安徽省蕪湖市羅公中學(xué)高二數(shù)學(xué)文上學(xué)期期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.已知函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)為f′（x），且滿足f（x）=2xf′（1）+lnx，則f′（1）=（）A．﹣e B．﹣1 C．1 D．e參考答案：B【考點(diǎn)】導(dǎo)數(shù)的乘法與除法法則；導(dǎo)數(shù)的加法與減法法則．【分析】已知函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)為f′（x），利用求導(dǎo)公式對(duì)f（x）進(jìn)行求導(dǎo)，再把x=1代入，即可求解；【解答】解：∵函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)為f′（x），且滿足f（x）=2xf′（1）+lnx，（x＞0）∴f′（x）=2f′（1）+，把x=1代入f′（x）可得f′（1）=2f′（1）+1，解得f′（1）=﹣1，故選B；【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查導(dǎo)數(shù)的加法與減法的法則，解決此題的關(guān)鍵是對(duì)f（x）進(jìn)行正確求導(dǎo)，把f′（1）看成一個(gè)常數(shù)，就比較簡(jiǎn)單了；2.甲、乙、丙、丁四位同學(xué)各自對(duì)、兩變量的線性相關(guān)性作試驗(yàn)，并用回歸分析方法分別求得相關(guān)系數(shù)與殘差平方和如下表：

甲乙丙丁0.820.780.690.85106115124103

則哪位同學(xué)的試驗(yàn)結(jié)果體現(xiàn)、兩變量有更強(qiáng)的線性相關(guān)性？（A）甲

（B）乙

（C）丙

（D）丁參考答案：D略3.設(shè)命題p：函數(shù)的最小正周期為；命題q：函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱.則下列判斷正確的是（

）

(A)p為真(B)為假(C)為假(D)為真參考答案：C略4.平面α截球O的球面所得圓的半徑為1，球心O到平面α的距離為，則此球的體積為（）A．πB．4πC．4πD．6π參考答案：B略5.設(shè)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，且，則等于

（

）A．

B．

C．

D．參考答案：B6.曲線在點(diǎn)處的切線與坐標(biāo)軸圍成的三角面積為（）A.6 B. C.3 D.12參考答案：A【分析】先求導(dǎo)數(shù)得切線斜率，再根據(jù)點(diǎn)斜式得切線方程，最后求切線與坐標(biāo)軸交點(diǎn)，計(jì)算面積.【詳解】的導(dǎo)數(shù)為，，可得在點(diǎn)處的切線斜率為：-3，即有切線的方程為.分別令，可得切線在，軸上的截距為6，2．即有圍成的三角形的面積為：．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)幾何意義以及直線點(diǎn)斜式方程，考查基本分析求解能力，屬基礎(chǔ)題.7.有這樣一段演繹推理是這樣的“有些有理數(shù)是真分?jǐn)?shù)，整數(shù)是有理數(shù)，則整數(shù)是真分?jǐn)?shù)”結(jié)論顯然是錯(cuò)誤的，是因?yàn)?/p>

(

)

A.大前提錯(cuò)誤

B.小前提錯(cuò)誤

C.推理形式錯(cuò)誤

D.非以上錯(cuò)誤 參考答案：C8.已知，如果一個(gè)線性規(guī)劃問(wèn)題的可行域問(wèn)題是邊界及其內(nèi)部，線性目標(biāo)函數(shù)，在點(diǎn)B處取最小值3，在點(diǎn)C處取最大值12，則下列關(guān)系一定成立的是

（

）

A．

B．

C．D．參考答案：C9.在數(shù)列{}中，=2，（）,則的值為（）A．49

B．50

C．51

D．52參考答案：D10.拋物線y=x2上的點(diǎn)到直線2x﹣y=4的最短距離是（）A． B． C． D．參考答案：B【考點(diǎn)】直線與圓錐曲線的關(guān)系．【分析】利用點(diǎn)到直線的距離公式，結(jié)合配方法，即可得到結(jié)論．【解答】解：設(shè)拋物線y=x2上的點(diǎn)的坐標(biāo)為（x，y），則由點(diǎn)到直線的距離公式可得d===≥∴拋物線y=x2上的點(diǎn)到直線2x﹣y=4的最短距離是故選B．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.準(zhǔn)線方程x=﹣1的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為

．參考答案：y2=4x

【考點(diǎn)】拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程．【分析】直接由拋物線的準(zhǔn)線方程設(shè)出拋物線方程，再由準(zhǔn)線方程求得p，則拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程可求．【解答】解：∵拋物線的準(zhǔn)線方程為x=﹣1，∴可設(shè)拋物線方程為y2=2px（p＞0），由準(zhǔn)線方程x=﹣，得p=2．∴拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2=4x．故答案為：y2=4x．12.曲線在點(diǎn)處的切線方程為

．

參考答案：；略13.若實(shí)數(shù)a，b滿足a=+2，則a的最大值是．參考答案：20【考點(diǎn)】根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的互化及其化簡(jiǎn)運(yùn)算．【分析】用換元法，設(shè)=x，=y，則x≥0，y≥0；求出b與a的解析式，由a=+2得出y與x的關(guān)系式，再根據(jù)其幾何意義求出a的最大值．【解答】解：設(shè)=x，=y，且x≥0，y≥0；∴b=x2，4a﹣b=y2，即a==；∴a=+2可化為=y+2x，即（x﹣4）2+（y﹣2）2=20，其中x≥0，y≥0；又（x﹣4）2+（y﹣2）2=20表示以（4，2）為圓心，以2為半徑的圓的一部分；∴a==表示圓上點(diǎn)到原點(diǎn)距離平方的，如圖所示；∴a的最大值是×（2r）2=r2=20故答案為：20．14.計(jì)算

．參考答案：102415.已知若不等式恒成立，則的最大值為_(kāi)_____.參考答案：1616.已知點(diǎn)在直線上，若圓(為坐標(biāo)原點(diǎn))上存在點(diǎn)使得，則的取值范圍為▲.參考答案：略17.若復(fù)數(shù)z=（m2﹣m）+mi是純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)m的值為

．參考答案：1【考點(diǎn)】復(fù)數(shù)的基本概念．【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的概念進(jìn)行求解即可．【解答】解：若復(fù)數(shù)z=（m2﹣m）+mi是純虛數(shù)，則，即，即m=1，故答案為：1三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.（本小題滿分13分）已知一條曲線在軸右側(cè)，上每一點(diǎn)到點(diǎn)的距離減去它到軸距離的差都是1。（1）求曲線的方程；（2）設(shè)直線交曲線于兩點(diǎn)，線段的中點(diǎn)為，求直線的一般式方程。參考答案：（1）設(shè)是曲線上任意一點(diǎn)，那么點(diǎn)滿足：，化簡(jiǎn)得。（或由定義法）（2）設(shè)，由，①②得：，由于易知的斜率存在，故，即，所以，故的一般式方程為。19.（本小題滿分14分）某種有獎(jiǎng)銷售的飲料，瓶蓋內(nèi)印有“獎(jiǎng)勵(lì)一瓶”或“謝謝購(gòu)買”字樣，購(gòu)買一瓶若其瓶蓋內(nèi)印有“獎(jiǎng)勵(lì)一瓶”字樣即為中獎(jiǎng)，中獎(jiǎng)概率為.甲、乙、丙三位同學(xué)每人購(gòu)買了一瓶該飲料。（Ⅰ）求甲中獎(jiǎng)且乙、丙都沒(méi)有中獎(jiǎng)的概率；（Ⅱ）求中獎(jiǎng)人數(shù)的分布列及數(shù)學(xué)期望.參考答案：（I）設(shè)甲、乙、丙中獎(jiǎng)的事件分別為、、，則..

答：甲中獎(jiǎng)且乙、丙都沒(méi)有中獎(jiǎng)的概率是.……………4分（II）的所有可能取值為.

∴中獎(jiǎng)人數(shù)的分布列為

.

14分略20.如圖，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，，，60°，，E是PC的中點(diǎn).（1）證明：AE⊥平面PCD；（2）求二面角A-PD-C的正弦值.參考答案：（1）證明：在四棱錐P－ABCD中，因PA⊥底面ABCD，CD平面ABCD，故CD⊥PA

……………2分由條件CD⊥AC，PA∩AC＝A，∴CD⊥平面PAC.又AE平面PAC，∴AE⊥CD

……………4分由PA＝AB＝BC，∠ABC＝60°，可得AC＝PA.∵E是PC的中點(diǎn)，∴AE⊥PC.又PC∩CD＝C，綜上得AE⊥平面PCD

……………6分（2）解過(guò)點(diǎn)E作EM⊥PD，垂足為M，連接AM，如圖所示.由(1)知，AE⊥平面PCD，AM在平面PCD內(nèi)的射影是EM，則AM⊥PD.因此∠AME是二面角A－PD－C的平面角

……………8分由已知，可得∠CAD＝30°.設(shè)AC＝a，可得PA＝a，AD＝a，PD＝a，AE＝a.在Rt△ADP中，∵AM⊥PD，∴AM·PD＝PA·AD，則AM＝＝＝a

……………10分在Rt△AEM中，sin∠AME＝＝.所以二面角A－PD－C的正弦值為

……………12分方法二：∵AB=BC且∠ABC=60°

∴AB=BC=AC又∴AB⊥AD

且AC⊥CD∴∠DAC=30°，∠ADC=60°

……………2分不妨令

PA=AB=BC=AC=a分別以AB、AD、PA所在直線為x、y、z軸建立空間直角坐標(biāo)系則A（0,0,0）

B（a,0,0）P（0,0,a）

D（0,,0）C（）

E（）

……………4分（1）

且∴AE⊥面PCD

……………6分（2）為面PAD的一個(gè)法向量

……………7分

由（1）知為面PCD的一個(gè)法向量

……………8分∴二面角的余弦值

…………10分∴二面角的正弦值為

…………12分21.如圖，在三棱柱ABC-A1B1C1中，已知，，A1在底面ABC的投影是線段BC的中點(diǎn)O.（1）求點(diǎn)C到平面A1ABB1的距離；（2）求直線AC1與平面BCC1B1所成角的正弦值；（3）若M，N分別為直線AA1，B1C上動(dòng)點(diǎn)，求MN的最小值.參考答案：（1）；（2）；（3）【分析】（1）連接，根據(jù)題意得到，設(shè)到平面的距離為，由結(jié)合題中數(shù)據(jù)，即可求出結(jié)果；（2）分別以，，所在的直線為，，軸，建立空間直角坐標(biāo)系，求出直線的方向向量，平面的法向量，求出兩向量夾角的余弦值，即可得出線面角的正弦值；（3）當(dāng)是異面直線，的公垂線時(shí)，的長(zhǎng)度最短，設(shè)向量，且，，根據(jù)題意求出滿足題意的一個(gè)，根據(jù)求出異面直線，間距離，即可得出結(jié)果.【詳解】（1）連接，因?yàn)槠矫妫?，因?yàn)?，，得，，中，，在中，，則.又.設(shè)到平面的距離為，則由得，.從而.（2）如圖所示，分別以，，所在直線為，，軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，.設(shè)平面的法向量，又，.由，得，令，得，，即.又.∴.∴直線與平面所成角的正弦值是.（3）設(shè)向量，且，.∵，.∴，.令，得，，即，∵.所以異面直線，的距離，即為的最小值.【點(diǎn)睛】本題主要考查求點(diǎn)到面的距離，線面角的正弦值，以及異面直線間的距離，熟記等體積法求點(diǎn)到面的距離，靈活掌握空間向量的方法求線面角、異面直線間距離即可，屬于?？碱}型.22.已知曲線從C上一點(diǎn)Qn（xn，yn）作x軸的垂線，交Cn于點(diǎn)Pn，再?gòu)狞c(diǎn)Pn作y軸的垂線，交C