改變率及導(dǎo)數(shù)1

導(dǎo)數(shù)計(jì)算2

導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中應(yīng)用3

生活中優(yōu)化問題舉例4

定積分概念5

第一章導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用1/93§1.1改變率及導(dǎo)數(shù)問題1

氣球膨脹率很多人都吹過(guò)氣球，回想一下在吹氣球過(guò)程中,可以發(fā)覺,伴隨氣球內(nèi)空氣容量增加,氣球半徑增加得越來(lái)越慢.從數(shù)學(xué)角度,怎樣描述這種現(xiàn)象呢？？？？想一想怎樣描述呢?2/93

若將半徑r表示為體積V函數(shù),那么：

當(dāng)空氣容量V從0L增加到1L,氣球半徑增加了：

我們知道，氣球體積V(單位:L)與半徑r(單位:dm)之間關(guān)系是：氣球平均膨脹率為：3/93

能夠看出：伴隨氣球體積逐步變大,它平均膨脹率逐步變小

當(dāng)空氣容量V從1L增加到2L,氣球半徑增加了：

氣球平均膨脹率為：

4/93

當(dāng)空氣容量從V1增加到V2時(shí),氣球平均膨脹率是多少?思索？5/93問題2高臺(tái)跳水在高臺(tái)跳水運(yùn)動(dòng)中,運(yùn)動(dòng)員相對(duì)于水面高度h(單位:m)與起跳后時(shí)間t(單位:s)存在函數(shù)關(guān)系：假如用運(yùn)動(dòng)員在某段時(shí)間內(nèi)平均速度

描述其運(yùn)動(dòng)狀態(tài),那么:

在0≤t≤0.5這段時(shí)間里,

在1≤t≤2這段時(shí)間里,6/93

計(jì)算運(yùn)動(dòng)員在這段時(shí)間里平均速度,并思索下面問題:

(1)運(yùn)動(dòng)員在這段時(shí)間里是靜止嗎?

(2)你認(rèn)為用平均速度描述運(yùn)動(dòng)員運(yùn)動(dòng)狀態(tài)有什么問題嗎?探7/931.1.1平均改變率定義：式子稱為函數(shù)從

到平均改變率.令則平均改變率可表示為：注：并不是表示與乘積也是一樣8/93

了解1，式子中、值可正、可負(fù)，但

值不能為,值能夠?yàn)?，若函數(shù)為常函數(shù)時(shí)，3,變式為何不能為零?假如無(wú)限靠近零表示什么?9/93探索？？觀察圖像平均改變率表示什么？OABxyx1x2f(x1)f(x2)x2-x1f(x2)-f(x1)直線AB斜率若無(wú)限靠近，此時(shí)平均改變率又表示什么又表示什么？10/93

1、已知函數(shù)

圖象上一點(diǎn)A(-1,-2)及臨近一點(diǎn)

,則=（）

A3

BC

D2、求y=x2在x=x0附近平均速度。

做兩個(gè)題吧！11/93

求平均改變率普通步驟

求函數(shù)增量

計(jì)算平均改變率12/931.1.2導(dǎo)數(shù)概念

在高臺(tái)跳水運(yùn)動(dòng)中,平均速度不能反應(yīng)他在這段時(shí)間里運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，需要用瞬時(shí)速度描述運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。我們把物體某一時(shí)刻速度稱為

瞬時(shí)速度.

又怎樣求瞬時(shí)速度呢?13/93平均改變率幾何意義平均改變率近似地刻畫了曲線在某一區(qū)間上改變趨勢(shì).那么怎樣準(zhǔn)確地刻畫曲線在一點(diǎn)處改變趨勢(shì)呢?求：從2s到(2+△t)s這段時(shí)間內(nèi)平均速度14/93

平均改變率幾何意義時(shí)，在這段時(shí)間內(nèi)

時(shí),

在

這段時(shí)間內(nèi)當(dāng)△t=–0.01時(shí)，當(dāng)△t=0.01時(shí)，當(dāng)△t=–0.001時(shí),當(dāng)△t=–0.0001時(shí),當(dāng)△t=0.0001時(shí),△t=–0.00001,△t=0.00001,△t=–0.000001,△t=0.000001,…………當(dāng)△t=0.001時(shí),15/93

觀察

從物理角度看,時(shí)間間隔|△t|無(wú)限變小時(shí),平均速度就無(wú)限趨近于t=2時(shí)瞬時(shí)速度.所以,運(yùn)動(dòng)員在t=2時(shí)瞬時(shí)速度是–13.1.16/93為了表述方便我們用表示當(dāng)t=2,注：確定值-13.1，我們稱是17/93探究1、運(yùn)動(dòng)員在某一時(shí)刻瞬時(shí)速度怎樣表示？2、18/93導(dǎo)數(shù)定義普通地，函數(shù)y=f(x)在時(shí)瞬時(shí)改變率是：我們稱它為函數(shù)即：注解：19/93

關(guān)于導(dǎo)數(shù)幾點(diǎn)說(shuō)明：

20/93

由導(dǎo)數(shù)定義可知,求函數(shù)y=f(x)導(dǎo)數(shù)普通方法:

求函數(shù)改變量2.求平均改變率3.求值一差、二化、三極限21/93例題

將原油精煉為汽油、柴油、塑膠等各種不一樣產(chǎn)品,需要對(duì)原油進(jìn)行冷卻和加熱.假如第

h時(shí),原油溫度（單位：）為

(0≤x≤8).計(jì)算第2h和第6h,原油溫度瞬時(shí)改變率,并說(shuō)明它們意義.解：在第2h和第6h時(shí),原油溫度瞬時(shí)改變率就是和依據(jù)導(dǎo)數(shù)定義,22/93

所以，同理可得在第2h和第6h時(shí),原油溫度瞬時(shí)改變率分別為–3和5.它說(shuō)明在第2h附近,原油溫度大約以3/h速率下降;在第6h附近,原油溫度大約以5/h速率上升.GETTINGHIGHERGAP23/93

練習(xí):計(jì)算第3h和第5h時(shí)原油瞬時(shí)改變率,并說(shuō)明它們意義.

假如質(zhì)點(diǎn)A按規(guī)律則在t=3s時(shí)瞬時(shí)速度為A.6B.18

C.54D.81課堂練習(xí)24/93

25/931.1.3導(dǎo)數(shù)幾何意義

觀察26/93

分析：割線斜率和此切線斜率有什么關(guān)系呢？想一想，算一算！27/93

導(dǎo)數(shù)幾何意義：函數(shù)在某一點(diǎn)導(dǎo)數(shù)，就是該點(diǎn)切線斜率。練習(xí)：求：結(jié)論我得好好想想28/93§1.2導(dǎo)數(shù)計(jì)算1.2.1幾個(gè)慣用函數(shù)導(dǎo)數(shù)

其中c為常數(shù)29/93

所以，30/93

它在時(shí)刻時(shí)速度為某物體作變速直線運(yùn)動(dòng)，函數(shù)，則能夠解釋為若表示旅程關(guān)于時(shí)間31/93

32/93

這個(gè)函數(shù)又如何描述呢？33/93

34/93

1.2.2基本初等函數(shù)導(dǎo)數(shù)公式及四則運(yùn)算法則

我要想法記住這些！35/93

導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則1、2、3、36/93例題

37/93

導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則推廣函數(shù)和與差導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則可推廣到任意有限個(gè)可導(dǎo)函數(shù)和(或差)．

38/93例題

[分析]這些函數(shù)是由基本初等函數(shù)經(jīng)過(guò)四則運(yùn)算得到簡(jiǎn)單函數(shù)，求導(dǎo)時(shí)，可直接利用函數(shù)加減求導(dǎo)法則進(jìn)行求導(dǎo)．39/93例題

40/93

1.2.3復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)

1、引例(1)求導(dǎo)數(shù)解1

解2 因?yàn)樗越?是錯(cuò)誤。

因?yàn)?是基本初等函數(shù)，而是復(fù)合函數(shù)。思索：(2)求y=lnsinx導(dǎo)數(shù)??41/93

2、復(fù)合函數(shù)定義設(shè)

而為關(guān)于函數(shù)且函數(shù)值域包含在

定義域內(nèi)，那么

經(jīng)過(guò)

聯(lián)絡(luò)也是自變量

函數(shù)，我們稱

為

復(fù)合函數(shù)，記為

,其中

稱為中間變量42/93

3、復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則

43/93

例題例1、求導(dǎo)數(shù)。例2、求導(dǎo)數(shù)。解：小標(biāo)注44/93§1.3導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中應(yīng)用45/931.3.1函數(shù)單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)

右圖（1）表示跳水運(yùn)動(dòng)員高度h隨時(shí)間t改變函數(shù)圖像，（2）表示高臺(tái)跳水運(yùn)動(dòng)員速度v隨時(shí)間t改變函數(shù)圖像思索？運(yùn)動(dòng)員從起點(diǎn)跳到最高點(diǎn)，以及從最高點(diǎn)到入水這兩段時(shí)間運(yùn)動(dòng)狀態(tài)有什么區(qū)分?觀察46/93經(jīng)過(guò)觀察圖像能夠發(fā)覺：

①運(yùn)動(dòng)員從起跳到最高點(diǎn),離水面高度h隨時(shí)間t增加而增加,即h(t)是增函數(shù).對(duì)應(yīng)地,

②從最高點(diǎn)到入水,運(yùn)動(dòng)員離水面高度h隨時(shí)間t增加而降低,即h(t)是減函數(shù).對(duì)應(yīng)地,47/93觀察下面一些函數(shù)圖象,探討函數(shù)單調(diào)性與其導(dǎo)函數(shù)正負(fù)關(guān)系.

48/93

能夠發(fā)覺上面四幅圖有一個(gè)共同特征：實(shí)際上上述特征適合全部函數(shù)，它是全部函數(shù)特征。（函數(shù)必須存在導(dǎo)函數(shù)）

在某個(gè)區(qū)間(a,b)內(nèi),假如,那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增;假如,那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減.假如在某個(gè)區(qū)間內(nèi)，那么函數(shù)有什么特征？49/93

例題題1已知導(dǎo)函數(shù)以下信息:解：當(dāng)1<x<4時(shí),可知在此區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增;當(dāng)x>4,或x<1時(shí),可知在此區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減;當(dāng)x=4,或x=1時(shí),當(dāng)1<x<4時(shí),當(dāng)x>4,或x<1時(shí),當(dāng)x=4,或x=1時(shí),試畫出函數(shù)圖象大致形狀.50/93

例題題1已知導(dǎo)函數(shù)以下信息:解：函數(shù)圖像如右：當(dāng)1<x<4時(shí),當(dāng)x>4,或x<1時(shí),當(dāng)x=4,或x=1時(shí),試畫出函數(shù)圖象大致形狀.xyO1451/93例題題2判斷以下函數(shù)單調(diào)性,并求出單調(diào)區(qū)間:解：（1）因?yàn)樗裕?）因?yàn)樗运?函數(shù)在上單調(diào)遞增.當(dāng),即時(shí),函數(shù)單調(diào)遞增;當(dāng)，即時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增52/93

例題題2判斷以下函數(shù)單調(diào)性,并求出單調(diào)區(qū)間:解：（3）因?yàn)樗裕?）因?yàn)樗?/p>

所以,函數(shù)在上單調(diào)遞減.53/93例題題2判斷以下函數(shù)單調(diào)性,并求出單調(diào)區(qū)間：解：當(dāng),即

時(shí),函數(shù)單調(diào)遞增;當(dāng),即時(shí),函數(shù)單調(diào)遞減.54/93

題3如圖,水以常速(即單位時(shí)間內(nèi)注入水體積相同)注入下面四種底面積相同容器中,請(qǐng)分別找出與各容器對(duì)應(yīng)水高度h與時(shí)間t函數(shù)關(guān)系圖象.

55/93普通地,假如一個(gè)函數(shù)在某一范圍內(nèi)導(dǎo)數(shù)絕對(duì)值較大,那么函數(shù)在這個(gè)范圍內(nèi)改變得快。這時(shí),函數(shù)圖象就比較“陡峭”(向上或向下);反之,函數(shù)圖象就“平緩”一些.

如圖,函數(shù)在或內(nèi)圖象“陡峭”,在或內(nèi)圖象平緩.56/93

求可導(dǎo)函數(shù)

單調(diào)區(qū)間步驟：(1)求(2)解不等式

(或

)(3)確認(rèn)并指出遞增區(qū)間（或遞減區(qū)間）證實(shí)可導(dǎo)函數(shù)

在(a,b)內(nèi)單調(diào)性方法：(1)求(2)確認(rèn)

在(a,b)內(nèi)符號(hào)(3)作出結(jié)論57/931.3.2函數(shù)極值與導(dǎo)數(shù)問題情境觀察右下列圖為函數(shù)

圖象,問題1：函數(shù)在

函數(shù)值與它附近全部各點(diǎn)函數(shù)值關(guān)系？我們說(shuō)

是函數(shù)一個(gè)極大值；

問題2：函數(shù)在

函數(shù)值與它附近全部各點(diǎn)函數(shù)值關(guān)系？我們說(shuō)

是函數(shù)一個(gè)極小值。x0yBA258/931、定義函數(shù)極值（extremevalue）

普通地，設(shè)函數(shù)

在

及其附近有定義假如

值比

附近全部各點(diǎn)函數(shù)值都大，則稱

是函數(shù)一個(gè)極大值假如

值比

附近全部各點(diǎn)函數(shù)值都小，則稱

是函數(shù)一個(gè)極小值x0yB2A注：

------極值點(diǎn)

------極值點(diǎn)59/93

2、探索思索：①函數(shù)

在哪些點(diǎn)取得極大值？哪些點(diǎn)取得極小值？②

在這些點(diǎn)導(dǎo)數(shù)值是多少？③在這些點(diǎn)附近，

導(dǎo)數(shù)符號(hào)有什么規(guī)律？④函數(shù)極大值一定大于極小值嗎?60/93例題求極值解:∵

,由

解得

.當(dāng)

改變時(shí),

、

改變情況以下表：

f(x)

f

(x)

x(-∞,-2)-2(-2,2)2(2,+∞)+00-+極大值28/3∴當(dāng)

時(shí),

極小值=28/3；當(dāng)

時(shí),

極大值=-4/3.61/93求函數(shù)極值步驟：1、求導(dǎo)數(shù)2、解方程3、列表：4、結(jié)論：1):假如在

附近左側(cè)

右側(cè)

,那么

是極大值;2):假如在

附近左側(cè)

右側(cè)

,那么f(x0)是極小值.62/93

探索思索:

導(dǎo)數(shù)值為0點(diǎn)一定是函數(shù)極值點(diǎn)嗎?函數(shù)導(dǎo)數(shù)為零點(diǎn),不一定是該函數(shù)極值點(diǎn).63/931.3.3函數(shù)最大（小）值與導(dǎo)數(shù)上一小節(jié)問題：函數(shù)極大值一定大于極小值嗎?如又下列圖：極大值：極小值：但：由此可見：極大值未必就比極小值大。問題回顧64/931.3.3函數(shù)最大（?。┲蹬c導(dǎo)數(shù)我們知道，極值反應(yīng)是局部性質(zhì)，而不是函數(shù)在整個(gè)定義域性質(zhì)，函數(shù)極值是反應(yīng)了在某一段性質(zhì)，在這一段上是最大（?。┲?，但在實(shí)際問題中，我們更關(guān)心是整個(gè)定義域上最大（?。┲?。那么怎樣來(lái)求在定義域上最大（小）值呢？疑問？65/93

最值求法定義：函數(shù)在某一閉區(qū)間最大值、最小值統(tǒng)稱為最值。66/93

最值求法由以上兩圖可知，一個(gè)函數(shù)最值有可能在極值點(diǎn)處取得，也有可能在端點(diǎn)處取得。普通地，求函數(shù)在內(nèi)最值步驟以下：1、求函數(shù)內(nèi)極值2、求端點(diǎn)值3、比較極值與端點(diǎn)值，最大就是最大值，最小就是最小值67/93例題求函數(shù)在上最值。解：1、令2、

3、68/93

§1.4生活中優(yōu)化問題舉例

導(dǎo)數(shù)例1例3總結(jié)例269/93例1海報(bào)版面尺寸設(shè)計(jì)學(xué)?；虬嗉?jí)舉行活動(dòng)，通常需要張貼海報(bào)進(jìn)行宣傳，先讓你設(shè)計(jì)一張如圖所表示豎向張貼海報(bào)，需要版心面積為128，上下兩邊各空2，左右各空1，怎樣設(shè)計(jì)海報(bào)尺寸才能使四面空白面積最??？解：設(shè)版心高為：，則版心寬為:此時(shí)四面空白面積為：求導(dǎo)：，令70/93例2飲料瓶大小對(duì)飲料企業(yè)利潤(rùn)影響（1）你是否注意過(guò)，市場(chǎng)上等量小包裝物品普通

比大包裝要貴些？（2）是不是飲料瓶越大，飲料企業(yè)利潤(rùn)越大？背景知識(shí)：某制造商制造并出售球型瓶裝某種飲料。瓶子制造成本是

分，其中

是瓶子半徑，單位是厘米.已知每出售

飲料，制造商贏利0.2分,且制造商制作瓶子最大半徑為

.問題(１)瓶子半徑多大時(shí)，能使每瓶飲料利潤(rùn)最大？(２)瓶子半徑多大時(shí)，每瓶利潤(rùn)最小？71/93例2飲料瓶大小對(duì)飲料企業(yè)利潤(rùn)影響解：因?yàn)槠孔影霃綖閞，所以每瓶飲料利潤(rùn)是72/93例2飲料瓶大小對(duì)飲料企業(yè)利潤(rùn)影響當(dāng)半徑

時(shí)，

它表示

單調(diào)遞增，即半徑越大，利潤(rùn)越高；當(dāng)半徑

時(shí)，

它表示

單調(diào)遞減，即半徑越大，利潤(rùn)越低．1.半徑為２cm時(shí)，利潤(rùn)最小，這時(shí)表示此種瓶?jī)?nèi)飲料利潤(rùn)還不夠瓶子成本，此時(shí)利潤(rùn)是負(fù)值２．半徑為６cm時(shí)，利潤(rùn)最大73/93例2飲料瓶大小對(duì)飲料企業(yè)利潤(rùn)影響注:假如不用導(dǎo)數(shù)工具,直接從函數(shù)圖象上觀察,你有什么發(fā)覺?（見下列圖）74/93例3磁盤最大存放量問題（1）你知道計(jì)算機(jī)是怎樣存放、檢索