隨機變量的分布和數(shù)字特征為什么要引入隨機變量的概念1.很多隨機試驗，其結果可以直接用數(shù)值表示。例如：產品抽檢中出現(xiàn)的次品數(shù)，測量物體長度產生的誤差等。2.有些試驗其結果看起來與數(shù)值沒有直接的關系，但是我們可以人為的賦予他們“關系”。例如：拋硬幣的試驗第2頁,共100頁，2024年2月25日，星期天這個試驗有2個可能的結果:正面,反面。為了討論的方便，引入變量X，當正面出現(xiàn)時，取X=1，當反面出現(xiàn)時，取X=0，這樣，X隨試驗結果的不同而取不同的值，即X可以看成是定義在樣本空間上的函數(shù)第3頁,共100頁，2024年2月25日，星期天一、隨機變量（random

variable）的概念

§2.1隨機變量1、含義：用來表示隨機現(xiàn)象結果的變量。①樣本點本身是用數(shù)量表示的；②樣本點本身不是用數(shù)量表示的?？傊还茈S機試驗的結果是否具有數(shù)量的性質，都可以建立一個樣本空間和實數(shù)空間的對應關系，使之與數(shù)值建立聯(lián)系，用隨機變量的取值來表示事件。

2、定義：定義在樣本空間Ω＝｛ω｝上的實值函數(shù)X＝X(ω)稱為隨機變量，常用大寫英文字母或小寫希臘字母來表示，相應地，用小寫英文字母表示其取值。HT第4頁,共100頁，2024年2月25日，星期天隨機變量的特點:

（1）X的全部可能取值是互斥且完備的。（2）X的部分可能取值描述隨機事件。

注：①隨機變量是樣本點的函數(shù)，其函數(shù)值是實數(shù)，但自變量（樣本點）不一定是實數(shù)。②與微積分中的變量不同，還存在其取值的概率的問題。（分布）第5頁,共100頁，2024年2月25日，星期天二、隨機變量的實例解：樣本點如圖所示共有10個不同的樣本點例1引入適當?shù)碾S機變量描述下列事件：將3個球隨機地放入三個格子中，事件A={有1個空格}，B={有2個空格}，C={全有球}。第6頁,共100頁，2024年2月25日，星期天記X表示“空格個數(shù)”，則有第7頁,共100頁，2024年2月25日，星期天三、關于隨機變量的補充說明

隨機變量隨著試驗結果的不同而取不同的值，在試驗之前，只能知道它可能取值的范圍，但不能預先知道它取哪個（些）值；隨機試驗的各個結果的出現(xiàn)有一定的概率，因此隨機變量取某個（些）值也有一定的概率。第8頁,共100頁，2024年2月25日，星期天隨機變量的分類：其他（混合型）連續(xù)型隨機變量離散型隨機變量隨機變量第9頁,共100頁，2024年2月25日，星期天§2.2離散型隨機變量的概率分布一、離散型隨機變量及概率分布XP第10頁,共100頁，2024年2月25日，星期天例1擲兩顆骰子，觀察其點數(shù)，記X為點數(shù)之和，Y為6點的個數(shù)，Z為最大點數(shù)，求X、Y、Z的概率分布。Ω含有36個樣本點.……分析：樣本空間是什么？隨機變量的取值范圍是什么？第11頁,共100頁，2024年2月25日，星期天……XPYPZP第12頁,共100頁，2024年2月25日，星期天求分布律的一般步驟確定樣本空間。確定隨機變量的可能取值。確定隨機變量的每個取值所對應的事件。求出每個事件的概率。列出表格或寫出一般的概率表達式。求分布律中的概率時，關鍵在于必須把隨機變量的取值對應到樣本空間中的具體事件。第13頁,共100頁，2024年2月25日，星期天分布律的基本性質①非負性：

②正則性：

這兩條性質也是隨機變量分布律的充要條件。第14頁,共100頁，2024年2月25日，星期天二、常用離散分布1、0－1分布X01P1-pp

隨機變量只有兩個取值的分布稱為兩點分布；特別地，若其取值為0和1，稱之為0－1分布。例2一批產品的廢品率為5%，從中任意取一個進行檢驗，用隨機變量X描述廢品出現(xiàn)的情況，即X的分布。第15頁,共100頁，2024年2月25日，星期天用X=1表示產品為廢品，X=0表示產品為合格品，則X01P95%

5%2、二項分布（Binominaldistribution）定義：在

n重Bernoulli試驗中，若以X記事件發(fā)生的次數(shù)，則X為一隨機變量，且其可能取值為X=0,1,2,……，n.其對應的概率由二項概率給出：第16頁,共100頁，2024年2月25日，星期天例3

某工廠每天用水量保持正常的概率為3/4,求最近6天內用水量正常的天數(shù)的分布。X0123456P0.00020.00440.03300.13180.29660.35600.1780第17頁,共100頁，2024年2月25日，星期天3、泊松分布第18頁,共100頁，2024年2月25日，星期天補充說明單位時間內電話總機接到用戶的呼喚次數(shù)、電路受到的電磁波的沖擊次數(shù)；一平方米內玻璃上的氣泡數(shù)；一鑄件上的沙眼數(shù)等隨機變量都服從泊松分布。二項分布和泊松分布都是非常重要常用的離散分布.在n重的貝努利試驗中，某個事件在n次試驗中發(fā)生的次數(shù)服從的是二項分布.其特點是只知次數(shù)，不知位置.二項分布在某個取值處概率達到最大.第19頁,共100頁，2024年2月25日，星期天二項分布與泊松分布的關系：——泊松定理

二項概率可以用泊松分布的概率來近似，n越大，近似程度越高，該定理解決了二項概率的近似計算問題。第20頁,共100頁，2024年2月25日，星期天例4已知某種疾病的發(fā)病率為0.001，某單位共有5000人，問該單位患有這種疾病的人數(shù)不超過5人的概率是多少？解：設患病人數(shù)為X，則X服從二項分布B(5000,0.001).n=5000,p=0.001.概率可利用泊松分布近似計算。直接查表可得，見P294，λ＝5，k=0－5.第21頁,共100頁，2024年2月25日，星期天4、幾何分布（Geometricdistribution）特殊性質——無記憶性定義：在Bernoulli試驗中，記p

為事件A在一次試驗中出現(xiàn)的概率，X為首次出現(xiàn)A時的試驗次數(shù)，則X的可能取值為1，2，…，稱X的分布為幾何分布，記為X～Ge(p).其分布律為第22頁,共100頁，2024年2月25日，星期天5、超幾何分布

設N個元素分為兩類，有N1個屬于第一類，N2屬于第二類（N1+N2=N)，從中任取n個，令X表示取到的第一（二）類元素的個數(shù)，則X的分布稱為超幾何分布。

當N很大，n相對于N較小時，超幾何分布可用二項分布來近似計算，不放回抽樣可近似看成有放回抽樣，這一結論在實際工作中往往可使問題變得簡單。第23頁,共100頁，2024年2月25日，星期天

為了方便地表示隨機事件的概率及其運算，我們引入了分布函數(shù)的概念。一、分布函數(shù)（distributionfunction）的定義§2.3隨機變量的分布函數(shù)第24頁,共100頁，2024年2月25日，星期天

注：（1）分布函數(shù)表示的是隨機事件的概率。（2）分布函數(shù)與微積分中的函數(shù)沒有區(qū)別。第25頁,共100頁，2024年2月25日，星期天二、分布函數(shù)的性質注：以上三條是分布函數(shù)的基本性質，也是分布函數(shù)的充要條件。

第26頁,共100頁，2024年2月25日，星期天三、舉例例1一袋中裝有依次標著數(shù)字-1，2，2，2，3，3的6個球，從袋中隨機取出一個球。記X為取出的球上的數(shù)字，求X的分布函數(shù)。解：X的可能取值有-1，2，3.且有第27頁,共100頁，2024年2月25日，星期天該分布函數(shù)的圖形如下:注：分布函數(shù)是概率的累加。第28頁,共100頁，2024年2月25日，星期天四、離散型隨機變量的分布函數(shù)由分布律可以寫出其分布函數(shù)

10它的圖形是有限（或無窮）級數(shù)的階梯函數(shù)〔右連續(xù)〕

在X的取正概率的點xk處有跳躍，躍度為概率pk.第29頁,共100頁，2024年2月25日，星期天解：X的可能取值為1，2，3.且例2一個袋中有5個球，編號為1，2，3，4，5.從中任取3個，以X表示取出球的最小號碼，求X的分布律與分布函數(shù)。注：計算概率時，必須明確相應的具體事件是什么。第30頁,共100頁，2024年2月25日，星期天X的分布律為

X123

P0.60.30.1X的分布函數(shù)為思考：如何由分布函數(shù)求分布律？第31頁,共100頁，2024年2月25日，星期天分析：由分布律與分布函數(shù)的關系，考慮X的可能取值有哪些？第32頁,共100頁，2024年2月25日，星期天§2.4連續(xù)型隨機變量的概率分布定義：設X是隨機變量，F(xiàn)(x)是它的分布函數(shù)，若存在一個非負可積函數(shù)f(x)，使得對任意的x∈R

，有則稱X為連續(xù)型隨機變量，F(xiàn)(x)為X的分布密度函數(shù)。注：分布函數(shù)表示在x

處的累積概率，把其導數(shù)稱為概率密度是非常合理的。一、連續(xù)型隨機變量的定義及性質稱f(x)為X的概率密度函數(shù)第33頁,共100頁，2024年2月25日，星期天概率密度的性質（充要條件）：非負性：正則性：概率密度在概率計算中的應用：注：（2）式中的區(qū)間可以是開（閉或半開）區(qū)間。第34頁,共100頁，2024年2月25日，星期天幾個重要結論(4)對于連續(xù)型r.v.,不必“點點計較”，而對離散型r.v.,則要“點點計較”。第35頁,共100頁，2024年2月25日，星期天密度函數(shù)與分布函數(shù)的關系：1由分布函數(shù)求密度函數(shù)比較簡單，下面考慮如何由密度函數(shù)來求分布函數(shù).第36頁,共100頁，2024年2月25日，星期天例1.設隨機變量X密度函數(shù)為

求常數(shù)c和分布函數(shù).第37頁,共100頁，2024年2月25日，星期天密度函數(shù)和分布函數(shù)的圖形如下：1-11-11第38頁,共100頁，2024年2月25日，星期天求：1.c的值；2.P(-1<X<1)；3.X的分布函數(shù).解：1.利用正則性例2設隨機變量X的密度函數(shù)為第39頁,共100頁，2024年2月25日，星期天注意隨機變量的可能取值，不能機械地套公式，簡單地在積分上、下限上取∞.二、常用連續(xù)分布1、均勻分布（Uniformdistribution）第40頁,共100頁，2024年2月25日，星期天均勻分布的密度函數(shù)和分布函數(shù)的圖形：ab1ab均勻分布的概率計算：第41頁,共100頁，2024年2月25日，星期天例3設X服從(0,10)上的均勻分布，現(xiàn)對X進行4次獨立觀察，求至少3次觀測值大于5的概率。分析：除了X之外，本題還有一個隨機變量——觀測值大于5的次數(shù)，記為Y.二項分布，第42頁,共100頁，2024年2月25日，星期天

某公共汽車站從早晨7：00起，每隔15min來一趟車,一乘客在7：00到7：30之間隨機到達，求（1）該乘客等候不到5min乘上車的概率；（2）該乘客等候時間超過10min才乘上車的概率。注：均勻分布與幾何概型關系“密切”。練習第43頁,共100頁，2024年2月25日，星期天2、指數(shù)分布(Exponontialdistribution)密度函數(shù)的圖形為：其分布函數(shù)為：注：與幾何分布類似，指數(shù)分布也具有無記憶性。第44頁,共100頁，2024年2月25日，星期天例4設打一次電話所需要的時間(單位：分鐘)服從參數(shù)為0.2的指數(shù)分布。如果剛好有人在你前面走進電話亭，并立即開始打電話，求你將等待：1、超過5分鐘的概率；2、5分鐘至10分鐘的概率.指數(shù)分布在實際中有著重要的應用。如一些“東西”的壽命服從指數(shù)分布、隨機服務系統(tǒng)中的服務時間也服從指數(shù)分布等。第45頁,共100頁，2024年2月25日，星期天3、正態(tài)分布（Normal/Gaussiandistribution）密度函數(shù)圖形如下密度函數(shù)關于x=μ對稱.分布函數(shù)為：第46頁,共100頁，2024年2月25日，星期天標準正態(tài)分布其密度函數(shù)為：0.51第47頁,共100頁，2024年2月25日，星期天正態(tài)分布概率的計算：第48頁,共100頁，2024年2月25日，星期天第49頁,共100頁，2024年2月25日，星期天正態(tài)分布的標準化問題：對于非標準的正態(tài)分布，如何通過查表求相關概率？通過等價事件轉化為服從標準正態(tài)分布的隨機變量。第50頁,共100頁，2024年2月25日，星期天第51頁,共100頁，2024年2月25日，星期天例7某地區(qū)抽樣調查結果表明，考生的外語成績X～，且96分以上的考生占總人數(shù)的2.3％。求考生成績在60分至84分之間的概率。第52頁,共100頁，2024年2月25日，星期天

定義設f(x)是定義在隨機變量X的一切可能值x集合上的函數(shù),對X的每一可能取值x,有唯一的y=f(x)與之對應,Y是y的集合,則Y是一個隨機變量,稱Y為X的函數(shù),記作Y=f(X).問題:若X的分布已知,如何求Y的分布？§2.5隨機變量函數(shù)的分布第53頁,共100頁，2024年2月25日，星期天設隨機變量X的分布律為一、離散型隨機變量函數(shù)的分布第54頁,共100頁，2024年2月25日，星期天例1已知X的分布律如下：解：第55頁,共100頁，2024年2月25日，星期天整理，得第56頁,共100頁，2024年2月25日，星期天二、連續(xù)型隨機變量函數(shù)的分布1、公式法注意該定理的適用條件?！猤(x)嚴格單調第57頁,共100頁，2024年2月25日，星期天定理的證明:第58頁,共100頁，2024年2月25日，星期天第59頁,共100頁，2024年2月25日，星期天第60頁,共100頁，2024年2月25日，星期天補充說明:第61頁,共100頁，2024年2月25日，星期天2、分布函數(shù)法——g(x)為任意形式（1）先確定Y的可能取值范圍，（2）在Y的可能取值范圍內，求出其分布函數(shù)。（3）在Y的可能取值范圍內，求其密度函數(shù)。（4）在實數(shù)區(qū)間內，表示出Y的密度函數(shù)。萬能法第62頁,共100頁，2024年2月25日，星期天例4設X服從區(qū)間(0,1)上的均勻分布,求Y=X2的密函數(shù).第63頁,共100頁，2024年2月25日，星期天練習：設X的密度函數(shù)是fX(x),Y=4X-1,求Y的密度函數(shù).第64頁,共100頁，2024年2月25日，星期天§2.6隨機變量的數(shù)字特征一、為什么要引入隨機變量的數(shù)字特征1.實際中，有些隨機變量的分布不易求。二、幾個常用的特征指標數(shù)學期望、方差、標準差、協(xié)方差、相關系數(shù)、矩2.有些實際問題往往對隨機變量的分布不感興趣，只對隨機變量的幾個特征指標感興趣。第65頁,共100頁，2024年2月25日，星期天一、數(shù)學期望例1〔分賭本問題〕甲、乙兩個賭徒賭技相同，各出賭注50元，每局無平局，且約定：先贏三局者得到全部賭本100元。當甲贏了兩局，乙贏了一局時，因故要中止賭博，問這100元的賭本應如何分配才合理？乙勝甲輸甲勝乙輸乙勝甲輸甲勝乙輸甲勝的概率為：?.分析：假設賭博繼續(xù)下去，其可能結果如下：1、數(shù)學期望的引入第66頁,共100頁，2024年2月25日，星期天設甲得到的賭本為X，則X的分布律為甲勝的概率為：?.說明：該問題涉及隨機變量的分布，且含有均值的意義.甲應該獲得賭本的3/4.第67頁,共100頁，2024年2月25日，星期天算術平均與加權平均問題：如果已知離散型隨機變量X的分布律如何求X的平均值？第68頁,共100頁，2024年2月25日，星期天加權平均數(shù)的計算：隨機變量的平均值：概率替換頻率第69頁,共100頁，2024年2月25日，星期天2、數(shù)學期望的定義

為隨機變量X的數(shù)學期望.第70頁,共100頁，2024年2月25日，星期天補充說明：加權平均數(shù)：離散型隨機變量期望：連續(xù)型隨機變量期望：頻率概率概率注：期望是均值的推廣或更一般的形式.第71頁,共100頁，2024年2月25日，星期天例2一批產品中有一、二、三等品、次品及廢品5種，相應的概率分別為0.7,0.1,0.1,0.06，0.04，若其價格分別為6元，5.4元，5元，4元及0元。求產品的平均價格。XP第72頁,共100頁，2024年2月25日，星期天第73頁,共100頁，2024年2月25日，星期天第74頁,共100頁，2024年2月25日，星期天3、數(shù)學期望的運算性質4、一維隨機變量的函數(shù)的數(shù)學期望線性性質第75頁,共100頁，2024年2月25日，星期天第76頁,共100頁，2024年2月25日，星期天例4

設隨機變量X的分布為解：第77頁,共100頁，2024年2月25日，星期天練習：設隨機變量X的分布律為XP第78頁,共100頁，2024年2月25日，星期天第79頁,共100頁，2024年2月25日，星期天第80頁,共100頁，2024年2月25日，星期天數(shù)學期望在解決實際問題中有著非常重要的應用，見下面的例子.第81頁,共100頁，2024年2月25日，星期天例6

購買福利彩票,為簡化假定只有一種獎,即百萬大獎,中獎率為百萬分之一.每張彩票2元,張某買了一張彩票,問他可以獲益多少元?第82頁,共100頁，2024年2月25日，星期天練習:保險公司設立汽車盜竊險,參保者交保險費a元,若汽車被盜,公司賠償b元,問b應如何定值才能使公司期望獲益?(經統(tǒng)計,一年內汽車的失竊率為p)第83頁,共100頁，2024年2月25日，星期天保險公司按以上策略經營,很可能破產！原因有二：(1)投保者是相對不安全地區(qū)的車主.——信息不對稱(2)投保者會放松對車的看管.——道德風險它們使投保者中車輛的失竊率p大大提高.第84頁,共100頁，2024年2月25日，星期天例7某公司生產的機器無故障工作時間X有密度函數(shù)公司每售出一臺機器可獲利1600元，若機器在售出1.2萬小時之內出現(xiàn)故障，則予以更換，這時每臺虧損1200元；若在1.2到2萬小時之內出現(xiàn)故障，則予以維修，由公司負擔維修費400元；若在使用2萬小時以上出現(xiàn)故障，則用戶自己負責。求該公司售出每臺機器的平均獲利。第85頁,共100頁，2024年2月25日，星期天解決方法：求隨機變量函數(shù)的數(shù)學期望.關鍵：第86頁,共100頁，2024年2月25日，星期天則用戶自己負責。公司每售出一臺機器可獲利1600元，若機器在售出1.2萬小時之內出現(xiàn)故障，則予以更換，每臺虧損1200元；若在1.2到2萬小時之內出現(xiàn)故障，則予以維修，由公司負擔維修費400元；若在使用2萬小時以上出現(xiàn)故障，第87頁,共100頁，2024年2月25日，星期天