§5正態(tài)分布第六章內(nèi)容索引0102自主預(yù)習(xí)新知導(dǎo)學(xué)合作探究釋疑解惑自主預(yù)習(xí)新知導(dǎo)學(xué)正態(tài)曲線1.(1)連續(xù)型隨機(jī)變量:把具有分布密度函數(shù)的隨機(jī)變量稱為連續(xù)型隨機(jī)變量,最常見的一類連續(xù)型隨機(jī)變量是由誤差引起的.(2)正態(tài)分布:由誤差引起的連續(xù)型隨機(jī)變量其分布密度函數(shù)圖象對(duì)應(yīng)的分布密度函數(shù)解析式為φμ,σ(x)=,x∈(-∞,+∞),其中實(shí)數(shù)μ,σ(σ>0)為參數(shù),這一類隨機(jī)變量X的分布密度(函數(shù))稱為正態(tài)分布密度(函數(shù)),簡(jiǎn)稱正態(tài)分布

,對(duì)應(yīng)的圖象為正態(tài)分布密度曲線,簡(jiǎn)稱為正態(tài)曲線

.(3)如果隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布,那么這個(gè)正態(tài)分布完全由參數(shù)

μ,σ(σ>0)確定,記為X~N(μ,σ2).其中EX=μ,DX=σ2.正態(tài)分布

是最常見、最重要的連續(xù)型隨機(jī)變量的分布,是刻畫誤差分布的重要模型,因此也稱為誤差模型.(4)正態(tài)分布的特點(diǎn):如果一個(gè)隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布,那么對(duì)于任何實(shí)數(shù)a,b(a<b),隨機(jī)變量X在區(qū)間(a,b]的概率可以用

P(a<X≤b)來表示.它的幾何意義就是隨機(jī)變量X的分布密度曲線在區(qū)間(a,b]對(duì)應(yīng)的曲邊梯形面積的值,如圖6-5-1.圖6-5-1(5)正態(tài)曲線的性質(zhì):①曲線位于x軸的

上方

,與x軸不相交.②曲線是單峰的,關(guān)于直線

x=μ對(duì)稱.③曲線的最高點(diǎn)位于

x=μ處.④當(dāng)x<μ時(shí),曲線

上升

;當(dāng)x>μ時(shí),曲線

下降

;并且當(dāng)曲線向左、右兩邊無限延伸時(shí),以

x軸

為漸近線.⑤當(dāng)σ一定時(shí),曲線的位置由μ確定,曲線隨著μ的變化而沿

x軸

平移.⑥當(dāng)μ一定時(shí),曲線的形狀由σ確定.σ越大,曲線越“矮胖”,表示總體的分布越分散

;σ越小,曲線越“高瘦”,表示總體的分布越

集中

.(6)3σ原則①正態(tài)分布隨機(jī)變量X在三個(gè)特殊區(qū)間內(nèi)取值的概率:P(μ-σ<X≤μ+σ)≈0.6826,

P(μ-2σ<X≤μ+2σ)≈0.9544,

P(μ-3σ<X≤μ+3σ)≈0.9974.

②在實(shí)際應(yīng)用中,通常認(rèn)為服從正態(tài)分布N(μ,σ2)的隨機(jī)變量X只取區(qū)間(μ-3σ,μ+3σ]之間的值,并稱之為3σ原則.2.(1)若正態(tài)曲線關(guān)于y軸對(duì)稱,則它所對(duì)應(yīng)的正態(tài)分布隨機(jī)變量的均值為(

).A.1 B.-1 C.0 D.不確定(2)若隨機(jī)變量X~N(μ,σ2),其分布密度函數(shù)為

(x∈R),則這個(gè)正態(tài)分布隨機(jī)變量的均值與標(biāo)準(zhǔn)差分別是(

).A.10與8 B.10與2 C.8與10 D.2與10解析:(1)由正態(tài)曲線性質(zhì)知均值為0.

答案:(1)C

(2)B合作探究釋疑解惑探究一正態(tài)曲線及其性質(zhì)【例1】一條正態(tài)曲線如圖6-5-2,試根據(jù)圖象寫出該正態(tài)分布密度曲線的函數(shù)解析式,并求出隨機(jī)變量的均值和方差.圖6-5-21.要特別注意方差是標(biāo)準(zhǔn)差的平方.2.用待定系數(shù)法求正態(tài)分布密度曲線的函數(shù)解析式,關(guān)鍵是確定參數(shù)μ與σ的值.3.當(dāng)x=μ時(shí),正態(tài)分布密度曲線的函數(shù)取得最大值,即

,注意該式在解題中的運(yùn)用.探究二利用正態(tài)分布的性質(zhì)求概率【例2】

設(shè)ξ~N(1,4),試求:(1)P(-1<ξ≤3);(2)P(3<ξ≤5);(3)P(ξ≥5).正態(tài)變量在某個(gè)區(qū)間內(nèi)取值概率的求解策略(1)充分利用正態(tài)曲線的對(duì)稱性和曲線與x軸之間的面積為1.(2)注意概率值的求解轉(zhuǎn)化:①P(X<a)=1-P(X≥a);②P(X<μ-a)=P(X≥μ+a);探究三正態(tài)分布的實(shí)際應(yīng)用【例3】

某廠生產(chǎn)的圓柱形零件的外徑X~N(4,0.25).質(zhì)檢人員從該廠生產(chǎn)的1000件零件中隨機(jī)抽查一件,測(cè)得它的外徑為5.7cm.試問該廠生產(chǎn)的這批零件是否合格?解:圓柱形零件的外徑X~N(4,0.25),由正態(tài)分布的特征可知,服從正態(tài)分布N(4,0.25)的隨機(jī)變量在區(qū)間(4-3×0.5,4+3