第三節(jié)簡單的邏輯聯(lián)結(jié)詞、全稱量詞與存在量詞總綱目錄教材研讀1.簡單的邏輯聯(lián)結(jié)詞2.全稱量詞與存在量詞3.含有一個量詞的命題的否定考點突破考點二含有一個量詞的命題的否定考點一全稱命題與特稱命題的真假判斷考點三含邏輯聯(lián)結(jié)詞的命題的真假判斷4.常見的否定形式如下考點四利用復合命題的真假求參數(shù)范圍1.簡單的邏輯聯(lián)結(jié)詞(1)命題中的①

且

、②

或

、③

非

叫做邏輯聯(lián)結(jié)詞.(2)命題p∧q、p∨q、?p的真假判斷教材研讀2.全稱量詞與存在量詞(1)全稱量詞:短語“所有的”“任意一個”在邏輯中通常叫做全稱量

詞,用“⑨

?

”表示;含有全稱量詞的命題叫做全稱命題.(2)存在量詞:短語“存在一個”“至少有一個”在邏輯中通常叫做存

在量詞,用“⑩

?

”表示;含有存在量詞的命題叫做特稱命題.3.含有一個量詞的命題的否定4.常見的否定形式如下1.下列四個命題中的真命題為

()A.?x0∈Z,1<4x0<3

B.?x0∈Z,5x0+1=0C.?x∈R,x2-1=0

D.?x∈R,x2+x+2>0答案

D選項A中,

<x0<

,與x0∈Z矛盾;選項B中,x0=-

,與x0∈Z矛盾;選項C中,x=±1,與?x∈R矛盾;選項D中,由Δ=1-8=-7<0可知D正確.D2.(2016北京西城一模)設(shè)命題p:?x>0,sinx>2x-1,則?p為

()A.?x>0,sinx≤2x-1

B.?x>0,sinx<2x-1C.?x>0,sinx<2x-1

D.?x>0,sinx≤2x-1答案

A

A3.(2018北京海淀期中)命題“?x≥0,sinx≤1”的否定是

()A.?x<0,sinx>1

B.?x≥0,sinx>1C.?x<0,sinx>1

D.?x≥0,sinx>1答案

DD4.已知a>0且a≠1,命題“?x0>1,logax0>0”的否定是

()A.?x0≤1,logax0>0

B.?x0>1,logax0≤0C.?x≤1,logax>0

D.?x>1,logax≤0答案

D先把量詞“?”改為“?”,再否定結(jié)論.故選D.D5.(2016北京海淀二模)已知命題p和命題q,若p∧q為真命題,則下面結(jié)論

正確的是

()A.?p是真命題B.?q是真命題C.p∨q為真命題D.(?p)∨(?q)為真命題答案

C∵p∧q為真命題,∴p為真且q為真.∴?p和?q均為假命題,故A、B錯誤;p∨q為真命題,(?p)∨(?q)為假命題,故C正確,D錯誤.C6.(2017北京海淀期中)已知命題p:?x>0,x+

≥2;命題q:若a>b,則ac>bc.下列命題為真命題的是

()A.q

B.?pC.p∨q

D.p∧q答案

C∵x>0時,x+

≥2,當且僅當x=1時取“=”,∴命題p為真命題,則?p為假命題.若a>b>0,c<0,則ac<bc,∴命題q為假命題.∴p∨q為真命題,p∧q為假命題.故選C.C典例1(1)下列命題中的假命題是

()A.?x∈R,2x-1>0

B.?x∈N*,(x-1)2>0C.?x∈R,lgx<1

D.?x∈R,tanx=2(2)下列命題中,真命題是

()A.?x∈R,x2-x-1>0B.?α,β∈R,sin(α+β)<sinα+sinβC.?x∈R,x2-x+1=0D.?α,β∈R,sin(α+β)=cosα+cosβ考點一全稱命題與特稱命題的真假判斷考點突破答案

(1)B(2)D解析(1)易知A正確;對于B,當x=1時,(x-1)2=0,錯誤;對于C,當x∈(0,1)時,

lgx<0<1,正確;對于D,?x∈R,tanx=2,正確.(2)因為x2-x-1=

-

,所以A是假命題.當α=β=0時,有sin(α+β)=sinα+sinβ,所以B是假命題.x2-x+1=

+

≥

,所以C是假命題.當α=β=

時,有sin(α+β)=cosα+cosβ,所以D是真命題,故選D.方法技巧全稱命題、特稱命題的真假判斷方法(1)要判斷一個全稱命題是真命題,必須對限定集合M中的每個元素x驗

證p(x)成立;但要判斷全稱命題是假命題,只要能找出集合M中的一個x=

x0,使得p(x0)不成立即可(這就是通常所說的“舉出一個反例”).(2)要判斷一個特稱命題是真命題,只要在限定集合M中,找到一個x=x0,

使p(x0)成立即可;否則,這一特稱命題就是假命題.1-1下列命題:①?x∈R,x2+2>0;②?x∈N,x4≥1;③?x∈Z,x3<1;④?x∈Q,x2=3;⑤?x∈R,x2-3x+2=0;⑥?x∈R,x2+1=0.其中是真命題的序號為

.①③答案①③解析①由于?x∈R,都有x2≥0,因而有x2+2≥2,即x2+2>0,所以命題“?x∈R,x2+2>0”是真命題.②由于0∈N,當x=0時,x4≥1不成立,所以命題“?x∈N,x4≥1”是假命

題.③由于-1∈Z,當x=-1時,x3<1,所以命題“?x∈Z,x3<1”是真命題.④由于使x2=3成立的數(shù)只有±

,而它們都不是有理數(shù),因此,沒有任何一個有理數(shù)的平方能等于3,所以命題“?x∈Q,x2=3”是假命題.⑤由于只有當x=2或x=1時,滿足x2-3x+2=0,所以命題“?x∈R,x2-3x+2=

0”是假命題.⑥由于不存在一個實數(shù)x使x2+1=0成立,所以命題“?x∈R,x2+1=0”是

假命題.考點二含有一個量詞的命題的否定典例2(1)已知命題p:?x>0,x+

≥2,則?p為

()A.?x>0,x+

<2

B.?x≤0,x+

<2C.?x≤0,x+

<2

D.?x>0,x+

<2(2)(2016北京一〇一中學統(tǒng)考(三))已知f(x)=x-sinx,命題p:?x∈

,f(x)<0,則

()A.p是假命題,?p:?x∈

,f(x)≥0B.p是假命題,?p:?x∈

,f(x)≥0C.p是真命題,?p:?x∈

,f(x)≥0D.p是真命題,?p:?x∈

,f(x)≥0答案(1)D(2)A解析(1)先把量詞“?”改為“?”,再否定結(jié)論.故選D.(2)因為f'(x)=1-cosx>0,x∈

,所以函數(shù)f(x)=x-sinx在

上單調(diào)遞增,則0=f(0)<f(x)<f

=

-1,所以命題p是假命題,其否定為?p:?x∈

,f(x)≥0,故選A.易錯警示全稱命題與特稱命題的否定與非全稱、非特稱命題的否定有一定的區(qū)

別,否定全稱命題和特稱命題時,一是要改寫量詞,全稱量詞改寫為存在

量詞,存在量詞改寫為全稱量詞;二是要否定結(jié)論,而非全稱、非特稱命

題的否定只需直接否定結(jié)論即可.另外,對于省略量詞的命題,應先挖掘

命題中隱含的量詞,改寫成含量詞的完整形式,再寫出命題的否定.2-1

(2016北京東城期中)命題“?x∈R,

>0”的否定是

()A.?x∈R,

<0

B.?x∈R,

≤0C.?x∈R,

<0

D.?x∈R,

≤0答案

D先改變量詞,再否定結(jié)論,故選D.D2-2命題“對任意x∈R,都有x2≥0”的否定為

()A.對任意x∈R,都有x2<0

B.不存在x∈R,使得x2<0C.存在x0∈R,使得

≥0

D.存在x0∈R,使得

<0答案

D原命題的否定為存在x0∈R,使得

<0.D考點三含邏輯聯(lián)結(jié)詞的命題的真假判斷典例3(1)若命題p:函數(shù)y=x2-2x的單調(diào)遞增區(qū)間是[1,+∞),命題q:函數(shù)y

=x-

的單調(diào)遞增區(qū)間是[1,+∞),則

()A.p∧q是真命題

B.p∨q是假命題C.?p是真命題

D.?q是真命題(2)(2016北京西城期末)設(shè)命題p:“若ex>1,則x>0”,命題q:“若a>b,則

<

”,則

()A.“p∧q”為真命題

B.“p∨q”為真命題C.“?p”為真命題

D.以上都不對解析(1)易知p是真命題;因為函數(shù)y=x-

的單調(diào)遞增區(qū)間是(-∞,0)和(0,+∞),所以q是假命題,所以p∧q為假命題,p∨q為真命題,?p為假命題,

?q為真命題.(2)由ex>1得x>0,所以p為真命題.當a>0>b時,

>0>

,所以q為假命題,所以“p∨q”為真命題,故選B.答案(1)D(2)B方法技巧(1)含邏輯聯(lián)結(jié)詞的命題真假判斷的步驟:①確定復合命題的結(jié)構(gòu)形式;②判斷其中簡單命題的真假;③根據(jù)真值表判斷復合命題的真假.(2)含邏輯聯(lián)結(jié)詞的命題真假判斷以真值表為標準.可簡記為p∧q,同真

則為真,其余為假;p∨q,有真則為真,其余為假;?p與p的真假相反.3-1設(shè)a,b,c是非零向量.已知命題p:若a·b=0,b·c=0,則a·c=0;命題q:若a∥

b,b∥c,a∥c.則下列命題中是真命題的是

()A.p∨q

B.p∧qC.(?p)∧(?q)

D.p∨(?q)答案

A由題意知命題p為假命題,命題q為真命題,所以p∨q為真命

題.故選A.A典例4(1)已知命題p:m∈R,且m+1≤0,命題q:?x∈R,x2+mx+1>0恒成

立,若p∧q為假命題,則m的取值范圍是

.(2)已知命題p:關(guān)于x的不等式ax>1(a>0,且a≠1)的解集是{x|x<0},命題q:

函數(shù)y=lg(ax2-x+a)的定義域為R,如果p∨q為真命題,p∧q為假命題,則實

數(shù)a的取值范圍為

.考點四利用復合命題的真假求參數(shù)范圍答案(1)m≤-2或m>-1(2)

∪[1,+∞)解析(1)若命題p是真命題,則m≤-1;若命題q是真命題,則m2-4<0,解得-

2<m<2,所以p∧q是真命題時,需滿足

即-2<m≤-1,∴p∧q為假命題時,m的取值范圍是m≤-2或m>-1.(2)由關(guān)于x的不等式ax>1(a>0,且