第第頁專題10漸近線相關知識點一、雙曲線的漸近線的基本原理1.雙曲線的漸近線方程亦為，即，就是.2.雙曲線的漸近線方程亦為，故雙曲線的漸近線方程為.知識點二、定比點差法（直線與雙曲線的兩只漸近線都相交）已知雙曲線方程為的右焦點為，過點且與漸近線垂直的直線分別交兩條漸近線于兩點.情形1.如下圖.若.設，則坐標均滿足①，②.又.則由，可得：.給②式乘再相減得：故.由情形2.如下圖.若.設，則故得：由于由題型【一】、已知方程求雙曲線的漸近線方程例1、（2022·吉林·遼源市第五中學校高二期末）已知雙曲線，則（

）A．雙曲線的離心率為B．雙曲線的焦點到漸近線的距離為C．雙曲線的漸近線方程D．雙曲線左支上的點到右焦點的最短距離為【答案】ABC【分析】根據(jù)雙曲線的基本幾何量運算即可.【詳解】解：雙曲線中，，所以，則所以雙曲線的離心率為，故A正確；雙曲線的焦點為到漸近線的距離為，故B正確，C正確；雙曲線左支上的點到右焦點的距離為，故最短距離為，故D不正確.故選：ABC.例2、（2022·江蘇·海安高級中學高二開學考試）雙曲線的漸近線方程為（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】由題意可知，雙曲線的焦點在軸上，所以，即，所以雙曲線的漸近線方程為.故選：B例3、（2022·遼寧實驗中學高二階段練習）若三個點，，中恰有兩個點在雙曲線C：上，則雙曲線C的漸近線方程為___________.【答案】【詳解】因為三個點，，中恰有兩個點在雙曲線上，又雙曲線的圖象關于原點對稱,所以點，在雙曲線上，所以，解得，所以其漸近線方程為：.故答案為：.1．（2022·湖北·沙市中學高二期末）設雙曲線，其左焦點為，過作雙曲線一條漸近線的垂線，垂足為點，且與另一條漸近線交于點，若，則雙曲線的漸近線方程為__________.【答案】【分析】求雙曲線的漸近線方程轉化為求，利用和雙曲線的兩條漸近線關于對稱，可得，即可求出答案.【詳解】因為，所以是的中點，因為，所以垂直平分，所以，因為雙曲線的兩條漸近線關于對稱，所以，因為，所以，所以雙曲線的漸近線方程為.故答案為：2．（2022·湖北·沙市中學高二階段練習）設雙曲線，其左焦點為，過作雙曲線一條漸近線的垂線，垂足為點，且與另一條漸近線交于點，若，則雙曲線的漸近線方程為__________.【答案】【詳解】因為，所以是的中點，因為，所以垂直平分，所以，因為雙曲線的兩條漸近線關于對稱，所以，因為，所以，所以雙曲線的漸近線方程為.故答案為：3．（2022·北京二中高二階段練習）已知雙曲線經(jīng)過點，則它的漸近線方程為______，離心率為______.【答案】

【詳解】由題知，雙曲線經(jīng)過點，所以，解得，所以雙曲線方程為，所以雙曲線焦點在軸上，，所以它的漸近線方程為，離心率為，故答案為：；.題型【二】、根據(jù)求雙曲線的漸近線求標準方程例4、（2022·福建三明·高二期末）已知雙曲線C：的漸近線方程是，則m＝（

）A．3 B．6 C．9 D．【答案】C【分析】根據(jù)雙曲線的漸近線求得的值.【詳解】依題意可知，雙曲線的漸近線為，所以.故選：C例5、（2022·江西贛州·高三期末（文））已知雙曲線的一條漸近線方程為，且與橢圓有公共焦點，則雙曲線的標準方程為（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】由題意設雙曲線方程為，則，求出的值，從而可得雙曲線方程【詳解】由題意設雙曲線方程為，因為雙曲線的一條漸近線方程為，且與橢圓有公共焦點，所以，解得，所以雙曲線的標準方程為，故選：C1．（2023·上?！じ叨ｎ}練習）與雙曲線有相同的漸近線，且過點的雙曲線的標準方程為_________.【答案】【分析】根據(jù)給定條件，設出所求雙曲線的方程，利用待定系數(shù)法求解作答.【詳解】依題意，設雙曲線方程為：，于是得，則有，所以雙曲線的標準方程為.故答案為：2．（2022·全國·高二期末）與雙曲線有共同的漸近線，且經(jīng)過點的雙曲線方程為______．【答案】【分析】由題設得漸近線為，設所求雙曲線為，，將已知點代入求參數(shù)，即可得雙曲線方程.【詳解】由題設，漸近線方程為，令所求雙曲線方程為，，又在雙曲線上，則.所求雙曲線方程為故答案為：題型【三】、根據(jù)abc的齊次式求雙曲線的漸近線例6、（2022·浙江·高二期末）已知是雙曲線：（，）的右焦點，過作與軸垂直的直線與雙曲線交于，兩點，過作一條漸近線的垂線，垂足為，若，則（

）A．1 B． C． D．3【答案】B【分析】設，分別求出和，即可求出.【詳解】設.過作與軸垂直的直線與雙曲線交于，兩點，則，解得：，所以.由雙曲線可得漸近線為.由對稱性可知，到任一漸近線的距離均相等，不妨求到漸近線的距離，所以.因為，所以，解得：.故選：B例7、（2022·四川省成都市新都一中高二期末（文））已知雙曲線的左，右焦點分別為，，若雙曲線的左支上存在一點P，使得與雙曲線的一條漸近線垂直于點Q，且，則雙曲線的漸近線方程為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】不妨設在第三象限，與漸近線垂直，寫出直線方程，與方程聯(lián)立求得點坐標，再根據(jù)得向量的關系，從而得點坐標，點坐標代入雙曲線方程變形可得，得漸近線方程．【詳解】，不妨設在第三象限，與漸近線垂直，的斜率為，直線方程為，由，得，設，由知，即，所以，，在雙曲線上，所以，化簡得，，，，所以漸近線方程是．故選：D．例8、已知雙曲線的左頂點為，右焦點為，以為圓心的圓與雙曲線的一條漸近線相切于第一象限內的一點．若直線的斜率為，則雙曲線的離心率為______．【解析】，，由題意設，則，解得，即，所以，，，，解得或（舍去）．故答案為：．1．已知雙曲線(a＞0，b0)的離心率為2，則該雙曲線的漸近線方程為__________．【解析】因為雙曲線的離心率為2，則，解得，故雙曲線的漸近線方程為.故答案為：.2．（2017·天津市紅橋區(qū)教師發(fā)展中心高三期末（文））已知雙曲線的兩條漸近線與拋物線的準線分別交于點、，為坐標原點，若雙曲線的離心率為2，三角形的面積為，則（

）A．1 B． C．2 D．3【答案】C【分析】根據(jù)雙曲線及拋物線的基本性質，求得的坐標，表示出三角形的面積，從而求得參數(shù).【詳解】由雙曲線的離心率為2知，，漸近線方程為，又拋物線的準線方程為，則設漸近線與準線的交點為，，三角形的面積為，（）解得，故選：C3．（2022·全國·高二期末）已知，是雙曲線的左、右焦點，過作傾斜角為的直線分別交軸與雙曲線右支于點，，下列判斷正確的是（

）A．， B．C．的離心率等于 D．的漸近線方程為【答案】BCD【分析】根據(jù)題意得，，；由知：，又，，求解離心率，根據(jù)離心率求解漸近線方程即可判斷.【詳解】如下圖所示，因為，即為中點，為中點，所以，因為，所以，所以，，A錯誤，B正確；由知：，又，，所以，即，所以，解得：，C正確；所以，所以，所以，所以，所以的漸近線方程為，D正確．故選：BCD．4．（2022·陜西渭南·高一期末）中心在原點，焦點在x軸上的雙曲線的離心率為，則它的漸近線方程為_______.【答案】【分析】由離心率得出，進而寫出漸近線方程.【詳解】由題意可知，則，解得則它的漸近線方程為故答案為：題型【四】、以求雙曲線的漸近線為載體的綜合問題例9、（2020·廣西·南寧三中高二期末（文））已知雙曲線的左，右焦點分別為、，A是雙曲線C的左頂點，以、為直徑的圓與雙曲線C的一條漸近線交于P，Q兩點，且，則雙曲線C的離心率為（

）A． B． C．2 D．【答案】D【分析】根據(jù)題意易得圓與漸近線的方程，聯(lián)立即可求得的坐標，結合圖像易得，利用斜率公式即可求得，從而可求得雙曲線C的離心率.【詳解】依題意，易得以為直徑的圓的方程為，設，則，又由雙曲線易得雙曲線C的漸近線為，如圖，聯(lián)立，解得或，∴，，又∵，∴軸，∴由得，∴，∴，即，∴，∴.故選：D..例10、（2022·安徽滁州·高二期末）已知雙曲線與雙曲線有相同的漸近線，過雙曲線右焦點的直線與雙曲線相交于，兩點，弦的中點為，點是雙曲線右支上的動點，點是以點為圓心，為半徑的圓上的動點，點是圓上的動點，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由已知可得，設，，由點差法可得，可得，可求，圓表示圓心為，半徑為，，計算可求最小值．【詳解】由雙曲線知漸近線方程為，又雙曲線與雙曲線有相同的漸近線，，，雙曲線方程為，設，，，，，又弦的中點為，，，設，，解得，，解得，所以雙曲線的方程為，由圓的方程可得，圓心為，半徑為，．當且僅當，，三點共線時取等號．故選：D．1．已知雙曲線的左?右焦點分別為，若線段上存在點，使得線段與的一條漸近線的交點滿足：，則的離心率的取值范圍是___________.【解析】設，，，，則，，則，，，則，，點在漸近線上，所以，，由得，所以，又，所以，所以．故答案為：．2．（2022·天津市西青區(qū)楊柳青第一中學高二期末）已知拋物線上一點到其焦點的距離為5，雙曲線的左頂點為，離心率為，若雙曲線的一條漸近線與直線垂直，則雙曲線的方程為（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】由拋物線的定義可求出的值，進而確定點的坐標，再結合雙曲母的的幾何性與兩條直線的垂直關系，可求出的值，從而可求出雙曲線的方程【詳解】設拋物線的焦點為，則拋物線的定義可得，解得，所以拋物線的方程為，因為點在拋物線上，所以，得，所以，由題意得，雙曲線的漸近線方程為，因為離心率為，所以，所以，得，因為雙曲線的一條漸近線與直線垂直，所以，得，所以由，得，所以雙曲線的方程為，即，故選：C例11、（2024·全國·模擬預測）設雙曲線的左、右焦點分別為，過的直線交雙曲線于兩點，且．(1)求雙曲線的漸近線方程；(2)當時，在軸上求一點，使得為定值．【答案】(1)(2)【分析】（1）先根據(jù)三角形的面積求出，再在中，由余弦定理求得的關系即可得解；（2）直線PQ的方程為，，，，聯(lián)立方程，利用韋達定理求出，再代入化簡即可得解.【詳解】（1）由題意，得，所以，在中，由余弦定理，得，所以，所以，所以，所以，所以雙曲線C的漸近線方程為；（2）當時，雙曲線C的方程為，則，因為，所以直線PQ的斜率不為0，設直線PQ的方程為，聯(lián)立，消得．則，解得，設，，則，設，則，要使為定值，則，即，所以存在定點，使得．【點睛】方法點睛：利用韋達定理法解決直線與圓錐曲線相交問題的基本步驟如下：（1）設直線方程，設交點坐標為、；（2）聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程，得到關于（或）的一元二次方程，必要時計算；（3）列出韋達定理；（4）將所求問題或題中的關系轉化為、（或、）的形式；（5）代入韋達定理求解.例12、（2023上·貴州貴陽·高二統(tǒng)考期末）已知雙曲線的兩個焦點的坐標分別是，且雙曲線經(jīng)過圓的圓心.(1)求的值；(2)設圓與雙曲線的漸近線交于兩點，求.【答案】(1)(2)【分析】（1）由題意得，，結合即可得解.（2）由題意得雙曲線漸近線方程為或，分類討論結合圓的弦長公式即可得解.【詳解】（1）由題意雙曲線的兩個焦點的坐標分別是，所以，而圓即圓的圓心坐標為，所以，又注意到，所以解得或（舍去），，所以.（2）由（1）得雙曲線方程為，其漸近線方程為或，圓的半徑為，圓心到直線的距離為，所以直線與圓相交，圓心到直線的距離為，所以直線與圓相離，所以.例13、（2024上·四川宜賓·高二統(tǒng)考期末）已知雙曲線的漸近線方程為，點在上．(1)求的方程．(2)設是雙曲線的左頂點，過點的直線與的右支交于兩點，直線分別與直線交于兩點.試探究：是否存在定點，使得以為直徑的圓過點？若存在求點的坐標；若不存在，請說明理由．【答案】(1)(2)存在定點，或，使得以為直徑的圓過點，理由見解析【分析】（1）由漸近線方程與點在雙曲線上待定即可得方程；（2）假設存在定點，滿足條件.設，，分別表示直線，令，得坐標，將以為直徑的圓過點轉化為條件，利用韋達定理代入變形為關系式，不受影響，求值即可.【詳解】（1）由題意可知：，解得，故雙曲線C的方程為：（2）由雙曲線的對稱性，又點及點均在軸上，若存在定點，滿足以為直徑的圓過點，則點在軸上.故假設存在定點，使得以為直徑的圓過點.雙曲線的左頂點，由題意知直線不垂直于軸，故設直線的方程為：，設，，∴，，解得，∴，由直線與雙曲線的右支交于兩點，則，解得.又直線的方程為，代入，同理，直線的方程為，代入.要使以為直徑的圓過點，則.∴，∴，解得，或故存在定點，或，使得以為直徑的圓過點.

例14、（2024上·廣東河源·高二統(tǒng)考期末）已知雙曲線經(jīng)過點，且的一條漸近線的方程為.(1)求