河北省承德市大石柱子鄉(xiāng)中學(xué)高三數(shù)學(xué)理上學(xué)期摸底試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.曲線是平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)和的距離的積等于常數(shù)的點(diǎn)的軌跡．下列四個(gè)論斷中一定錯(cuò)誤的是（

）． A．曲線關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱 B．曲線與軸恰有兩個(gè)不同交點(diǎn)C．若點(diǎn)在曲線上，則的面積不大于D．橢圓的面積不小于曲線所圍成的區(qū)域的面積參考答案：D設(shè)點(diǎn)，則．選項(xiàng)，若在曲線上，則也在曲線上，即曲線關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱，故選項(xiàng)正確；項(xiàng)，令，則，化簡(jiǎn)得或，因?yàn)橛袃蓚€(gè)解，無(wú)解，所以曲線與軸恰有兩個(gè)不同交點(diǎn)，故選項(xiàng)正確；項(xiàng)，若點(diǎn)在曲線上，則．∵，∴，故選項(xiàng)正確；項(xiàng)，若點(diǎn)在曲線上，根據(jù)可知，曲線上點(diǎn)都在橢圓外，故橢圓的面積小于曲線所圍成的區(qū)域的面積．故選項(xiàng)論斷錯(cuò)誤．故選．2.如圖，將半徑為l的圓分成相等的四段弧，再將四段弧圍成星形放在圓內(nèi)（陰影部

分）．現(xiàn)在往圓內(nèi)任投一點(diǎn)，此點(diǎn)落在星形區(qū)域內(nèi)的概率為(A)

(B)

(C)

(D)參考答案：A3.（5分）已知函數(shù)f（x）為奇函數(shù)，且當(dāng)x＞0時(shí)，，則f（﹣1）=（）A．﹣2B．0C．1D．2參考答案：A【考點(diǎn)】：函數(shù)的值．【專題】：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．【分析】：利用奇函數(shù)的性質(zhì)，f（﹣1）=﹣f（1），即可求得答案．解：∵函數(shù)f（x）為奇函數(shù)，x＞0時(shí)，f（x）=x2+，∴f（﹣1）=﹣f（1）=﹣2，故選A．【點(diǎn)評(píng)】：本題考查奇函數(shù)的性質(zhì)，考查函數(shù)的求值，屬于基礎(chǔ)題．4.已知i為虛數(shù)單位，則

（

）A.

B.－1

C.

D.0參考答案：A5.已知拋物線x2=2y的焦點(diǎn)與橢圓+=1的一個(gè)焦點(diǎn)重合，則m=（）A．1 B．2 C．3 D．參考答案：D【考點(diǎn)】圓錐曲線的綜合．【分析】求出拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)，橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)重合，求解m即可．【解答】解：拋物線x2=2y的焦點(diǎn)（0，）與橢圓+=1的一個(gè)焦點(diǎn)（0，）重合，可得，解得m=．故選：D．6.如圖2，正三棱柱的主視圖（又稱正視圖）是邊長(zhǎng)為４的正方形，則此正三棱柱的側(cè)視圖（又稱左視圖）的面積為(

)A．

B．

C．

D．16參考答案：A略7.（坐標(biāo)系與參數(shù)方程）曲線的極坐標(biāo)方程為，曲線的參數(shù)方程為（t為參數(shù)），以極點(diǎn)為原點(diǎn)，極軸為x軸正半軸建立平面直角坐標(biāo)系，則曲線上的點(diǎn)與曲線上的點(diǎn)最近的距離為A.2

B.

C.

D.參考答案：D8.設(shè)且，則“函數(shù)在上是減函數(shù)”是“函數(shù)在上遞增”的()A．充分不必要條件

B．必要不充分條件

C．充要條件

D．既不充分也不必要條件參考答案：A9.函數(shù)y=sin（x+17°）﹣sin（x+257°）的最大值為（）A．1 B．2 C． D．參考答案：D【考點(diǎn)】三角函數(shù)的最值；兩角和與差的正弦函數(shù)．【分析】根據(jù)誘導(dǎo)公式、兩角和的正弦函數(shù)、角之間的關(guān)系化簡(jiǎn)函數(shù)y的解析式，由正弦函數(shù)的最大值求出此函數(shù)的最大值．【解答】解：由題意得，y=sin（x+17°）﹣sin（x+257°）=sin（x+17°）﹣sin（180°+x+77°）=sin（x+17°）+sin[60°+（x+17°）]=sin（x+17°）+cos（x+17°）+sin（x+17°）=sin（x+17°）+cos（x+17°）=[sin（x+17°）+cos（x+17°）]==因?yàn)閟in（x+47°）的最大值是1，所以函數(shù)y的最大值是，故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查正弦函數(shù)的最值，誘導(dǎo)公式、兩角和的正弦函數(shù)，以及變角在化簡(jiǎn)中的應(yīng)用，考查化簡(jiǎn)、變形能力．10.已知一個(gè)空間幾何體的三視圖如圖所示，根據(jù)圖中標(biāo)出的尺寸（單位：cm），可得這個(gè)幾何體的體積是（

）A．2

B．3

C．4

D．8參考答案：C略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.以直線坐標(biāo)系的原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的非負(fù)半軸為極軸，并在兩種坐標(biāo)系中取相同的長(zhǎng)度單位，已知直線l：y=x與圓C：ρ=4cosθ相交于A、B兩點(diǎn)，則以AB為直徑的圓的面積為_________．參考答案：.12.函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為

.參考答案：

(端點(diǎn)取值可以包含)13.設(shè)曲線y＝xn＋1(n∈N*)在點(diǎn)(1,1)處的切線與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為xn，令an＝lgxn，則a1＋a2＋…＋a99的值為________．參考答案：-214.設(shè)橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)是，，過(guò)點(diǎn)的直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，若，且，則橢圓的離心率為

．參考答案：

15.在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓的中心為原點(diǎn)，焦點(diǎn)，在軸上，離心率為。過(guò)的直線交于A、B兩點(diǎn)，且△的周長(zhǎng)為16，那么的方程為

參考答案：。根據(jù)橢圓的定義可知△的周長(zhǎng)為，。又離心率，，，因此橢圓的方程為。【點(diǎn)評(píng)】本小題主要考查橢圓的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程以及簡(jiǎn)單的幾何性質(zhì)。16.（坐標(biāo)系與參數(shù)方程選做題）若曲線的極坐標(biāo)方程為，以極點(diǎn)為原點(diǎn)，極軸為x軸正半軸建立直角坐標(biāo)系，則該曲線的直角坐標(biāo)方程為

.參考答案：

本題考查了極坐標(biāo)系與直角坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)化，做坐標(biāo)系與參數(shù)方程的題，大家只需記住兩點(diǎn)：1、，2、即可。根據(jù)已知=所以解析式為：17.函數(shù)的反函數(shù)

.

參考答案：略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.（13分）已知是單調(diào)遞增的等差數(shù)列，首項(xiàng)，前項(xiàng)和為；數(shù)列是等比數(shù)列，首項(xiàng)

（1）求的通項(xiàng)公式；

（2）令求的前20項(xiàng)和.參考答案：解：(1)設(shè)公差為，公比為，則，

,，是單調(diào)遞增的等差數(shù)列，.則,,

(2)。略19.某中學(xué)為研究學(xué)生的身體素質(zhì)與課外體育鍛煉時(shí)間的關(guān)系，對(duì)該校200名學(xué)生的課外體育鍛煉平均每天運(yùn)動(dòng)的時(shí)間（單位：分鐘）進(jìn)行調(diào)查，將收集的數(shù)據(jù)分成六組，并作出頻率分布直方圖（如圖），將日均課外體育鍛煉時(shí)間不低于40分鐘的學(xué)生評(píng)價(jià)為“課外體育達(dá)標(biāo)”.(1)請(qǐng)根據(jù)直方圖中的數(shù)據(jù)填寫下面的列聯(lián)表，并通過(guò)計(jì)算判斷是否能在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.01的前提下認(rèn)為“課外體育達(dá)標(biāo)”與性別有關(guān)？（2）在[0，10），[40，50）這兩組中采取分層抽樣，抽取6人，再?gòu)倪@6名學(xué)生中隨機(jī)抽取2人參加體育知識(shí)問卷調(diào)查，求這2人中一人來(lái)自“課外體育達(dá)標(biāo)”和一人來(lái)自“課外體育不達(dá)標(biāo)”的概率．附加公式：K2=

P(k2≥k0)0.150.050.0250.010.0050.001k02.0723.4815.0246.6357.87910.828

課外體育不達(dá)標(biāo)課外體育達(dá)標(biāo)合計(jì)男60

女

110合計(jì)

參考答案：（1）由題意得“課外體育達(dá)標(biāo)”人數(shù)：，則不達(dá)標(biāo)人數(shù)為150，∴列聯(lián)表如下：

課外體育不達(dá)標(biāo)課外體育達(dá)標(biāo)合計(jì)男603090女9020110合計(jì)15050200∴∴在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.01的前提下沒有沒有理由（或不能）認(rèn)為“課外體育達(dá)標(biāo)”與性別有關(guān)（2）由題意在[0，10），[40，50）分別有20人，40人，則采取分層抽樣在[0，10）抽取的人數(shù)為：人，在[40，50）抽取的人數(shù)為：人，[0，10）抽取的人為，在[40，50）抽取的人為，從這6任中隨機(jī)抽取2人的情況為：共15種，2人中一人來(lái)自“課外體育達(dá)標(biāo)”和一人來(lái)自“課外體育不達(dá)標(biāo)”共有：共8種，20.如圖，已知正三棱柱的所有棱長(zhǎng)都為2，D為中點(diǎn)，Ｅ為BC的中點(diǎn)。（1）求證：平面；（2）求直線與平面所成角的正弦值；（3）求三棱錐C—ABD的體積。參考答案：

解析：證明：（Ⅰ）∵棱柱是正三棱柱，且E為BC的中點(diǎn)，∴平面平面，又，∴，而為中點(diǎn)，且，∴

由棱長(zhǎng)全相等知，即

，故

又，

∴；…4分（Ⅱ）由知是直線與平面所成的角，

設(shè)為θ∵正三棱柱的所有棱長(zhǎng)都為∴在中

……8分（Ⅲ）

……12分21.已知與圓C：x2＋y2－2x－2y＋1＝0相切的直線l交x軸，y軸于A，B兩點(diǎn)，|OA|＝a，|OB|＝b(a>2，b>2)．

（I）求證：(a－2)(b－2)＝2；

（II）求線段AB中點(diǎn)的軌跡方程；

（III）求△AOB面積的最小值．參考答案：(1)證明：圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是(x－1)2＋(y－1)2＝1，設(shè)直線方程為＋＝1，即bx＋ay－ab＝0，圓心到該直線的距離d＝＝1，即a2＋b2＋a2b2＋2ab－2a2b－2ab2＝a2＋b2，即a2b2＋2ab－2a2b－2ab2＝0，即ab＋2－2a－2b＝0，即(a－2)(b－2)＝2.(2)設(shè)AB中點(diǎn)M(x，y)，則a＝2x，b＝2y，代入(a－2)(b－2)＝2，得(x－1)(y－1)＝(x>1，y>1)．(3)由(a－2)(b－2)＝2得ab＋2＝2(a＋b)≥4，解得≥2＋(舍去≤2－)，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)，ab取最小值6＋4，所以△AOB面積的最小值是3＋2.22.已知f（x）=（x∈R）在區(qū)間[﹣1，1]上是增函數(shù)．（Ⅰ）求實(shí)數(shù)a的值組成的集合A；（Ⅱ）設(shè)關(guān)于x的方程f（x）=的兩個(gè)非零實(shí)根為x1、x2．試問：是否存在實(shí)數(shù)m，使得不等式m2+tm+1≥|x1﹣x2|對(duì)任意a∈A及t∈[﹣1，1]恒成立？若存在，求m的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．參考答案：【考點(diǎn)】函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系．【專題】壓軸題．【分析】（Ⅰ）函數(shù)單調(diào)遞增導(dǎo)數(shù)大于等于零列出不等式解之（Ⅱ）根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系寫出不等式先看成關(guān)于a的不等式恒成立再看成關(guān)于t的一次不等式恒成立，讓兩端點(diǎn)大等于零【解答】解：（Ⅰ）f'（x）==，∵f（x）在[﹣1，1]上是增函數(shù)，∴f'（x）≥0對(duì)x∈[﹣1，1]恒成立，即x2﹣ax﹣2≤0對(duì)x∈[﹣1，1]恒成立．①設(shè)φ（x）=x2﹣ax﹣2，方法一：φ①??﹣1≤a≤1，∵對(duì)x∈[﹣1，1]，f（x）是連續(xù)函數(shù)，且只有當(dāng)a=1時(shí)，f'（﹣1）=0以及當(dāng)a=﹣1時(shí)，f'（1）=0∴A={a|﹣1≤a≤1}．方法二：①?或?0≤a≤1或﹣1≤a≤0?﹣1≤a≤1．∵對(duì)x∈[﹣1，1]，f（x）是連續(xù)函數(shù)，且只有當(dāng)a=1時(shí)，f'（﹣1）=0以及當(dāng)a=﹣1時(shí)，f'（1）=0∴A={a|﹣1≤a≤1}．（Ⅱ）由，得x2﹣ax﹣2=0，∵△=a2+8＞0∴x1，x2是方程x2﹣ax﹣2=0的兩非零實(shí)根，x1+x2=a，x1x2=﹣2，從而|x1﹣x2|==．∵﹣1≤a≤1，∴|x1﹣x2|=≤3．要使不等式m2+tm+1≥|x1﹣x2|對(duì)任意a∈A及t∈[﹣1，1]恒成立，當(dāng)且僅當(dāng)m2+tm+1≥3對(duì)任意t∈[﹣1，1]恒成立，即m2+tm﹣2≥0對(duì)任意t∈[﹣1，1]恒成立．②設(shè)g（t）=m2+tm﹣2=mt+（m2﹣2），方法一：②?g（﹣1）=m2﹣m﹣2≥0，g（1）=m2+m﹣2≥0，?m≥2或m≤﹣2．所以，存在實(shí)數(shù)m，使不等式m2+tm+1≥|x1﹣