相似三角形基本模型綜合訓練卷（三）基礎滿分訓練1．如圖，在Rt△ABC紙片中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，點D，E分別在AB，AC上，連接DE，將△ADE沿DE翻折，使點A的對應點F落在BC的延長線上．若FD平分∠EFB，則CF的長為（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】解：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，由勾股定理得：AB==5，∵將△ADE沿DE翻折得△DEF，∴AD=DF，∠A=∠DFE，∵FD平分∠EFB，∴∠DFE=∠DFH，∴∠DFE=∠A，∵∠B=∠B，∴△ABC∽△FBD，∴，設BD=m，則AD=DF=5-m，∴，解得m=，BF=，∴CF=BF-BC=-3=，故選：A．2．如圖，在矩形AOBC中，點A的坐標是，點B的橫坐標為，則矩形AOBC的面積為（

）A． B．5 C． D．3【答案】A【詳解】分別過A、B兩點作x軸的垂線，垂足分別為E、M，如圖所示，∴∠AEO=∠BMO=90゜，∴∠AOE+∠OAE=90°，∵四邊形AOBC是矩形，

∴∠AOB=90°，∴∠AOE+∠BOM=90°，∴∠OAE=∠BOM，∴△AOE∽△OBM，∴．∵點A的坐標是，點B的橫坐標為，∴OE=2，AE=1，，∴，分別在Rt△AOE、Rt△BOM中，由勾股定理得：，，∴矩形AOBC的面積為：，

故選：A．3．如圖，在中，，，，點P是邊上一動點，點D在邊上，且，則的最小值為（

）A．8 B． C． D．【答案】C【詳解】解：延長到點，使得，再連接，，過作于點，如圖，，，，，，，，，，，∴，，，，，，，當點、、三點共線時，取等號，∴為的最小值．故選：C．4．如圖，，∠D＝90°，AD＝2，BC＝3，CD＝7，若在邊DC上有點P．使以P、A、D為頂點的三角形與以P、B、C為頂點的三角形相似，則這樣的P點有（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】C【詳解】解：∵AD∥BC，∠D=90°，∴∠C=∠D=90°，∵DC=7，AD=2，BC=3，設PD=x，則PC=7-x．①若PD：PC=AD：BC，則△PAD∽△PBC，則，解得：x=，∴PD=；②若PD：BC=AD：PC，則△PAD∽△BPC，則，解得：x=1或x=6，∴PD=1或6，所以這樣的點P存在的個數有3個．故選：C5．如圖，點E，F，G分別在正方形的邊，，上，．若，則，則正方形邊長為（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】D【詳解】解：設正方形ABCD的邊長為x，則AB=AD=x，∵DF=1，∴AF=AD-DF=x-1，∵∠BAD=90°，∴∠BAG+∠FAG=90°，∵AG⊥EF，∴∠AFE+∠FAG=90°，∴∠BAG=∠AFE，∵∠B=∠BAD=90°，∴△AEF∽△BGA，∴，∵AE=1，BG=1.2，∴，解得：x=6，即正方形的邊長為6．故選：D6．如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，點D在BC上，AC＝6，CD＝3，BD＝5．CF⊥AD，垂足為F，CF與AB相交于點E，則BE的長是______．【答案】4【詳解】解：過點B作BH⊥AD交AD延長線于點H，如圖：∵∠ADC＝∠BDH，∠H＝∠ACB＝90°，∴△ACD∽△BHD，∴．∵∠ACB＝90°，AC＝6，CD＝3，∴，∴，∴BH＝2，DH，，∴，，∴∠CAD＝∠BAH．∵CE⊥AC，∴AC＝AE＝6，∵AB10，∴BE＝AB﹣AE＝10﹣6＝4．故答案為：4．7．如圖，在等腰中，垂直于點D，垂直于點E，與交于點P，，則________．【答案】【詳解】解：過點D作DG⊥AC于G，∵AB=AC，AD⊥BC，∴BD=CD，即點D是BC的中點，∵BE⊥AC，DG⊥ACM∴DGBE，∴GC=EG，∴DG是△BCE的中位線，∴DG=BE=(BP+PE)=(3+1)=2，∵PEDG，∴△ADG∽△APE，∴，設EG=x，則EC=2x，AE=EG=x，∵∠ADC=∠AEP=90°，∴∠C+∠CBE=∠C+∠PAE=90°，∴∠CBE=∠PAE，∵∠AEP=∠BEC=90°，∴△APE∽△BCE，∴，即，解得：x=或x=-(不符合題意，舍去)，∴EG=，∴S△BPD=，故答案為：．8．如圖，四邊形ABCD中，∠ADC＝90°，AC⊥BC，∠ABC＝45°，AC與BD交于點E，若AB＝，CD＝2，則△ABE的面積為_________．【答案】【詳解】解：過點D作DF⊥AC于點F，∵AC⊥BC，∠ABC＝45°，∴△ABC為等腰直角三角形，∴，∵∠ADC＝90°，CD=2，∴，∵，∴，∴，∴，∵DF∥BC，∴△DEF∽△BEC，∴，即，解得：，∴，∴．故答案為：9．一張矩形MNPQ紙片按如圖所示的方式折疊，使得頂點Q與N重合，折痕為AB，MN=3，MQ=9，則折痕AB的長度為______．【答案】【詳解】解：連接NQ，如圖所示：∵四邊形MNPQ為矩形，∴，，∴，由折疊可知，AB垂直平分NQ，∴，，∵，∴，∴，即，∴，∵，∴，∵在和中，∴，∴AO=BO，∴．故答案為：．10．如圖，在正方形ABCD中，點E是對角線AC上一點，且AE＝2CE，點H為邊AB上一點，且BH＝2AH，連接DH與AC相交于點G，過點E作EF⊥DH于點F，若AB的長為9，則EF的長為_______．【答案】【詳解】如圖，過點A作AM⊥DH于點M，∵在正方形ABCD中，AB=9∴AB=BC=CD=AD=9，∠B=∠BAD=90°，AB∥CD∴∴∠CAB=∠ACD，∠CDH=∠DHA∴△AGH∽△CGD∵BH＝2AH∴AH=3∴∴∵AE＝2CE∴∴∵EF⊥DH，AM⊥DH∴∠EFG=∠AMG=90°∴△EFG∽△AMG∴∵在Rt△ADH中，∴∴∴故答案為：．11．如圖，在△ABC中，AB=8，AC=6．點D在邊AB上，AD=4.5．△ABC的角平分線AE交CD于點F．(1)求證：△ACD∽△ABC；(2)求的值．【答案】(1)見解析；(2)3【解析】（1）證明：∵AB=8，AC=6，AD=4.5，∴．又∵∠CAD=∠BAC，∴△ACD∽△ABC；（2）解：∵△ACD∽△ABC，∴∠ACD=∠B．∵AE平分∠BAC，∴∠CAF=∠BAE，∴△ACF∽△ABE，∴．∴，即．12．如圖，矩形中，，，動點從點出發(fā)，沿邊以的速度向點勻速移動，動點從點出發(fā)，沿邊以的速度向點勻速移動，一個動點到達端點時，另一個動點也停止運動，點，同時出發(fā)，設運動時間為．(1)當為何值時，的面積為？(2)為何值時，以A，，為頂點的三角形與相似．【答案】(1)；(2)或【解析】（1）由題意知，，，的面積為，，解得或，，時，的面積為；（2），當或時，以，，為頂點的三角形與相似，或，解得或，或時，以A，，為頂點的三角形與相似．13．如圖，正方形ABCD中，點E，F分別為AB，AD的中點，以AE，AF為邊作正方形AEGF．(1)在圖1中，線段DF與CG之間有怎樣的數量關系？說明理由.(2)在圖2中，將正方形AEGF繞點A順時針旋轉一定角度（旋轉角小于90°）后，得到正方形AE'G'F'，連接DF'，CG'，則線段DF′與CG′之間的數量關系是否仍然成立，請說明理由．【答案】(1)，理由見解析；(2)，結論仍然成立，理由見解析【解析】(1)解：，理由：如圖1，分別連結AG，AC，∵四邊形ABCD為正方形，四邊形AEGF為正方形，∴∠FAG=∠DAC＝45°，，∴點A、點G、點C在一條直線上，∵∠AFG=∠ADC＝90°，∴FG∥CD，∴，∴；(2)解：，結論仍然成立．理由：如圖，連接AC，AG'．在正方形ABCD中，，∠CAD＝45°，在正方形AE′G′F′中，，∠G'AF'＝45°，∴，∵∠CAD﹣∠CAF'＝∠G'AF'﹣∠CAF'，即∠DAF'＝∠CAG'，∴△ACG′∽△ADF'，∴，∴．14．在中，，點D、E分別在AC、BC邊上．(1)如圖1，若D、E分別為邊AC、BC的中點，連接DE，則______；(2)如圖2，若D為AC邊上任意一點，，則______；(3)如圖3，在圖2的基礎上將繞點C按順時針方向旋轉一定的角度，猜想的值，并證明你的結論；(4)如圖4，在（3）的條件下，當將旋轉，使點E在線段AD上時，若，請直接寫出BE的長，不必寫出求解過程．【答案】(1)；(2)；(3)，理由見解析；(4)【解析】（1）∵，，∵D、E分別為邊AC、BC的中點，，，故答案為：；（2），，故答案為：；（3），理由如下：如圖2，，，，，，在圖2的基礎上將繞點C按順時針方向旋轉一定的角度，，，；（4）將△DEC繞點C按順時針方向旋轉一定的角度，∴∠ABC=∠CED=90°，，，，即，∴DE=3，∴AD=DE+AE=，∵，．15．矩形ABCD中，E為AB邊上的中點，AF⊥DE，交AF于點G．(1)若矩形ABCD是正方形，①如圖1，求證：△ADG∽△EAG；②如圖2，分別連接BG和BD，設BD與AF交于點H．求證：BG2=AG·DG；(2)類比：如圖3，在矩形ABCD中，若，BG=5，求AG的長．【答案】(1)①證明見解析；②證明見解析；(2)4【解析】（1）證明：①∵四邊形ABCD是正方形，∴∠BAD=∠DAG+∠BAF=90°，∵DE⊥AF，∴∠AGD=∠AGE=90°，∴∠DAG+∠ADG=90°，∴∠ADG=∠BAF，∴△ADG∽△EAG；②如圖所示：過點B作BN⊥AF于點N，∵四邊形ABCD為正方形，∴AB=AD，∵∠BAF=∠ADE，∠AGE=∠ANB=90°，∴△ABN≌△DAG，∴AG=BN，DG=AN，∴∠AGE=∠ANB=90°，∴EG∥BN，∵點E為AB的中