§4.2三角函數(shù)的圖象及性質(zhì)

考綱解讀

考點(diǎn)內(nèi)容解讀要求高考示例?？碱}型預(yù)測(cè)熱度

1.能畫(huà)出y=sinx,y=cosx,y=tanx2016課標(biāo)全國(guó)1,6:

的圖象

2016課標(biāo)全國(guó)山，14;選擇題、

1.三角函數(shù)的圖象及其

2.了解函數(shù)y二Asin（3x+6）的物理ni★★★

變換

意義;能畫(huà)出函數(shù)y=Asin（sx+6）的2016四川，4;填空題

圖象，了解參數(shù)A,3,6對(duì)函數(shù)圖象

變化的影響2015山東,4

2017課標(biāo)全國(guó)H,3;

1.了解三角函數(shù)的周期性2017課標(biāo)全國(guó)H,13;選擇題、

2.三角函數(shù)的性質(zhì)及其

2.理解正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的性質(zhì)in2017天津，7;填空題、★★★

應(yīng)用

（如單調(diào)性、對(duì)稱(chēng)性、奇偶性以及最

值問(wèn)題等）.理解正切函數(shù)的單調(diào)性2017北京,16;解答題

2016課標(biāo)全國(guó)II,3

分析解讀

通過(guò)分析近幾年的高考試題可以看出，對(duì)三角函數(shù)圖象和性質(zhì)的考查一般以基礎(chǔ)題為主,難度不大，命題呈現(xiàn)出如下幾點(diǎn)：1.研

究三角函數(shù)必須在定義域內(nèi)進(jìn)行,要特別關(guān)注三角函數(shù)的定義域;2.求三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，要利用公式將三角函數(shù)式化為一個(gè)角

的一種函數(shù)的形式，再利用整體換元的思想，通過(guò)解不等式組得出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；3.三角函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、周期性及最值

是主要考點(diǎn),重點(diǎn)考查恒等變換及數(shù)形結(jié)合能力.一般分值為5分或12分.

工命題探究】

臬:翔廣核心考點(diǎn)）------

[7?5甯三扁曲數(shù)名棟是正局求解姓弟姓；

.了解函數(shù)產(chǎn)（）的物理意

14sincux+91.三角函數(shù)的圖象.正端理解3書(shū)少的令義：3與周期《關(guān)，

義，以及參數(shù)4,3.9對(duì)圖象變化的

影響.2.由圖象確定解析式.少葉如摑，3*9*1/夜，手卷?生代業(yè).

2.能根據(jù):角函數(shù)圖象求得函數(shù)解析3三.角函數(shù)的性質(zhì).

式.并會(huì)求單淵區(qū)間及對(duì)稱(chēng)中心、對(duì)

稱(chēng)軸.即出卷皆居超址行卓解,注善區(qū)號(hào)豐

3.行讀圖、諷圖的能力.「加通或區(qū)間的W止住莖

的篆田孝南縣：

儂15季修I.8,汾）「7.可犯小到:％大八從而求冉3,

雨數(shù)修）=CO?（』AM2/（?0.直公發(fā)的明M的第一等點(diǎn).

三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間：/㈤的單調(diào)遂空區(qū)財(cái)

從而耳上＜p妗值.

1.尸sinx的單淵增區(qū)間為慳”-子.A.（A:ir-；/ir+

獨(dú)口+用（AEZ）中調(diào)減區(qū)間為性”+

B.（2*ir--l-.2*7r+y）^Z【2萬(wàn)儲(chǔ)涔先闌

予24F+/*A￡Z）；

C.3+利用相鄰零點(diǎn)間的距離確定，從而得

2尸.cos%的單調(diào)增區(qū)間為|24ir-Tr,2AidM利用/田=。求得他從而很徇的解

D.%+，如即/

信EZ）,單調(diào)減區(qū)間為3%”宣+□]析式，令3X+眸（247T,2Air+ir）,AEZ,

在浜空堂氏肝麻

（*ez）.求出x的區(qū)間，即為所求的單調(diào)減區(qū)間.

4fcf-kGZ-

3.y=tanx的單調(diào)增區(qū)間為（*TT-千入u+

f）（*ez）.

答案：D

在解答三角函數(shù)有關(guān)問(wèn)題時(shí).應(yīng)注意:

解析：由題圖可知Fg-十=1,所以7=2,3=”,又由

【5，d/一同

題圖蝴9=0,即尹9=^Ik-ajteL.得@=q+XIT,1.不要漏掉M*ez-；

1.在利用零點(diǎn)求解6H,一定要分清代

kWZ，此H,t/(x)=co?(7TX+手+2A:ir)=cos(irx+附2.當(dāng)所求三角函數(shù)存在多個(gè)旅網(wǎng)區(qū)間時(shí).

人的是第幾個(gè)零點(diǎn)，否則會(huì)容易出箱.

由2A:f<ITx+^-<2iTT+ITZ.得2A：-■^-<x<24多個(gè)單調(diào)區(qū)間用“?”連接，而不能用

2.在求解單調(diào)區(qū)間時(shí)，一定要弄清區(qū)上wz,所以/㈤的玳陶遞減區(qū)間為獨(dú)土,如等)從乙

“U”連接.

間的起止位SL故選D.

五年高考

考點(diǎn)一三角函數(shù)的圖象及其變換

1.（2016課標(biāo)全國(guó)I,6,5分）將函數(shù)丫=255作+9的圖象向右平移；個(gè)周期后,所得圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)為（）

A.y=2sin（2x+3）B.y=2sin（2x+§

C.y=2sin（2x-g）0.y=2sin（2x4）

答案D

2.（2016四川，4,5分）為了得到函數(shù)丫=5法卜+鄉(xiāng)的圖象，只需把函數(shù)丫=55x的圖象上所有的點(diǎn)（）

A.向左平行移動(dòng)三個(gè)單位長(zhǎng)度

B.向右平行移動(dòng)3個(gè)單位長(zhǎng)度

C.向上平行移動(dòng)三個(gè)單位長(zhǎng)度

D.向下平行移動(dòng)三個(gè)單位長(zhǎng)度

答案A

3.(2015山東,4,5分)要得到函數(shù)y=sin(4x4)的圖象，只需將函數(shù)y=sin4x的圖象()

A.向左平移三個(gè)單位B.向右平移行個(gè)單位

C.向左平移卷個(gè)單位0.向右平移三個(gè)單位

答案B

4.(2014安徽,7,5分)若將函數(shù)￡6)=$訪2x+cos2x的圖象向右平移<)>個(gè)單位，所得圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，則4)的最小正值是

()

A-r—D—

氏86B-4J8U,4

答案C

5.(2014福建,7,5分)將函數(shù)y=sinx的圖象向左平移］個(gè)單位,得到函數(shù)尸f(x)的圖象,則下列說(shuō)法正確的是()

A.y=f(x)是奇函數(shù)

B.y=f(x)的周期為n

C.y=f(x)的圖象關(guān)于直線xg對(duì)稱(chēng)

D.y=f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(-〈0)對(duì)稱(chēng)

答案I)

6.(2013福建,9,5分)將函數(shù)f(x)=sin(2x+0)(-=<9<當(dāng)?shù)膱D象向右平移*(4>>0)個(gè)單位長(zhǎng)度后得到函數(shù)g(x)的圖象,若

f(x),g(x)的圖象都經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(0,苧)，則由的值可以是()

\-B—r-D-

八.3仄6U296

答案B

7.(2016課標(biāo)全國(guó)HI,14,5分)函數(shù)y=sinx-V3cosx的圖象可由函數(shù)y=2sinx的圖象至少向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度得

到.

答案I

8.(2015湖北，18,12分)某同學(xué)用“五點(diǎn)法”畫(huà)函數(shù)f(x)=Asin(3x+g(?>0,3<習(xí)在某一個(gè)周期內(nèi)的圖象時(shí),列表并填入了

部分?jǐn)?shù)據(jù)，如下表:

n37r

wx+<l>02n

2T

It57r

X

3T

Asin(<ox+<t>)05~50

(1)請(qǐng)將上表數(shù)據(jù)補(bǔ)充完整，并直接寫(xiě)出函數(shù)f(x)的解析式；

(2)將y=f(x)圖象上所有點(diǎn)向左平行移動(dòng)?個(gè)單位長(zhǎng)度，得到y(tǒng)=g(x)圖象，求y=g(x)的圖象離原點(diǎn)0最近的對(duì)稱(chēng)中心.

解析(1)根據(jù)表中已知數(shù)據(jù)，解得"5,3=2,6數(shù)據(jù)補(bǔ)全如下表：

6

n37r

3X+巾0n2Ji

2T

nn77r57r13

X-Ji

12312~612

Asin(3x+巾)°退0-50

且函數(shù)表達(dá)式為f(x)=5sin(2x-^).

(2)由(1)知「(x)=5sin(2xq),

因此，g(x)=5sin[2(x+§1卜sir(2x+勻.

令2xekn,k￡Z,解得x=y-^,kEZ.

即y=g(x)圖象的對(duì)稱(chēng)中心為得哈,0),k￡Z,其中離原點(diǎn)0最近的對(duì)稱(chēng)中心為(*,0).

教師用書(shū)專(zhuān)用（9一13）

9.（2014浙江,4,5分）為了得到函數(shù)y=sin3x+cos3x的圖象，可以將函數(shù)yW7cos3x的圖象（）

A.向右平移S個(gè)單位B.向右平移;個(gè)單位C.向左平移弓個(gè)單位D.向左平移;個(gè)單位

答案A

10.（2014四川，3,5分）為了得到函數(shù)y=sin（x+I）的圖象,只需把函數(shù)y=sinx的圖象上所有的點(diǎn)（）

A.向左平行移動(dòng)1個(gè)單位長(zhǎng)度

B.向右平行移動(dòng)1個(gè)單位長(zhǎng)度

C.向左平行移動(dòng)n個(gè)單位長(zhǎng)度

D.向右平行移動(dòng)n個(gè)單位長(zhǎng)度

答案A

11.（2014重慶，13,5分）將函數(shù)f（x）=sin（3x+g（3>0,弓<<p<圖象上每一點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來(lái)的一半，縱坐標(biāo)不變,再

向右平移方個(gè)單位長(zhǎng)度得到y(tǒng)=sinx的圖象,則f管卜.

答案y

12.（2014北京，16,13分）函數(shù)f（x）=3sinb%+1的部分圖象如圖所示.

⑴寫(xiě)出f（x）的最小正周期及圖中X。,y。的值;

⑵求Nx）在區(qū)間樣，吟］上的最大值和最小值.

解析（Df（x）的最小正周期為n,x?=^,yo=3.

o

⑵因?yàn)楣?所以2x去隆,0］.

于是，當(dāng)2x皆0,即x=啥時(shí)，f（x）取得最大值0;

當(dāng)2x￡-3即x=q時(shí)，f(X)取得最小值3.

13.(2013安徽，16,12分)設(shè)函數(shù)f(x)=sinx+sin(%+§.

(1)求f(x)的最小值,并求使f(x)取得最小值的x的集合；

(2)不畫(huà)圖，說(shuō)明函數(shù)產(chǎn)f(x)的圖象可由ksinx的圖象經(jīng)過(guò)怎樣的變換得到.

解析⑴因?yàn)閒(x)=sinx+|sinx+^cosx=|sinx+^cosx=V5sin(%+,),

所以當(dāng)x+*knT，即x=2k丸g(kWZ)時(shí)，f(x)取最小值\[3.

此時(shí)x的取值集合為｛x|x=2kn-y,k￡Z).

(2)先將尸sinx的圖象上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的百倍(橫坐標(biāo)不變)，得y-V5sinx的圖象：再將y二冉sinx的圖象上所

有的點(diǎn)向左平移!個(gè)單位,得y=f(x)的圖象.

O

考點(diǎn)二三角函數(shù)的性質(zhì)及其應(yīng)用

1.(2017課標(biāo)全國(guó)[[,3,5分)函數(shù)f(x)=sin(2x+g的最小正周期為()

時(shí)

答案C

2.(2017天津,7,5分)設(shè)函數(shù)f(x)=2sin(ax+。)，x￡R,其中3〉0,|。|<”.若f(1)=2,f(^)=0,且f(x)的最小正周期大于2元，

則()

A.哈,小*B,w=1,6=-^

c1Llln八1卜7n

C.<1>=--83=§,巾三

答案A

3.(2016天津,8,5分)已知函數(shù)f(x)=sin2y+|sin3x33>0),xWR.若f(x)在區(qū)間(n,2吟內(nèi)沒(méi)有零點(diǎn),則的取值范圍是

)

A.(叫BC，I)C.(o,1]D.(0,1]U[1,5]

答案D

4.(2017課標(biāo)全國(guó)II,13,5分)函數(shù)l'(x)=2cosx+sinx的最大值為.

答案V5

5.(2015浙江，11,6分)函數(shù)l'(x)=sin2x+sinxcosx+1的最小正周期是,最小值是.

答案允；殍

6.(2015天津,14,5分)已知函數(shù)f(x)=sinwx+coswx(w>0),x￡R.若函數(shù)f(x)在區(qū)間津3,3)內(nèi)單調(diào)遞增,且函數(shù)y=f(x)的

圖象關(guān)于直線x=3對(duì)稱(chēng)，則3的值為.

答案f

7.(2017北京，16,13分)已知函數(shù)f(x)-V3cos(2x-^)-2sinxcosx.

(1)求f(x)的最小正周期；

⑵求證:當(dāng)xw[-儲(chǔ)]時(shí)，f(x)^4-

解析(Df(x)號(hào)cos2x+|sin2x-sin2x

=^sin2x哼cos2x

=sin(2z+=).

所以r(x)的最小正周期丁號(hào)=”.

⑵證明：因?yàn)門(mén)-w，

所以-衿2x+^W”.

o5o

所以sin(2x+

所以當(dāng)用時(shí)，f(x)2f.

8.(2017浙江，18,14分)已知函數(shù)f(x):sin'x-cos"2VJsinxcosx(x￡R).

⑴求f卷)的值；

(2)求f(x)的最小正周期及單調(diào)遞增區(qū)間.

解析⑴由Siny=y,COSy=-1,

唁H竽⑷"x殳c),

得f(加

(2)由cos2x=coszx-sin2x與sin2x=2sinxcosx得

f(x)=-cos2x-V3sin2x=-2sin(2x+J.

所以f(x)的最小正周期是n.

由正弦函數(shù)的性質(zhì)得92k欠W2x+欠%2kn,kCZ,

i6i

解得WxW=+kn，k￡Z.

63

所以，f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是片+kn,與+kTr］（keZ）.

9.（2016北京，16,13分）已知函數(shù)f（x）=2sin<*>xcos3x+cos23x（3〉0）的最小正周期為JT.

⑴求3的值；

⑵求f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間.

解析（1）因?yàn)閒（x）=2sinsxcoswx+cos24ox

=sin2wx+cos2wx

-V2sin（2cox+；），（3分）

所以f（x）的最小正周期T=#上.（4分）

2a）（i）

依題意，三5,解得3=1.（6分）

U）

(2)由(1)知f(x)=V2sin(2x+胃

函數(shù)尸sinx的單調(diào)遞增區(qū)間為［2km，2kn+W（k￡Z）.（8分）

由2kn2x+?C2kn+H(keZ),

242

得k兀卷WxWk嗯(k￡Z).(12分)

所以f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為忖號(hào),kn+1］(k￡Z).(13分)

教師用書(shū)專(zhuān)用（10—26）

10.（2015四川，5,5分）下列函數(shù)中，最小正周期為Ji的奇函數(shù)是（）

A.y=sin(2x4-B.y=cos(2x+^)C.y=sin2x+cos2xD.y=sinx+cosx

答案B

11.（2014天津,8,5分）已知函數(shù)f（x）=V3sin<*>x+coswx（G>>0）,x￡R.在曲線y=f（x）與直線y=l的交點(diǎn)中,若相鄰交點(diǎn)距宙的

最小值為］則f（x）的最小正周期為（）

A工B—

山2及3

答案C

12.（2013天津,6,5分）函數(shù)r（x）=sin（2x-》在區(qū)間隔］上的最小值為（）

T

答案B

13.（2013四川,6,5分）函數(shù)1?）=25汨（3*+40（3>04<中0的部分圖象如圖所示，則w'*的值分別是（）

A.2,-2B.2,TC.4,WD.嵋

366

答案A

14.（2015湖南，15,5分）已知3>0,在函數(shù)y=2sin3x與y=2cos3x的圖象的交點(diǎn)中，距離最短的兩個(gè)交點(diǎn)的距離為275,則

<->-

答案I

15.（2015陜西，14,5分）如圖，某港口一天6時(shí)到18時(shí)的水深變化曲線近似滿足函數(shù)y=3sinQx+（p）+k.據(jù)此函數(shù)可知,這段時(shí)間

水深（單位:m）的最大值為.

答案8

16.（2014大綱全國(guó)，14,5分）函數(shù)y二cos2x+2sinx的最大值為.

答案|

17.（2014山東，12,5分）函數(shù)y岑sin2x+cos2x的最小正周期為.

答案

18.（2013江西，13,5分）設(shè)f（x）=VJsin3x+cos3x,若對(duì)任意實(shí)數(shù)x都有f（x）IWa,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是.

答案［2,+8）

19.(2017江蘇，16,14分)已知向量a=(cosx,sinx),b=(3,-V3),xG[0,n].

(1)若a〃b,求x的值：

(2)記f(x);a-b,求f(x)的最大值和最小值以及對(duì)應(yīng)的x的值.

解析(1)因?yàn)閍二因osx,sinx),b=(3,-V5),a〃b,

所以Vicosx=3sinx.

若cosx=0,貝ljsinx=0,與sin2x+cos2x=l矛盾，故cosxWO.

-T-日V3

于是tanx=-y.

又x￡[0,n],所以x丹.

o

(2)f(x)=a?b=(cosx,sinx),(3,—>/3)=3cosx—\/3sinx=26cos(x+*

因?yàn)閤￡[0,n],所以x貨嗤用,

從而TWcos(x+〈日.

于是，當(dāng)x曰，即x=0時(shí),f(x)取到最大值3;

OO

當(dāng)x+3n,即X片時(shí)，f(x)取到最小值-2遮.

20.(2015安徽，16,12分)已知函數(shù)f(x)=(sinx+cosx)2+cos2x.

(1)求f(x)的最小正周期；

(2)求Nx)在區(qū)間[。弓]上的最大值和最小值.

解析⑴因?yàn)閒(x)=sin2x+cos2x+2sinxcosx+cos2x=l+sin2x+cos2x=&sin(2x+；)+l,

所以函數(shù)f(x)的最小正周期T爭(zhēng)n.

(2)由(1)知,f(x)-V2sin(2x+21.

當(dāng)xw[o,3時(shí),2x+|e4用

由正弦函數(shù)y=sinx在曲用上的圖象知，

當(dāng)2x+；1,即x或時(shí)，f(x)取得最大值.最大值為夜+1;

當(dāng)2x牛季即xg時(shí)，f(x)取得最小值,最小值為0.

綜上,f(x)在[。,胃上的最大值為我+1.最小值為0.

21.(2015北京，15,13分)已知函數(shù)f(x)=sinx-28si嗎

(1)求f(x)的最小正周期：

⑵求f(x)在區(qū)間［0,同上的最小值.

解析(1)因?yàn)閒(x)=sinx+V3cosx-V3

=2sin(x+^)-V3,

所以f(x)的最小正周期為2九

(2)因?yàn)镺WxW專(zhuān),所以衿x+/n.

當(dāng)x皆”，即x號(hào)時(shí)，f(x)取得最小值.

所以f(x)在區(qū)間|。留上的最小值為f(y)=-V3.

22.(2014四川，17,12分)已知函數(shù)r(x)=sin(3x+^).

(1)求f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間；

(2)若a是第二象限角，f管)Wcos(a+§cos2a,求cosa-sina的值.

解析(1)因?yàn)楹瘮?shù)y=sinx的單調(diào)遞增區(qū)間為Q+2kJi,］+2kn1kGZ,

由一92kn92kn.keZ,

242

得亨等WxWm等,kdZ.

43123

所以函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為［-卜等,等Ikez.

43123

(2)由已知,有sin(a+^~^cos(a+(cos2a-sin2a),

所以sinacos?+cosasin?

44

W'cosacos:sinasiny(cosZ-sin、)，

即sina+cosa=^(cosa-sina)2(sina+cosa).

當(dāng)sina+cosa=0時(shí)，由a是第二象限角，

知a丹卜2k丸，kWZ.此時(shí)cosa-sina=-V2.

4

當(dāng)sina+cosa#0時(shí)，有(cosa-sina)2=^.

由a是第二象限角，知cosa-sina<0,

此時(shí)cosa-sina=~.

綜上所述,cosa-sina=-\泛或-孚

23.(2014福建，18,12分)已知函數(shù)f(x)=2cosx(sinx+cosx).

⑴求f(G)的值;

(2)求函數(shù)f(x)的最小正周期及單調(diào)遞增區(qū)間.

解析解法一:⑴f得)=2cos式sin苧+cos第

=-2cos^(-sin-cos：)=2.

(2)因?yàn)閒(x)=2sinxcosx+2cos2x=sin2x+cos2x+l

=V2sin(2x+§+l,所以T=y=n.

由2k號(hào)W2k。吟,kwZ,

JT*22X42

得k兀卷WxWk冗吟,k￡Z.

所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為MT，kn+[,kWZ.

解法二：f(x)=2sinxcosx+2cos2x=sin2x+cos2x+l

=V5sin(2%+t)+L

⑴f(沙岳in譽(yù)+1=V5si《+1=2.

(2)T=y=n.

由2k?！?W2x+；W2k無(wú)欄,k￡Z,

242

得k/卷Wx<kJiq,k￡Z.

所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為pm號(hào),kn+[,k￡Z.

24.(2013湖南，16,12分)已知函數(shù)f(x)=cosx-cos(x-^).

⑴求喂9的值；

(2)求使f(x)4成立的x的取值集合.

解析(1)f(g卜c°sg-COS^

ITTT小2i

=-cos-?cos-=-(-J

33\2J4

(2)f(x)=cosx?cos(%q)

V3.\

=cosx,(-cosx+ysinxj

=^(l+cos2x)+^sin2x

4COS(2X-=)4

f（X）G等價(jià)于樂(lè)osQwRG，

即cos(2x-^<0.

于是2kn+^<2x-^<2k丸+y,kez.

解得ku唔<x<kn喈，kWZ.

故使「(x)《成立的x的取值集合為｛xIkJT+-<x<kn唱,kezL

25.(2013遼寧，17,12分)設(shè)向量a=(gsinx,sinx),b=(cosx,sinx),xG

(1)若|a|=|b,求x的值；

⑵設(shè)函數(shù)f(x)=a?b,求f(x)的最大值.

解析⑴由|a「=(V5sinx)2+(sinx)2=4sin?x,

|b|2=(cosx)2+(sinxT=l,及|a|=b|,4sin2x=l.

又從而sinx=1,所以x=^.(6分)

(2)f(x)=a?b=x^3sinx?cosx+sin2x

岑sin2x-^cos2x+|=sin(2x-^)+^

當(dāng)x?￡[0,3時(shí)，sin(2*q)取最大值1.

所以f(x)的最大值為(12分)

26.(2013陜西，16,12分)已知向量a-(cosx,-^).b=(V3sinx,cos2x),x￡R,設(shè)函數(shù)f(x)=a?b.

(1)求f(x)的最小正周期;

⑵求f(x)在[0,3上的最大值和最小值.

解析f(x)《cos%,-g)?(V3sinx,cos2x)

=bcosxsinx-|cos2x=^ysin2xfcos2x

=cos7sin2x-sin^cos2x=sin(2x-7).

66\6/

(l)f(x)的最小正周期T喑=與n，

IM2

即函數(shù)1(x)的最小正周期為

(2),?,OWxW］.?.qV2xqw1.由正弦函數(shù)的性質(zhì)，

當(dāng)2xq=］即時(shí)，f(x)取得最大值1.

當(dāng)2x-^磊即x=0時(shí)，f(O)=T，

當(dāng)2乂-我"，即號(hào)時(shí)，唱片，

；.f(x)的最小值為

因此，f(x)在［。4］上的最大值是1,最小值是另

三年模擬

A組2016-2018年模擬?基礎(chǔ)題組

考點(diǎn)一三角函數(shù)的圖象及其變換

1.(2018山東日照校級(jí)聯(lián)考,8)己知曲線C,:y=sinx,Q:尸—(如衿則下列說(shuō)法正確的是()

A.把C,上各點(diǎn)橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍,縱坐標(biāo)不變,再把得到的曲線向右平移々個(gè)單位長(zhǎng)度，得到曲線C,

B.把C,上各點(diǎn)橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍,縱坐標(biāo)不變，再把得到的曲線向右平移與個(gè)單位長(zhǎng)度,得到曲線&

C.把曲線C向右平移g個(gè)單位長(zhǎng)度，再把得到的曲線上各點(diǎn)橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的最縱坐標(biāo)不變，得到曲線C：

I).把曲線C向右平移］個(gè)單位長(zhǎng)度，再把得到的曲線上各點(diǎn)橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的;,縱坐標(biāo)不變，得到曲線C..

62

答案B

2.(2018河南許昌平頂山聯(lián)考,4)函數(shù)f(x)=Asin(3x+4?)(A>0,>0)的部分圖象如圖所示，則f⑴+f⑵+…+f(2017)+f(2018)

的值為()

A.2+V2B.V2c.2+2V2

答案A

3.（2018北京海淀期中，7）已知函數(shù)'（3>0,即I的部分圖象如圖所示，則3、。的值分別為（）

sin（3x+>）

A.2』B.2，JC.l2D.1,

bo

答案B

4.（2017寧夏銀川一中11月模擬,4）函數(shù)產(chǎn)sin（2x4）在區(qū)間［沙］上的簡(jiǎn)圖是（）

答案A

5.（2017四川成都五校聯(lián)考,8）已知f（x）=Asin（o）x+4>）（4>0⑷>0f\（p\<^x￡R）在一個(gè)周期內(nèi)的圖象如圖所示，則y=f（x）的圖

象可由函數(shù)y=cosx的圖象（縱坐標(biāo)不變）如何變換得到（）

A.先把各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的;,再向左平移;個(gè)單位

B.先把各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的g,再向右平移工個(gè)單位

C.先把各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍,再向左平移1個(gè)單位

D.先把各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍,再向左平移行個(gè)單位

答案B

6.(2018江西師大附中10月模擬，17)已知函數(shù)f(x)=V5sinx,cosx-cos'x-^.

(1)求函數(shù)f(x)的圖象的對(duì)稱(chēng)軸方程；

⑵將函數(shù)f(x)的圖象上各點(diǎn)的縱坐標(biāo)保持不變,橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來(lái)的2倍.然后再向左平移g個(gè)單位,得到函數(shù)g(x)的圖象,若

a,b,c分別是4ABC三個(gè)內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊,a=2,c=4,且g(B)=0,求b的值.

解析(1)f(x)-V3sinxcosx-cos2x-^=ysin2x-^(l+cos2x)十sin(2》｛)T,令2x［=kngk￡Z,解得產(chǎn)容三,k￡Z,

所以函數(shù)f(x)的圖象的對(duì)稱(chēng)軸方程為x號(hào)+小k￡Z.

(2)函數(shù)f(x)的圖象上各點(diǎn)的縱坐標(biāo)不變,橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來(lái)的2倍,得到函數(shù)y=sin(x-H)-l的圖象，再向左平移g個(gè)單位，得到函

數(shù)y=sin(x4-^^)-l的圖象，所以函數(shù)g(x)=sin(x+^)-1.又AABC中,g(B)=0,所以sin(F+^)-1=0,因?yàn)?<B<無(wú)，所以并+段序

所以B吟與，則由余弦定理可知,b-=a2+c2-2accosB=22+42-2X2X4cos三=12,所以b=2V3.

7.(2016湖南郴州4月模擬，17)已知函數(shù)l(x)Wsin3x+*osax(s>0)的最小正周期為3T.

⑴求3的值，并在下面提供的坐標(biāo)系中畫(huà)出函數(shù)y=f(x)在區(qū)間［0,7］上的圖象；

⑵函數(shù)y=f(x)的圖象可由函數(shù)丫=$汨x的圖象經(jīng)過(guò)怎樣的變換得到？

y

解析(1)由題意知f(x)=sin(3x+9,

因?yàn)門(mén)=JT,所以工H,即3:2,

3

故f(x)=siQ+5

列表如下：

7Tn3TT77r

*n2n

32~2~T

nn7n57r

X0Jt

12312T

V3V3

f(x)10-10

T~2

y=f(x)在［0,冗］上的圖象如圖所示.

(2)將y=sinx的圖象上的所有點(diǎn)向左平移三個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)y=sin(x+§的圖象，再將y=sin(x+

標(biāo)縮短到原來(lái)的，縱坐標(biāo)不變)，得到函數(shù)「(x)=sin(2x+§(xeR)的圖象.

考點(diǎn)二三角函數(shù)的性質(zhì)及其應(yīng)用

8.(2018江西師大附中10月模擬,6)在四個(gè)函數(shù)y=sin2x|,y=；sinxI,y=sin(2%+J,y=tan(2%-；)中，最小正周期為n的所有

函數(shù)個(gè)數(shù)為()

答案B

9.(2018湖北重點(diǎn)高中期中聯(lián)考,7)已知函數(shù)f(x)=a^(a>0且ar1)的圖象過(guò)定點(diǎn)P,且點(diǎn)P在角0的終邊上,則函數(shù)

y=sin(x+8)的單調(diào)遞增區(qū)間為()

A.[2fcTr-y,2kTr+^](keZ)B.[zfcn+y,2kn+y](kSZ)

C.[2kTT-^,2kTt+^](k€Z)D.[2kir+和2kir+引(k￡Z)

答案A

10.(2018河北衡水中學(xué)9月大聯(lián)考，10)將函數(shù)f(x)=2sin(4x4)的圖象向左平移*個(gè)單位,再把所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍,

得到函數(shù)y=g(x)的圖象,則下列關(guān)于函數(shù)y=g(x)的說(shuō)法錯(cuò)誤的是()

A.最小正周期為nB.圖象關(guān)于直線x*對(duì)稱(chēng)

C.圖象關(guān)于點(diǎn)(工,0)對(duì)稱(chēng)D.初相為名

答案C

11.(2016廣東3月適應(yīng)性考試,5)三角函數(shù)f(x)=sinQ-2x)+cos2x的振幅和最小正周期分別是()

A.V3,]B.V3,nC.夜,D.V2,n

答案B

12.(2017湖南一模，13)函數(shù)f(x)=V5cos(3x-。)-sin(3x-。)是奇函數(shù)，則lan0等于.

答案75

13.(2018山西太原五中12月模擬，17)已知向量;L=(COSx,0),b=(0,V3sinx),記函數(shù)f(x)=(a+b)2+V3sin2x.

(1)求函數(shù)f(x)的最小值及取得最小值時(shí)x的取值集合；

⑵求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間.

解析(1)f(x)=(a+b)'+V5sin2x=l+2sin'x+V5sin2x=V3sin2x-cos2x+2=2sin(2x-^+2.

當(dāng)且僅當(dāng)2x-^=-^+2kn(k￡Z),即x=-^+kn(keZ)時(shí)，f(x),llt=0,此時(shí)x的取值集合為{x卜=-'+kir,k￡z}.

(2)由2knW2XTW[+2kn(kez),

262

得q+kJT&q+kn(k￡Z),

所以函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為K+kir(+耐(k￡Z).

14.(2017江西新余、宜春聯(lián)考，17)已知函數(shù)f(x)-V5sin2x-cos2x.

(1)求函數(shù)f(x)的最小正周期；

(2)求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間；

⑶求f(x)在區(qū)間[?，：]上的最大值和最小值.

解析(l)f(x)=V5sin2x-cos2x=2sin(2x-

AT=y=n.

⑵由2kn+*2xTW2kJr+M(k￡Z),得k兀+1靠(keZ).

26236

.?.4)的單調(diào)遞減區(qū)間為忸1+扯11+"依門(mén)).

(3)因?yàn)門(mén)WxW],所以當(dāng)2x-日,

o4LoSb5

即X三時(shí),f(x)取得最大值收

當(dāng)2x管T，即x=q時(shí)，f(x)取得最小值-2.

B組2016—2018年模擬?提升題組

（滿分:60分時(shí)間:45分鐘）

一、選擇題（每小題5分，共40分）

1.（2018河南中原名校第三次聯(lián)考,5）將函數(shù)y=sin（2x+d>）的圖象沿x軸向左平移!個(gè)單位后，得到一個(gè)偶函數(shù)的圖象，則小的一

個(gè)可能取值為（）

B*叼

答案B

2.（2018河北衡水中學(xué)四調(diào)，11）將函數(shù)f（x）=2cos2x的圖象向右平移，個(gè)單位后得到函數(shù)g（x）的圖象，若函數(shù)g（x）在區(qū)間［。,胃和

［2a,與］上均單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）

。?朋］D.精

答案A

3.（2018湖北荊州中學(xué)11月模擬,7）如圖是函數(shù)"*）=45浦（3*+4>）（3>0">0）在區(qū)間卜?1］上的圖象.為了得到這個(gè)圖象，只需

將g(x)=Acos3x的圖象()

A.向右平移:個(gè)單位長(zhǎng)度B.向右平移工個(gè)單位長(zhǎng)度

o

C.向右平移2個(gè)單位長(zhǎng)度D.向左平移;個(gè)單位長(zhǎng)度

OO

答案B

4.（2018河南新鄉(xiāng)一模，10）設(shè)k￡R,函數(shù)f（x）=sin（k%+J+k的圖象為下面兩個(gè)圖中的一個(gè),則函數(shù)f（x）的圖象的對(duì)稱(chēng)軸方程為

A.x=^+7(keZ)B.x=kn+^(k€Z)

263

C.X與q(kez)D.x=kn-2(keZ)

答案A

5.（2017湖南湘潭一中、長(zhǎng)沙一中等六校聯(lián)考，10）已知函數(shù)F（x）=2sin（2x+9的圖象為C,貝ij:①C關(guān)于直線乂二*對(duì)稱(chēng);@C關(guān)

于點(diǎn)傳,0）對(duì)稱(chēng);③f（x）在沁啟）上是增函數(shù);④把y=2cos2x的圖象向右平移聯(lián)個(gè)單位長(zhǎng)度可以得到圖象C.以上結(jié)論中正確的

有（）

A.①@B.①③C.②③④D.①?④

答案D

6.（2017湖北荊州中學(xué)12月模擬，10）已知函數(shù)f（x）=sin“3x）T（3>0）的周期為n,若將其圖象沿x軸向右平移a個(gè)單位（a>0）,

所得圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng),則實(shí)數(shù)a的最小值為（）

DB—C-D-

-4J2'4

答案D

7.（2017河南天一大聯(lián)考（三），9）已知函數(shù)f（x）=Msin（Qx+4>）（M>0,3>0,|@|V力的部分圖象如圖所示,其中A信,4）,C（答,0）,

點(diǎn)A是最高點(diǎn),則下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（)

A.小=差

6

B.函數(shù)「（x）在（等，等）上單調(diào)遞增

C.若點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為學(xué)則其縱坐標(biāo)為-2

D.將函數(shù)f（x）的圖象向左平移三個(gè)單位得到函數(shù)y=4sin2x的圖象

答案B

8.(2016河北衡水二中模擬,5)已知角中的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(-4,3),函數(shù)f(x)=sin(3x+6)(3>0)的圖象的相鄰兩條對(duì)稱(chēng)軸之間的

距離等于*則f(：)的值為()

A。三士

A5D.555

答案D

二、解答題(每小題10分，共20分)

9.(2018河南商丘九校12月聯(lián)考，17)已知函數(shù)f(x)-\Z5sin(2%q)-2sin(%T)sin(x+.).

(1)求函數(shù)f(x)的最小正周期和圖象的對(duì)稱(chēng)軸方程；

⑵求函數(shù)f(x)在區(qū)間［哈圖上的值域.

解析(1)(x)=V5sin卜％q)-2sin(%-：)sin(%+；)

=-1cos2x+ysin2x+(cosx-sinx)(sinx+cosx)

=-1cos2x+苧sin2x+cos2x-sin'x

=-1cos2x+ysin2x+cos2x=sin(2%《).

AT=y=n.

由2x-^k*(k￡Z)得q(k￡Z).

OLL5

...函數(shù)r(x)的最小正周期為n,圖象的對(duì)稱(chēng)軸方程為x=y+1(kez).

(2)x［哈圖,；.2x*信，里

易知r(x)=sinQW)在區(qū)間［噎可上單調(diào)遞增，在區(qū)間替同上單調(diào)遞減，

...當(dāng)x?時(shí)，f(x)取最大值1,

又???「⑷等職，

.?.當(dāng)x=*時(shí)，f(x)取最小值號(hào).

所以函數(shù)f(x)在區(qū)間[哈可上的值域?yàn)椴菲r,1].

10.(2017安徽師大附中期中，17)已知函數(shù)f(x)=V