2023-2024（上）六校高二期初考試數(shù)學(xué)試卷考試時(shí)間：120分鐘，滿分：150分.一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.若，則A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)運(yùn)算法則求解即可.【詳解】．故選D．【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的商的運(yùn)算，滲透了數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)．采取運(yùn)算法則法，利用方程思想解題．2.已知向量與夾角為，且，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】在等式兩邊平方，利用平面向量數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)可得出關(guān)于的方程，即可解得的值.【詳解】在等式兩邊平方得，即，整理可得，解得.故選：C.3.（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)誘導(dǎo)公式以及兩角和與差的余弦公式即可求解.【詳解】；；原式.故選：C4.已知平面和直線滿足，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】【分析】根據(jù)充分必要條件的定義判斷．【詳解】，，，或或與相交，則充分性不成立；，，必要性成立．“”是“”的必要不充分條件，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查空間直線、平面之間的位置關(guān)系．掌握線面位置關(guān)系和線面垂直的性質(zhì)定理是解題關(guān)鍵．5.一半徑為的水輪如圖所示，水輪圓心距離水面，已知水輪每逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)一圈，如果當(dāng)水輪上點(diǎn)從水中浮現(xiàn)時(shí)（圖中點(diǎn)）開始計(jì)時(shí)，則（）A.點(diǎn)第一次到達(dá)最高點(diǎn)需要B.在水輪轉(zhuǎn)動(dòng)的一圈內(nèi)，點(diǎn)距離水面的高度不低于共有的時(shí)間C.點(diǎn)距離水面的距離（單位：）與時(shí)間（單位：）的函數(shù)解析式為D.當(dāng)水輪轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)在水面下方，距離水面【答案】D【解析】【分析】根據(jù)所給條件求出點(diǎn)距離水面的高度與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系式，再逐項(xiàng)進(jìn)行計(jì)算并判斷作答.【詳解】顯然點(diǎn)距離水面的高度(米)與(秒)的關(guān)系成周期性，符合正弦型函數(shù)關(guān)系，設(shè)其解析式為，依題意，，，由，解得，即，當(dāng)時(shí)，，得，，，于是得所求的函數(shù)關(guān)系式是，所以點(diǎn)距離水面的距離(單位：)與時(shí)間(單位：)的函數(shù)解析式為，C錯(cuò)誤；由得：，即，解得，點(diǎn)第一次到達(dá)最高點(diǎn)要時(shí)間，A錯(cuò)誤；由，即在水輪轉(zhuǎn)動(dòng)的一圈內(nèi)，有20秒的時(shí)間，點(diǎn)距離水面的高度不低于4.8米，B錯(cuò)誤；時(shí)，，D正確.故選：D6.如圖，在中，，，為上一點(diǎn)，且滿足，若，，則的值為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】建立平面直角坐標(biāo)系，因?yàn)辄c(diǎn)在上，則，又，利用平面向量的基本定理求出的值，然后利用平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算可求得的值.【詳解】建立如圖所示平面直角坐標(biāo)系．已知，，，得，，，，，，，，，因?yàn)辄c(diǎn)在上，則，又，且、不共線，可得，且，解得．，．故選：D．7.如圖，正三棱錐中，，側(cè)棱長(zhǎng)為，過(guò)點(diǎn)的平面與側(cè)棱相交于，則△的周長(zhǎng)的最小值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】將正三棱錐沿剪開，要使的周長(zhǎng)的最小則有，結(jié)合已知條件及正三棱錐的性質(zhì)知是等邊三角形，即可知周長(zhǎng)的最小值.【詳解】將正三棱錐沿剪開可得如下圖形，∵，即，又的周長(zhǎng)為,∴要使的周長(zhǎng)的最小，則共線，即，又正三棱錐側(cè)棱長(zhǎng)為，是等邊三角形，∴.故選：B8.一條河流從某城市中穿過(guò)，其中一河段的兩岸基本上是平行的，根據(jù)城建工程計(jì)劃，需要測(cè)量出該河段的寬度，現(xiàn)在一側(cè)岸邊選取兩點(diǎn)，，并測(cè)得，選取對(duì)岸一目標(biāo)點(diǎn)并測(cè)得，，，則該段河流的寬度為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】已知兩角一邊利用正弦定理求出的長(zhǎng)，過(guò)向做垂線，所做垂線即為河流寬度，利用正弦值求解即可.【詳解】在中，由正弦定理得，所以，如圖所示過(guò)點(diǎn)向做垂線交與：所以該段河流的寬度.故選：A.二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，計(jì)20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多個(gè)選項(xiàng)是符合題目要求的，全部選對(duì)得5分，有選錯(cuò)的得零分，部分選對(duì)得2分.9.若，，是任意的非零向量，則下列敘述正確的是（）A.若，則B.若，則C.若，，則D.若，則【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)平面向量的定義、數(shù)量積定義、共線向量定義進(jìn)行判斷．【詳解】對(duì)應(yīng)，若，則向量長(zhǎng)度相等，方向相同，故，故正確；對(duì)于，當(dāng)且時(shí)，，但，可以不相等，故錯(cuò)誤；對(duì)應(yīng)，若，，則方向相同或相反，方向相同或相反，故的方向相同或相反，故，故正確；對(duì)應(yīng)，若，則，，，故正確．故選：【點(diǎn)睛】本題考查平面向量的有關(guān)定義，性質(zhì)，數(shù)量積與向量間的關(guān)系，屬于中檔題．10.設(shè)復(fù)數(shù)z滿足（其中是虛數(shù)單位），則下列說(shuō)法正確的是（）A.的虛部為 B.在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第四象限C. D.若，則【答案】BC【解析】【分析】由復(fù)數(shù)除法求得，再根據(jù)復(fù)數(shù)的定義，共軛復(fù)數(shù)的定義，復(fù)數(shù)的幾何意義及復(fù)數(shù)的運(yùn)算判斷各選項(xiàng)．【詳解】由已有，∴的虛部是，A錯(cuò)誤；對(duì)應(yīng)點(diǎn)坐標(biāo)是，在第四象限，B正確；，C正確；，故對(duì)應(yīng)點(diǎn)在以為圓心，2為半徑的圓上（含內(nèi)部）又，所以的最大值是，D錯(cuò)．故選：BC．11.已知函數(shù)（，，）的部分圖象如圖所示，下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（）A.的圖象關(guān)于直線對(duì)稱B.的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱C.將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到函數(shù)的圖象D.若方程在上有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則的取值范圍是【答案】ABC【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)圖象求出函數(shù)解析式，再根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)一一判斷即可.【詳解】由題圖可得，，故，所以，又，即，所以，又，所以，所以．當(dāng)時(shí)，，故函數(shù)關(guān)于對(duì)稱，故A錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，，即函數(shù)關(guān)于對(duì)稱，故B錯(cuò)誤；將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到函數(shù)的圖象，故C錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，，則當(dāng)，即時(shí)，單調(diào)遞減，當(dāng)，即時(shí)，單調(diào)遞增，因?yàn)?，，，所以方程在上有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根時(shí)，的取值范圍是，故D正確.故選：ABC．12.如圖，在直三棱柱中，，，是等邊三角形，點(diǎn)O為該三棱柱外接球的球心，則下列命題正確的是（）A.平面 B.異面直線與所成角的大小是C.球O的表面積是 D.點(diǎn)O到平面的距離是【答案】AD【解析】【分析】利用線面平行的判定定理可判斷A；求出直線與所成角的正切值可判斷B；設(shè)球心O在底面的垂足為，利用求出球O的表面積可判斷C；設(shè)為的中心，可得平面，利用由余弦定理、正弦定理求出的外接圓的半徑，再由可判斷D.【詳解】對(duì)于A，因?yàn)?，平面，平面，所以平面，故A正確；對(duì)于B，因?yàn)橹本€，所以即為直線與所成角,因?yàn)樗倪呅螢檎叫?，且，，可得在，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，球心O在底面垂足為，連接、、，可得，，所以，所以球O的表面積是，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，設(shè)為的中心，連接、，因?yàn)樵谇蛏?，所以平面，，由余弦定理可得，，所以，所以的外接圓的半徑，所以，所以點(diǎn)O到平面的距離是，故D正確.故選：AD.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：在D選項(xiàng)中，關(guān)鍵點(diǎn)是找到到平面的垂線段，再利用勾股定理求解，本題考查了學(xué)生的空間想象能力.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，計(jì)20分.13.已知角α的終邊與單位圓的交點(diǎn)為P，則＝______．【答案】【解析】【分析】根據(jù)單位圓求出，然后由三角函數(shù)定義求得，再相乘可得．【詳解】由題意，，時(shí)，，，，時(shí)，，，，綜上，．故答案為：．14.已知圓錐的頂點(diǎn)為，母線，互相垂直，與圓錐底面所成角為，若的面積為，則該圓錐的體積為__________．【答案】8π【解析】【詳解】分析：作出示意圖，根據(jù)條件分別求出圓錐的母線，高，底面圓半徑的長(zhǎng)，代入公式計(jì)算即可.詳解：如下圖所示，又，解得，所以，所以該圓錐的體積為.點(diǎn)睛：此題為填空題的壓軸題，實(shí)際上并不難，關(guān)鍵在于根據(jù)題意作出相應(yīng)圖形，利用平面幾何知識(shí)求解相應(yīng)線段長(zhǎng)，代入圓錐體積公式即可.15.公元前6世紀(jì)，古希臘的畢達(dá)哥拉斯學(xué)派通過(guò)研究正五邊形和正十邊形的作圖，發(fā)現(xiàn)了黃金分割值約為0.618，這一數(shù)值也可以表示為.若，則______.【答案】【解析】【分析】根據(jù)，，求得，代入即可求解.【詳解】解：因?yàn)?，，所以，，所以，故答案為?16.已知菱形的邊長(zhǎng)為，，若沿對(duì)角線將△折起，所得的二面角的大小為，則四點(diǎn)所在球的表面積為____________．【答案】【解析】【分析】由條件確定球心的位置，再根據(jù)平面圖形，建立等量關(guān)系，求球的半徑，再由球的表面積公式求球的表面積.【詳解】如圖，設(shè)外接球的球心為O，∵四邊形為菱形，，∴三角形BCD為等邊三角形，設(shè)其中心為，取BD的中點(diǎn)F，連接AF，CF，，OB，，由AB=AD=BC=BD=DC，得AF⊥BD，CF⊥BD，所以BD⊥平面AFC，又AF=CF=3，AC=，∴∠AFC=120°.過(guò)點(diǎn)A作CF的垂線，交CF的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，由BD⊥平面AFC，平面AFC，∴BD⊥AE，AE⊥CF,∴AE⊥平面BCD，過(guò)點(diǎn)O作OG⊥AE于點(diǎn)G，則四邊形是矩形，∵，，，.，，設(shè)外接球的半徑為R，，∵，，.∴，，解得，，故其外接球的表面積.故答案為：.四、解答題：本題共6小題，計(jì)70分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.17.已知向量，.（1）若，求實(shí)數(shù)m的值；（2）若非零向量滿足，求與的夾角.【答案】（1）（2）或【解析】【分析】（1）根據(jù)向量垂直的坐標(biāo)表示即可求解；（2）由，得，又，得，設(shè)向量與的夾角為，，則，然后分和討論即可得答案.【小問(wèn)1詳解】解：∵，，∴，又，∴，即，∴；【小問(wèn)2詳解】解：，由，得，∵，∴，設(shè)向量與夾角為，，則，當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，，，∴與的夾角為或.18.如圖，在中，點(diǎn)在邊上，，，.（1）求證：；（2）若，求.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）由正弦定理得到，再由銳角三角函數(shù)得到，最后由誘導(dǎo)公式計(jì)算可得；（2）設(shè)，根據(jù)平面向量的線性運(yùn)算得到，再根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算律及定義得到方程求出，最后由面積公式計(jì)算可得.【小問(wèn)1詳解】在中，，由正弦定理可得，所以，在中，．則，由于，，所以，即．【小問(wèn)2詳解】在中，設(shè)則，∵，∴，所以，所以，解得或（舍去），∴.19.已知函數(shù)的部分圖像如圖所示.（1）求函數(shù)的解析式；（2）在中，角??的對(duì)邊分別為??，若，，求周長(zhǎng)的取值范圍.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根據(jù)題意得，進(jìn)而得，再根據(jù)圖像過(guò)點(diǎn)待定系數(shù)法得，最后根據(jù)點(diǎn)在函數(shù)圖像上得，即可得答案；（2）結(jié)合（1）得，進(jìn)而根據(jù)正弦定理得，，，再結(jié)合三角恒等變換得周長(zhǎng)，最后求函數(shù)值域即可得答案.【詳解】解：（1）由圖像可知，周期，∴.因?yàn)辄c(diǎn)在函數(shù)圖像上，所以，即.又∵，∴，從而，即.又點(diǎn)在函數(shù)圖像上，所以，.故函數(shù)的解析式為.（2）由，，.由正弦定理，同理，周長(zhǎng)，，所以【點(diǎn)睛】本題考查根據(jù)三角函數(shù)圖像求函數(shù)解析式，三角形的周長(zhǎng)最值問(wèn)題，考查運(yùn)算求解能力，化歸轉(zhuǎn)化思想，是中檔題.本題第二問(wèn)解題的關(guān)鍵在于利用正弦定理將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為三角恒等變換求函數(shù)值域問(wèn)題.20.已知四棱錐，底面為正方形，且底面，過(guò)的平面與側(cè)面的交線為，且滿足表示的面積）．（1）證明：平面；（2）當(dāng)時(shí)，求點(diǎn)到平面的距離．【答案】（1）證明見解析；（2）.【解析】【分析】（1）推導(dǎo)出，從而平面，進(jìn)而，由，得，連接交與，則為中點(diǎn)，從而，，平面，由此能證明平面．（2）推導(dǎo)出平面，，由，能求出點(diǎn)到平面的距離．【詳解】證明：（1）由題知四邊形為正方形，，又平面，平面平面又平面，平面平面，又，由，知、分別為、的中點(diǎn)，連接交與，則為中點(diǎn)，在中為中位線，，，平面，平面，平面．解：（2），，，，，，，平面，在中，，在中由余弦定理知，，，設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，則，由，，，得平面，且，為中點(diǎn)，到平面的距離為，又為中點(diǎn)，，由，解得，點(diǎn)到平面的距離為．21.已知函數(shù)，且滿足_______.（Ⅰ）求函數(shù)的解析式及最小正周期；（Ⅱ）若關(guān)于的方程在區(qū)間上有兩個(gè)不同解，求實(shí)數(shù)的取值范圍.從①的最大值為，②的圖象與直線的兩個(gè)相鄰交點(diǎn)的距離等于，③的圖象過(guò)點(diǎn).這三個(gè)條件中選擇一個(gè)，補(bǔ)充在上面問(wèn)題中并作答.【答案】滿足①或②或③；（Ⅰ），最小正周期為；（Ⅱ）；【解析】【分析】（Ⅰ）利用三角恒等變換思想化簡(jiǎn)函數(shù)的解析式，根據(jù)①或②或③中的條件求得，可得出，利用正弦型函數(shù)的周期公式可求得函數(shù)的最小正周期；（Ⅱ）令，得，解得，，可得出方程在區(qū)間上的實(shí)數(shù)根，進(jìn)而可得出實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】（Ⅰ）函數(shù)，若滿足①最大值為1，則，解得，所以，則函數(shù)的最小正周期為；（Ⅱ）令，得，解得，，即，；若關(guān)于的方程在區(qū)間上有兩個(gè)不同解，則或；所以實(shí)數(shù)m的取值范圍是.若滿足②，圖象與直線的兩個(gè)相鄰交點(diǎn)的距離等于，且的最小正周期為，所以，解得；以下解法均相同.若滿足③，的圖象過(guò)點(diǎn)，則，解得；以下解法均相同.【點(diǎn)睛】本題考查利用正弦型函數(shù)的基本性質(zhì)求函數(shù)解析式，同時(shí)也考查了利用正弦型函數(shù)方程的根的個(gè)數(shù)求參數(shù)，考查計(jì)算能力，屬于中等題.22.在四棱錐中，底面是邊長(zhǎng)為2的菱