2022-2023學(xué)年廣東省惠州市惠陽區(qū)黃埔實驗學(xué)校

九年級下學(xué)期開學(xué)數(shù)學(xué)練習(xí)

一.選擇題（共10小題，滿分30分，每小題3分）

1.若一元二次方程2犬-4x+l=°的兩個根為七、X"則王匹是（）

A.1B.-1C.2D.1

2.下列方程中，一元二次方程共有（）

1Y

①3爐+》=20②2f-3xy+4=0@x2——=4?X2-3X=4@X2--+3=0

x3

A.2個B.3個C.4個D.5個

3.下列幾何圖形中為圓柱體的是（）

A昌B七?c（ED

4.如圖，已知菱形A3CD的邊長為2,對角線AC,8。相交于點。，點M,N分別是邊BC,CD上的動點，

ABAC=AMAN=60°,連接ACV,OJ\kf,則下列結(jié)論錯誤的是（）

AD

BMC

A.AAW是等邊三角形B.MN的最小值是J5

2

C.當(dāng)MN最小時,S4CMN=~S菱形/收:DD.當(dāng)加，8c時，OA=DNAB

o

5.如圖，在△ABC中，AB=3,AC=4,BC=5,尸為邊3c上一動點，PELAB于E,PF±AC^F,則所最小值

為（）

A

bpc

A.2B.2.2C.2.4D.2.5

6.已知2是關(guān)于x的方程尤2_2MX+3相=0的一個根，并且等腰三角形ABC的腰和底邊長恰好是這個方程的兩

個根，則的周長為（）

A.10B.14C.10或14D.8或10

7.如圖，在MAABC紙片中，ZACB=90°,AC=4,BC=3,點、D,E分別在BC,AB邊上，連接DE,將△BDE

沿。E翻折，使點B落在點尸的位置，連接AF,若四邊形8EFD是菱形，則AF的長的最小值為（）

l53

A.-yr/5B.&C.—D.—

一3

8.在反比例函數(shù)y=—-圖象上的點為（）

x

A.（1,3）B.（-1,-3）C,（3,-1）D,（-3,-1）

9.如圖所示，點P是邊長為2的正方形ABCD的對角線BD上的動點，過點P分別作PELBC于點E,PFLDC于

點F,連接AP并延長，交射線BC于點H,交射線DC于點M,連接EF交AH于點G,當(dāng)點P在BD上運動時

（不包括B、D兩點），以下結(jié)論中：①MF=MC；②AP=EF；?AH±EF；?AP2=PM'PH；⑤EF的最小值是

72.其中正確結(jié)論有（）

A.2個B.3個C.4個D.5個

10.如圖，邊長為2的正方形ABCO中，點E、F分別在A。、AB上（點E不與點。重合），DE=AF,DF、CE交

于點G,則AG的取值范圍是（）

EU\G

A.V2-l<AG<2B.V3-l<AG<2

C.1<AG<2D.V5-l<AG<2

二.填空題(共7小題，滿分28分，每小題4分)

11.一個三角形的兩邊長為3和5,第三邊長為方程式—5%+6=0的根，則這個三角形的周長為.

12已知根、〃是一元二次方程Y+龍一2023=0的兩個實數(shù)根，則代數(shù)式2機二+加的值等于.

13.在陽光下，身高1.6〃?.的小林在地面上的影長為2〃?，在同一時刻，測得學(xué)校的旗桿在地面上的影長為10根，則

旗桿的高度為m.

14.方程，f_］=］根是.

15.如圖，已知。［4、△A￡4、△&A4、…均為等腰直角三角形，直角頂點;、P>鳥、…在函數(shù)

y=±(%>0)圖象上，點4、4、&、…在x軸的正半軸上，則點鳥oio的橫坐標(biāo)為.

16如圖，長方形A3CD中，BC=2,DC=1,如果將該長方形沿對角線折疊，使點C落在點C處，那么圖

中重疊部分的面積是

17.如圖，在正方形ABCD中，AB=3,點E,F分別在CD,AD上，CE=DF,BE,CF相交于點G,若圖中陰影部

分的面積與正方形ABCD的面積之比為2：3,則ABCG的周長為

三.解答題（共8小題，滿分62分）

（2CC

18.如果石=1=7=左+/wO）,且a+c+e=3（Z?+d+/）.求左的值.

19.3/-（x-2>=5.

20.米奇家住宅面積為90平方米，其中客廳30平方米，大臥室18平方米，小臥室15平方米，廚房14平方米,

大衛(wèi)生間9平方米，小衛(wèi)生間4平方米.如果一只小貓在該住宅內(nèi)地面上任意跑.求：

（DP（在客廳捉到小貓）；

（2）P（在小臥室捉到小貓）；

（3）P（在衛(wèi)生間捉到小貓）；

（4）P（不在臥室捉到小貓）.

21.數(shù)學(xué)課上，老師出示了一道題目：如圖1,在，A6C中，AB=AC,點￡在A5上，點。在CB的延長線

上，且ED=EC,試探究線段A￡、BD、AB.之間存在的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.

（1）［猜想證明］線段AEBD、AB.5c的關(guān)系是——=——.請補全下列證明思路；

BDBC

如圖1：過點E作所〃3C交AC于點F,則NFEC=NECD,

'：ED=EC,

:.NEDB=NECD,

：./EDB=NFEC,

又：AB=AC,

ZABC=ZACB,

ZABC=ZEDB+ZDEB,ZACB=NECF+ZECD.

ZDEB=ZECF.

,DBE9（ASA）,

???BD=EF,

.AEFs.

,AE_

??一,

AB-------------

AE

???-—,

AB-------------

.AE_AB

"BD~BC'

（2）［變式拓展］

如圖2,在，ABC中，A3=A。，點E在朋的延長線上，點O在直線上，且ED=EC.請你在圖2中補齊

圖形.并探索（1）中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請給出完整的證明；若不成立，請直接寫出新的結(jié)論.

圖1圖2

1n

22.如圖，已知A（-4,-）,B（-Jl,m）是一次函數(shù)y=kx+b與反比例函數(shù)y=—圖象的兩個交點，AC_Lx軸

于點C,BD_Ly軸于點D.

（1）求m的值及一次函數(shù)解析式；

（2）P是線段AB上的一點，連接PC、PD,若4PCA和4PDB面積相等，求點P坐標(biāo).

23.如圖1,△ABC是等腰直角三角形，四邊形ADEF是正方形，D、F分別在AB、AC邊上，此時BD=CF,

BD_LCF成立.

(1)當(dāng)正方形ADEF繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)0(0。<0<90。)時，如圖2,BD=CF成立嗎？若成立，請證明；若不成

立，請說明理由.

(2)當(dāng)正方形ADEF繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)45。時，如圖3,延長BD交CF于點G.

①求證：BDXCF；

②當(dāng)AB=4,AD=J^■時，求線段BG的長.

24.如圖，在邊長為16的菱形ABCD中，AC、BD為對角線,NBCD=60°,點E、F分別是邊AB、邊BC上的

動點，連接DE、DF、EF.

(1)當(dāng)點E、點F分別是邊AB,邊BC的中點時.

①求證：』無反是等邊三角形；

②若點G是對角線AC上的動點，連接EG,FG,則直接寫出EG+RG的最小值為；

(2)若點H是對角線AC上的動點，連接EH、FH,則直接寫出石H+E修的最小值為；

(3)若AE=BF=4,EF交BD于點K,點P、點Q分別是線段DE、線段DF上的動點，連接KQ、PQ,則直

接寫出KQ+PQ的最小值為.

25.將一個直角三角形紙片。46放置在平面直角坐標(biāo)系中，點0(0,0),點A(2,0),點B在第一象限,

ZOAB=90°,NB=30°,點尸在邊上(點P不與點0,3重合).

（2）折疊該紙片，使折痕所在的直線經(jīng)過點P,并與x軸的正半軸相交于點。，且。，點。的對應(yīng)點為

0',設(shè)OP=t.

①如圖②，若折疊后.。'尸。與，。鉆重疊部分為四邊形，O'RO'Q分別與邊A5相交于點C。，試用含有f的

式子表示OZ）的長，并直接寫出/的取值范圍；

②若折疊后-O'PQ與八。W重疊部分的面積為S,當(dāng)1W/W3時，求S的取值范圍（直接寫出結(jié)果即可）.

2022-2023學(xué)年廣東省惠州市惠陽區(qū)黃埔實驗學(xué)校

九年級下學(xué)期開學(xué)數(shù)學(xué)練習(xí)

一.選擇題（共10小題，滿分30分，每小題3分）

1.若一元二次方程2犬-4x+l=°的兩個根為七、X"則王匹是（）

A.1B.-1C.2D.1

【答案】D

【分析】利用兩根之積等于上即可解決問題.

a

【詳解】解：一元二次方程2必—4x+l=0的兩個根為不、巧，

1

?.?和力2=5，

故選：D.

bc

【點睛】本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系以及一元二次方程的解，牢記“兩根之和等于-一，兩根之積等于一”是解

aa

題的關(guān)鍵.

2.下列方程中，一元二次方程共有（）

1

222

@3X+X=20②2x2—3xy+4=0③/——=4@x-3x=4@%一--+3=0

x3

A.2個B.3個C.4個D.5個

【答案】B

【分析】根據(jù)一元二次方程的定義解答.

【詳解】解：①符合一元二次方程的定義，故本選項正確；

②含有x、y兩個未知數(shù)，故本選項錯誤；

③分母中含有未知數(shù)，故本選項錯誤；

④符合一元二次方程的定義，故本選項正確；

⑤符合一元二次方程的定義，故本選項正確；

故選:B

【點睛】本題考查了一元二次方程的概念，判斷一個方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后

看化簡后是否是只含有一個未知數(shù)且未知數(shù)的最高次數(shù)是2.

3.下列幾何圖形中為圓柱體的是()

【答案】C

【詳解】解：選項A是圓臺，B是圓錐，C是圓柱，D是三棱柱.

故選C.

4.如圖，已知菱形A3CD的邊長為2,對角線AC,5。相交于點。，點N分別是邊BC,CD上的動點,

N54C=NM4N=60。，連接兒W,OM,則下列結(jié)論錯誤的是()

A.4W是等邊三角形B.的最小值是&

C.當(dāng)最小時，5徵加=：5菱形.0D.當(dāng)8c時，OA2=DNAB

o

【答案】B

【分析】由菱形的性質(zhì)結(jié)合題意易證和ACD都是等邊三角形，即得出NABM=NAC/V=60°,

AB=AC.又易證4AM=NC4N=60°—NC4M,從而可證△54"也△CW(ASA),即得出

AM=AN,即是等邊三角形，可判斷選項A正確；由垂線段最短可知當(dāng)8c時，AM的值最小，此

時的值也最小.再根據(jù)含30度角的直角三角形的性質(zhì)可求出BM=LA3=1.最后根據(jù)勾股定理即可求出

2

AM=布=MN,可判斷選項B錯誤；由AM_LBC時，的值最小，此時即得出

CN=BM=-BC=-CD,從而得出DN=CN.又易誣MMNs&BD,即得出叁”=(也］=-,

22SACBDVCB)4

結(jié)合菱形的性質(zhì)即可得出S?=：x1S菱形.。=：S菱形Mo，可判斷選項C

4Zo

CMOC

正確；由題意易證cOCMs.5co,即得出=再根據(jù)CM=DV,即得出QTVMDN.AB，可判斷

OCCB

選項D正確.

【詳解】???四邊形A3CD是菱形，

AB=BC=AD—CD，AB//CD，AC.LBD,OA—OC,

ZBAC=ZACD=60°,

：.ABC和&ACD都是等邊三角形，

ZABM=ZACN=60°,AB=AC.

,：ZMAN=60°,

：.ZBAM=ZCAN=600-ZCAM,

/\BAMKCW(ASA),

：.AMAN,

...「4W是等邊三角形，故選項A正確；

當(dāng)8c時，AM的值最小，此時MN的值也最小.

VZAMB=90°,ZABAf=60°,AB=2,

：.ZBAM=30°,

：.BM=-AB=l.

2

在RtABM中，AM=^AB--BM2=V22-I2=73>

:.MN=6，即MV的最小值是君.故選項B錯誤；

：4W_LBC時，“W的值最小，此時=

CN=BM=-BC=-CD,

22

：.DN=CN,

：.MN//BD,

：.4CMN""BD,

.S^CMN(CM^

?.SMBDVCB)[2)4'

?c_J_c

,,04CMN_4u^CBD?

?S^cBD~]S菱形ABCD，

?,S^CMN=二*工S菱形二dS菱形ABCD，故選項C正確；

4Zo

VCB=CD,BM=CN,

：.CB-BM=CD-CN,

：.CM=DN.

?：OMLBC,

/.NCMO=NCOB=9。。.

■：ZOCM=ZBCO,

_OCMsBCO,

,CMPC

,?工—ZF'

/.OC2=CMCB，

，0尺=DNAB，故選項D正確.

故選B.

【點睛】本題考查菱形的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，三角形全等的判定和性質(zhì)，勾股定理，三角形相似的判

定和性質(zhì)，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，垂線段最短等知識，綜合性強，考查的知識點全面，選擇題中的壓軸

題.熟練掌握菱形的性質(zhì)是解題關(guān)鍵.

5.如圖，在△ABC中，AB=3,AC=4,BC=5,P為邊BC上一動點,PELAB于E,PFLAC^F,則EF的最小值

為（）

A

A.2B,2.2C.2.4D.2.5

【答案】C

【分析】連接AP,根據(jù)三個角都是直角的四邊形是矩形，得四邊形4EPF是矩形，根據(jù)矩形的對角線相等，得

EF=AP,則EF的最小值即為AP的最小值，根據(jù)垂線段最短，知："的最小值即等于直角三角形ABC斜邊上的

【詳解】解：如圖，連接AP,

A

F

DpC

:在△ABC中，AB=3,AC=4,BC=5,

.'.AB-+A^BC2,

即ZBAC=90°.

又；PE_LAB于E,PF±AC^F,

四邊形AEP尸是矩形，

：.EF=AP,

因為A尸的最小值即為直角三角形ABC斜邊上的高，即2.4,

...EF的最小值為2.4,

故選：C.

【點睛】此題綜合運用了勾股定理的逆定理、矩形的判定及性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)，要能夠把要求的線段的最

小值轉(zhuǎn)換為便于分析其最小值的線段.

6.已知2是關(guān)于x的方程2^+3機=0的一個根，并且等腰三角形ABC的腰和底邊長恰好是這個方程的兩

個根，則的周長為()

A.10B.14C.10或14D.8或10

【答案】B

【分析】把x=2代入方程求出機的值，進而求出方程的兩個根，再根據(jù)等腰三角形的定義結(jié)合構(gòu)成三角形的條件

進行求解即可.

【詳解】解：；2是關(guān)于x的方程23+3m=0的一個根，

*,*把％=2代入方程得：4—4zn+3m-0,

**.解得m=4,

原方程為：X2-8X+12=0)即(x—6)(x—2)=0,

.??方程的兩個根分別是2,6,

又：等腰三角形ABC的腰和底邊長恰好是這個方程的兩個根，

二若2是等腰三角形ABC的腰長，則的三邊長分別為2,2,6,

,/2+2=4<6,

???此時不能構(gòu)成三角形，

?,?若6是等腰三角形ABC的腰長，則底邊長為2,

6—2<6<6+2,

此時能構(gòu)成三角形，

.??三角形ABC的周長為：6+6+2=14,

故選：B.

【點睛】本題主要考查了解一元二次方程，一元二次方程的解，等腰三角形的定義，構(gòu)成三角形的條件等等，正確

把》=2代入方程求出m的值是解題的關(guān)鍵.

7.如圖，在MAABC紙片中，ZACB=90°,AC=4,BC=3,點D,E分別在BC,AB邊上，連接DE,將△BDE

沿OE翻折，使點B落在點尸的位置，連接AF,若四邊形BEFD是菱形，則河的長的最小值為（）

「l53

A.y/5B.73c.-D.y

【答案】A

【分析】連接交瓦》于點0,設(shè)所與AC交于點G.根據(jù)菱形的性質(zhì)可得點尸在NABC的平分線上運動，從而

得到當(dāng)產(chǎn)時，AF的長最小.再證明△BEOSA可得BE=』AB=AE,再證明AAGEs△ACB,

2

EG=-BC=1.5,AG=-AC=2,從而得到GP=1,再由勾股定理，即可求解.

22

【詳解】解：如圖，連接3尸交即于點。，設(shè)即與AC交于點G.

B

???四邊形BMD是菱形，

/平分NABC,

/.點F^ZABC的平分線上運動，

.?.當(dāng)時，AP的長最小.

在菱形BEED中，BF±ED,OB=OF,EF//BC,

：.EO//AF,

:ABEOSABAF,

.BE_OEBO_1

"AB~AF~BF~2)

：.BE=-AB=AE,

2

在RtABC中，ACM,3C=3,

\AB=5,

??BE=AE=2.5,

：AF_LBF,

??EF=2.5,

：EF//BC,

??AAGE^AACB,

.EGAG4/71

—=-,ZAGE=ZACB=90°,

*BC-ACAB2

,,EG=-BC=1.5,AG=-AC=2,

22

\GF=EF-EG=1,

：ZAGF=ZAGE=90°,

AF=VAG2+GF2=V22+12=75-

故選：A

【點睛】本題主要考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，菱形的性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判

定和性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，菱形的性質(zhì)，準(zhǔn)確得到點/在NABC的平分線上運動是解題的關(guān)鍵.

_3

8.在反比例函數(shù)y=—-圖象上的點為()

x

A.(1,3)B.(-L-3)C,(3,-1)D,(-3,-1)

【答案】C

3

【分析】依次把各個選項的橫坐標(biāo)代入反比例函數(shù)y=——,求出縱坐標(biāo)的值，即可得到答案.

x

【詳解】解：：反比例函數(shù)的比例系數(shù)為-3,

.??在該反比例函數(shù)上的點的橫縱坐標(biāo)的積為-3,

A、1x3=3,不符合題意；

B、-1x(-3)=3,不符合題意；

C、3x(-1)=-3,符合題意；

D、-3X(-1)=3,不符合題意；

故選：C.

【點睛】本題考查了反比例函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征，正確掌握代入法是解題的關(guān)鍵.

9.如圖所示，點P是邊長為2的正方形ABCD的對角線BD上的動點，過點P分別作PELBC于點E,PFLDC于

點E連接AP并延長，交射線BC于點H,交射線DC于點M,連接EF交AH于點G,當(dāng)點P在BD上運動時

(不包括B、D兩點)，以下結(jié)論中：①MF=MC；②AP=EF；?AH±EF；?AP2=PM?PH；⑤EF的最小值是

V2.其中正確結(jié)論有()

A.2個B.3個C.4個D.5個

【答案】C

【分析】由點P為BD中點時，MC=(#MF,可得①錯誤；連接PC,交EF于0,由點P在BD上，可得AP=PC,

根據(jù)PF±CD,PE±BC,/BCF=90?？傻盟倪呅蜳ECF是矩形，可得EF=PC,即判斷②正確；利用SSS可證明

△APD^ACPD,可得ZDAP=ZDCP,由矩形的性質(zhì)可得ZOCF=ZOFC,即可證明ZDAP=ZOFC,可得

ZDAP+ZAMD=ZOFC+ZAMD=90°,即可判斷③正確；根據(jù)平行線的性質(zhì)可得/DAP=/H,可得/DCP=/H,

PCPM

由ZHPC是公共角可證明ACPMSAHPC,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得——=——，根據(jù)PC=AP即可判斷④正確,

PHPC

當(dāng)PCXBD時PC的值最小，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可求出PC的最小值為a,根據(jù)EF=PC即可判斷⑤正確；

綜上即可得答案.

【詳解】當(dāng)點P為BD中點時，點M與點C重合，MC=0WMF,故①錯誤，

連接PC,交EF于0,

?點P在BD上，BD為正方形ABCD的對角線，

；.AP=PC,

VPFXCD,PE_LBC,ZBCF=90°,

四邊形PECF是矩形，

；.EF=PC,

.,.AP=EF,故②正確，

VAD=CD,AP=PC,PD=PD,

AAPD^ACPD,

AZDAP=ZDCP,

??,四邊形PECF是矩形，

.\ZOCF=ZOFC,

ZDAP=Z0FC,

ZDAP+ZAMD=ZOFC+ZAMD=90°,

ZFGM=90°,BPAHXEF,故③正確，

VAD//BH,

.\ZDAP=ZH,

VZDAP=ZDCP,

AZMCP=ZH,

：/CPH為公共角，

,.△CPMSAHPC,

.PCPM

PH-PC'

VAP=PC,

.\AP2=PM?PH,故④正確，

當(dāng)PCLBD時，PC有最小值，PC=1BD=72>

,."PC=EF

.?.EF的最小值為故⑤正確,

綜上所述：正確的結(jié)論有②③④⑤，共4個，

故選C.

【點睛】本題考查正方形的性質(zhì)、矩形的判定與性質(zhì)及相似三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定定

理及正方形的性質(zhì)是解題關(guān)鍵.

10.如圖，邊長為2的正方形ABCD中，點￡、F分別在AD、AB（點E不與點。重合），DE=AF,DF、CE交

于點G,則AG的取值范圍是（）

A.V2-1<AG<2B.73-1<AG<2

C.1<AG<2D.V5-l<AG<2

【答案】D

【分析】通過證明△DECg^AFD得出NDGE=90。，可知ADGC是直角三角形，則G點運動軌跡是以DC為直徑

的圓上，設(shè)圓的圓心為O,當(dāng)A、G、O三點共線時，AG最短.由點E不與點D重合可得AG<2.

【詳解】解：VAD=DC,ZEDC=ZFAD,DE=AF,

.,.△DEC絲△AFD(SAS).

ZDCE=ADF.

ZDCE+ZDEC=90°,

ZADF+ZDEC=90°,即NDGE=90°=NDGC.

所以點G運動的軌跡在以DC為直徑的圓上的一段弧，圓心在DC中點O處.

當(dāng)A、G、O三點共線時，AG最短，如圖所示.

此時AO=AD2+DO2=A/4+1=A/5，OG=；DC=1,

所以AG=AO-OG=75-1.

因為點E不與點D重合，所以AG<2.

所以石-1SAG<2.

【點睛】本題主要考查了正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理，解決動點問題的最值問題，要先

分析出動點運動的軌跡，根據(jù)軌跡特征確定最大或最小值.

二.填空題(共7小題，滿分28分，每小題4分)

11.一個三角形的兩邊長為3和5,第三邊長為方程式—5%+6=0的根，則這個三角形的周長為.

【答案】11

【分析】先運用因式分解法解一元二次方程得到第三邊的可能長度，再根據(jù)三角形的三邊關(guān)系確定第三邊的長，最

后求周長即可.

【詳解】解：X2-5X+6=0

(x-3)(x-2)=0,解得：石=3,X2=2,

一個三角形的兩邊長為3和5,

第三邊長的取值范圍是：2<%<8,則第三邊長為：3,

這個三角形的周長為：11.

故答案為：11.

【點睛】本題主要考查了解一元二次方程、三角形的三邊關(guān)系等知識點，根據(jù)題意確定確定第三邊的長是解答本題

的關(guān)鍵.

12.已知相、”是一元二次方程為2+X―2。23=0的兩個實數(shù)根，則代數(shù)式2n?+“2+m的值等于.

【答案】6070

【分析】由相、”是一元二次方程V+工一2023=0的兩個實數(shù)根，可得根+〃=一1,mn=-2023,

m2+m-2023=0，由2trr+rr+m=irr+n2+/w2+m=(^+n)~-+(療+時，代入求值即可.

【詳解】解：???加、〃是一元二次方程%—2023=0的兩個實數(shù)根，

m+n=-l,mn=-2023,m2+m-2023=0>

2m2+n2+m

=m2+n2+m2+m

=(7〃+H)2-2mn+(a2+mj

=1+4046+2023

=6070,

故答案為：6070.

【點睛】本題考查了一元二次方程的解，一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系，代數(shù)式求值.解題的關(guān)鍵在于對知識的

熟練掌握與靈活運用.

13.在陽光下，身高1.6根的小林在地面上的影長為2處在同一時刻，測得學(xué)校的旗桿在地面上的影長為10〃3則

旗桿的高度為m.

【答案】8

【分析】根據(jù)在同一時刻身高與影長成比例得出比例式，即可求解.

【詳解】解：設(shè)旗桿的高度為x也

根據(jù)在同一時刻物高與影長成比例可得：——=一

210

解得：x=8.

故答案為8.

【點睛】本題考查了相似三角形的應(yīng)用.根據(jù)同一時刻物高與影長成比例得出比例式是解決問題的關(guān)鍵.

14.方程，=1的根是.

【答案】x=±^2

【分析】首先把方程兩邊同時平方，然后解一元二次方程，最后要驗根.

【詳解】解：&_]=],

%-1=1，

r=2,

?-x=±^2，

經(jīng)檢驗X=+y/2是原方程的根，

%=±^2?

故答案：x=±^2'

【點睛】本題考查了無理方程的解法，把方程兩邊同時平方是解題的關(guān)鍵，要注意解答后一定要檢驗.

15.如圖，已知…均為等腰直角三角形，直角頂點4、鳥、…在函數(shù)

y=3(%〉0)圖象上，點&、4、A3、…在x軸的正半軸上，則點ECHO的橫坐標(biāo)為.

X

A：A3

【答案】2(j2009+j2010)

【分析】分別過Pl、P2、P3作X軸的垂線，垂足為Hl、H2、H3,則A0P1H1,AA1P2H2,△A2P3H3為等腰直角三

角形，根據(jù)Pi、P2、P3上點的橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)的積為4,分別求各點的橫坐標(biāo)的值，發(fā)現(xiàn)規(guī)律.

【詳解】分別過6、5、A作X的垂線，垂足為d，H2,H3,則△。片乜，△4鳥“2，為等腰直

角三角形，

則a2=4>

解得“=2（負(fù)值舍去），

即R的橫坐標(biāo)為2,

；.OAi=4,

設(shè)4“2=P2Hl=b,

則（4+。）/?=4,

解得人=2卜1+0）（負(fù)值舍去），

即2的橫坐標(biāo)為4+人=2（1+忘），

同理：設(shè)4H3=鳥83=。，

則（2Q+2Z?+C）C=4,

解得：C=2（-V2+73）（負(fù)值舍去）,

+

所以Eoio的橫坐標(biāo)為2(72009+V20W).

故答案為：2(J^5面+聞

【點睛】本題考查了反比例函數(shù)比例系數(shù)k的幾何意義，以及點坐標(biāo)規(guī)律探究.關(guān)鍵是根據(jù)等腰直角三角形的性

質(zhì)，依次設(shè)反比例函數(shù)圖象上各點的縱坐標(biāo)，表示橫坐標(biāo)，代入反比例函數(shù)解析式求解，發(fā)現(xiàn)規(guī)律.

16.如圖，長方形A3CD中，BC=2,DC=1,如果將該長方形沿對角線折疊，使點C落在點C處，那么圖

中重疊部分的面積是.

【答案】-##0.625

8

【分析】設(shè)C'E的長龍，根據(jù)折疊得出NC'5D=NCBD,根據(jù)平行線的性質(zhì)得出NAZ)5=NCBD,得出

ZC'BD^ZADB,根據(jù)等腰三角形的判定得出BE=QE=2—x,根據(jù)勾股定理得出DE?=+。,。？，即

,3

(2-%y=x2+1,求出x=[,再求出結(jié)果即可.

【詳解】解：設(shè)C'E的長尤，???長方形沿對角線折疊，

:?NC'BD=NCBD,C'D=CD=1,BC'=BC=2,

?：8。為長方形A3CD的對角線，

ZADB=ZCBD,

：.ZC'BD=ZADB,BE=DE=2—x,

在VXZXC'DE中,DE2=C'E2+C'D2,

即(2-4=f+i,

3

解得：x=：,

4

陰影=

SSBCD-sCDE=-x2xl--x-xl=-.

故答案為：—.

8

【點睛】本題主要考查了折疊的性質(zhì)，勾股定理，矩形的性質(zhì)，等腰三角形的判定，解題的關(guān)鍵是熟練掌握勾股定

理，求出C'E的長.

17.如圖，在正方形ABCD中，AB=3,點E,F分別在CD,AD上，CE=DF,BE,CF相交于點G,若圖中陰影部

分的面積與正方形ABCD的面積之比為2：3,則ABCG的周長為.

【答案】V15+3.

【詳解】分析：根據(jù)面積之比得出ABGC的面積等于正方形面積的工，進而依據(jù)ABCG的面積以及勾股定理，得出

6

BG+CG的長，進而得出其周長.

詳解：???陰影部分的面積與正方形ABCD的面積之比為2：3,

2

陰影部分的面積為&x9=6,

空白部分的面積為9-6=3,

由CE=DF,BC=CD,ZBCE=ZCDF=90°,可得ABCE義ACDF,

3

AABCG的面積與四邊形DEGF的面積相等，均為Jx3=—,

22

3

設(shè)BG=a,CG=b,則！ab=-,

22

又：a2+b2=32,

.\a2+2ab+b2=9+6=15,

即(a+b)2=15,

a+b=，即BG+CG=y/l5，

.?.△BCG的周長=JI?+3,

故答案為JE+3.

點睛：此題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、正方形的性質(zhì)以及三角形面積問題.解題時注意數(shù)形結(jié)合思想與方

程思想的應(yīng)用.

三.解答題(共8小題，滿分62分)

ace

18.如果習(xí)=彳=7=左+/wO),且a+c+e=3(/?+d+/).求左的值.

【答案】3

【分析】根據(jù)比例的性質(zhì)求得。=〃匕。=成,e=於，代入a+c+e=3(Z?+d+/),即可求解.

ace,

【詳解】解：7=:=:=左，

bdf

a=bk,c=dk,e=fk,

”+c+e=3(Z?+d+/).

:.bk+dk+fk=3(b+d+于),

:.k=3.

【點睛】本題考查了比例的性質(zhì)，掌握比例的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

19.3%2—(%—2)2=5.

［答案］-2+后,士叵.

1222

【分析】

根據(jù)求根公式解一元二次方程即可.

【詳解】解：3X2-X2+4X-4-5=0

2A:2+4X-9=0

a=2,b=4fc=—9,

△=16+72=88,

—b±y/b2-4ac—4±A/88

?.x=

2a4

-2+722-2-V22

------------，x--------------

29'2

【分析】本題考查了一元二次方程的解法，解題關(guān)鍵是熟記求根公式，按照用公式法解一元二次方程的步驟熟練

計算.

20.米奇家住宅面積為90平方米，其中客廳30平方米，大臥室18平方米，小臥室15平方米，廚房14平方米，

大衛(wèi)生間9平方米，小衛(wèi)生間4平方米.如果一只小貓在該住宅內(nèi)地面上任意跑.求：

(DP(在客廳捉到小貓)；

(2)P(在小臥室捉到小貓)；

(3)P(在衛(wèi)生間捉到小貓)；

(4)P(不在臥室捉到小貓).

111319

【答案】(1)-(2)-(3)—(4)—

369030

【詳解】分析：

根據(jù)題意，由相應(yīng)房間的面積比上總面積90進行計算即可.

詳解：

由題意可得：

_30_1

(1)「(在客廳提到小獺=3^=3；

_15_1

(2)P(在小臥室提到小貓；

906

_9+4_13

(3)P(在衛(wèi)生間提到小貓)=90=~；

八D_90-18-1557_19

(4)P(不在臥室提到小貓)=—=-=—■

點睛：知道：”在某個房間捉到小貓的概率=該房間的面積：米奇家住宅的總面積”是解答本題的關(guān)鍵.

21.數(shù)學(xué)課上，老師出示了一道題目：如圖1,在一ABC中，AB=AC,點E在A3上，點。在CB的延長線

上，且ED=EC,試探究線段AEBD、AB,5C之間存在的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.

AEAB

(1)［猜想證明］線段AEBD、AB.BC關(guān)系是——=——.請補全下列證明思路；

BDBC

如圖1：過點E作所〃5c交AC于點F,則NFEC=NECD,

ED=EC,

ZEDB=ZECD,

NEDB=NFEC,

又：=

ZABC=ZACB,

*ZABC=ZEDB+ZDEB,ZACB=ZECF+/ECD.

.ZDEB=ZECF.

?DBE沿_______(ASA),

?BD=EF,

?￡.AEFS.

AE_

?=,

AB-----------

AE_

?二,

AB-----------

AEAB

(2)［變式拓展］

如圖2,在中，點E在84的延長線上，點D在直線上，且上。=EC.請你在圖2中補齊

圖形.并探索(1)中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請給出完整的證明；若不成立，請直接寫出新的結(jié)論.

(2)(1)中結(jié)論成立，理由見解析

分析】(1)先判斷出=再判斷出NDEB=NEC產(chǎn).得出Z^DBE必△EFC,得出BD=EF,

再判斷出△AEF即可解答；

(2)先判斷出"4C=NACB,進而判斷出N7Z4C=NABC,進而判斷出=,得出

_AHCsBDE，得出AHBE=ACBD,再判斷出，AEH?BEC,得出結(jié)論AF-BE=AE-BC即可解答.

【小問1詳解】

證明：如圖1,過點E作所〃3C交AC于點R則NFEC=NECD,

ED=EC,

ZEDB=ZECD,

：./EDB=NFEC,

又；=

：.ZABC=ZACB,

?：ZABC=ZEDB+ZDEB,ZACB=NECF+ZECD.

：.ZDEB=ZECF.

???(ASA),

；?BD=EF,

AAEFs^ABC.

,AE_EF

??=,

ABBC

.AE_BD

??二,

ABBC

,AEAB

EFBD

故答案為：,EFC,ABC----,-----.

BCBC

【小問2詳解】

圖1

解（1）中的結(jié)論仍然成立,;

如圖2,過點A作犯〃3。交EC于點",

ZHAC=ZACB,

AB=AC,

：.ZABC=ZACB,

ZHAC=ZABC,

??ED=EC,

：./EDC=NECD,

???ZEDC=ZABC+ABED,ZECD=ZACB+ZECA,

ZBED=/ECA,

.AHCsBDE,

AHAC

DB~BE'

AHBE=ACBD,

AH//BC,

AEHsBEC,

AH_AE

BLBE'

AFBE=AEBC,

ACBD^AEBC,

AB=AC,

AEAB

AD~^C

圖2

【點睛】本題主要考查了相似三角形的判定和性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)等知識點，正確作出輔助線、構(gòu)造出相似

三角形是解本題的關(guān)鍵.

1n

22.如圖，已知A(-4,-),B(-Jl,m)是一次函數(shù)y=kx+b與反比例函數(shù)y=—圖象的兩個交點，AC_Lx軸

于點C,BD_Ly軸于點D.

(1)求m的值及一次函數(shù)解析式；

(2)P是線段AB上的一點，連接PC、PD,若4PCA和4PDB面積相等，求點P坐標(biāo).

【答案】（1）m=2；y=^-x+—；（2）P點坐標(biāo)是（-工，—）.

2224

【分析】（1）利用待定系數(shù)法求一次函數(shù)和反比例函數(shù)的解析式；

（2）設(shè)點P的坐標(biāo)為+根據(jù)面積公式和已知條件列式可求得x的值，并根據(jù)條件取舍，得出點P的

坐標(biāo).

【詳解】解：（1）?..反比例函數(shù)y=:的圖象過點[-4,g],

TI——4x—=—2,

2

??,點B（-1,m）也在該反比例函數(shù)的圖象上，

-l?m=-2,

設(shè)一次函數(shù)的解析式為y=kx+b,

由y=kx+b的圖象過點B（-1,2）,則

，

-4k+b=1—

2解得:

-k+b=2,,5

:.一次函數(shù)的解析式為y=1x+|；

（2）連接PC、PD,如圖，設(shè)P+g

APCA和4PDB面積相等,

；—x—x(x+4)=—XHX[

22v72

“曰5155

解得：x=——,y=~x+~=~^

2224

AP點坐標(biāo)是it

【點睛】本題考查待定系數(shù)法求反比例函數(shù)以及一次函數(shù)解析式，反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題，熟練掌握

待定系數(shù)法是解題的關(guān)鍵.

23.如圖1,△ABC是等腰直角三角形，四邊形ADEF是正方形