重慶市西南大學附屬中學2023－2024學年九年級上學期數(shù)學開學考試同步練習（滿分150分，考試120分鐘）一．選擇題（共10小題，滿分40分，每小題4分）1.下列各圖是選自歷屆世界大運會的會徽圖案，其中是軸對稱圖形的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)軸對稱圖形的概念求解．如果一個圖形沿一條直線對折，直線兩旁部分重合，這個圖形叫做軸對稱圖形．【詳解】A、不是軸對稱圖形，故本選項不合題意；B、是軸對稱圖形，故本選項符合題意；C、不是軸對稱圖形，故本選項不合題意；D、不是軸對稱圖形，故本選項不合題意；故選：B．【點睛】本題考查了軸對稱圖形的概念，軸對稱圖形的關鍵是尋找對稱軸，對稱軸兩側部分能重合．2.如圖，△ABC與△DEF位似，點O為位似中心，已知OA：OD=1：3，且△ABC的周長為4，則△DEF的周長為（）A.8 B.12 C.16 D.36【答案】B【解析】【分析】根據(jù)OA：OD=1：3可得相似比為1：3，即可求解．【詳解】解：∵△ABC與△DEF位似，OA：OD=1：3，∴△ABC與△DEF位似比為1：3，∴△ABC與△DEF相似比為1：3，∴△ABC與△DEF周長比為1：3，∴△DEF的周長為12，故選：B．【點睛】本題考查的是位似圖形的概念、相似三角形的性質，掌握位似的兩個三角形是相似三角形、相似三角形的面積比等于相似比的平方是解題的關鍵．3.對于二次函數(shù)，其圖象的頂點坐標為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)二次函數(shù)頂點式，直接可得頂點坐標．【詳解】解：二次函數(shù)，其圖象的頂點坐標為．故選：D．【點睛】本題考查了通過二次函數(shù)頂點式寫出頂點坐標，熟練掌握二次函數(shù)頂點式是解題的關鍵．4.估計的運算結果在哪兩個整數(shù)之間（）A.3和4 B.4和5 C.5和6 D.6和7【答案】B【解析】【分析】根據(jù)二次根式的運算可進行求解．【詳解】解：，∵，∴，∴的運算結果在4和5之間；故選B．【點睛】本題主要考查二次根式的運算及無理數(shù)的估算，熟練掌握二次根式的運算是解題的關鍵．5.如圖，是由一些小棒搭成的圖案，按照這種方式擺下去，擺第9個圖案所用小棒的數(shù)量為（）A.33 B.36 C.37 D.41【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題目中的圖形，可以發(fā)現(xiàn)火柴根數(shù)的變化規(guī)律，從而可以得到擺第9個圖案用多少根火柴棒．【詳解】解：由圖可得，圖①中火柴的根數(shù)為：，圖②中火柴的根數(shù)為：，圖③中火柴的根數(shù)為：，，則擺第9個圖案中火柴的根數(shù)為：，故選C．【點睛】本題考查圖形的變化類，解答本題的關鍵是明確題意，發(fā)現(xiàn)題目中火柴根數(shù)的變化規(guī)律，利用數(shù)形結合的思想解答．6.我市某家快遞公司，今年8月份與10月份完成投遞的快遞總件數(shù)分別為2萬件和2.88萬件．若設該快遞公司由8月份到10月份投遞總件數(shù)的月平均增長率為x，則以下所列方程正確的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題意列出等量關系：10月份投遞總件數(shù)=8月份投遞總件數(shù)月平均增長率月平均增長率，即可解出此題．【詳解】解：根據(jù)10月份投遞總件數(shù)=8月份投遞總件數(shù)月平均增長率月平均增長率，可得方程：故選：B．【點睛】本題考查了由實際問題抽象出一元二次方程，找準等量關系是解題的關鍵．7.如圖，在中，，，，垂足為，的平分線交于點，若，則的長為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)已知條件得出，根據(jù)含度角的直角三角形的性質得出，根據(jù)等腰直角三角形的性質，勾股定理即可求解．【詳解】解：∵，，∴，∵是的平分線，∴，∴，，∴∴∴,∵，∴是等腰直角三角形，∴，∴，故選：C．【點睛】本題考查了直角三角形的兩個銳角互余，等角對等邊，含30度角的直角三角形的性質，勾股定理，求得是解題的關鍵．8.二次函數(shù)的圖象的一部分如圖所示．已知圖象經過點，其對稱軸為直線，下列結論：①；②；③；④不等式的解集是；⑤若拋物線經過點，則關于x的一元二次方程的兩根分別為，上述結論中正確結論的個數(shù)為（）A.1個 B.2個 C.3個 D.4個【答案】D【解析】【分析】由已知條件得出：，，利用上述條件進行適當變形，再結合二次函數(shù)圖象的性質對每個結論進行逐一分析，得出正確選項．【詳解】解：∵圖象開口向下，∴，∵對稱軸為直線，∴，∴，∵圖象與y軸的交點在x軸的上方，∴，∴，故①正確；由圖象可知，當時，，∴，故②正確；∵對稱軸為直線，∴，即，故③正確；∵拋物線經過點，其對稱軸為直線，∴拋物線與x軸另一交點為，∴不等式的解集是，故④正確；∵拋物線經過點，∴是的一個根，∵對稱軸是直線，∴另一個根為，故⑤錯誤∴正確的有①②③④，共4個，故選：D．【點睛】本題主要考查二次函數(shù)的圖象與性質，關鍵是要牢記圖象與各系數(shù)之間的關系．9.如圖，在矩形ABCD中，，，連接BD，將繞點D順時針旋轉，得到，連接，，延長交于點N，連接，當時，則的面積為（）．A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先證明∽，求得，過點D作DG⊥B′A并交B′A的延長線于點G，先后求得GD、AG、B′G和B′A的長，再利用三角形面積公式即可求解．【詳解】解：∵矩形ABCD中，∠ABD=60°，BC=4，∴∠CBD=∠ADB=30°，∴BD=2CD，由勾股定理得：CD=4，BD=8，根據(jù)旋轉的性質知B′D=BD，C′D=CD，，∴，∴∽，∴，∴，過點D作DG⊥B′A并交B′A延長線于點G，又∵，，，∴∠GAD=30°，∴GD=AD=2，AG=6，B′G=2，∴B′A=2-6，∵∠B′AB=∠ABD=60°，∴B′A∥BD，∴．故選：A．【點睛】本題考查了相似三角形的判定和性質，含30度角的直角三角形的性質，勾股定理等知識，解答本題的關鍵是明確題意，找出所求問題需要的條件．10.已知，（為正整數(shù)），下列說法：①；②；③；④若，則的最小值為3．其中正確選項的個數(shù)是（）A.0 B.1 C.2 D.3【答案】B【解析】【分析】根據(jù)新定義得出，，進而判斷①②；根據(jù)新定義得出，進而根據(jù)分式的性質化簡判斷③，根據(jù)已知條件化簡，得出，根據(jù)二次函數(shù)的性質即可求解．【詳解】解：∵，∴，∴，故①正確；∵，∴∴，故②不正確；∵，∴，故③不正確；若即∴的最大值為，沒有最小值，故④不正確，故選：B．【點睛】本題考查了新定義運算，分式的混合運算，二次函數(shù)的性質求最值，熟練掌握分式的化簡求值，理解新定義是解題的關鍵．二．填空題（共8小題，滿分32分，每小題4分）11.計算：_______．【答案】【解析】【分析】先計算零指數(shù)冪、負整數(shù)指數(shù)冪，再作加減法，即可求解．【詳解】解：，故答案為：．【點睛】此題主要考查了實數(shù)的運算，要熟練掌握，解答此題的關鍵是要明確零指數(shù)冪和負指數(shù)冪的運算法則．12.有四張正面寫有數(shù)字，，，卡片，卡片除數(shù)字外其余完全相同，將其背面向上并洗勻，隨機抽取張后，不放回，再隨機抽取張，那么兩張卡片的數(shù)字之和為偶數(shù)的概率是______．【答案】【解析】【分析】根據(jù)列表法求概率即可求解．【詳解】解：列表如圖，共有12種等可能結果，其中符合題意的有4種，∴兩張卡片的數(shù)字之和為偶數(shù)的概率是．故答案為：．【點睛】本題考查的是根據(jù)概率公式求概率，用列表法求概率．解題時要注意此題是放回試驗還是不放回試驗．用到的知識點為：概率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．13.小穎在地面E處放一面鏡子，當他垂直于地面AC站立于點C處時，剛好能從鏡子中看到教學樓的頂端B，F(xiàn)E⊥AC，根據(jù)光的反射定律有∠FEB=∠FED，此時EA=20米，CE=2.5米．已知眼睛距離地面的高度DC=1.6米，則教學樓的高度為_____________米．【答案】12.8【解析】【分析】根據(jù)反射角等于入射角可得∠AEB=∠CED，則可判斷Rt△AEB∽Rt△CED，根據(jù)相似三角形的性質，即可求出AB．【詳解】解：根據(jù)題意得∠AEB=∠CED，∠BAE=∠DCE=90°，∴△AEB∽△CED，∴，即，解得：AB=12.8（米）．答：教學樓AB的高度為12.8米．【點睛】本題考查了相似三角形的應用，利用入射與反射構造相似三角形是解決問題的關鍵．14.已知實數(shù)m，n滿足等式m2+2m﹣1＝0，n2+2n﹣1＝0，那么求的值是_____．【答案】2或﹣6【解析】【分析】分兩種情況討論：①當m≠n時，根據(jù)根與系數(shù)的關系即可求出答案；②當m=n時，直接得出答案．【詳解】由題意可知：m、n是方程x2+2x﹣1=0的兩根，分兩種情況討論：①當m≠n時，由根與系數(shù)的關系得：m+n=﹣2，mn=﹣1，∴原式6，②當m=n時，原式=1+1=2．綜上所述：的值是2或﹣6．故答案為：2或﹣6．【點睛】本題考查了構造一元二次方程求代數(shù)式的值，解答本題的關鍵是熟練運用根與系數(shù)的關系，本題屬于中等題型．15.如圖，在中，，點D是邊的中點，連接，將沿直線翻折得到，連接．若，則線段的長為_______．【答案】####【解析】【分析】連接，延長交與點H，作，垂足為F．首先證明垂直平分線段，是直角三角形，利用三角形的面積求出，得到的長，在中，利用勾股定理即可解決問題．【詳解】解：如圖，連接，延長交與點H，作，垂足為F．∵在中，，點D是邊的中點，，∴．∵，∴．∵，∴，解得．∵將沿直線翻折得到，∴，∴．∵，∴為直角三角形，，∴，∴，∵，∴．∴．∵，∴．故答案為．【點睛】本題考查了翻折變換（折疊問題），直角三角形斜邊上的中線的性質，勾股定理，三角形的面積等知識，解題的關鍵是學會利用面積法求高．16.若關于x的一元一次不等式組無解，且使關于y的分式方程有整數(shù)解，則所有符合題意的整數(shù)a的值之和是______．【答案】【解析】【分析】不等式組變形后，根據(jù)無解確定出的范圍，再表示出分式方程的解，由分式方程有非負整數(shù)解，確定出滿足條件的值，進而求出之和．【詳解】解∶解不等式得：，解不等式得，∵一元一次不等式組無解，∴，解得，解分式方程，得，∵關于的分式方程有整數(shù)解，∴或∴或或或，時，，原分式方程無解，故將舍去，∴符合條件的所有整數(shù)的和是，故答案為【點睛】本題考查了解分式方程，解一元一次不等式組，熟練掌握解分式方程和一元一次不等式組的方法是解題的關鍵．17.如圖，平行四邊形ABCD的BC邊過原點O，頂點D在x軸上，反比例函數(shù)的圖象過AD邊上的A，E兩點，已知平行四邊形ABCD的面積為8，，則k的值為______．【答案】2【解析】【分析】根據(jù)反比例函數(shù)圖象上點的特征，利用平行線分線段成比例，及三角形的面積列出方程求解．【詳解】解：過點A作AF⊥x軸于點F，過點E作EH⊥x軸于點H，則AFEH，則：，△DEH∽△DAF，∴，設A（x，y），則E（3x，y），則AF＝y(tǒng)，OF＝x，OH＝3x，EH＝y(tǒng)，∴FH＝2x，DH＝x，OD＝4x，∵平行四邊形ABCD的面積為8m，則△AOD的面積是4，則△ODE的面積是，∴×y×4x＝，∴xy＝2，∴k＝xy＝2．故答案為：2．【點睛】本題考查看反比例函數(shù)的k的意義，結合平行線分線段成比例列方程是解題的關鍵．18.對任意一個四位數(shù)m，如果m各個數(shù)位上的數(shù)字都不為零且互不相同，滿足個位與千位上的數(shù)字的和等于十位與百位上的數(shù)字和，那么稱這個數(shù)為“同和數(shù)”，將一個“同和數(shù)”m的個位與千位兩個數(shù)位上的數(shù)字對調后得到一個新的四位數(shù)，將m的十位與百位兩個數(shù)位上的數(shù)字對調后得到另一個新四位數(shù)，記．若s，t都是“同和數(shù)”，其中，（，y，e，），且x，y，e，f都是正整數(shù)，規(guī)定：，用含“x，f”的代數(shù)式表示______，當能被20整除時，k的所有取值之積為______．【答案】①②.【解析】【分析】由題意可知，，求得，，，由，，可知，根據(jù)能被20整除，可得，可得，，當，6，7，8時：，，，，即可求出k的所有取值之積．【詳解】解：∵若s，t都是“同和數(shù)”，其中，（，y，e，），且x，y，e，f都是正整數(shù)，∴，，∴，，∴，∵，，∴，∵能被20整除，∴，則，即：∴，，∵各個數(shù)位上的數(shù)字都不為零且互不相同，∴，∴當，6，7，8時：，，，，∴k的所有取值之積為：，故答案為：，．【點睛】本題考查了因式分解的應用，閱讀理解題目是本題的關鍵．三．解答題（共8小題，滿分78分）19.解方程：（1）（x+3）2＝9；（2）2x2﹣4x+1＝0【答案】（1）x＝0或x＝﹣6；（2）x＝1±.【解析】【分析】（1）用直接開平方法求解即可；（2）用配方法求解即可.【詳解】解：（1）∵（x+3）2＝9，∴x+3＝±3，∴x＝0或x＝﹣6；（2）∵2x2﹣4x+1＝0，∴x2﹣2x＝，∴x2﹣2x+1＝，∴（x﹣1）2＝，∴x﹣1＝±，∴x＝1±；【點睛】本題考查了一元二次方程的解法，常用的方法由直接開平方法、配方法、因式分解法、求根公式法，靈活選擇合適的方法是解答本題的關鍵.20.如圖，是平行四邊形的對角線，平分，交于點E．（1）請用尺規(guī)作的角平分線，交于點F（只保留作圖痕跡，不寫作法）；（2）根據(jù)圖形證明四邊形為平行四邊形．請完成下面的填空．證明：∵四邊形是平行四邊形．∴∴．（兩直線平行，內錯角相等）．又∵平分，平分，∴，．∴．∴．又∵四邊形是平行四邊形．∴．∴四邊形為平行四邊形（）（填推理的依據(jù)）．【答案】（1）見解析（2）；，，．，兩組對邊平行的四邊形為平行四邊形．【解析】【分析】（1）利用基本作圖，作的平分線即可；

（2）先根據(jù)平行四邊形的性質得到，，則根據(jù)平行線的性質得到，再根據(jù)角平分線的定義得到，，所以．于是可判斷．然后利用可判斷四邊形為平行四邊形．【小問1詳解】如圖，為所作；

【小問2詳解】證明：∵四邊形是平行四邊形．∴∴．（兩直線平行，內錯角相等）．又∵平分，平分，∴，．∴．∴．又∵四邊形是平行四邊形．∴．∴四邊形為平行四邊形（兩組對邊平行的四邊形為平行四邊形）．故答案為：；，，．，兩組對邊平行四邊形為平行四邊形.【點睛】本題考查了作圖-基本作圖：熟練掌握5種基本作圖是解決問題的關鍵．也考查了平行四邊形的判定與性質．21.4月，某校初2021級800名學生進行了一次政治測試（滿分：50分）．測試完成后，在甲乙兩班各抽取了20名學生的測試成績，對數(shù)據(jù)進行整理分析，并給出了下列信息：甲班20名同學的測試成績統(tǒng)計如下：41，47，43，45，50，49，48，50，50，49，48，47，44，50，43，50，50，50，49，47．乙班20名同學的測試成績統(tǒng)計如下：組別頻數(shù)1169其中，乙班20名同學的測試成績高于46，但不超過48分的成績如下：47，48，48，47，48，48．甲乙兩班抽取的學生的測試成績的平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)如表所示：班級平均數(shù)中位數(shù)眾數(shù)甲班47.548.5乙班47.549（1）根據(jù)以上信息可以求出：_____，_____，_____；（2）你認為甲乙兩個班哪個班的學生政治測試成績較好，請說明理由（理由寫出一條即可）；（3）若規(guī)定49分及以上為優(yōu)秀，請估計該校初2021級參加此次測試的學生中優(yōu)秀的學生有多少人？【答案】（1）3，48，50（2）甲班的成績較好，理由：甲乙兩班的平均數(shù)相等、甲班的中位數(shù)、眾數(shù)都比乙班的大（3）估計該校初2021級參加此次測試的學生中優(yōu)秀的學生有380人【解析】【分析】（1）根據(jù)題中數(shù)據(jù)和中位數(shù)、眾數(shù)的定義求解即可；（2）根據(jù)甲乙兩班的平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)分析決策即可；（3）用總人數(shù)乘以樣本中優(yōu)秀人數(shù)所占的比例求解即可．【小問1詳解】解：；乙班成績第10、11個數(shù)為成績高于46，但不超過48分的成績的較大的兩個，為48，48．∴；將甲班20名同學的測試成績按從小到大的順序排列：41，43，43，44，45，47，47，47，48，48，49，49，49，50，50，50，50，50，50，50，甲班的測試成績出現(xiàn)次數(shù)最多的是50，因此眾數(shù)是50，∴c＝50，故答案為：3，48，50；【小問2詳解】解：甲班成績較好，理由：甲乙兩班的平均數(shù)相等、甲班的中位數(shù)、眾數(shù)都比乙班的大；【小問3詳解】解：（人），答：估計該校初2021級參加此次測試的學生中優(yōu)秀的學生有380人．【點睛】本題考查頻數(shù)分布表、中位數(shù)、眾數(shù)、用樣本估計總體，理解中位數(shù)和眾數(shù)的定義，并會利用這些統(tǒng)計量作決策是解答的關鍵．22.如圖所示，在長方形中，，的平分線交邊于點E，于點H，連接并延長交邊于點F，連接交于點O．（1）求證：；（2）試探究與的數(shù)量關系，并說明理由；（3）若，求的面積．【答案】（1）證明見解析（2），證明見解析（3）【解析】【分析】（1）由平分知．依據(jù)得，據(jù)此知．再證即可得．（2）由，知，據(jù)此得從而得出答案；（3）先證，從而求得，證知兩三角形面積相等，再進一步求的面積即可．【小問1詳解】解：在矩形中，，，．∵平分，∴．∵，∴．而，∴，∴．又∵，在和中，∵，，∴．∴．【小問2詳解】；理由是：∵，，∴，∵，，∴，∵，，∴，∴，∴；【小問3詳解】∵，，∴，又∵，∴．∴，∵，∴，∴，∵，，∴，∴，在和中，∵，，，∴．如圖，過點H作于點G，∴為等腰直角三角形，而，，∴，∴．【點睛】本題是四邊形的綜合問題，解題的關鍵是掌握矩形的性質、等腰直角三角形的判定與性質及全等三角形的判定與性質，二次根式的混合運算等知識點，掌握以上知識點是解本題的關鍵．23.某鎮(zhèn)道路改造工程，由甲、乙兩工程隊合作完成．甲工程隊單獨施工比乙工程隊單獨施工多用30天完成此項工程,甲工程隊30天完成的工程與甲、乙兩工程隊10天完成的工程相等．（1）求甲、乙兩工程隊單獨完成此項工程各需要多少天？（2）如果甲工程隊施工每天需付施工費1萬元，乙工程隊施工每天需付施工費2.5萬元，甲工程隊至少要單獨施工多少天后，再由甲、乙兩工程隊合作施工完成剩下的工程，才能使施工費不超過64萬元？【答案】（1）甲、乙兩工程隊單獨完成此項工程各需要60天和30天；（2）甲工程隊至少單獨施工36天.【解析】【分析】（1）設乙工程隊單獨完成此項工程各需要的天數(shù)為x，則甲單獨完成需要（x+30）天，根據(jù)題意即可列出分式方程進行求解；（2）設甲單獨施工y天，根據(jù)題意列出不等式進行求解.【詳解】（1）設乙工程隊單獨完成此項工程各需要的天數(shù)為x，則甲單獨完成需要（x+30）天，根據(jù)題意得，解得x=30，經檢驗，x=30是原方程的解，故甲、乙兩工程隊單獨完成此項工程各需要60天和30天；（2）設甲單獨施工y天，根據(jù)題意得解得y≥36，故甲工程隊至少單獨施工36天.【點睛】此題主要考查分式方程與不等式的應用，解題的關鍵是根據(jù)題意找到等量關系或不等關系進行求解.24.如圖，在中，，，，，點E在BD上且，動點P從點B出發(fā)，沿B→A→C運動，到達點C時停止．設點P運動路程為x，的面積為．（1）求關于x的函數(shù)關系式，并寫出x的取值范圍；（2）在坐標系中畫出的函數(shù)圖象；（3）觀察函數(shù)圖象，請寫出一條該函數(shù)的性質____________________；（4）在坐標系中畫出的函數(shù)圖象，并結合圖象直接寫出時x的取值范圍．【答案】（1）；（2）如圖所示：；（3）當時，隨的增大而增大；（4）如圖所示：．【解析】【分析】（1）分兩種情況進行討論，當點P在AB邊上時，作，此時；當點P在AC邊上時，作，此時；分別用含x的代數(shù)式表示線段長度，計算得出答案；（2）根據(jù)第1問求出的函數(shù)解析式，在平面直角坐標系中描點繪制函數(shù)圖象；（3）直接觀察函數(shù)圖象可得；（4）在平面直角坐標系中描點繪制函數(shù)圖象，觀察函數(shù)圖象可知有兩個交點，計算求出交點橫坐標，當時，圖象在圖象上方，得到x的取值范圍．【小問1詳解】動點P從點B出發(fā)，沿B→A→C運動，當點P在AB邊上時，如圖所示：作，垂足為點M，，，，，；當點P在AC邊上時，如圖所示：作，垂足為點N，，，，，,，，，，，，；綜上，，故答案是．【小問2詳解】由（1）得，，在平面直角坐標系中描出相應的點，畫出的函數(shù)圖象，故答案如圖所示：【小問3詳解】由圖可得，當時，隨的增大而增大；當時，隨的增大而減??；故答案是：當時，隨的增大而增大．【小問4詳解】在平面直角坐標系中描點畫出的函數(shù)圖象，如圖所示：當時，令，解得，當時，令，解得或（不符合題意舍），時，，故答案是．【點睛】本題考查了一次函數(shù)圖象、反比例函數(shù)圖象，數(shù)形結合思想是解題的關鍵．25.如圖，在平面直角坐標系中，拋物線與x軸交于A，B兩點（點A在點B的左側），與y軸交于點C．（1）求線段的長度；（2）點P為直線下方拋物線上的一動點，且點P在拋物線對稱軸左側，過點P作軸，交于點D，作軸，交拋物線于點E．求的最大值及此時點P的坐標；（3）在（2）中取得最大值的條件下，將該拋物線沿著射線方向平移個單位長度，得到一條新拋物線，M為射線上的動點，過點M作軸交新拋物線的對稱軸于點F，點N為直角坐標系內一點，請直接寫出所有使得以點P，F(xiàn)，M，N為頂點的四邊形是菱形的點N的坐標，并寫出求解點N的坐標的其中一種情況的過程．【答案】（1）（2）最大值6，P的坐標為（3）N的坐標為或或或【解析】【分析】（1）在中，得，即可得線段的長度為；（2）由，得拋物線的對稱軸是直線，設，可得，故，根據(jù)二次函數(shù)性質可得答案；（3）將拋物線沿著射線方向平移個單位長度相當于先向左平移3個單位，再向上平移2個單位，故新拋物線解析式為，新拋物線的對稱軸為直線；設，，分三種情況：①若為對角線，則的中點重合，且，②若為對角線，則的中點重合，且，③若為對角線，則的中點重合，且，分別列方程組即可解得答案．【小問1詳解】在中，令，得；∴；令得：，解得，或，∴，∴，∴線段的長度為；【小問2詳解】∵，∴拋物線的對稱軸是直線，設，設直線的解析式為，把代入，得：，解得，∴直線的解析式為，∵軸，∴，∴,∵關于直線對稱，∴,∴，∵，∴當時，取最大值6，此時P的坐標為；【小問3詳解】∵，∴將拋物線沿著射線方向平移個單位長度相當于先向左平移3個單位，再向上平移2個單位，∴新拋物線解析式為，∴新拋物線的對稱軸為直線；設，則，而，①若為對角線，則的中點重合，且，∴，解得：或（此時M不在射線上，舍去）；∴；②若為對角線，則的中點重合，且，∴，解得：（此時N，P重合，舍去）或，∴；③若為對角線，則的中點重合，且，∴，解得：或，∴或；綜上所述，N的坐標為或或或．【點睛】本題考查二次函數(shù)綜合應用，涉及二次函數(shù)圖象上點坐標的特征，菱形等知識，解題的關鍵是用含字母的式子表示相關點坐標和相關線段的長度．26.在△ABC中，90°＜∠BAC＜120°，將線段AB繞點A逆時針旋轉120°得到線段AD，連接CD．（1）如圖1，若AB＝8，∠ABC＝45°，BA⊥CD，延長BA，CD交于點K，求四邊形ABCD的面積；（2）如圖2，點E是CA延長線上一點，點G是AE的中點，連接BE，BG，點F在線段AC上，點H在線段BG上，連接HF，若BG＝GF，HF＝BE，GA＝GH，2∠ACB＝∠EBG+∠ABC，求證：BC+CD＝AC；（3）如圖3，在（1）的條件下，點P是線段BC上的一個動點，連接DP，將線段DP繞點D逆時針旋轉45°得到線段DP'，連接AP'，BP'，點M是△ABP'內任意一點，點P在運動過程中，AM+BM+P'M是否存在最小值；若存在，請直接寫出：AM+BM+P'M的最小值；若不存在，請說明理由．【答案】（1）S四邊形ABCD＝72﹣8（2）證明見解析（3）AM+BM+P'M的最小值為：8+6﹣2【解析】【分析】（1）解直角三角形ADK，求得AK和DK，進一步求得結果；（2）證明△BGE≌△FGH，從而得出GH⊥AE，進而得出AB＝BE，從而得出∠ABG＝∠EBG，進而得出∠ACB＝30°，將△ABC繞點A逆時針旋轉120°至△ADC′，連接CC′，作AN⊥