2024年初二下冊數(shù)學期末考試專項復習二次根式的加減（提高）知識講解【學習目標】1、理解并掌握同類二次根式的概念和二次根式的加減法法則，會合并同類二次根式，進行簡單的二次根式加減運算；2、會利用運算律和運算法則進行二次根式的混合運算.【要點梳理】要點一、同類二次根式1.定義：幾個二次根式化成最簡二次根式后，如果被開方數(shù)相同，那么這幾個二次根式就叫做同類二次根式.

要點詮釋：

(1)判斷幾個二次根式是否是同類二次根式，必須先將二次根式化成最簡二次根式，再看被開方數(shù)是否相同；

(2)幾個二次根式是否是同類二次根式，只與被開方數(shù)及根指數(shù)有關，而與根號外的因式無關.

2.合并同類二次根式：

合并同類二次根式，只把系數(shù)相加減，根指數(shù)和被開方數(shù)不變.要點詮釋：

(1)根號外面的因式就是這個根式的系數(shù).

(2)二次根式的系數(shù)是帶分數(shù)的要變成假分數(shù)的形式.（3）合并同類二次根式的方法與整式加減運算中的合并同類項類似，不是同類二次根式不能合并.要點二、二次根式的加減

二次根式相加減，先化簡每個二次根式，然后合并同類二次根式.要點詮釋：（1）在進行二次根式的加減運算時，整式加減運算中的交換律、結合律及去括號、添括號法則仍然適用.（2）二次根式加減運算的步驟：

1)將每個二次根式都化簡成為最簡二次根式；

2)判斷哪些二次根式是同類二次根式，把同類的二次根式結合為一組；

3)合并同類二次根式.

要點三、二次根式的混合運算

二次根式的混合運算是對二次根式的乘除及加減運算法則的綜合運用.

要點詮釋：

(1)二次根式的混合運算順序與實數(shù)中的運算順序一樣，先乘方，后乘除，最后算加減，有括號要先算括號里面的；

(2)在實數(shù)運算和整式運算中的運算律和乘法公式在二次根式的運算中仍然適用；

(3)二次根式混合運算的結果要寫成最簡形式.【典型例題】類型一、同類二次根式1.如果兩個最簡二次根式和是同類二次根式，那么、的值是().A.＝2，＝1B.＝1，＝2C.＝1，＝-1D.＝1，＝1【思路點撥】同類二次根式必須滿足兩個條件：(1)根指數(shù)是2；(2)被開方數(shù)相同；由此可以得到關于a、b的二元一次方程組，此類問題都可如此.【答案】選D【解析】根據(jù)題意，得

解之，得，故選D.【總結升華】判斷是否是同類二次根式，一定要是最簡二次根式，否則就要先化簡再判斷.舉一反三:【變式】若最簡二次根式與是同類二次根式，則a=．【答案】±1.提示：∵最簡二次根式與是同類二次根式，∴4a2+1=6a2﹣1，∴a2=1，解得a=±1．類型二、二次根式的加減運算2.（2016春?南陵縣期末）計算：7a﹣4a2+7a．【思路點撥】先進行二次根式的化簡，再進行同類二次根式的合并即可．【答案與解析】解：原式=14a﹣a+7a=20a．【總結升華】本題考查了二次根式的加減法，解答本題的關鍵在于熟練掌握二次根式的化簡和同類二次根式的合并．舉一反三:【變式】計算：.

【答案】解：

類型三、二次根式的混合運算

3.（2015?蘇州模擬）計算：．【思路點撥】二次根式的混合運算最好是先將每個因式化簡，再合并.【答案與解析】解：原式=﹣+2=4﹣+2=4+．【總結升華】先進行二次根式的乘除運算，再把各二次根式化為最簡二次根式，然后進行二次根式的加減運算．舉一反三:【高清課堂：高清ID號：388064關聯(lián)的位置名稱（播放點名稱）：二次根式的混合運算】【變式】計算：.【答案】解：原式＝＝＝.4.計算：已知求的值.【答案與解析】解：，又因為所以，

，即，即原式＝.【總結升華】數(shù)學運算包含著很多技巧性的東西，技巧運用得好計算就會很簡便.二次根式的加減（提高）鞏固練習一.選擇題1.（2016?山西模擬）下列各式計算正確的是（）A．+= B．4﹣3=1 C．2×=6 D．÷=22.與不是同類二次根式的是（）.

A.B.C.D.

3.（2015春?平南縣校級月考）若，則x的值等于（）A.4B.C.2D.4.下列各式中運算正確的是（）.A.B.C.D.5.的運算結果是（）.A．0B.C.D.

6.等腰三角形兩邊分別為和，那么這個三角形的周長是（）.A.B.C.或D.二.填空題7.若最簡二次根式與是同類二次根式，則.

8.與無法合并，這種說法是__________的（填“正確”或“錯誤”）.9.設則的值是_________.10.已知x1=+，x2=﹣，則x12+x22=____．11.（2016?鄂州模擬）化簡（﹣2）2015?（+2）2016=．12.已知x＝，則的值等于____________.三．解答題13.（2016春?江西期末）化簡：﹣a2+3a﹣．14.若x，y為實數(shù)，且y=++．求﹣的值．15．已知的整數(shù)部分為，小數(shù)部分為求的值.【答案與解析】一、選擇題1．【答案】D【解析】解：A、原式不能合并，錯誤；B、原式=，錯誤；C、原式=6×3=18，錯誤；D、原式===2，正確，故選D.2．【答案】A3．【答案】C【解析】先化簡再解方程，原式=，即，.故選C．4．【答案】A5.【答案】B【解析】注意運算技巧.原式===6．【答案】B【解析】注意:分類討論腰分別是和兩種情況,但是當腰為時，，所以這種情況不存在，只有腰為一種情況，即.二、填空題

7.【答案】1；1【解析】，所以8.【答案】錯誤9.【答案】10.【答案】10【解析】∵x1=+，x2=﹣，∴x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1x2=（++﹣）2﹣2（+）×（﹣）=12﹣2=10．11.【答案】+2．【解析】解：原式=[（﹣2）（+2）]2015?（+2）=（5﹣4）2015?（+2）=+2．故答案為+2．12.【答案】4【解析】化簡x＝，得，，代入原式=4.三、解答題

13.【答案與解析】解：﹣a2+3a﹣==﹣7．14.【答案與解析】解：由二次根式的有意義，得，解得x=，故y=，∴原式=﹣=﹣=．15.【答案與解析】解：因為的整數(shù)部分為，小數(shù)部分為所以，.原式==,代入后原式=.分式的乘除（基礎）【學習目標】1.學會用類比的方法總結出分式的乘法、除法法則.2.會分式的乘法、除法運算.3.掌握乘方的意義，能根據(jù)乘方的法則，先乘方，再乘除進行分式運算.【要點梳理】【高清課堂402545分式的乘除運算知識要點】要點一、分式的乘除法1.分式的乘法法則：分式乘分式，用分子的積作為積的分子，分母的積作為積的分母.用字母表示為：，其中是整式，.2.分式的除法法則：分式除以分式，把除式的分子、分母顛倒位置后，與被除式相乘.用字母表示為：，其中是整式，.要點詮釋：（1）分式的乘除法都能統(tǒng)一成乘法，然后約去公因式，化為最簡分式或整式.（2）分式與分式相乘，若分子和分母是多項式，則先分解因式，看能否約分，然后再乘.（3）整式與分式相乘，可以直接把整式（整式可以看作分母是1的代數(shù)式）和分式的分子相乘作為分子，分母不變.當整式是多項式時，同樣要先分解因式，便于約分.（4）分式的乘除法計算結果，要通過約分，化為最簡分式或整式.要點二、分式的乘方分式的乘方運算法則：分式的乘方是把分子、分母分別乘方，用字母表示為：（為正整數(shù)）.要點詮釋：（1）分式乘方時，一定要把分式加上括號.不要把寫成（2）分式乘方時，要首先確定乘方結果的符號，負數(shù)的偶次方為正，負數(shù)的奇次方為負.（3）在一個算式中同時含有分式的乘方、乘法、除法時，應先算乘方，再算乘除，有多項式時應先分解因式，再約分.（4）分式乘方時，應把分子、分母分別看作一個整體.如.【典型例題】類型一、分式的乘法 1、計算：(1)；(2)．【思路點撥】(1)中分子、分母都是單項式，直接用分式乘法法則計算，結果要通過約分化簡；(2)中分子、分母都是多項式，要先把可分解因式的分子、分母分解因式，然后用乘法法則化簡計算．【答案與解析】解：(1)．(2)．【總結升華】分式的乘法運算的實質(zhì)就是運用分式的基本性質(zhì)把分式約分化簡的過程，熟練之后也可先約分后運用乘法法則計算．舉一反三：【變式】計算．（1）；（2）【答案】解：（1）原式；（2）原式；類型二、分式的除法【高清課堂402545分式的乘除運算例1（4）】2、計算：(1)；(2)．【思路點撥】(1)先運用法則將分式的除法轉化為乘法，然后約分化簡；(2)先運用分式的除法法則將分式的除法轉化為乘法，同時將分子、分母分解因式，然后約分化簡．【答案與解析】解：(1)．(2)．【總結升華】分式的除法和實數(shù)的除法一樣，均是轉化為乘法來完成的．舉一反三：【變式】（2015?寶雞校級模擬）化簡：．【答案】解：原式=?=．類型三、分式的乘方3、（2014秋?華龍區(qū)校級月考）下列計算正確的是（）A. B.C. D.【思路點撥】把四個選項先利用分式的乘方法則，將分子分母分別乘方，然后利用積與冪的乘法法則，積的乘方的運算法則，積的乘方等于積中每一個因式分別乘方并把結果相乘，冪的乘方法則是底數(shù)不變，指數(shù)相乘，即可計算出結果，得到計算正確的選項． 【答案】C．【解析】解：A、，本選項錯誤；B、，本選項錯誤；C、，本選項正確；D、，本選項錯誤．所以計算結果正確的是C．【總結升華】此題考查了分式的乘方法則，考查了積的乘方及冪的乘方法則，完全平方公式的運用，是一道基礎題．類型四、分式的乘除法、乘方的混合運算4、計算：（1）（2016春?淅川縣期中）（﹣2ab﹣2c﹣1）2÷×（）3；（2）．【思路點撥】先算乘方，再算乘、除.【答案與解析】解：（1）（﹣2ab﹣2c﹣1）2÷×（）3=﹣??=﹣．（2）．【總結升華】（1）題中有除法和乘方運算，應先算乘方，要特別注意符號的處理．（2）本題是乘除混合運算，首先把除法運算轉化為乘法運算，再用乘法運算法則計算．舉一反三：【變式】計算：(1)；(2)．【答案】解：(1)．(2)．【鞏固練習】一.選擇題1.計算的結果是()A．B．C．D．2.（2016?遷安市一模）化簡：（a﹣2）?的結果是（）A．a(chǎn)﹣2 B．a(chǎn)+2 C．D．3．（2015?蜀山區(qū)一模）化簡的結果是（）A. B. C. D.4．分式的計算結果是（）A． B． C． D．5．下列各式計算正確的是（）A． B．C． D．6．的結果是（）A． B． C． D．－n二.填空題7._____；_____．8．______；______．9．（2015?泰安模擬）化簡的結果是．10.如果兩種燈泡的額定功率分別是，，那么第一只燈泡的額定功率是第二只燈泡額定功率的________倍.11．____________；____________．12．______．三.解答題13.（2016?黃石）先化簡，再求值：÷?，其中a=2016.14.閱讀下列解題過程，然后回答后面問題計算：解：＝÷1÷1÷1①＝．②請判斷上述解題過程是否正確？若不正確，請指出在①、②中，錯在何處，并給出正確的解題過程．15．小明在做一道化簡求值題：他不小心把條件的值抄丟了，只抄了＝－5，你說他能算出這道題的正確結果嗎？為什么？【答案與解析】一.選擇題1.【答案】C；【解析】∵，∴選C項．2.【答案】B；【解析】原式=（a﹣2）?=a+2，故選B．3.【答案】B；【解析】解：原式=×=．故選B.4.【答案】D；【答案】.5.【答案】D；