華南理工大學2009年保送生、自主招生選拔試題

《理科數學》試題A

一.選擇題

1)已知復數Zo=Xo+i，且（為+7）2的幅角主值是T，則滿足|z—2zo|=J5的z的幅角主值的取值范圍是（)

715乃兀7C3萬7萬5萬9萬

A、B、C、D、

12'72121212'H

2)b>0是函數/(x)=+hx+c在[0,+oo)單調的)

A、充分而不必要條件B、必要而不充分條件

C、充分必要條件D、既不充分也不必要條件

2

3)已知a,beR,a+2b2=6，則Q+Z7的最小值為（)

5G7

A、-2后B、c、一3D、

丁2

2n-l

4)在++x(l+x+…+x"(l+X）”的展開式中，X:,"的系數為（)

(2〃+1)!(2n+l)!(2n+2)!(2?+2)!

A、B、C、D、

〃!(〃+1)!n!n!n\n\〃!(〃+1)!

5）已知圓。：/+/=/,點p,,b）是圓。內一點。過點P的圓。的最短的弦在直線由上，直線"的方程為

bx-ay=r2,那么()

A、且，2與圓。相交B、/1_L，2,且12與圓。相切

C、且4與圓。相離D、/]±/2,且4與圓。相離

71

6)已知OWxV—,函數/(x)=2j^sinxcosx+cos2x+l的值域為()

2

A、[-3，1]B、[-3，2]

c、口，3]D、卜2,3]

7)在三角形ABC中，向量力=麗+/,b=3AB+8AC+BC,c=4CB+5A,則下列結論一定成立的是

)

A、向量a+c一定與向量b平行B、向量b+c一定與向量。平行

相約鷺園，相約南昌

C、向量Q+B一定與向量C平行D、向量。一行一定與向量C平行

x?y?2b+c

8）已知c是橢圓——H—=1（〃〉/?〉0）的半焦距，則------的取值范圍是（）

ab2a

A、[，+s]C.（I,V2]D、（g,爭

二.填空題

9）已知A,5,C,。是某球面上不共面的四點，且45=方。=4。=行，5D=AC=2,5C_LAO,則此球的

表面積等于O

22

10）已知雙曲線二一=1（a>0,6〉0）右焦點為b，右準線/與兩條漸近線分別交于「，。兩點。若APQF是直角

ab

三角形，則雙曲線的離心率e=

11）已知函數/（x）是定義在（0,+00）上的增函數，且滿足7（3）=1,/（xy）=/（x）+f（y）,x>0,y>0,則不

等式/（%）+/（x—3）43的解集為。

%>1

12）已知<x-yV0,則x+2y的最大值為。

x2+y2-2x-6y+6<0

13）甲、乙兩人下圍棋，下三盤棋，甲平均能贏二盤，某日，甲、乙進行五打三勝制比賽，那么甲勝出的概率為o

三.設三角形ABC三個頂點的坐標分別為4（2,1）,5（—1,2）,C（3,-1）D,E分別為A5,方。上的點，M是

…BEADDM

DE_L一■點，且-~DE

BCAB

1）求點〃的橫坐標的取值范圍;

2）求點〃的軌跡方程。

四.已知函數/（X）是定義在[—4,+8）的單調增函數，要使得對于一切

的實數x不等式/（cosx-Z?2）>/（sin2x-b-3）恒成立，求實數b的取值范圍。

五.如圖，在正三棱錐P—ABC中，側棱長為3,底面邊長為2,￡為5。的中點，EFCA于F0

1）求證：E尸為異面直線P4與的公垂線；

3）求點5到面APC的距離。

六.已知a2+?-l=0,Z?2+/?-l=0,a<b,設〃1=1,。2=匕，

AE

B

2)求異面直線PA與BC的距離;

??i=°(〃N2)，

+bn=an+l-a-an

1)證明數列也｝是等比數列；

2)求數列｛?！埃耐?；

3)設q=C2=l，C"+2=C”+1+C“，證明：當〃23時有(一1)"(。"_2=+與')=匕""。

2011卓越聯(lián)盟自主招生數學

(1)向量a,6均為非零向量,(a-2b)_La,(Zr2a).Lb,貝ija,。的夾角為

71712n5%

儲)一㈤一3—(P)—

6336

則tan(a+〃+/)2也等于

(2)已知sin2(研協(xié)=nsin20,

tan(a一夕+7)

n—1nnn+1

儲)——㈤----(6)——(。)-----

〃+1〃+1n—1n—1

⑶在正方體人政力-48Gzz中，E為棱A4的中點，尸是棱48上的點，且4月：FR=1：3,則異面直線爐與8G所成角的正弦值為

V15V15V5V5

⑼——(B)——(。——(ZZ)——

3535

z2—2z+2

(4)/為虛數單位，設復數z滿足|z|=1,則------------的最大值為

z—1+i

(⑷5/2-1(fi)2-A/2(0"\/2+1(/?)2+5/2

⑸已知拋物線的頂點在原點，焦點在X軸上，△/8C三個頂點都在拋物線上，且△48C的重心為拋物線的焦點，若8C邊所在直線

的方程為4戶尸20二0,則拋物線方程為

3)/二16入⑶/=8x(0y2=-16x(P)y=-8x

(6)在三棱錐48A48G中，底面邊長與側棱長均等于2,且￡為CG的中點，則點G到平面48￡的距離為

(4)V3(B)6(0—(P)—

22

IxI

⑺若關于X的方程-----Ml有四個不同的實數解，則內的取值范圍為()

x+4

相約鷺園，相約南昌

”)(0,1)㈤(一，1)(。(-，+8)(Z?)(1,+8)

44

(8)如圖，△48C內接于。0,過8c中點。作平行于4C的直線/,/交48于E,交。。于G、F,交。

。在4點的切線于戶，若唱3,ED=2,￡片3,則〃的長為

(⑷V5(B)

(0V7(〃)2血

(9)數列｛d｝共有11項，a=0,a,=4,且A=1,2,10.滿足這種條件的不同數列的個數為()

(A)100(5)120(0140(0)160

2%

(10)設。是坐標平面按順時針方向繞原點做角度為一的旋轉，漾示坐標平面關于p軸的鏡面反射.用C謀示變換的復合，先做c,

7

再做5用4表示連續(xù)4次的變換，則6"加^"是()

儲)(J(B)標(0(JT(9T(J

(11)設數列｛a〃｝，兩足a=a,石2二6,2石商力用+s〃.

⑴設ba證明：若貝IJ｛4｝是等比數列；

(II)若lim(句+/+…+&)=4,求8，6的值.

n—>oo

(12)在△48C中，45=246,4〃是4的角平分線，且人廬胡C.

(I)求"的取值范圍；4

(II)若反?F1,問“為何值時，8c最短？

(13)已知橢圓的兩個焦點為月(-1,0),八(1,0),且橢圓與直線片廣百相切.

(I)求橢圓的方程；

(II)過片作兩條互相垂直的直線4,h,與橢圓分別交于P,。及例N,求四邊形刃外W面積的最大值與最小值.

(14)一袋中有a個白球和6個黑球.從中任取一球，如果取出白球，則把它放回袋中；如果取出黑球，則該黑球不再放回，另補一

個白球放到袋中.在重復/?次這樣的操作后，記袋中白球的個數為尤.

(I)求均;

(II)設P(冷>")二外，求P(XH=/4),仁0,1,…，b；

1

(m)證明：￡CF(1-------)￡X+1.

"b

(15)(I)設尸(x)=xlnx,求F(x)；

(H)設。心<6,求常數c,使得-----「Ilnx-Cldx取得最小值；

b-aJa

(III)記(II)中的最小值為他6,證明：偌6<ln2.

2012卓越聯(lián)盟自主招生數學

一、填空題:本大題共6小題，每小題5分，共30分.

(1)若以橢圓短軸的兩個端點和長軸的一個端點為頂點的三角形是等邊三角形，則橢圓的離心率

為.

⑵函數f(e)=-smg-(8e火)的值域為_______________。

2+cos0

(3)設0<6<工，.”(sinks',v=(cos〃)M-e,則x,y的大小關系為___________。

4

(4)已知AABC中，乙4=90。，BC=4|,點4是線段EF的中點，EF=2,若麗與衣的夾角

為60°,則8￡存=.

(5)設｛4｝是等差數列，色｝是等比數列，記0｝,｛4｝的前〃項和分別為S“，T..若％=4,

$5一邑

4=b、.且=5>則%+%=

TA-T24+4

(6)設函數/(x)=sin(0v+o),其中0>o,<peR,若在常數7(7<0),使對任意xeR有

/(x+r)=7jf(x).則0可取到的最小值為

二、解答題：本大題共6小題，共70分，解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。

(7)(本小題滿分10分)

試°,6是從集合｛123.4,5｝中隨機選取的數

(I)求直線y=ax+b與圓Y+爐=2有公共點的概率

(II)設X為直線.v=or+6與圓1+丁=2的公共點的個數，求隨機變量x的分布列及數學期望

E⑺。

(8)(本小題滿分10分)

如圖，.42是。。的直徑，弦CQ垂直XB于點A/,E是CD延長線上一點，.45=10,CD=8,

3ED=4OM,EF0。的切線，F(xiàn)是切點，3尸與8相交于點G,

(I)求線段EG的長；

(II)連線OF,判斷。尸是否平行于.43,并證明你的結論。(注：根據解題需要，須將圖形自行

畫在大題卡上。)

B

相約鷺園，相約南昌

(9)(本小題滿分10分)

如圖，在四棱錐P-/1BCD中，底面.鋁8是直角梯形，ADIIBC,ABLBC,側面尸.45，底面

ABCD9PA—AD—AB—\?BC=2o

(I)證明平面平面PDC；

(II)若445=120。，求二面角B-PD-C的正切值.(注：根據解題需要，須將圖形自行畫在

答題卡上)

(10)(本小題滿分10分)

設拋物線丁=2/3>0)的焦點是廣，.4,B是拋物線上互異的兩點，直線.48與x軸不垂直，線

段48的垂直平分線交x軸于點￡>(。.0),記，"=(/H+IEFI?

(I)證明。是p與，〃的等差中項

(II)設〃=3p,直線/平行y軸，且/被以4。為直徑的動圓截得的弦長恒為定值，求直線/方程。

(11)(本小題滿分15分)

己知函數里，其中。是非零實數，Z>>0o

bx

(I)求/(x)的單調區(qū)間

(H)若67>0,設|Xj|>-9i=1,2,3,且+x2>0,+x3>0>出+演>0。證明:

/?)+"*)+/(曰)>平；

(HI)若〃x)有極小值a,,且&=/。)=2,證明論2"-2(?八)。

(12)(本小題滿分15分)

設數列｛a.｝的前〃項和為S,，<7]*0.、6.+1—〃S”=qr,其中〃，v是正整數，且”>丫，neN.。

(I)證明｛?｝為等比數列；

(II)設q,%兩項均為正整數，其中「23。

(i)若pN%,證明v整除〃：

(ii)若存在正整數〃八使得產t,q,4(,〃+1尸，證明與=(",+1)'-〃八

2013大學自主招生模擬試題一

一.選擇題

1.把圓孑+?-1)2=1與橢圓9%2+8+1)2=9的公共點，用線段連接起來所得到的圖形為()

(4)線段(3)不等邊三角形(C)等邊三角形(0四邊形

2.等比數列｛“〃｝的首項〃i=1536,公比q二一；,用?！ū硎舅那啊椫e。則縱(〃￡N*)最大的是()

(A>9⑻711(。町2(。)乃13

3.存在整數幾，使赤G+g是整數的質數p()

(A)不存在伊)只有一個

(C)多于一個，但為有限個(0有無窮多個

4.設工￡(—；,0),以下三個數Gi=cos(siiwr),Q2=sin(cosw),a3=cos(x+l)%的大小關系是()

5.如果在區(qū)間［1⑵上函數危)=/+/+4與g(x)=x+$在同一點取相同的最小值，那么八x)在該區(qū)間上的最大值是()

(A)4+*y■/+赤0)4—9/+赤

(C)1-1A/2+A/4(D)以上答案都不對

6.高為8的圓臺內有一個半徑為2的球0,球心Q在圓臺的軸上，球5與圓臺的上底面、側面都相切，圓臺內可再放入一個

半徑為3的球。2,使得球。2與球。卜圓臺的下底面及側面都只有一個公共點，除球。2,圓臺內最多還能放入半徑為3的球的個數

是()

(A)l⑻2(C)3(D)4

二.填空題

1.集合｛M一l《logj_10v—3，％￡N*｝的真子集的個數是.

x

2.復平面上，非零復數a,Z2在以i為圓心，1為半徑的圓上，ZiQ的實部為零，zi的輻角主值為率則Z2=.

3.曲線C的極坐標方程是/>=l+cos。，點A的極坐標是(2,0),曲線C在它所在的平面內繞A旋轉一周，則它掃過的圖形的面積是

4.已知將給定的兩個全等的正三棱錐的底面粘在一起，恰得到一個所有二面角都相等的六面體，并且該六面體的最短棱的長為2,

則最遠的兩頂點間的距離是.

5.從給定的六種不同顏色中選用若干種顏色，將一個正方體的六個面染色，每面恰染一種顏色，每兩個具有公共棱的面染成不

同的顏色。則不同的染色方法共有種.(注：如果我們對兩個相同的正方體染色后，可以通過適當的翻轉，使得兩個正方體

相約鷺園，相約南昌

的上、下、左、右、前、后六個對應面的染色都相同，那么，我們就說這兩個正方體的染色方案相同.)

6.在直角坐標平面，以(199,0)為圓心，199為半徑的圓周上整點(即橫、縱坐標皆為整數的點)的個數為

2013大學自主招生模擬試題二

一.選擇題

I.設等差數列{%}滿足3a8=5。13且為>0,S“為其前項之和，則S“中最大的是()

(A)S10(B)Sn(C)S20(D)S21

2.設復平面上單位圓內接正20邊形的20個頂點所對應的復數依次為Z”Z2,Z20,則復數Z?95,z*95,…，Z費5所對應的不

同的點的個數是()

(4)4(8)5(C)10(0)20

3.如果甲的身高數或體重數至少有一項比乙大，則稱甲不亞于乙，在100個小伙子中，如果某人不亞于其他99人，就稱他為棒

小伙子，那么，100個小伙子中的棒小伙子最多可能有()

(A)l個(8)2個(C)50個(D)100個

4.已知方程k—2"1=八「("€N*)在區(qū)間(2”-1,2"+1]上有兩個不相等的實根，則上的取值范圍是()

(A)%>0(B)O<kW/1

\2n+l

(C舄(D)以上都不是

，幾十1yj2n+l

5.logsinicosl,logsinitanl,logcoslsinl,logcositanl的大小關系是

(A)logsinlcosl<logcosisinl<logsinitanl<logcositanl

⑻logcoslsinl<logcositanllogsinicosl<logsin]tanl

(C)logsinltanl<logcositanl<logcosisinl<logsinicosl

(0logcosltanl<logsinltanl<logsinicosl<logcosisinl

6.設。是正三棱錐P—A3C底面三角形ABC的中心，過。的動平面與PC交于S,與以，尸3的延長線分別交于。，R,則

和式自喘+表

(A)有最大值而無最小值(B有最小值而無最大值

(C)既有最大值又有最小值，兩者不等(0是一個與面QPS無關的常數

二.填空題

1.設夕為一對共輒復數，若kz—加=2小，且病為實數，則㈤二.

2.一個球的內接圓錐的最大體積與這個球的體積之比為.

3.用㈤表示不大于實數％的最大整數，方程lg2]—[Igx]—2=0的實根個數是.

X

4.直角坐標平面上，滿足不等式組j的整點個數是.

、x+yW100

5.將一個四棱錐的每個頂點染上一種顏色，并使同一條棱的兩端點異色，如果只有5種顏色可使用，那么不同的染色方法的

總數是.

6.設"={1,2,3,…，1995},A是M的子集且滿足條件：當時，15%eA,則A中元素的個數最多是.

三.解答題

1.給定曲線族2(2sin0-cos0+3>2-(8sin0+cos0+l),y=O,0為參數，求該曲線在直線y=2x上所截得

的弦長的最大值.

2.求一切實數p,使得三次方程5x3-5(p+l]+(71p—l)x+l=66p的三個根均為正整數.

3.如圖，菱形ABCD的內切圓。與各邊分別切于E,F,G,H,在弧EF與GH上分別作圓。的

切線交48于Af,交BC于N,交CD于P,交。A于Q,求證：MQ//NP.

4.將平面上的每個點都以紅，藍兩色之一著色。證明：存在這樣兩個相似的三角形，它們的相似

比為1995,并且每一個三角形的三個頂點同色.

2013大學自主招生模擬試題三

一.選擇題

1.對于每個自然數n,拋物線｝=(/+〃)既加1)/1與x軸交于A,a兩點,以表示該兩點的距離，則

|48|+|48|+…+|49928992|的值是()

/J99119921991,、1993

(㈤麗⑸函(?麗3)磁

2.已知如圖的曲線是以原點為圓心,1為半徑的圓的一部分，則這一曲線的方程是()

2

3)(A^/1-y)(y^/1-x)R(B)(XTJI—7)(尸<1_》)=0

3(TP?)(尸產7)4(E一爐)(y^/1-x)R

4

3.設四面體四個面的面積分別為S,S,它們的最大值為S記4二(2S)/S則力一定滿足()

閆

(⑷2<UW4(5)3<A<4(02.5<幾<4.5(03.5<4<5.5

C

4.在中，角4B,C的對邊分別記為a,b,c(仿⑴，且牙s”都是方程?。8og。(4x—4)的根,

則△/8C()

")是等腰三角形，但不是直角三角形㈤是直角三角形,但不是等腰三角形

(0是等腰直角三角形(〃)不是等腰三角形，也不是直角三角形

22

5.設復數乙，Z2在復平面上對應的點分別為4B,且4ZI-2ZIZ2+Z2^0,0為坐標原點，則△048的面積為()

儲)隊向㈤外月(6)673(仍12小

6.設Hx)是定義在實數集R上的函數，且滿足下列關系H10+X)=A10-x),H20-x)=H20+x),則尸(x)是

")偶函數，又是周期函數⑶偶函數，但不是周期函數

(。奇函數，又是周期函數M)奇函數，但不是周期函數

填空題

設X'"'Z是實數，3x,4y,5z成等比數列，且5/%等差數列，則為的值是.

1.

2.在區(qū)間[0,捫中，三角方程COS7QCOS5X的解的個數是.

3.從正方體的棱和各個面上的對角線中選出“條，使得其中任意兩條線段所在的直線都是異面直線，則"的最大值是

4.設N1,Z2都是復數，且|z|2,|Z2|^5|ZI+Z2|-7,則arg(一)3的值是____

Z\

5.設數列Q\f32f…，an,…)兩足3\—^2—1/53—2,且對任何自然數"，都有品服1a"2。1,又3n3r^13n^23n^3+3n￥2^3^3,則a+&2+…+句00

的值是—.

相約鷺園，相約南昌

6.函數人(x)=3f—6/13—ylx-x+]的最大值是.

三.求證：16<A

四.)設/,勿是兩條異面直線，在/上有4B,C三點，且AB=BC,過4B,C分別作勿的垂線47,BE,CF,垂足依次是0,E,

F,已知/4。個/1號，求/與力的距離.

X用—X—n-1.

五.設〃是自然數，fn(.x)=-----—(A^O,±1),令y刁七.

X—XX

1.求證：(x)=yfn(x)-fn-\(x)，(/7>1)

2.用數學歸納法證明：

/H

/—&二/-…1)⑥二2，+…+(一[)2,(/=],2,???,〃為偶數)

￡(x)qn--\〃一1

2

y—0?-]/~+---+(—1)^-,+-??+(-1)261^1y,(/-1,2,-??,"為奇數)

<~2~

模擬題答案

模擬一

1.解：9—9。-1)2=9-。+1猿，n8y2-20y+8=0,ny=2或1相應的，x=0,或x=±/.10

此三點連成一個正三角形.選C.

〃(“一1)

2.解：萬〃二1536〃X(一；)2,故町1<0,九9,乃12，町3>°?作商比較：

又，叫=15363x(護-36”.=1536x(獷-%1.故選C.

乃9Z町2，

3.解：如果p為奇質數，p=2左+1,貝IJ存在〃二產(左￡'+),使Tp+幾+5=21+1.故選D.

4.解:?!=cos(sinlxk)>0,a2=sin(coslxl7r)>0,%=cos(l—Ixl)ov0,排除8、D.

*.*sinlxk+coslxl7r=*\/2sin(h;k+^)<^,于是COSIXITTJ-sinlxbr,

/.sin(coslxk)<cos(sinlxk),故。2<囚，選A.

「5E172.A/23八上十〃A/2TV,,

乂解：取工二—W，貝Uii=cos亍，a2=sin2?為=8牙乃<0.由十故。1>電.

5.：g(x)=三當且僅當;即x=/n寸g(x)取得最小值.

；.一§=%,41口np=-2%,q=1^/5+赤.

由于強T<2—%.故在［1.2］上?的最大值為?2)=4一|訪即.故選8.

6.解：與下底距離=3,與距離=2+3=5,與軸距離=4,問題轉化為在以4為半徑的圓周上，能放幾個距離為6的點？

右圖中，由sinNaHC=3/4>0.707,即/。2目。3>90°,即此圓上還可再放下/

2二個滿足要求的點.故選B.'

1.解由已知，得如g*10WlnlWlgx<2nl0Wx<100.故該集合有90個元

素.其真子集有29。-1個.

、7T,\/31—7C7T

2.解：z/兩足lz—H=l;argzi=^得2產手+手，Zi=cos(—^)+zsin(—^).

jrjrjrjr__/.TT.

設Z2的輻角為仇0<。<兀），則Z2=2sin仇cosO+isin。）.zrZ2=2sing［cos（e—w）+isin（e—d）］,若其實部為0,貝U。一石=,于是。=了Z2=

V33.

2+2!-

3.解：只要考慮14Pl最長與最短時所在線段掃過的面積即可.

設P（l+cos（9,ff）,

則LAPP=22+（1+COS02-2-2（1+COS0COS6?=一3cos為一2cos。+5

=-3(cos0+1)2+^<-y.且顯然lAPF能取遍［0,號內的一切值，故所求面積=竽乃.

4.解：該六面體的棱只有兩種，設原正三棱錐的底面邊長為2a,側棱為b.

取CD中點G,貝l」4G_LCD,EGVCD,故NAGE是二面角A—CD—E的平面角.由BDLAC,

作平面8。尸_1_棱AC交AC于尸，則NBFD為二面角B—AC—D的平面角.

AG=EG=ylb2-a2,BF=DF==^^~a

^2AG2~AE22BF2—BD2

由cosAAGE=cosXBFD,何一2AG2—=—2BF2一

4（廿一寺圖4a2屬4

-^2_^2-=4〃2（.一.2尸9"=]6a2,=>"=]"，從而b=2,2a=3.

AE=2.即最遠的兩個頂點距離為3.

5.解：至少3種顏色：

6種顏色全用：上面固定用某色，下面可有5種選擇，其余4面有(4—1)!=6種方法，共計30種方法;

用5種顏色：上下用同色：6種方法，選4色：C5(4-l)!=30；6X30+2=90種方法;.

用4種顏色：以&=90種方法.

用3種顏色:Cl=20種方法.

?,?共有230種方法.

6.解：把圓心平移至原點，不影響問題的結果.故問題即求W+y2=1992的整數解數.

顯然％、y一奇一■偶，設％=2血，y=2n~l.且IWm,〃W99.

相約鷺園，相約南昌

貝IJ得4m2=1992-(2n-l)2=(198+2n)(200-2w).根2=(99+〃)(100—九)三(〃一1)(一〃)(加0[4)

,“十士.皿(當〃三時)

由于以為正整數，"9三0,1(加。/4)；d)(f)三[代0(,當片02,3l((/窈nod4)時)

二者矛盾，故只有(0,±199),(±199,0)這4解.

/.共有4個.(199,±199),(0,0),(398,0).

模擬二

1.解：3(〃+7d)=5(a+12d),=>d=一函〃，令〃〃=〃一而a(幾一1)20,〃〃+尸〃一西a"0,得〃=20.選C.

2.解：設z產cosO+isin仇MZk=ZiSk~l,其中”cos為由in存s20=1.8l5=~i,s10=—Le5=i.

：.zJ995=(cosl995e+isinl9958)/95d)=(cos19956+湎=1995<9)(一尸.

/.共有4個值.選A.

3.解：把身高按從高到矮排為1?100號，而規(guī)定二人比較，身高較高者體重較小，則每個人都是棒小伙子.故選D

4.解：由反一2420,故無20,若％=0,可知在所給區(qū)間上只有1解.故人>0.

由圖象可得，%=2〃+1時，krJx^l.即％W-)=^=.故選6.

\2n4-l

又解:產(X—與線段尸&(2〃-1<%W2計1)有兩個公共點.％2—(4計3)%+4川=。有(2〃一1,2什1]上有兩個根.故△=(4葉產)2

一16滔>0.且(2〃-I/—(4〃+2)(2〃-1)+4*>0,(2幾+1)2—(4幾+3)(2〃+1)+4/，0,

2n-lv2〃+/2V2幾+1.=>k<一一.

2〃+1

5.解：4<1<2，故Ovcoslvsinklvtanl.nlogsinltanl<0,logcosltanl<0,

logsinicosl>0,logcoslsinl>0,

ah

設logsinicos1=〃，貝得(sinl)=cosl<sinl,a>l；logcoslsin1=Z?,則(cosl)=sin1>cos1,

0<b<l；即logcoslsinl<logsinlcosl.

設logsinitanl=c,logcositanl=d,則得(sinl)。=(cosl)”=tanl,(指數函數圖象進行

比較)，c<d,即logsinitanklogcositanl

故選C.

6.解：。到面以反PBC、PCA的距離相等.設/AP5=a,貝lj

VpQRs%PQPR+PRPS+PSPQ)sina.(其中d為。與各側面的距離).

VpQRS=90PRPSsinasine.(其中。為PS與面PQR的夾角)

/.d(PQPR+PRPS+PSP2)=PQPRPSsine.

.Illsin?！?-

??時而+市=丁為定值-故選D

1.解：?a=x+yif(xfy￡R),貝！Jkx—〃=2lyl.=士方.

2

設arga=6,則可取8+2。=2笈，(因為只要求kzl,故不必寫出所有可能的角).8=鏟，于是％二土1.Ial=2.

2.解：設球半徑為凡其內接圓錐的底半徑為「，高為h,作軸截面，則/皿(2R—人).

所求比為8：27.

3.解：令lgx=f,則得/一2=國.作圖象，知f=—1,r=2,及l(fā)v<2內有一解.

當lv<2時，團=1,u小.故得：x=告，x=100,x=10、0，即共有3個實根.

4.解：如圖，即△OAB內部及邊界上的整點.由兩軸及x+y=100圍成區(qū)域(包括邊界)內的整點數=1+2+3+…+101=5151個.

由x軸、>=5■,x+y=100圍成區(qū)域(不包括產上上)內的整點數(x=l,2,3時各有1個整點，x=4,5,6時各有2個整點，…，

x=73,74,75時有25個整點,x=76,77,100時依次有25,24,1個整點.共有3X1+3X2+…+3X25+25+24+…+1=4(1+2+…

+25)=1300.由對稱性，由y軸、y=3x、x+y=100圍成的區(qū)域內也有1300個整點.

...所求區(qū)域內共有5151—2600=2551個整點.

5.解：頂點染色，有5種方法，

底面4個頂點，用4種顏色染，4=24種方法，用3種顏色，選1對頂點C%這一對頂點用某種顏色染狀,余下2個頂點，任

選2色染，A舜中，共有。兄妹、48種方法；用2種顏色染：“=12種方法；

共有5(24+48+12)=420種方法.

6.解：1995=15x133.故取出所有不是15的倍數的數，共1862個，這此數均符合要求.

在所有15的倍數的數中，152的倍數有8個，這此數又可以取出，這樣共取出了1870個.即⑷31870.

又伏，15*}(*=9,10,11,133)中的兩個元素不能同時取出，故L4IW1995T33+8=1870.

1.解：以尸2%代入曲線方程得％=0,.0777-

2sint/—cosc/4-3

所求弦長|￡黑黑黑|故只要求團的最大值即可.

由(2%—8)sin8—(x+l)cos8=l—3%.=>(2x-8)2+(x+l)2^(l-3x)2,即x2+16x-16^0.

247r-

解之得，-8WxW2.即l%IW8(當sin8=±行，cos。中三時即可取得最大值).故得最大弦長為8小.

2.解：x=l是方程的一個根.于是只要考慮二次方程

?r

5x2-5px+66p—1=0

的兩個根為正整數即可...尸3X

設此二正整數根為〃、V.則由韋達定理知，425.75)

消去p,得5〃y—66(〃+u)=—1.同乘以5：52UV~5X66u~5X66v=-5.

???(5u~66)(5v-66)=662-5=4351=19X229.由于〃、v均為整數，故5〃一66、5y—66為整數.

5〃-66=1,—1,19,—19,

5^—66=4351,-4351,229,-229.

???其中使〃、u為正整數的，只有K=17,v=59這一組值.此時p=76.

3.分析要證M0〃NP,因A5〃OC,故可以考慮證明NAM。二NCPN.現(xiàn)/A=NC,故可證△AMQs△。尸乂于是要證明AM：

AQ=CP:CN.

證明設NA3C=2a,/BNM=20,ZBMN=2y.貝ij

相約鷺園，相約南昌

由ON平分NONM,得NONC=NCWM=T(18(r-2￡)=90。一夕；

同理，ZOMN=ZOMA=90°-y.

而ZCON=180。一NOCN-NONC=/ha=90。-y,于是ACONsAAMO,

：.AM:AO=CO：CN,即AM-CN=AO2.

同理，AQCP=AO2,：.AMCN=AQCP.

：.AAMQsACPN,：.ZAMQ=ZCPN.

：.MQ//NP.

4.證明：首先證明平面上一定存在三個頂點同色的直角三角形.

任取平面上的一條直線/,則直線/上必有兩點同色.設此兩點為P、Q,不妨設P、。同著紅色.過

P、。作直線/的垂線/］、12,若乙或，2上有異于尸、。的點著紅色，則存在紅色直角三角形.若小

U上除P、2外均無紅色點，則在"上任取異于P的兩點R、S,貝UR、S必著藍色，過R作。的垂線

交b于T，則r必著藍色.△RST即為三頂點同色的直角三角形.

設直角三角形ABC三頂點同色（N8為直角）.把△ABC補成矩形ABCO（如圖）.把矩形的每邊都分成

〃等分（〃為正奇數，">1，本題中取〃=1995）.連結對邊相應分點，把矩形ABC。分成后個小矩形.

AB邊上的分點共有〃+1個，由于〃為奇數，故必存在其中兩個相鄰的分點同色，（否則任兩個相鄰分點異色，則可得A、B異色）,

不妨設相鄰分點E、尸同色.考察E、尸所在的小矩形的另兩個頂點F',若E'、F異色,則△EFE，或△OFF為二個頂點同

色的小直角三角形.若E\尸同色，再考察以此二點為頂點而在其左邊的小矩形，….這樣依次考察過去，不妨設這片行小矩

形的每條豎邊的兩個頂點都同色.

同樣，BC邊上也存在兩個相鄰的頂點同色，設為P、Q,則考察PQ所在的小

矩形，同理，若P、。所在小矩形的另一橫邊兩個頂點異色，則存在三頂點同

色的小直角三角形.否則，P。所在列的小矩形的每條橫邊兩個頂點都同色.14

現(xiàn)考察EF所在行與尸。所在列相交的矩形GHNM,如上述，M、H都與N同

色，為頂點同色的直角三角形.

由?=1995,故AMNHsAABC,且相似比為1995,且這兩個直角三角形的頂

點分別同色.

證明2：首先證明：設a為任意正實數，存在距離為2a的同色兩點.任取一點0（設為紅色點），以O為圓心，2a為半徑作圓,

若圓上有一個紅點，則存在距離為2a的兩個紅點，若圓上沒有紅點，則任一圓內接六邊形

ABCDEF的六個頂點均為藍色，但此六邊形邊長為2a.故存在距離為2a的兩個藍色點.

下面證明：存在邊長為a,3a,2a的直角三角形，其三個頂點同色.如上證，存在距離為2a

的同色兩點A、B（設為紅點），以AB為直徑作圓，并取圓內接六邊形A