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九年級（上）期中數(shù)學(xué)試卷

選擇題（共8小題）

1.拋物線尸-（戶2）J3的頂點坐標(biāo)是（）

A.（2,-3）B.（-2,3）C.（2,3）D.（-2,-3）

2.如圖，A,B,C是。。上的點，如果乙眥=120°,那么N54C的度數(shù)是（）

3.如圖，在平面直角坐標(biāo)系x沙中，點尸（4,3）,與x軸正半軸的夾角為a,則tana

4.如圖，在平行四邊形儂刀中，點E在況'上，連接班1交對角線4C于點凡若的EC=

5.如圖，相是。。的直徑，或是。0的弦，NZG?=40°,則/加為（）

C

A.40°B.50°C.60°D.70°

6.如圖，從。0外一點力引圓的切線也，切點為B,連接4。并延長交圓于點C,連接8c.若

ZA=34°,則NZ①的度數(shù)是（）

A.28°B.30°C.31°D,32°

7.把拋物線尸J+1向右平移3個單位，再向下平移2個單位，得到拋物線（）

A.y=S3）2-1B.y=（戶3）2+3C.y=（JS-3）2-1D.y=（x-3）2+3

8.在平面直角坐標(biāo)系x勿中，點力，點6的位置如圖所示，拋物線y=a￥-2ax經(jīng)過4B,

則下列說法不正確的是（）

Ox

A.拋物線的開口向上

B.拋物線的對稱軸是x=l

C.點8在拋物線對稱軸的左側(cè)

D.拋物線的頂點在第四象限

二.填空題（共8小題）

9.請寫出一個開口向下，并且過坐標(biāo)原點的拋物線的表達式，尸.

10.根據(jù)測試距離為5卬的標(biāo)準(zhǔn)視力表制作一個測試距離為3加的視力表.如果標(biāo)準(zhǔn)視力表

中的長。是3.6頌，那么制作出的視力表中相應(yīng)的長a是.

11.已知：如圖，在△血'中，點。在47上（點D不與4c重合）.若再添加一個條件

就可證出況

12.如圖，四邊形被力內(nèi)接于。0,ZA=115°,則/腦等于

13.如圖，某貨船以24海里/時的速度從4處向正東方向的〃處航行，在點4處測得某島。

在北偏東60°的方向.該貨船航行30分鐘后到達6處，此時測得該島在北偏東30°的

方向上.則貨船在航行中離小島C的最短距離是.

是.

16.如圖，在平面直角坐標(biāo)系X。中，夕是直線尸2上的一個動點，。夕的半徑為1,直線

/切。P于點Q,則線段制的最小值為.

三.解答題(共12小題)

17.計算：2cos30°-tan60°+sin300+—tan45".

2

18.下面是小蕓設(shè)計的“過圓外一點作已知圓的切線”的尺規(guī)作圖過程.

已知：00及。0外一點P.

求作：。0的一條切線，使這條切線經(jīng)過點P.

作法：

①連接陰作。7的垂直平分線】，交。于點小

②以4為圓心，40為半徑作圓，交O0于點〃；

③作直線掰則直線掰即為。。的切線.

根據(jù)小蕓設(shè)計的尺規(guī)作圖過程，

(1)用直尺和圓規(guī)，補全圖形；(保留作圖痕跡)

(2)完成證明:

19.拋物線尸af+Zu+c上部分點的橫坐標(biāo)x,縱坐標(biāo)y的對應(yīng)值如表:

x…-2-1012…

y…0一4?408

(1)根據(jù)表填空：

①拋物線與X軸的交點坐標(biāo)是和;

②時，y>0;

(2)試確定拋物線尸市歲+如。的解析式.

20.如圖，點尸是。。內(nèi)一點，

(1)過點尸畫弦形，使點尸是形的中點，并簡述作圖過程.

(2)連接如并延長交。。于點C,若四=8,PC=2,求的半徑.

21.如圖，在四邊形似方中，AD//BC,ABVBC,點E在B上，/應(yīng)6=90。.

（1）求證：AADEsABEC.

（2）若4=1,a-3,AE=2,求相的長.

22.如圖，在△胸中，NB為銳角,AB=3-^2,AC=5,sinC=^-,求■的長.

23.如圖，以4OWs的速度將小球沿與地面成30。角的方向擊出時，小球的飛行路線是一

條拋物線.如果不考慮空氣阻力，小球的飛行高度力（單位：加與飛行時間力（單位：s）

之間具有函數(shù)關(guān)系力=20L5上

（1）小球飛行時間是多少時，小球最高？最大高度是多少？

（2）小球飛行時間t在什么范圍時，飛行高度不低于15必？

24.如圖1,RtZXW中，N/龍=90°,點〃為四邊上的動點（點。不與點力,點夕重合）,

過點。作瓦Z15交直線4c于點瓦已知N/f=30°,AB=4cm,在點。由點力到點6運

動的過程中，設(shè)AD=xcm.AE=ycm.

(1)通過取點、畫圖、測量，得到了X與y的幾組值，如表：

x/cm工13.2537_...

222~2

y/cm…0.40.81.0—1.004.0…

小東根據(jù)學(xué)習(xí)函數(shù)的經(jīng)驗，對函數(shù)y隨自變量x的變化而變化的規(guī)律進行了探究.下面

是小東的探究過程，請補充完整：(說明：補全表格時相關(guān)數(shù)值,保留一位小數(shù))

(2)在如圖2的平面直角坐標(biāo)系x%中，描出以補全后的表中各對對應(yīng)值為坐標(biāo)的點，

畫出該函數(shù)的圖象；

(3)結(jié)合畫出的函數(shù)圖象，解決問題：當(dāng)?shù)玌時，血的長度約為cm.

2

25.如圖，已知RtZ\W中，ZJGff=90",E為AB上一點,,以絲為直徑作。。與況■相切

于點〃連接物并延長交4C的延長線于點尸.

(1)求證：AE=AF；

(2)若ZE=5,AC=\,求跳'的長.

26.在平面直角坐標(biāo)系x分中，拋物線尸a￥-4a，?+3a-2(aWO)與x軸交于Z,8兩點

(點/在點5左側(cè)).

(1)當(dāng)拋物線過原點時，求實數(shù)a的值;

(2)①求拋物線的對稱軸；

②求拋物線的頂點的縱坐標(biāo)(用含a的代數(shù)式表示)；

(3)當(dāng)?shù)?時，求實數(shù)a的取值范圍.

27.在正方形加切外側(cè)作直線在，點8關(guān)于直線"的對稱點為￡,連接豳DE,其中絲

(2)若/摩=20。，求/力＞的度數(shù)；

(3)如圖2,若45。VNR歷＜90°,用等式表示線段相，F(xiàn)E,網(wǎng)之間的數(shù)量關(guān)系，并

證明.

28.我們規(guī)定：平面內(nèi)點4到圖形G上各個點的距離的最小值稱為該點到這個圖形的最小

距離d,點4到圖形G上各個點的距離的最大值稱為該點到這個圖形的最大距離。，定義

點力到圖形G的距離跨度為R=D-d.

(1)①如圖1,在平面直角坐標(biāo)系x限中，圖形G為以。為圓心，2為半徑的圓，直接

寫出以下各點到圖形a的距離跨度：

A(1,0)的距離跨度；

6(-工，返)的距離跨度；

22

C(-3,-2)的距離跨度；

②根據(jù)①中的結(jié)果，猜想到圖形G的距離跨度為2的所有的點組成的圖形的形狀

是.

(2)如圖2,在平面直角坐標(biāo)系x處中，圖形G為以。(-1,0)為圓心，2為半徑的

圓，直線尸A(x-l)上存在到G的距離跨度為2的點，求A的取值范圍.

⑶如圖3,在平面直角坐標(biāo)系x行中，射線陰尸返x(G0),是以3為半徑

3

的圓，且圓心E在x軸上運動，若射線卯上存在點到O￡的距離跨度為2,直接寫出圓

心后的橫坐標(biāo)打的取值范圍

參考答案與試題解析

選擇題（共8小題）

1.拋物線尸-（廣2）2-3的頂點坐標(biāo)是（

A.（2,-3）B.（-2,3）C.（2,3）D.（-2,-3）

【分析】已知拋物線解析式為頂點式，根據(jù)頂點式的坐標(biāo)特點求頂點坐標(biāo).

【解答】解：???拋物線尸-（戶2）2-3為拋物線解析式的頂點式，

.??拋物線頂點坐標(biāo)是（-2,-3）.

故選：D.

2.如圖，A,B,。是。。上的點，如果乙眈-120°,那么N皿。的度數(shù)是（）

【分析】直接根據(jù)圓周角定理即可得出結(jié)論.

【解答】解：?.?/斯與/曲。是同瓠所對的圓心角與圓周角，NBOC=120。，

:.NBAC=L/BOC=6Q。.

2

故選：B.

3.如圖，在平面直角坐標(biāo)系x%中，點P（4,3）,帆與x軸正半軸的夾角為a,則tana

【分析】過夕作雙Lx軸于N腕Ly軸于弘根據(jù)點2的坐標(biāo)求出朋和如解直角三

角形求出即可.

【解答】解：

過尸作4d_x軸于乂刃Uy軸于〃，則/掰9=/碩=90°,

軸J_y軸，

：.2M0N=NPMg2PN0=gy,

.?.四邊形加般是矩形，

：.PM^ON,PN^OM,

'：P（4,3）,

：.0N=Pg4,P43,

：.tana

ON4

故選：C.

4.如圖，在平行四邊形被力中，點后在比'上，連接班交對角線ZC于點凡若加：Eg

1：3,則S&EF8S^BFA—（）

A.1:3B.1：9C.3：4D.9:16

【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到協(xié)=%AB//DC,根據(jù)相似三角形的面積比等于相

似比的平方計算，得到答案.

【解答】幅；?：DE：EC=1：3,

:.EC：DC=3:4,

?.?四邊形儂辦是平行四邊形，

：.AB=DC,AB//DC,

：./\EFC^/\BFA,

.SAEFC_/EC\2-9

??-------\-?---9

2△BFA皿16

故選：D.

5.如圖，四是。0的直徑，〃是。0的弦，NZ折40°,則/皿?為（）

D

【分析】利用圓周角定理解決問題即可.

【解答】解：如圖，連接切.

二乙〃應(yīng)=90°,

,.,Z5=Z6^=40°,

〃仍=90°-40°=50°,

故選：B.

6.如圖，從。0外一點4引圓的切線小，切點為B,連接40并延長交圓于點C,連接比若

【分析】連接加，根據(jù)切線的性質(zhì)，得/期=90°,又/力=34°,所以N4如=56°,

再用三角形的外角性質(zhì)可以求出NZ或的度數(shù).

【解答】解：如圖：連接必，

;AB切00于點B,

：.ZOBA=90°,

"4=34°,

：.ZAOff=90°-34°=56°,

,：OB=OC,

:.NC=NOBC,

?：4A0B=NS40BA24C,

：.ZC=28°.

7.把拋物線尸J+l向右平移3個單位，再向下平移2個單位，得到拋物線（）

2222

A.y=（A+3）-1B.y=（A+3）+3C.y=（x-3）-lD.y=（x-3）+3

【分析】易得原拋物線的頂點及平移后拋物線的頂點，根據(jù)平移不改變拋物線的二次項

系數(shù)可得新的拋物線解析式.

【解答】解：由題意得原拋物線的頂點為（0,1）,

...平移后拋物線的頂點為（3,-1）,

二新拋物線解析式為尸（x-3）2-1,

故選：C.

8.在平面直角坐標(biāo)系中，點4點8的位置如圖所示，拋物線尸經(jīng)過4,B,

則下列說法不正確的是（）

?B

Ox

A.拋物線的開口向上

B.拋物線的對稱軸是x=l

C.點夕在拋物線對稱軸的左側(cè)

D.拋物線的頂點在第四象限

【分析】由于拋物線尸ax2-2數(shù)的常數(shù)項為0,所以圖象經(jīng)過原點，根據(jù)對稱軸為直線

x=2亙=1,可知拋物線開口向上，點5在對稱軸的右側(cè)，頂點在第四象限.

2a

【解答】解：yy=ax-2ax9

：?x=0時，產(chǎn)=0,

，圖象經(jīng)過原點，

又?.?對稱軸為直線*=2%=1,

2a

...拋物線開口向上，點8在對稱軸的右側(cè)，頂點在第四象限.

即4B、〃正確，C錯誤.

故選：C.

二.填空題（共8小題）

9.請寫出一個開口向下，并且過坐標(biāo)原點的拋物線的表達式，-4+2冢答案不唯一）.

【分析】直接利用二次函數(shù)的性質(zhì)分析其a,c的值進而得出答案.

【解答】解：???開口向下，

：.a<0,

???拋物線過坐標(biāo)原點，

***c=0,

二答案不唯一，如尸一歲+2*.

故答案為：尸-f+2x（答案不唯一）.

10.根據(jù)測試距離為5w的標(biāo)準(zhǔn)視力表制作一個測試距離為3加的視力表.如果標(biāo)準(zhǔn)視力表

中“歹的長6是3.6防，那么制作出的視力表中相應(yīng)的長「是6頌.

【分析】如圖，易得AOABSAOCD,利用它們對應(yīng)邊成比例，即可得到題目的結(jié)論.

【解答】解：如圖，依題意得△a0?！鞅?。

則匹_=坨，

ABBO

即

3.63

解得：a=6.

故答案為：6cm.

11.已知：如圖，在△板'中，點。在ZC上（點〃不與4C重合）.若再添加一個條件N

（答案不唯一），就可證出△板s△水況

【分析】有一對公共角，故可再添加一組角相等即可，如NABANACB.

【解答】解：可再添加一組角，如NABD=NACB.

故答案是：/板=/4龍（答案不唯一）.

12.如圖，四邊形極力內(nèi)接于00,N4=115°,則N5如等于130°.

【分析】先根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)求出NC的度數(shù)，再由圓周角定理即可得出結(jié)論.

【解答】解：?四邊形施力內(nèi)接于。0,Z/f=U5",

...N8180°-ZJ=180°-115°=65°,

：.ZBO/）=2ZC=130°.

故答案為：130.

13.如圖，某貨船以24海里/時的速度從4處向正東方向的。處航行，在點4處測得某島C

在北偏東60°的方向.該貨船航行30分鐘后到達8處，此時測得該島在北偏東30。的

方向上.則貨船在航行中離小島C的最短距離是6亞海里.

北

【分析】作或L4?于〃，根據(jù)三角形的外角性質(zhì)求出NC=30°,得到NSANC,求

出BC,根據(jù)正弦的定義計算即可.

【解答】解：作CH1AD于H,

由題意得，/。5=30°,NCB滬=60°,

.?.NC=30°,

：.ACAB=Z.C,

：.BC=BA=24xl.=12,

2

在Rt△惻中，CH=BOsinNCBH=6M（海里）,

故答案為：6辰里.

14.如圖，PA、PB、斯分別切。。于4、B、D,若NQ50。，那么NEOF=65°.

【分析】根據(jù)切線的性質(zhì)得到NR4gN陽0=90°,根據(jù)四邊形的內(nèi)角和為360度即可

計算出N460；連OD,根據(jù)切線的性質(zhì)得到應(yīng)=/郎=90。，易證得RtAC14^Rt

△ODE,RtAOF跆RtAOFB,得N1=N2,N3=N4,即有N￡M=N2+N3=L/市況

2

【解答】解：連接OA,OB,OD,

,：PA.PB為00的切線,

：.NPAg/PBggy,

而NQ50。，

二/4浙360°-90°-90°-50°=130°；

：.40DE=40DF=9Q°,

'：OA=OD=OB,OE=OE,OF=OF,

.,.RtAft4^RtAC?￡'QHL),Rt/\0F哈RtAOFB(.HL),

；.N1=N2,N3=N4,

.\Z2+Z3=AzJC!ff=650,則N￡365°.

2

故答案為：65.

15.已知函數(shù)尸￥-2X-3,當(dāng)-lWKa時，函數(shù)的最小值是-4,則實數(shù)a的取值范圍

是心1.

【分析】結(jié)合函數(shù)尸9-2x-3的圖象和性質(zhì)，及已知中當(dāng)-時函數(shù)的最小值

為-4,可得實數(shù)a的取值范圍.

【解答】解：函數(shù)尸f-2x-3=(x-1)2-4的圖象是開口朝上且以x=l為對稱軸的

拋物線，

當(dāng)且僅當(dāng)x=l時，函數(shù)取最小值-4,

:函數(shù)尸『-2x-3,當(dāng)-lWx<a時，函數(shù)的最小值是-4,

故答案為：a》l

16.如圖，在平面直角坐標(biāo)系刀火中，P是直線尸2上的一個動點，OP的半徑為1,直線

/切。尸于點Q,則線段制的最小值為_返_.

【分析】連接PQ、0P,如圖，根據(jù)切線的性質(zhì)得PQLOQ,再利用勾股定理得到g

A/op2_1，利用垂線段最短，當(dāng)郎最小時，制最小，然后求出卯的最小值，從而得到

園的最小值.

【解答】解：連接網(wǎng)、0P,如圖，

?.?直線。切。。于點Q,

J.PQLOQ,

在RtAQAV中，OP2-PQ2=4()p2

當(dāng)彼最小時，8最小，

當(dāng)8_L直線尸2時，如有最小值2,

二園的最小值為五%=?.

故答案為

17.計算：2cos30°-tan600+sin300+Atan45".

2

【分析】直接利用特殊角的三角函數(shù)值進而得出答案.

【解答】解：原式=2X返-后LL

222

=1.

18.下面是小蕓設(shè)計的“過圓外一點作已知圓的切線”的尺規(guī)作圖過程.

已知：。。及外一點尸.

求作：的一條切線，使這條切線經(jīng)過點P.

作法：

①連接8,作郎的垂直平分線】，交。于點Z;

②以4為圓心，4。為半徑作圓，交。。于點例

③作直線掰則直線掰即為。。的切線.

根據(jù)小蕓設(shè)計的尺規(guī)作圖過程，

(1)用直尺和圓規(guī)，補全圖形；(保留作圖痕跡)

（2）完成證明:

P

【分析】（1）用直尺和圓規(guī)，補全圖形即可;

（2）根據(jù)線段的垂直平分線的性質(zhì)、切線的判定和性質(zhì)完成證明即可.

【解答】解：（1）如圖所示:

掰即為所求作的的。。的切線;

（2）連接/根據(jù)作圖過程可知:

8為。4的直徑,

.\Z/W=90°,BPOMLPM,又如為的半徑,

二掰為。。的切線.

19.拋物線尸病+加+c上部分點的橫坐標(biāo)x,縱坐標(biāo)y的對應(yīng)值如表:

X???-2-1012???

??????

y0-4-408

（1）根據(jù)表填空：

①拋物線與x軸的交點坐標(biāo)是（-2,0）和（1,0）；

②xV-2或x>l時,y>0；

（2）試確定拋物線y=af+Ar+c的解析式.

【分析】（1）①在表中找出函數(shù)值為0對應(yīng)的自變量的值可確定拋物線與x軸的交點坐

標(biāo)；

②利用表中函數(shù)值的變化，再結(jié)合拋物線與x軸的交點坐標(biāo)得到函數(shù)值為正數(shù)的自變量

的范圍；

(2)設(shè)交點式尸a(A+2)(X-1),然后把(0,-4)代入求出a即可.

【解答】解：(1)①拋物線與x軸的交點坐標(biāo)是(-2,0)和(1,0)；

②-2或x>l時，y>0；

故答案為(-2,0),(1,0)；V-2或x>l；

(2)設(shè)拋物線的解析式為y=a(廣2)(x-1),

把(0,-4)代入得-4=aX2X(-1),解得a=2,

所以拋物線解析式為尸2(廣2)(x-1),

即y^=2x+2x-4.

20.如圖，點尸是。。內(nèi)一點，

(1)過點尸畫弦也，使點尸是四的中點，并簡述作圖過程.

(2)連接伊并延長交。。于點C,若麴=8,尸(=2,求。。的半徑.

【分析】(1)過尸作直徑龍，再根據(jù)垂徑定理作龐的垂線即可;

(2)連接以，根據(jù)勾股定理和垂徑定理求解.

【解答】解：(1)①過戶作直徑龐；交于點〃和￡；

②過戶作弦四J?應(yīng)■于產(chǎn)；

(2)連接OA,

設(shè)。。的半徑為r,則g=r-2,

■:OPVAB,

x2=4,

22

根據(jù)勾股定理可得：而2=涼+〃，

.\r=42+(r-2)2,

r=5,

答：。。的半徑為5.

E

21.如圖，在四邊形屈切中，AD//BC,ABLBC,點￡在四上，/龐490。.

(1)求證：AADEs△BEC.

(2)若M=l,BC=3,AE=2,求四的長.

【分析】(1)由皿〃a'、/_1_a'可得出N4=N5=90°,由等角的余角相等可得出N4E

=NBEC,進而即可證出△延s△以g

(2)根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可求出跖的長度，結(jié)合晝儂跖即可求出形的長度.

【解答】(1)證明：'：AD//BC,ABLBC,

:.AB工AD,ZJ=Z5=90",

:.NADE+NAEg9Q。.

■:NDEC=9Q°,

:.NAE訃NBEC=9Q°,

二NADE=/BEC,

:.△ADES^BEC.

(2)解：'：AADES^BEC,

?BE—BC即BE=3

"ADAETTT

2

:.AB^AE^BE=L.

2

22.如圖，在△被7中，N5為銳角，AB=3近,AC=5,sinC=3,求優(yōu)的長.

【分析】作91?鑿在△/如中求得4?=4ainC=3、CD=7AC2-AD2=4?再在△胸

中根據(jù)四=3&、4=3求得應(yīng)=3,繼而根據(jù)況三郎■切可得答案.

【解答】解：作的工BC于點、D,

'：AC=5,sinC=-|->

b

??AD=AC9sin6^3.

.,.在Rt△/切中，CD=7AC2-AD2=4,

"：AB=372.

:.在RtAABD中，BDTAB?-AD2=3,

：.BC=BD>rCD^l.

23.如圖，以4OWs的速度將小球沿與地面成30。角的方向擊出時，小球的飛行路線是一

條拋物線.如果不考慮空氣阻力，小球的飛行高度力（單位：而與飛行時間大（單位：s）

之間具有函數(shù)關(guān)系分=20￡-5人

(1)小球飛行時間是多少時，小球最高？最大高度是多少？

(2)小球飛行時間［在什么范圍時，飛行高度不低于15必？

【分析】(1)將函數(shù)解析式配方成頂點式可得最值；

(2)畫圖象可得力的取值.

【解答】解：(1)VA=-5t2+20t=-5(t-2)%20,

...當(dāng)t=2時，人取得最大值20米；

答：小球飛行時間是2s時，小球最高為20處

(2)由題意得：15=201-512,

解得：ti—1,友=3,

由圖象得：當(dāng)時，力》15,

則小球飛行時間,<3時，飛行高度不低于15m.

24.如圖1,Rt△儂:中，N4陽=90。，點。為四邊上的動點(點。不與點4點8重合),

過點。作初_1_5交直線ZC于點瓦已知N4=30°,AB=\cm,在點。由點4到點5運

動的過程中，設(shè)AD=xcm,AE—ycm.

5

4一?r??，??，??，

O12345X

圖2

(1)通過取點、畫圖、測量，得到了x與y的幾組值，如表:

x/cm???X13_2537_

2222

y/cm???0.40.81.0L21.004.0

小東根據(jù)學(xué)習(xí)函數(shù)的經(jīng)驗，對函數(shù)y隨自變量x的變化而變化的規(guī)律進行了探究.下面

是小東的探究過程，請補充完整：(說明：補全表格時相關(guān)數(shù)值，保留一位小數(shù))

(2)在如圖2的平面直角坐標(biāo)系底力中，描出以補全后的表中各對對應(yīng)值為坐標(biāo)的點，

畫出該函數(shù)的圖象；

(3)結(jié)合畫出的函數(shù)圖象，解決問題：當(dāng)代L/7時，4〃的長度約為2.4或3.3cm.

2

【分析】(1)(2)根據(jù)題意測量、作圖即可；(3)滿足/￡=4?條件，實際上可以轉(zhuǎn)化

2

為正比例函數(shù)y=—x.

2

【解答】解：(1)根據(jù)題意，測量得1.2

二故答案為：1.2

(2)根據(jù)已知數(shù)據(jù)，作圖得

?J'

(J1234子

(3)當(dāng)心耳?時，y=lx,在(2)中圖象作圖，并測量兩個函數(shù)圖象交點得：

22

〃=2.4或3.3

故答案為：2.4或3.3

25.如圖，已知RtZU5C中，NAC49Q°,E為AB上一點、,以熊為直徑作。。與無相切

于點〃連接切并延長交4c的延長線于點R

(1)求證：AE^AF；

(2)若力￡=5,AC=4,求跳'的長.

【分析】(1)連接0D,根據(jù)切線的性質(zhì)得到ODVBC,根據(jù)平行線的判定定理得到0D//

AC,求得應(yīng)=/凡根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到N。切=/a應(yīng)，等量代換得到NW

=/凡于是得到結(jié)論；

(2)根據(jù)相似三角形的判定和性質(zhì)即可得到結(jié)論.

【解答】證明：(1)連接0D,

:比切。。于點。，

0D1.BC,

二/肱=90°,

又390。，

J.OD//AC,

:.NODE=NF,

'：OE=OD,

：.^OED=^ODE,

：./.OED=AF,

：.AE^AF\

(2)'：OD//AC

...△83△物c,

?BOOD

"ABT

"：AF=5,AC=4,

即BE+2.5_2.5

BE+5=4'

26.在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線/=數(shù)2-48妙38-2(aWO)與x軸交于4,8兩點

(點/在點8左側(cè)).

(1)當(dāng)拋物線過原點時，求實數(shù)a的值；

(2)①求拋物線的對稱軸；

②求拋物線的頂點的縱坐標(biāo)(用含a的代數(shù)式表示)；

(3)當(dāng)^4^4時，求實數(shù)a的取值范圍.

【分析】(1)把原點坐標(biāo)代入尸蘇-4a;r+3a-2可計算出對應(yīng)a的值；

(2)①②把拋物線解析式配成頂點式可得到拋物線的對稱軸和拋物線的頂點的縱坐標(biāo)；

(3)設(shè)0),B(n,0),利用拋物線與x軸的交點問題，則必、〃為方程ax?-4a"3a

-2=0的兩根，利用判別式的意義解得a>0或a<-2,再利用根與系數(shù)的關(guān)系得到加〃

=4,儂=蹌2,然后根據(jù)完全平方公式利用〃-慶4得到(研加2-4^16,所以

a

42-4?蹌2wi6,接著解關(guān)于a的不等式，最后確定a的范圍.

a

【解答】解：(1)把(0,0)代入尸@--42戶32-2得32-2=0,解得a=2；

3

(2)①尸a(jr-2)2-a-2,

拋物線的對稱軸為直線x=2；

②拋物線的頂點的縱坐標(biāo)為-a-2；

(3)設(shè)4(%0),B(n,0),

?：。、〃為方程蘇-4a^+3a-2=0的兩根，

A△=16a2-4a(3a-2)>0,解得a>0或aV-2,

:.mn=4,

a

而n-辰：4,

(.n-m)2<16,即(研n)2-42zzn^l6,

.,,42-4?^Z^^i6,

a

即3a-22o,解得a22或a<0.

a3

二a的范圍為a<-2或a22.

3

27.在正方形的?外側(cè)作直線仍點夕關(guān)于直線臚的對稱點為￡,連接豳DE,其中龐

(2)若/9=20。，求/4戶的度數(shù)；

(3)如圖2,若45°VNB奶<90°,用等式表示線段曲FE,網(wǎng)之間的數(shù)量關(guān)系，并

證明.

【分析】(1)根據(jù)題意直接畫出圖形得出即可；

(2)利用對稱的性質(zhì)以及等角對等邊進而得出答案；

(3)由軸對稱的性質(zhì)可得：EF=BF,AE=AB=AD,NABXNAEXNADF,進而利用勾

股定理得出答案.

【解答】解：(1)如圖1所示：

(2)如圖2,連接留

則/摩=/序￡=20°,AE=AB=AD,

?.?四邊形被力是正方形，

.?.N9=90°,

.,./初三/班-20°,

.*.Z￡4Z?=130o,

.?./赤180°-130°=25。；

2

(3)如圖3,連接版BF、BD,

由軸對稱的性質(zhì)可得：EXBF,AE^AB^AD,

NABF=Z.AEF=NADF,

:.NBFgNBAD=9Q°,

:.B^+F1}=B6,

:.EF+Fl}=2慮.

28.我們規(guī)定：平面內(nèi)點4到圖形G上各個點的距離的最小值稱為該點到這個圖形的最小

距離d,點/到圖形G上各個點的距離的最大值稱為該點到這個圖形的最大距離〃定義

點A到圖形G的距離跨度為R=D-d.

yy

C圖1圖2圖3

(D①如圖1,在平面直角坐標(biāo)系x如中，圖形G為以。為圓心，2為半徑的圓，直接

寫出以下各點到圖形G的距離跨度：

A(1,0)的距離跨度2；

5(-1,返)的距離跨度2；

22

C(-3,-2)的距離跨度4；

②根據(jù)①中的結(jié)果，猜想到圖形G的距離跨度為2的所有的點組成的圖形的形狀是

圓.

(2)如圖2,在平面直角坐標(biāo)系x%中，圖形G為以。(-1,0)為圓心，2為半徑的

圓，直線尸左(x-1)上存在到G的距離跨度為2的點，求A的取值范圍.

(3)如圖3,在平面直角坐標(biāo)系x分中，射線Oft尸返x(xM),?！晔且?為半徑

3

的圓，且圓心片在x軸上運動，若射線8上存在點到。6的距離跨度為2,直接寫出圓

心人的橫坐標(biāo)八的取值范圍-1WXW2.

【分析】(1)①先根據(jù)跨度的定義先確定出點到圓的最小距離〃和最大距離D,即可得

出跨度；

②分點在圓內(nèi)和圓外兩種情況同①的方法計算，判定得出結(jié)論；

(2)先判斷出存在的點P必在圓。內(nèi)，設(shè)出點P的坐標(biāo)，利用點尸到圓心0的距離的2

倍是點P到圓的距離跨度，建立方程，由于存在距離跨度是2的點，