第五章回歸模型函數(shù)形式上海立信會計(jì)學(xué)院第1頁到當(dāng)前為止，我們考慮都是參數(shù)線性，同時又是變量線性模型。本章將考慮參數(shù)線性，但變量不一定是線性模型。1.雙對數(shù)模型或不變彈性模型2.半對數(shù)模型3.倒數(shù)模型全部這些模型一個主要特征是，它們都是參數(shù)線性模型，但變量卻不一定是線性。第2頁一、雙對數(shù)模型1.模型假設(shè)有以下函數(shù)從模型可知，就我們當(dāng)前知識，無法用普通最小二乘法預(yù)計(jì)這么模型。但我們能夠把以上模型作以下改變，得到：繼而，假如令，則有：以上模型稱為雙對數(shù)模型，或雙對數(shù)線性模型。第3頁

假如我們將和都看作單獨(dú)變量，那么就能夠?qū)㈦p對數(shù)模型變?yōu)樽兞烤€性模型。試作以下變換，，得到：假如上式滿足古典線性回歸模型基本假定，則很輕易用普通最小二乘法預(yù)計(jì)，從而得到BLUE預(yù)計(jì)量。2.雙對數(shù)模型系數(shù)特殊含義

與變量線性回歸模型不一樣，雙對數(shù)模型斜率系數(shù)度量了Y對X彈性，即X變動引發(fā)Y變動百分比。假如用符號代表Y一個微小變動，代表X一個微小變動，則彈性E定義為：第4頁從圖形上看，變量線性回歸模型圖形是一條直線，而雙對數(shù)模型圖形是一條曲線，而且對于不一樣X值來說，都含有相同彈性。所以，雙對數(shù)模型又稱為不變彈性模型。不變彈性模型第5頁例子：數(shù)學(xué)分?jǐn)?shù)（見P19）該例子主要關(guān)注美國S.A.T大學(xué)入學(xué)考試中數(shù)學(xué)成績與家庭收入之間關(guān)系。即：考查數(shù)學(xué)成績與家庭收入之間回歸關(guān)系。第6頁３.雙對數(shù)模型假設(shè)檢驗(yàn)

雙對數(shù)模型假設(shè)檢驗(yàn)與線性模型沒有任何不一樣。在隨機(jī)誤差項(xiàng)服從正態(tài)分布假設(shè)下，預(yù)計(jì)回歸系數(shù)服從自由度為（n-k）t分布，其中k為包含截距在內(nèi)參數(shù)個數(shù)。4.比較線性和雙對數(shù)回歸模型（一個經(jīng)驗(yàn)問題）

對于數(shù)學(xué)成績支出一例來說，線性支出模型和雙對數(shù)模型哪個更適當(dāng)？

1.作散點(diǎn)圖，經(jīng)過散點(diǎn)圖來判斷。（這種方式只適合雙變量模型）2.比較兩個模型值。該方法要求應(yīng)變量形式必須是相同。3.即使兩個模型中應(yīng)變量相同，兩個值能夠直接比較，我們也提議不要依據(jù)最高值這一標(biāo)準(zhǔn)選擇模型。而應(yīng)該首先考慮進(jìn)入模型中解釋變量之間相關(guān)性、解釋變量系數(shù)預(yù)期符號、統(tǒng)計(jì)顯著性以及類似彈性系數(shù)這么度量工具。第7頁5.多元對數(shù)線性回歸模型

對于三變量對數(shù)線性模型來說：模型中偏斜率系數(shù)、又稱為偏彈性系數(shù)。所以，度量了不變條件下，對彈性，即在為常量時，每變動1%引發(fā)改變百分比。類似地，度量了不變條件下對彈性。二、怎樣測度增加率：半對數(shù)模型1.半對數(shù)模型先看一個例子：依據(jù)下表中美國人口數(shù)據(jù)求1975-年美國人口增加率?？紤]以下復(fù)利計(jì)算公式：第8頁將上式作以下變形，等式兩邊取對數(shù)，得：

假如令所以，可得：將上式改變成為經(jīng)濟(jì)計(jì)量模型，得到：形如上式回歸模型稱為半對數(shù)模型或者增加模型、對數(shù)-線性模型。利用OLS方法預(yù)計(jì)美國一例半對數(shù)模型，得到：第9頁美國人口增加一例預(yù)計(jì)樣本回歸線第10頁美國人口一例預(yù)計(jì)半對數(shù)模型中，斜率0.0107表示，平均而言，美國人口年增加率為0.0107。截距5.36反對數(shù)（為212.576）能夠表示1974年人口值。2.瞬時增加率與復(fù)合增加率

由可知于是：在美國人口增加率一例中，有：此處要注意是，經(jīng)過對半對數(shù)模型預(yù)計(jì)所得到斜率值為0.0107，該值為美國人口瞬時增加率，而經(jīng)過計(jì)算而得到值0.010757稱為復(fù)合增加率。3.線性趨勢模型

形如以下形式模型稱為線性趨勢模型：第11頁對美國人口增加率一例線性趨勢模型OLS預(yù)計(jì)結(jié)果以下：回歸結(jié)果表明，在樣本區(qū)間內(nèi)，美國人口每年以2.757(百萬)絕對速度增加。因而美國人口表現(xiàn)出向上趨勢。截距表明美國1969年人口數(shù)為210（百萬）。４.線性－對數(shù)模型：解釋變量是對數(shù)形式考慮以下例子：個人總消費(fèi)支出與服務(wù)支出關(guān)系（1993.1～1998.3,1992年美元價，10億美元），數(shù)據(jù)見下表：

第12頁1993.1～1998.3個人總消費(fèi)支出與各類支出季度數(shù)據(jù)（10億美元）第13頁以個人總消費(fèi)支出X與服務(wù)支出Y關(guān)系為例，得到線性－對數(shù)模型以下：利用最小二乘法預(yù)計(jì)以上模型，回歸結(jié)果以下：在以上回歸結(jié)果中，斜率系數(shù)表示，假如個人總消費(fèi)支出增加1個百分點(diǎn)，則平均服務(wù)支出將增加24.32(10億）美元。作出這一解釋是因?yàn)?，線性-對數(shù)模型中斜率系數(shù)能夠表示為：第14頁而上式又能夠表示為：所以，線性-對數(shù)模型中斜率系數(shù)能夠解釋為，解釋變量相對改變所引發(fā)應(yīng)變量絕對改變量。三、倒數(shù)模型

形以下式模型稱為倒數(shù)模型（reciprocalmodel）：倒數(shù)模型一個顯著特征是，伴隨無限增大，趨于零，靠近漸進(jìn)值或極限值。所以，當(dāng)變量無限增大時，倒數(shù)模型中應(yīng)變量取值將逐步靠近其漸進(jìn)線或極值。第15頁下列圖描繪了倒數(shù)模型一些曲線形狀：倒數(shù)模型：第16頁上圖ａ）中，若Ｙ表示生產(chǎn)平均固定成本(AFC)，即總固定成本除以產(chǎn)出，Ｘ代表產(chǎn)出，則依據(jù)經(jīng)濟(jì)理論，伴隨產(chǎn)出不停增加，平均固定成本將逐步降低，最終靠近產(chǎn)出軸。上圖ｂ）中曲線可用來表示恩格爾消費(fèi)曲線。該曲線表明消費(fèi)者在某一個商品上支出與其總收入或總消費(fèi)支出關(guān)系。若Ｙ表示消費(fèi)者在某一個商品上消費(fèi)支出，Ｘ表示消費(fèi)者總收入，則該商品含有以下特征(1)收入有一個臨界值，在此臨界值下，不能購置某商品。在圖ｂ）中，收入臨界值是。(2)消費(fèi)有一個滿足水平，在此水平之上，不論消費(fèi)者收入有多高，也不會再有任何消費(fèi)。上圖Ｃ）中能夠用來表示宏觀經(jīng)濟(jì)學(xué)中著名菲利普斯曲線。菲利普斯依據(jù)英國貨幣工資改變百分比(Y)與失業(yè)率(X)數(shù)據(jù)，得到了形如圖Ｃ）曲線。從圖中能夠看出，工資伴隨失業(yè)水平改變是不對稱：當(dāng)失業(yè)率低于時，工資隨失業(yè)率單位改變而上升比失業(yè)率第17頁高于時工資隨失業(yè)率單位改變而下降得更加快，經(jīng)濟(jì)學(xué)家稱為自然失業(yè)率。例：共同基金收取咨詢費(fèi)下表給出了美國共同基金支付給投資顧問管理資產(chǎn)費(fèi)用。支付費(fèi)用與基金凈資產(chǎn)相關(guān)。共同基金管理費(fèi)用第18頁首先作上表散點(diǎn)圖管理費(fèi)用與資產(chǎn)規(guī)模散點(diǎn)圖

由散點(diǎn)圖可知，兩個變量之間關(guān)系是非線性，含有一定倒數(shù)關(guān)系。所以考慮采取倒數(shù)模型。第19頁利用以下倒數(shù)模型采取最小二乘法得到回歸結(jié)果以下：DependentVariable:FEE Method:LeastSquares Date:10/29/08Time:11:21 Sample:112 Includedobservations:12

Variable CoefficientStd.Error t-StatisticProb. C 0.4204120.012858 32.69715 0.0000 DASSET0.0549300.022099 2.485610 0.0322 R-squared 0.381886 Meandependentvar 0.432317 AdjustedR-squared 0.35 S.D.dependentvar 0.050129 S.E.ofregression 0.041335 Akaikeinfocriterion-3.383185 Sumsquaredres