.（2）分層抽樣①定義：在抽樣時(shí)，將總體分成互不交叉的層，然后按照一定的比例，從各層獨(dú)立地抽取一定數(shù)量的個(gè)體，將各層取出的個(gè)體合起來一起作為樣本，這種方法叫做分層抽樣.②分層抽樣的范圍：當(dāng)總體是由差異明顯的幾個(gè)部分組成時(shí)，往往選用分層抽樣.③分層抽樣的步驟a.分層：將總體按某種特征分成若干部分；b.確定比例：計(jì)算各層的個(gè)體數(shù)和總體的個(gè)體數(shù)的比c.確定各層抽取的樣本容量.d.在每一層進(jìn)行抽樣（各層分別按照簡單隨機(jī)抽樣的方法進(jìn)行抽?。C合每層抽樣，組成樣本.3、頻率分布表，直方圖，折線圖，莖葉圖（1）頻率直方圖：通常我們對總體作出的估體數(shù)一般分成兩種：一種是用樣本的頻率分布估計(jì)總體的分布；另一種是用樣本的數(shù)字特征估計(jì)總體的數(shù)字特征.（2）作頻率分布直方圖的步驟①求極差（即一組數(shù)據(jù)中最大值和最小值的差）②決定組距和組數(shù)③將數(shù)據(jù)分組④列頻率分布表⑤畫頻率分布直方圖（3）在頻率分布直方圖中，縱軸表示頻率/組距，數(shù)據(jù)落在各小組內(nèi)的頻率用各小組的長方形面積表示，各長方形的面積總和等于1.（4）頻率分布折線圖：連接頻率分布直方圖中各小長方形上端的中點(diǎn)，就得到頻率分布折線圖35/41一對一&一對六 產(chǎn)品研發(fā)中心（5）總體密度曲線：隨著樣本容量的增加，作圖時(shí)所分組數(shù)增加，組距減小，相應(yīng)的頻率折線圖會越接近光滑曲線，即總體密度曲線.（6）莖葉圖的兩個(gè)突出的有點(diǎn)①統(tǒng)計(jì)圖上沒有原始數(shù)據(jù)信息的損失，所有數(shù)據(jù)信息都可以從莖葉圖中得到；②莖葉圖中的數(shù)據(jù)可以隨時(shí)記錄，隨時(shí)添加，方便記錄和表示4、樣本數(shù)據(jù)的數(shù)字特征（1）眾數(shù)：在一組數(shù)據(jù)中，出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)叫做這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)（2）中位數(shù)：將一組數(shù)據(jù)按照大小依次排列，把處在最中間位置的一個(gè)數(shù)據(jù)（或者最中間兩個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)）叫做這組數(shù)據(jù)中的中位數(shù).在頻率分布直方圖中，中位數(shù)左邊和右邊的直方圖的面積相等.（3）平均數(shù)：樣本數(shù)據(jù)的算數(shù)平均數(shù)，即；x1n(x1x2...xn)（4）樣本方差：s21n((x1x)2(x2x)2...(xnx)2)；標(biāo)準(zhǔn)差s1n((x1x)2(x2x)2...(xnx)2)，其中xn是樣本數(shù)據(jù)的第n項(xiàng)，n是樣本容量，是平均數(shù)，標(biāo)準(zhǔn)差是反映總體波動大小的特征數(shù)，樣本方差是標(biāo)準(zhǔn)差的平方，通常用樣本方差估計(jì)總體方差，當(dāng)樣本容量接近總體容量時(shí)，樣本方差很接近總體方差5、用樣本的頻率分布估計(jì)總體分布，用樣本的基本數(shù)字特征估計(jì)總體的基本數(shù)字特征（1）中位數(shù)：在頻率分布直方圖中，中位數(shù)左邊和右邊的直方圖面積相等，由此可以估計(jì)中位數(shù)值（2）平均數(shù)：平均數(shù)的估計(jì)值等于每個(gè)小矩形的面積乘以矩形底面中點(diǎn)橫坐標(biāo)之和（3）眾數(shù)：最高矩形的中點(diǎn)橫坐標(biāo)（4）直方圖和條形圖的區(qū)別：不要把直方圖錯(cuò)當(dāng)成條形圖，兩者的區(qū)別在于條形圖是離散隨機(jī)變量，縱坐標(biāo)的刻度為頻數(shù)或者頻率，直方圖是連續(xù)隨機(jī)變量，縱坐標(biāo)的刻度為頻率/組距，這是密度，連續(xù)隨機(jī)變量在某一點(diǎn)上是沒有頻率的；（5）平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)①平均數(shù)與每一個(gè)樣本數(shù)據(jù)有關(guān)，所，任何一個(gè)樣本數(shù)據(jù)的改變都會引起平均數(shù)的改變，這是中位數(shù)、眾數(shù)都不具有的性質(zhì)；②眾數(shù)考察各數(shù)據(jù)出現(xiàn)的頻率，其大小只與這組數(shù)據(jù)中的部分?jǐn)?shù)據(jù)有關(guān)，眾數(shù)可以有多個(gè)；③某些數(shù)據(jù)的變動對中位數(shù)可能沒有影響，中位數(shù)可能出現(xiàn)在所給數(shù)據(jù)中，也可能不在所給數(shù)據(jù)中，當(dāng)中間是兩個(gè)數(shù)據(jù)的時(shí)候，中位數(shù)為這兩個(gè)數(shù)的平均值，當(dāng)一組數(shù)據(jù)中的個(gè)別數(shù)據(jù)變動較大時(shí)，可用中位數(shù)描述其集中趨勢.36/41一對一&一對六 產(chǎn)品研發(fā)中心十四、排列、組合、二項(xiàng)式定理1.排列組合（1）排列數(shù)公式mnn1n2nm1n!①Annm!Annn!，規(guī)定0!1.（2）組合數(shù)公式①Cmnn1n2nm1n!；m!nm!nm!②CmCnm，規(guī)定C01.nnnn（3）排列與組合的區(qū)別:排列有順序，組合無順序（4）排列與組合的聯(lián)系:AmCmAm，即排列就是先組合再全排列nnmCmAnmnn1n2nm1n!mnm!nm!nAmmmm121（5）排列與組合的兩個(gè)性質(zhì):排列Anm1AnmmAnm1；組合Cnm1CnmCnm12.二項(xiàng)式定理（1）二項(xiàng)式定理:abnCn0anCn1an1bCn2an2b2 Cnranrbr CnnbnnN.（2）二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式:Tr1Cnranrbr0rn,rN,nN（3）項(xiàng)的系數(shù)與二項(xiàng)式系數(shù)項(xiàng)的系數(shù)與二項(xiàng)式系數(shù)是不同的兩個(gè)概念，但當(dāng)二項(xiàng)式的兩個(gè)項(xiàng)的系數(shù)都為