第四章IIR數字濾波器設計4.1引言4.2模擬濾波特征迫近4.3模擬系統數字仿真4.4脈沖響應不變法4.5雙線性變換法4.6數字濾波器變換4.7IIR濾波器優(yōu)化設計第1頁4.1引言1.數字濾波器設計過程 一個數字濾波器設計過程，大致可歸納為3個步驟。 (1)按照實際需要確定濾波器性能要求。(2)用一個因果穩(wěn)定系統函數去迫近這個性能要求，這種系統函數能夠分為兩類，即IIR系統函數與FIR系統函數。第2頁(3)用一個有限精度運算去實現這個系統函數。這里包含選擇運算結構，如級聯型、并聯型、直接型、正準型和頻率采樣型等，還包含適當字長和有效數字處理方法等。第3頁2.IIR數字濾波器設計方法 IIR數字濾波器系統函數是z有理函數，可表示為第4頁這種設計普通有3種方法。(1)簡單濾波器零極點位置累試法。(2)用模擬濾波器理論來設計數字濾波器。(3)用優(yōu)化技術設計參數。第5頁3.設計標準 利用模擬濾波器來設計數字濾波器，即從已知模擬濾波器系統函數Ha(S)求數字濾波器系統函數H(z)。其慣用方法有脈沖響應不變法和雙線性變換法兩種，但不論哪種方法都遵照數字仿真標準。第6頁4.2模擬濾波特征迫近1.問題提出 其頻帶按作用不一樣分為以下3部分，如圖4-1所表示： 通帶——濾波器中能使信號經過頻帶； 阻帶——抑制噪聲經過頻帶； 過渡帶——從通帶到阻帶過渡頻率范圍。第7頁圖4-1模擬濾波器幅頻特征第8頁按劃分標準不一樣，濾波器分為很各種類。按處理信號種類分為模擬濾波器(其輸入輸出皆為模擬量)和數字濾波器(其輸入輸出皆為數字量)；按其應用不一樣分為有源濾波器和無源濾波器；按其通頻帶劃分為低通濾波器(只允許低頻信號經過而抑制高頻信號)、高通濾波器(只允許高頻信號經過而抑制低頻信號)、帶通濾波器(只允許某一頻帶信號經過)和帶阻濾波器(只抑制某一頻帶信號)。第9頁2.巴特沃思(Butterworth)濾波特征迫近(1)Butterworth濾波器特征 Butterworth濾波器特點是含有通帶內最大平坦振幅特征，而且在正頻率范圍內是隨頻率升高而單調下降，它振幅平方函數為第10頁(2)Butterworth圖表設計法 其設計步驟概括起來有以下幾個方面：第11頁(3)巴特沃斯低通濾波器Matlab實現

在Matlab中能夠用[n,Wn]=buttord(Wp,Ws,Rp,Rs,‘s’)求出給定通帶截止頻率wp、阻帶起始頻率ws、通帶最大衰減Rp、阻帶最大衰減Rs條件下，所需要最小Butterworth模擬濾波器階數和3dB頻率。 Buttord(Wp,Ws,Rp,Rs,’s’)也可用于高通、帶通、阻帶濾波器設計。對于帶通和帶阻濾波器，Wp和Ws說明了濾波器兩個邊緣頻率，其中第一個元素是低端頻率。第12頁3.切比雪夫(Chebyshev) 濾波特征迫近(1)Chebyshev濾波器特征 Chebyshev濾波器頻率特征在通帶內是等波紋，在阻帶內是單調下降，它比同階Butterworth濾波器下降快，如圖4-5所表示，而在通帶內則是等波紋，通帶內波動峰值個數與階數N相關，N越大，波動越快第13頁圖4-5Chebyshev濾波器頻率特征圖第14頁 Chebyshev濾波器幅度平方函數為 式中N是濾波器階數，Ωc是通帶寬度，當ε=1時，它等于通帶3dB截止頻率，如圖4.5所表示。第15頁(2)Chebyshev濾波器特征極點 對于N階Chebyshev濾波器，其幅度｜Ha(Ω)｜2平方函數在s平面上有2N個極點，這2N個極點都是成復共軛對出現，且關于虛軸對稱，沒有點落在虛軸上。第16頁極點可由作圖法確定，即(1)以aΩc為半徑畫圓，將其圓周等分為2N個點；(2)以bΩc為半徑畫圓，將其圓周等分為2N個點；(3)每個極點縱坐標由大圓對應點縱坐標確定，每個極點橫坐標由小圓對應點橫坐標確定。第17頁(3)Chebyshev濾波器設計方法 如同Butterworth濾波器，Chebyshev濾波器也能夠采取查表法進行設計，其步驟以下。 (1)頻率歸一化，求λp，λs。 (2)依據αp，αs查歸一化頻率——幅度特征曲線，確定濾波器階數N。第18頁第19頁(4)Chebyshev濾波器Matlab

實現 在Matlab

中能夠用[n,Wn]=cheb1ord(Wp,Ws,Rp,Rs,'s')求出給定通帶截止頻率wp、阻帶起始頻率ws、通帶最大衰減Rp、阻帶最大衰減Rs

條件下，所需要最小Chebyshev

I

模擬濾波器階數。在數字濾波器中，wp和ws

在0~1之間，而在模擬濾波器中，wp和ws能夠大于1。第20頁Cheb1ord(Wp,Ws,Rp,Rs,’s’)也可用于高通、帶通、阻帶濾波器設計。對于帶通和帶阻濾波器，Wp

和Ws

是一個兩元素是量，說明了濾波器兩個邊緣頻率，第一個元素是低端頻率。

第21頁而用Matlab

函數[z,p,k]=cheb1ap(n,Rp)求得n

階低通Chebyshev

I

原型模擬濾波器零點、極點和增益，通帶內波動為Rp

dB。極點p

和增益k

是長度為n

行矢量，而零點z

是空矩陣。其傳輸函數為：第22頁4.Cauer濾波器特征 Cauer濾波器又稱橢圓濾波器，它特點是在通帶和阻帶內都有等波紋振幅特征。它之所以被稱為橢圓濾波器，是因為其振幅特征是由雅可比橢圓函數來決定，其振幅平方函數為 式中，JN(Ω)是雅可比橢圓函數，N為濾波器階數。第23頁在Matlab

中能夠用[n,Wn]=ellipord(Wp,Ws,Rp,Rs,'s')求出給定通帶截止頻率wp、阻帶起始頻率ws、通帶最大衰減Rp、阻帶最大衰減Rs

條件下，所需要最小橢圓模擬濾波器階數。第24頁4.3模擬系統數字仿真1.時域數字仿真 如圖4-1所表示，h(t)表示模擬系統La沖激響應，而h(n)表示數字系統Ld沖激響應。若h(n)等于Tha(t)取樣，即h(n)=Tha(nT)

當T足夠小時，Ld將是La數字仿真，即y(n)=yT(nT)

第25頁2.頻域中數字仿真(1)輸入為單頻指數信號 設x(t)=ejΩt，若模擬系統La系統函數為Ha(S)，未知Ld系統函數為H(z)，則模擬系統輸出為y(t)=Ha(Ω)ejΩ

t

數字系統輸出y(n)y(n)=H(ejΩT)ejnΩT第26頁(2)輸入為任意信號 為了建立含有普遍意義仿真條件，需要在頻域內建立Ha(Ω)和H(ejΩT)關系，用沖激響應ha(t)和h(n)表示這些函數。第27頁第28頁4.4脈沖響應不變法1.脈沖響應不變法設計方法 在此所講設計方法，是在給定了模擬濾波器系統函數Ha(S)情況下，求數字濾波器系統函數H(z)方法。第29頁2.z平面與s平面映射關系 由式(4-28)能夠看到，s平面與z平面變換關系為第30頁 假如僅考慮極點話，則這種映射關系變?yōu)槭街袘昧藌和s表示式z=rejω和s=σ+jΩ。第31頁3.Matlab實現4.脈沖響應不變法特點 由以上討論，能夠將脈沖響應不變法特點歸結成3點，以下所述。 (1)保持了模擬濾波器時域瞬態(tài)特征，這是脈沖響應不變法一大優(yōu)點。 (2)當模擬濾波器頻率響應不是嚴格限帶時，則用脈沖響應不變法設計出來數字濾波器有頻域混迭失真，這是脈沖響應不變法缺點。第32頁(3)因為(2)而使得這種設計方法使用受到限制，即當Ha(Ω)不嚴格限帶或時域內改變不太平穩(wěn)，而設計性能要求又較高時，不宜使用這種方法。第33頁4.5雙線性變換法1.雙線性變換關系導出 由式(4-25)能夠知道，普通模擬濾波器基本單元都是積分器1/s，如圖4-15所表示式(4-25)框圖。第34頁圖4-15由積分器基本單元組成模擬網絡框圖第35頁第36頁2.s平面與z平面映射關系 把s=σ+jΩ代入式(4-21)，且令z=rejω，則得到第37頁第38頁3.Matlab實現4.雙線性變換法特點 由以上討論總結雙線性變換法特點以下所述。 (1)模擬濾波器經過雙線性變換后，不存在幅度頻率特征混迭失真。 (2)因為(1)而對模擬濾波器系統函數Ha(Ω)要求放寬，故適用范圍廣。第39頁(3)模擬濾波器經過雙線性變換后出現相位頻率特征失真，所以對濾波器相位特征有較嚴格要求時，不宜采取這種方法。第40頁4.6數字濾波器變換1.濾波器數字頻率變換 假如用雙線性變換將模擬系統函數變換成數字系統函數，對于如圖4-20所表示低通、高通、帶通和帶阻型選頻濾波器來說，它能夠用一個和雙線性變換非常相同有理變換從低通數字濾波器變換出來。第41頁圖4-20理想濾波器特征第42頁 所以要求 (1)G(Z-1)必須是Z-1(或Z)有理函數； (2)z平面單位圓內部必須映射成Z平面單位圓內部。第43頁第44頁第45頁2.Matlab實現第46頁4.7IIR濾波器優(yōu)化設計1.最小均方誤差設計法假定IIR濾波器z變換式能夠寫成級聯式第47頁 令該濾波器所要求頻率響應為Hd(ejw)，在一離散頻率集{ωi，I=1,2,……,M)(無須是均勻間隔)上濾波器實際頻率響應H(ejw)與所要求頻率響應Hd(ejw)之間均方誤差E定義為第48頁 普通地說，求誤差函數E(θ)最小值．能夠將E(θ)對每個參數作一次微分，并令其導數為零，即第49頁 Fletcher－powell法是一個有效非線性優(yōu)化算法，使用了最優(yōu)化計算程序計算誤差函數 對參數φ梯度和斜率，用做處理誤差最小化準則。第50頁(1)利用優(yōu)化程序在不約束極點和零點位置情況下使 極小。(2)將單位圓外部全部極點或零點作鏡象替換，繼續(xù)優(yōu)化，直到抵達一個新極小值為止。第51頁2.最小p誤差設計法 最小p誤差設計是指p次冪誤差加權平均最小化，所以離散迫近幅頻響應最小化